(共32张PPT)
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
必备知识·自主学习
两角差的余弦公式
公式:cos (α-β)=_______________________
(1)简记符号:C(α-β)
(2)适用条件:公式中的角α,β都是任意角.
导思 (1)两角差的余弦公式是什么
(2)公式中的α,β是任意的吗
cosαcosβ+sinαsinβ.
【思考】
1.公式的结构特征是怎样的
提示:左端为两角差的余弦,右端为角α,β的同名三角函数积的和,即差角余弦等于同名积之和.
2.公式中的角α,β可以为几个角的组合吗
提示:可以.公式中α,β都是任意角,可以是一个角,也可以是几个角的组合.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos (70°-40°)=cos 70°+cos 40°. ( )
(2)对任意α,β,cos (α-β)=cos α-cos β都不成立. ( )
(3)对任意α,β∈R,cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β都成立. ( )
(4)cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=1. ( )
提示:(1)×.cos (70°-40°)=cos 30°≠cos 70°+cos 40°.
(2)×.当α=-45°,β=45°时,cos (α-β)=cos (-45°-45°)
=cos (-90°)=0,cos α-cos β=cos (-45°)-cos 45°=0,此时
cos (α-β)=cos α-cos β.
(3)√.结论为两角差的余弦公式.
(4)×.cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=cos (60°-30°)=cos 30°= .
2.(教材二次开发:练习改编)cos 45°cos 15°+sin 45°sin 15°等于 ( )
【解析】选B.原式=cos(45°-15°)=cos 30°= .
关键能力·合作学习
类型一 两角差的余弦公式的简单应用(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1. sin +cos 的值为 ( )
A. B.1 C. D.
2.(1)cos cos +cos sin .
(2) cos 105°+ sin 105°.
【解析】1.选C.原式=2
=2
=
(2)
=cos 60°cos 105°+sin 60°sin 105°
=cos(60°-105°)=cos(-45°)= .
【解题策略】
利用两角差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.
(2)充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
【补偿训练】
求下列各式的值:(1)cos .
(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°).
【解析】(1)
(2)原式=-sin 100°sin 160°+cos 200°cos 280°
=-sin 100°sin 20°-cos 20°cos 80°
=-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)=-cos 60°=- .
类型二 给值求值问题(直观想象、数学运算)
角度1 同角关系式求值
【典例】(2020·成都高一检测)已知cos α= ,α是第四象限角,
sin β= ,β是第二象限角,求cos(α-β)的值.
【思路导引】先利用角的象限及同角三角函数关系求另一三角函数,再利用两
角差的余弦公式求值.
【解析】因为cos α= ,α是第四象限角,
所以sin α=- =-
因为sin β= ,β是第二象限角,
所以cos β=
则cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β
【变式探究】
已知sin α= ,α∈ ,则cos 的值为________.
【解析】因为sin α= ,α∈ ,
所以cos α=
所以cos =cos cos α+sin sin α= × + × = .
答案:
角度2 变角代换求值
【典例】设α,β都是锐角,且cos α= ,sin (α+β)= ,则cos β= ( )
【思路导引】考虑如何用已知角α,α+β的差来表示所求角β,进而利用两角
差的余弦公式解决.
【解析】选A.依题意得sin α= cos (α+β)
= 又α,β均为锐角,
所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β).
因为 所以cos (α+β)=- .
于是cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin (α+β)sin α
【解题策略】
(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.给值求值的解题策略有:
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,
【题组训练】
1.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α= ,sin β=- ,则cos (α-β)
的值为 ( )
【解析】选A.因为α为锐角,且cos α= ,所以sin α=
因为β为第三象限角,且sin β=- ,所以cos β=- 所以
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= ×
2.已知cos 则cos α+ sin α的值为________.
【解析】因为cos =cos cos α+sin sin α
= cos α+ sin α= ,所以cos α+ sin α= .
答案:
类型三 给值求角问题(数学运算、逻辑推理)
【题组训练】
1.已知α,β均为锐角,且sin α= ,sin β= ,则α-β=________.
2.(2020·长沙高一检测)已知cos α= ,cos(α+β)=- ,α,β∈ ,则
β=________.
3.已知cos(α-β)=- ,sin(α+β)=- , <α-β<π, <α+β<2π,求
β的值.
【解析】1.因为α,β均为锐角,所以cos α= ,cos β= .
所以cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β
= × +
又因为sin α>sin β,所以0<β<α< ,所以0<α-β< .
故α-β= .
答案:
2.因为α,β∈ ,所以α+β∈(0,π).
因为cos α= ,cos(α+β)=- ,
所以sin α= ,sin(α+β)= ,
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α
=- × + × = .
因为0<β< ,所以β= .
答案:
3.因为 <α-β<π,cos (α-β)=- ,
所以sin (α-β)= .因为 π<α+β<2π,sin(α+β)=- ,
所以cos (α+β)= .所以cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos (α+β)cos (α-β)+sin (α+β)sin (α-β)
= × + × =-1.
因为 <α-β<π, π<α+β<2π,所以 <2β< ,所以2β=π,所以
β= .
【解题策略】
解决给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值;
(2)确定角的范围;
(3)根据角的范围写出要求的角.
【补偿训练】
已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),α,β∈(0,π)且a⊥b,求
α-β的值.
【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,
即cos α cos β+sin α sin β=0.
从而cos(α-β)=0.因为α,β∈(0,π),
所以-π<α-β<π,
所以α-β= 或- .
1.cos 20°= ( )
A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°
D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10°
【解析】选B.cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+
sin 30°sin 10°.
课堂检测·素养达标
2.(2020·济南高一检测)化简 = ( )
【解析】选C.原式
3.(教材二次开发:练习改编)已知cos =cos α,则tan α=________.
【解析】cos =cos αcos +sin αsin
= cos α+ sin α=cos α,
所以 sin α= cos α,
所以 = ,即tan α= .
答案:
4.已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,
求证:cos(α-β)=- .
【证明】由sin α+sin β+sin γ=0,
cos α+cos β+cos γ=0得(sin α+sin β)2=(-sin γ)2,①
(cos α+cos β)2=(-cos γ)2.②
①+②得,2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1,
即2+2cos(α-β)=1,
所以cos(α-β)=- .(共43张PPT)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
必备知识·自主学习
导思 (1)如何用tan α和tan β表示tan(α+β)和
tan(α-β)
(2)两角和与差的正切公式中,α、β、α±β是任意角吗
两角和与差的正切公式
【思考】
由同角三角函数的商数关系知tan(α+β)= 由此能否推导出两
角和的正切公式
提示:能.
tan(α+β)= 分子分母同除以cos αcos β可
得tan(α+β)=
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立. ( )
(2)对任意α,β∈R,tan(α+β)= 都成立. ( )
(3)tan(α+β)= 等价于tan α+tan β=tan(α+β)·
(1-tan αtan β).( )
提示:(1)√.当α=0,β= 时,tan(α+β)=tan =tan 0+tan ,但一
般情况下不成立.
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α,β,α+β≠kπ+ (k∈Z)且
tan α·tan β≠1.
(3)√.当α≠kπ+ (k∈Z),β≠kπ+ (k∈Z),α+β≠kπ+ (k∈Z),
1-tanαtanβ≠0时,由前一个式子两边同乘以1-tan αtan β可得后一个式子.
2.(教材二次开发:例题改编) 为 ( )
A.1 B.-1 C. D.-
【解析】选C.原式= =tan(45°-15°)=tan 30°= .
3.tan 105°的值为________.
【解析】tan 105°=tan(60°+45°)=
= =-2-
答案:-2-
关键能力·合作学习
类型一 正切公式的基本运算(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan 则tan α=________.
2.计算 =________.
3.求值:(1)tan (2)
【解析】1.因为
所以 解得tan α= .
答案:
2.原式=
= tan(45°+15°)
= tan 60°=1.
答案:1
3.(1)
【解题策略】
公式T(α+β),T(α-β) 应用的解题策略
(1)将公式T(α+β),T(α-β)中的tan α·tan β,tan α+tan β(或tan α-
tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))分别看作整体.三者知二可求出第三个.
(2)化简过程中注意“1”与“tan ”,“ ”与“tan ”等特殊数与特
殊角的函数值之间的转化.
【补偿训练】
1.已知tan(α+β)=3,tan α= ,那么tan β=________.
【解析】因为tan α= ,tan(α+β)= =3,所以tan β= .
答案:
2. =________.
【解析】 =
=tan(60°-15°)=tan 45°=1.
答案:1
类型二 条件求值问题(直观想象、数学运算)
角度1 式子的变换问题
【典例】设tan α,tan β是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根,
则 的值为 ( )
【思路导引】利用一元二次方程的根与系数关系及两角和的正切公式求解.
【解析】选C.由根与系数的关系,得:tan α+tan β=
tan α·tan β= 所以
【变式探究】
已知tan α、tan β是方程x2+5x-12=0的两根,则tan(α+β)= ( )
【解析】选D.由已知,tan α+tan β=-5,tan αtan β=-12.
所以tan(α+β)=
角度2 角的变换问题
【典例】已知 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求tan 2α与
tan 2β的值.
【思路导引】用α-β,α+β表示2α、2β,进而求值.
【解析】因为 <β<α< ,所以0<α-β< ,π<α+β< .所以
所以cos 2α=cos [(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
所以tan 2α=
同理可得:cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
sin 2β=sin[(α+β)-(α-β)]
=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)
所以tan 2β= .
【解题策略】
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式间的联系以实现求值.
(2)角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值.
【题组训练】
1.若sin α= tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tan β的值为 ( )
【解析】选C.由sin α= 且α是第二象限角,可得cos α= 则
tan α= 所以tan β=tan[(α+β)-α]=
2.已知tan(α+β)= tan 那么tan 等于 ( )
【解析】选C.
3.已知 =3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=________.
【解析】由条件知
则tan α=2,因为tan(α-β)=2,
所以tan(β-α)=-2.
故tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]
答案:
【拓展延伸】
两角和的正切公式的变形
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β).
(2)1-tan αtan β=
(3)tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β).
(4)tan αtan β=1-
【拓展训练】
计算tan 72°-tan 42°- tan 72°tan 42°=________.
【解析】原式=tan(72°-42°)(1+tan 72°tan 42°)
- tan 72°tan 42°
=tan 30°(1+tan 72° tan 42°)-tan 30°tan 72°tan 42°
=tan 30°= .
答案:
【补偿训练】
计算:(1)tan +tan + tan tan .
(2)(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°).
【解析】(1)tan +tan + tan ·tan =
(2)(1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+
tan 21°·tan 24°=1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+
tan 21°tan 24°=1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°·tan 24°
=1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°·tan 24°=2,同理可得(1+tan 22°)
(1+tan 23°)=2,所以原式=2×2=4.
类型三 给值求角问题(数学运算、逻辑推理)
【题组训练】
1.已知tan α=2,tan β=- ,其中0<α< , <β<π.则α+β的值为
________.
2.在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与
单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为
(1)求tan(α+β)的值.
(2)求α+2β的值.
【思路导引】1.直接求tan(α+β),再求α+β.
2.先计算tan α,tan β,再求tan(α+β),然后用α+β,β表示α+2β.
【解析】1.因为tan(α+β)= =1,又因为0<α< ,
<β<π,所以 <α+β< ,只有 的正切值等于1.所以α+β= .
答案:
2.由条件得cos α= cos β=
因为α,β为锐角,所以sin α=
sin β= = 所以tan α=7,tan β= .
(1)tan(α+β)=
(2)因为tan(α+2β)=tan [(α+β)+β]
= = =-1,
又因为α,β为锐角,所以0<α+2β< 所以α+2β= .
【解题策略】
给值求角问题的步骤及选取函数的原则
(1)给值求角问题的步骤.
①求所求角的某个三角函数值.
②确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),根据范围找出角.
(2)选取函数的原则.
①已知正切函数值,选正切函数.
②已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是 选正弦或余弦函
数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是 选正弦较好.
【补偿训练】
已知tan(α-β)= ,tan β=- ,且α,β∈(-π,0),求2α-β的值.
【解析】因为α=(α-β)+β,tan(α-β)= ,tan β=- ,α,β∈(-π,0),
所以tan α=tan[(α-β)+β]=
又2α-β=α+(α-β),所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]
而tan α= >0,tan β=- <0,α,β∈(-π,0),
则α∈ β∈
所以α-β∈(-π,0),而tan(α-β)= >0,
则α-β∈ 结合α∈
则有2α-β∈(-2π,-π),所以2α-β=
1.(2020·威海高一检测)若tan =5,则tan α的值为 ( )
【解析】选C.tan =5,即 =5,解得tan α= .
课堂检测·素养达标
2.已知α,β都是锐角,tan α= ,tan β= ,则α+β的值为( )
【解析】选C.tan(α+β)= =1,又因为α,β都是锐角,
所以α+β∈(0,π),所以α+β= .
3.(2020·鹤壁高一检测)计算:tan 73°-tan 193°- tan 73°tan 13°
=________.
【解析】原式=tan 73°-tan 13°- tan 73°tan 13°=tan(73°-
13°)(1+tan 73°tan 13°)- tan 73°tan 13°= .
答案:
4.(教材二次开发:练习改编)已知tan
tan 则tan =________.
【解析】tan =
答案:
5.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan2α+tan2β的值为________.
【解析】因为tan(α+β)=4,
所以 =4,
又tan α+tan β=2,所以tan αtan β= ,
所以tan2α+tan2β=(tan α+tan β)2-2tan αtan β=22-2× =3.
答案:3(共49张PPT)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
必备知识·自主学习
1.两角和的余弦公式
导思 (1)由两角差的余弦公式,怎样得到两角和的余弦公式呢
(2)如何根据两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式
简记符号 公式 使用条件
C(α+β) cos(α+β)=
_______________________ α,β∈R
cosαcosβ-sinαsinβ
2.两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的
正弦公式 S(α+β) sin(α+β)=
______________________ α,β∈R
两角差的
正弦公式 S(α-β) sin(α-β)=
______________________ α,β∈R
sinαcosβ+cosαsinβ
sinαcosβ-cosαsinβ
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( )
(2)存在α,β∈R,使得sin (α+β)=sin α+sin β成立. ( )
(3)对于任意α,β∈R,sin (α-β)=sin α-sin β都不成立. ( )
(4)sin 56°cos 26°-cos 56°sin 26°=sin 30°. ( )
提示:(1)√.根据公式的推导过程可得.
(2)√.当α=30°,β=0°时,sin (α+β)=sin α+sin β.
(3)×.当α=60°,β=0°时,sin (α-β)=sin α-sin β成立.
(4)√.因为sin 56°cos 26°-cos 56°sin 26°=sin (56°-26°)=sin 30°,故原式正确.
2.(教材二次开发:练习改编)sin 75°cos 15°-cos 75°sin 15°的值等于
( )
【解析】选C.sin 75°cos 15°—cos 75°sin 15°=sin 60°= .
3.计算sin =________.
【解析】
答案:
关键能力·合作学习
类型一 求值问题(直观想象、数学运算)
角度1 给角求值
【典例】1. 的值是 ( )
2.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin (α+β)=________.
【思路导引】1.由sin 40°=sin (60°-20°)套用两角差的正弦公式化简可求值.
2.把两个已知条件分别平方,求和,利用两角和的正弦公式可得答案.
【解析】1.选A.原式=
2.因为(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=1,
所以sin2 α+cos2 β+cos2 α+sin2 β+2sin αcos β+2sin βcos α
=1+1+2sin (α+β)=1.
所以sin (α+β)=- .
答案:-
角度2 给值求值
【典例】若sin cos 且0<α< <β< 则
cos (α+β)的值为________.
【思路导引】考虑如何利用已知条件中的角拼凑成所求问题中的角,可使用诱
导公式.
【解析】因为0<α< <β< 所以 +α<π,- < -β<0,又已知
sin cos
所以cos
所以cos (α+β)=sin
=sin
答案:-
【解题策略】
1.解决给角求值问题的策略.
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.
2.解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”. 求解策略如下:
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3.常见的角的代换关系有:α=(α+β)-β =β-(β-α),α= [(α+β)+
(α-β)]= [(β+α)-(β-α)],
等.
【题组训练】
1.化简:
(1) =________.
(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=________.
【解析】(1)
(2)原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)·cos(90°-16°)
=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)=sin 30°= .
答案:(1) (2)
2.已知α、β是锐角,且sin α= ,cos(α+β)=- ,求sin β的值.
【解析】因为α、β是锐角,且sin α= ,
所以cos α= 0<α+β<π,
所以sin(α+β)=
所以sin β=sin [(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
【补偿训练】
化简:
【解析】原式=sin xcos +cos xsin + 2sin xcos -2cos xsin
- cos ·cos x- sin sin x= sin x+ cos x+sin x- cos x
+ cos x- sin x
类型二 给值求角(直观想象、数学运算)
【典例】1.已知sin sin 且α-
β- 则 的值为________.
2.已知在△ABC中,∠B=60°,且
若∠A>∠C,求∠A的值.
【思路导引】先依据条件确定所求角的范围,再确定该角的某个三角函数值,最
后确定角的大小.
【解析】1.因为α- β-
所以0< <π,
又因为
所以
答案:
2.由已知∠B=60°,∠A+∠C=120°,
设 =α,因为∠A>∠C,则0<α<60°,
故∠A= =60°+α,
∠C= - =60°-α,
故
由题设有
整理得:4 cos2α+2cos α-3 =0.
(2cos α- )(2 cos α+3)=0.
因为2 cos α+3≠0,所以2cos α- =0.
所以cos α= .故α=45°,∠A=60°+45°=105°.
【解题策略】
1.利用两角和与差的正弦、余弦公式解决给值求角问题的思路
(1)确定角的范围.
(2)求角的正弦或余弦值.
(3)根据角的范围写出要求的角.
2.在求角的正弦或余弦值时的选择原则
(1)若所求角的范围是 选正、余弦皆可.
(2)若角的范围是(0,π),选余弦较好.
(3)若角的范围为 选正弦较好.
【跟踪训练】1.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为
( )
【解析】选A.由已知可得(3sin A+4cos B)2+(3cos A+4sin B)2=62+12,即
9+16+24sin(A+B)=37.
所以sin(A+B)= .
所以在△ABC中sin C= ,
所以C= 或C=
又1-3cos A=4sin B>0,所以cos A<
又 所以A> 所以C<
所以C= 不符合题意,所以C=
2.若 其中 <α< , <β< ,求α+β的值.
【解析】因为 <α< , <β< ,
所以- < -α<0, < +β< π.
所以cos =
cos =-
所以cos(α+β)=
=cos cos +sin sin
又因为 <α+β<π,所以α+β= π.
类型三 辅助角公式的应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.下面能使f(x)=sin x-cos x取最大值的一个角为 ( )
2.已知函数f(x)=sin 2x+ cos 2x.
(1)求出f(x)的最大值、最小值.
(2)求出f(x)的单调递增区间.
【思路导引】首先把题目中的三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再
求最值、单调区间.
【解析】1.选C.f(x)=sin x-cos x
对于所给选项,当x= 时,ymax= .
2.f(x)=
(1)当2x+ =2kπ+ ,k∈Z,即x=kπ+ ,k∈Z时,f(x)取得最大值2;
当2x+ =2kπ- ,k∈Z,即x=kπ- π,k∈Z时,f(x)取得最小值-2.
(2)由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得kπ- π≤x≤kπ+ ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为
【解题策略】
对于形如y=sin α±cos α,y= sin α±cos α的三角函数式均可利用特
殊值与特殊角的关系,运用角的和差的正、余弦公式化简为含有一种三角函数
的形式.
【跟踪训练】
1.cos α- sin α化简的结果可以是 ( )
【解析】选B.cos α- sin α=2
2.函数f(x)=sin x+cos x,x∈ 的最小值为 ( )
A.2 B.- C.- D.1
【解析】选D.f(x)= sin ,
因为0≤x≤ ,
所以 ≤x+ ≤ , ≤sin ≤1,
所以f(x)的最小值为1.
【拓展延伸】
辅助角公式:asin x+bcos x= ·sin(x+φ)(或asinx+bcosx
= cos(x-φ)),其中sin φ= cos φ=
(或cos φ= sin φ= ).
推导过程:asin x+bcos x
令cos φ= 则asin x+bcos x=
(sin xcos φ+cos xsin φ)= sin(x+φ).
【拓展训练】
若f(x)=3sin x-4cos x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是 ( )
【解析】选D.因为f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-φ)
则sin(a-φ)=±1,
所以a-φ=kπ+ ,k∈Z,
即a=kπ+ +φ,k∈Z,而tan φ= 且0<φ<
所以 <φ<
所以kπ+
【补偿训练】
将下列各式写成Asin(ωx+φ)的形式.
(1) sin x-cos x;
(2)
【解析】(1)
(2)原式=
1.化简:sin 21°cos 81°-cos 21°·sin 81°等于 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选D.原式=sin(21°-81°)=-sin 60°=- .
课堂检测·素养达标
2.(2020·太原高一检测)满足cos αcos β= +sin αsin β的一组α、β
的值是 ( )
【解析】选A.由已知可得cos(α+β)= ,代入检验知A满足.
3.定义运算 =ad-bc,若cos α= , = ,
0<β<α< ,则β等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.依题意有:sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= ,
又0<β<α< ,所以0<α-β< ,
故cos(α-β)=
而cos α= ,所以sin α= ,于是sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
= × - × = ,故β= .
4.(教材二次开发:练习改编)若cos α=
则cos =________.
【解析】因为cos α=- ,α∈ ,
所以sin α=
所以
答案:-
5.sin 15°- cos 15°=________.
【解析】sin 15°- cos 15°=2sin(15°-60°)=-2sin 45°=- .
答案:-(共61张PPT)
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
必备知识·自主学习
1.二倍角的正弦、余弦及正切公式
(1)sin 2α=______________(S2α).
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=_________=1-2sin2α(C2α).
(3)tan 2α=_________(T2α).
2sin αcos α
2cos2α-1
【思考】
(1)所谓的“二倍角”公式,就是角α与2α之间的转化关系,对吗
提示:不对.对于“二倍角”应该广义的理解,如:8α是4α的二倍角,
3α是 α的二倍角,α是 的二倍角, 是 的二倍角,…这里蕴含
着换元思想.这就是说“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的.
(2)公式中的角α是任意角吗
提示:对于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证tan α有意义且分母1-tan2α≠0.
2.二倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α).
(2)配方变换
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换
1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
(4)降幂扩角变换
cos2α= (1+cos 2α),sin2α= (1-cos 2α),
sin αcos α= sin 2α.
【思考】
如何在倍角公式中用2α± 解题
提示:(1)sin 2α=
=2cos2 -1=1-2sin2 .
(2)cos 2α=sin =sin
=2sin cos .
(3)cos 2α=sin =sin
=2sin cos .
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)二倍角的正切公式的适用范围不是任意角. ( )
(2)对于任意的角α,都有sin 2α=2sin α成立. ( )
(3)存在角α,cos 2α=2cos α成立. ( )
(4)cos 3αsin 3α= sin 6α对任意的角α都成立. ( )
提示:(1) √.二倍角的正切公式,要求α≠ +kπ(k∈Z)且
α≠± +kπ(k∈Z),故此说法正确.
(2) ×.当α= 时,sin 2α=sin = ,而2sin α=2× =1.
(3) √.由cos 2α=2cos α=2cos2α-1,得cos α= (正值舍去)时,
cos 2α=2cos α成立.
(4)√.由二倍角正弦公式可得.
2.(教材二次开发:练习改编)sin 75°cos 75°=________.
【解析】由已知得:sin 75°cos 75°= ×2sin 75°cos 75°
= sin 150°= .
答案:
3.若tan 2α=2,则tan 4α=________.
【解析】tan 4α=
答案:-
关键能力·合作学习
类型一 二倍角公式的正用、逆用(直观想象、数学运算)
【题组训练】
1.(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( )
2.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=________.
3.计算: =________.
【解析】1.选A.3cos 2α-8cos α=5,
得6cos2α-8cos α-8=0,
即3cos2α-4cos α-4=0,
解得cos α=- 或cos α=2(舍去),
又因为α∈(0,π),所以sin α=
2.原式=cos 80°cos 60°cos 40°cos 20°
答案:
3.原式=
答案:
【解题策略】
二倍角公式的正用、逆用解题的关注点
(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式.
【补偿训练】
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈ ,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )
【解析】选B.因为2sin 2α=cos 2α+1,
所以4sin α·cos α=2cos2α,
因为α∈ ,所以cos α>0,sin α>0,
所以2sin α=cos α,又sin2α+cos2α=1,
所以5sin2α=1,sin2α= ,又sin α>0,所以sin α= .
2.(2020·郑州高一检测)求下列各式的值.
(1)1-2sin2750°.(2) (3)
【解析】(1)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°
=cos(4×360°+60°)=cos 60°= .
(2)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=- .
类型二 条件求值(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.(2020·承德高一检测)已知sin
则cos 的值等于 ( )
2.已知 的值为________.
3.(2019·江苏高考)已知 的值是________.
【思路导引】1.分析角 的关系.
2.分析 -x与 +x,与2x的关系或先化简目标或再找与已知条件间的关系.
3.先利用和角的正切公式由已知条件求出tan α的值,再用和角正弦公式将
sin 展开,升幂后,弦化切,代入求值.
【解析】1.选C.因为
2.因为0所以
答案:
3.由
得3tan2α-5tan α-2=0,
解得tan α=2,或tan α=- .
当tan α=2时,上式=
当tan α=- 时,上式=
综上,sin
答案:
【解题策略】
解决条件求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)当遇到 ±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通.
【补偿训练】
1.已知sin ,那么cos =( )
【解析】选A.由题意有:
=1-2sin2
2.已知 =________.
【解析】
所以0< -α< ,又cos
所以 所以原式=2×
答案:
类型三 二倍角公式的化简、证明问题(逻辑推理)
角度1 恒等式证明问题
【典例】求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.
【思路导引】
可考虑从左向右证的思路:先把左边降幂扩角,再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.
【证明】左边=
= = (cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+
cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边,所以等式成立.
【变式探究】
将本例改为:
求证:
【证明】左边=
=右边,故原式得证.
角度2 化简问题
【典例】化简:(1)
(2)
【思路导引】(1)化2θ为θ,消去1→提公因式,约分→结论.
(2)
【解析】(1)方法一:
方法二:
(2)原式=
【解题策略】
1.三角函数式的化简原则
一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.
2.证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤
①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
【题组训练】
1.(2020·日照高一检测)化简:(1) <α< ,则 =________.
(2)α为第三象限角,则 =________.
【解析】(1)因为α∈ ,所以sin α>cos α,
所以
=sin α-cos α.
(2)因为α为第三象限角,所以cos α<0,sin α<0,
所以
答案:(1)sin α-cos α (2)0
2.求证:tan2x+
【证明】方法一:(切化弦)因为左边=
=右边,所以等式成立.
方法二:(弦化切)因为右边=
=左边,所以等式成立.
【补偿训练】
1.化简:(1) ,其中α∈ .
(2) ,其中θ∈(0,π).
【解析】(1)因为α∈ ,
所以cos α>0, ,所以cos <0.
故原式
(2)原式=
①当θ∈ 时, ∈ ,cos ≥sin >0,
此时原式=sin +cos -cos +sin =2sin .
②当θ∈ 时, ∈ ,0此时原式=sin +cos -sin +cos =2cos .
2.求证:cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.
【证明】方法一:左边=cos2θ
=cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边.
方法二:右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ
=cos2θ(1-tan2θ)=左边.
【拓展延伸】
万能公式:
(1)cos 2α= ,(2)sin 2α=
(3)tan 2α=
公式(1),(2)的推导:
(1)cos 2α=cos2α-sin2α=
(2)sin 2α=2sin αcos α=
【拓展训练】
已知 =-5,求3cos 2α+4sin 2α的值.
【解析】因为 =-5,所以 =-5,
所以tan α=2.所以3cos 2α+4sin 2α=
【补偿训练】
化简
【解析】原式=
备选类型 二倍角在三角函数中的应用(数学运算、数学建模)
【典例】求函数f(x)=5 cos2x+ sin2x-4sin xcos x,x∈ 的最小值,并求其单调递减区间.
【思路导引】
【解析】f(x)=
因为
所以sin
所以当2x-
即x= 时,f(x)取最小值为
因为y=sin 在 上单调递增,
所以f(x)在 上单调递减.
【解题策略】
此类型题目考查二倍角公式,辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用函数图象解决问题.
【跟踪训练】
(2020·彰化高一检测)求函数y=sin4x+2 sin xcos x-cos4x的最小正周期和最小值,并写出该函数在[0,π]上的单调递减区间.
【解析】y=sin4x+2 sin xcos x-cos4x
=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+2 sin xcos x
=-cos 2x+ sin 2x=
=2sin
所以最小正周期T= =π,ymin=-2.
由2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,
得kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
又x∈[0,π],所以令k=0,得函数的单调递减区间为
1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为 ( )
【解析】选B.原式=
课堂检测·素养达标
2.(教材二次开发:练习改编)已知sin x= ,则cos 2x的值为 ( )
【解析】选A.因为sin x= ,所以cos 2x=1-2sin2x=1-2×
3.(2020·大同高一检测)已知tan α=- ,则
=________.
【解析】
答案:-
4.设sin 2α=-sin α,α∈ ,则tan 2α的值是________.
【解析】因为sin 2α=-sin α,
所以2sin αcos α=-sin α,
又α∈ ,所以sin α≠0,
所以cos α=- ,所以α= ,则tan 2α=tan
答案:
5.已知sin αcos β= ,求cos αsin β的最值.
【解析】设t=cos αsin β,
又sin αcos β= ,
所以sin αcos β·cos αsin β= ,
即sin 2αsin 2β=2t.
因为|sin 2α sin 2β|≤1,所以|2t|≤1,
所以- ≤t≤ (等号显然可以取到),
所以cos αsin β的最小值为- ,最大值为 .(共52张PPT)
3.2 简单的三角恒等变换(二)
关键能力·合作学习
类型一 角的变换问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.求值:sin(θ+75°)+cos(θ+45°)- cos(θ+15°)=________.
2.求值: =________.
3.已知tan(α+β)=λtan(α-β),其中λ≠1,求证:
【思路导引】
1.注意角的变换,分析角之间的关系,令α=θ+15°;
2.注意切化弦;
3.注意变角,用已知角α+β,α-β表示2α,2β.
【解析】1.令α=θ+15°,
则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)- cos α
答案:0
2.
答案:
【解题策略】
角的三种变换
(1)常见的配角变换.
α=2· ,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α= [(α+β)+(α-β)],
β= [(α+β)-(α-β)],
(2)辅助角变换.
asin x+bcos x= sin(x+φ),其中tan φ= .
(3)注意常值的代换.
用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能用相关公式,如1=sin2α+cos2α,1=sin 90°, =sin 30°, =cos 30°等.
【跟踪训练】
1.(2020 宜宾高一检测)已知α∈ ,且3sin2α-5cos2α+sin 2α=0,
则sin 2α+cos 2α= ( )
A.1 B.- C.- 或1 D.-1
【解析】选A.由3sin2α-5cos2α+sin 2α=0,
得
所以
即3tan2α+2tan α-5=0,解得tan α=1或tan α=- .
因为α∈ ,
所以tan α=1,即α= ,
所以sin 2α+cos 2α=sin +cos =1.
2.化简:
=________(0<α<π).
【解析】因为tan ,所以(1+cos α)tan =sin α,
又因为cos =-sin α,
且1-cos α=2sin2 ,所以原式=
因为0<α<π,所以0< < .所以sin >0.
所以原式=-2 cos .
答案:-2 cos
3.求证:
【证明】方法一:左边=
=cos αsin cos = sin αcos α
= sin 2α=右边.所以原等式成立.
方法二:左边=
cos2αtan α= cos αsin α= sin 2α=右边.
所以原等式成立.
类型二 三角恒等变换与函数问题(直观想象、数学运算)
角度1 与三角函数性质有关的问题
【典例】已知函数f(x)= cos -2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求证:当x∈ 时,f(x)≥- .
【思路导引】
【解析】 (1)f(x)= cos -2sin xcos x
= cos 2x+ sin 2x-sin 2x= sin 2x+ cos 2x
=sin ,所以T= =π.
(2)令t=2x+ ,因为- ≤x≤ ,
所以 ,因为y=sin t在 上单调递增,
在 上单调递减,
所以f(x)≥sin ,得证.
角度2 与三角函数图象有关的问题
【典例】函数f(x)=4cos2 -2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为__________.
【思路导引】利用三角恒等变换公式化简函数解析式后再结合图象解答.
【解析】因为f(x)=4cos2 -2sin x-|ln(x+1)|
=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|
=sin 2x-|ln(x+1)|,
所以函数f(x)的零点个数为函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|图象的交点的个数,
函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|的图象如图,由图知,两函数图象有2个交点,
所以函数f(x)有2个零点.
答案:2
【变式探究】
本例若把函数改为f(x)=sin xcos x-ln|x|,试求零点的个数.
【解析】因为f(x)=sin xcos x-ln|x|= sin 2x-ln|x|,所以函数f(x)的零点
个数为函数y= sin 2x与y=ln|x|图象的交点的个数,如图知,零点的个数为
2个.
【解题策略】
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.研究图象问题时用数形结合的方法直观解题,由“数”想图,借“图”解题.
【题组训练】
1.(2018·全国卷Ⅲ)函数f 的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
【解析】选C.f(x)= =sin xcos x= sin 2x,
所以f(x)的最小正周期为T= =π.
2.已知函数f(x)=sin2x+ sin xcos x+2cos2x,x∈R.求函数f(x)的单调增区间.
【解析】f(x)=- (1-2sin2x)+ (2sin xcos x)+(2cos2x-1)+
= sin 2x+ cos 2x+ =sin
由题意得2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,
即kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.所以f(x)的单调增区间为 ,
k∈Z.
【拓展延伸】
三角恒等变换在平面向量中的应用
1.向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
2.三角函数要结合三角恒等变换进行转化,注意角的范围对变形过程的影响.
【拓展训练】
已知向量a=(1,- ),b=(sin x,cos x),f(x)=a·b.
(1)若f(θ)=0,求 的值.
(2)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的值域.
【解析】(1)因为a=(1,- ),b=(sin x,cos x).
所以f(x)=a·b=sin x- cos x,
因为f(θ)=0,即sin θ- cos θ=0,
所以tan θ= ,
所以 =
(2)f(x)=sin x- cos x=2sin ,
因为x∈[0,π],所以x- ∈ ,
当x- =- ,即x=0时,f(x)min=- ,
当x- = ,即x= 时,f(x)max=2,
所以当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域为[- ,2].
【补偿训练】
已知三点A,B,C的坐标分别为A(cos α,sin α)
B(3,0),C(0,3),若 =-1,求 的值.
【解析】由题意,得 =(3-cos α,-sin α),
=(-cos α,3-sin α).因为 · =-1,
所以(cos α-3)·cos α+sin α(sin α-3)=-1.
整理,得sin α+cos α= .所以1+2sin αcos α= ,
所以2sin αcos α=- .
又因为
=2sin αcos α,所以原式=- .
类型三 三角恒等变换在几何中的应用(逻辑推理、数学建模)
【典例】若点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作半圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大
【思路导引】
先作图,再写出面积关于α的函数,利用三角函数性质求解.
【解析】如图,连接PB,
因为AB为直径,所以∠APB=90°.
因为∠PAB=α,AB=1,
所以PB=sin α,PA=cos α,
又PT切半圆于P点,
则∠TPB=∠PAB=α.
所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB
= PA·PB+ PT·PB·sin α
= cos α·sin α+ sin2α= sin 2α+ (1-cos 2α)
因为0<α< ,- <2α- < π,
所以当2α- = ,即α= π时,四边形ABTP的面积最大.
【解题策略】
解决三角恒等变换在几何中的应用问题的注意事项
(1)充分借助平面几何,寻找数量关系.
(2)注意实际问题中变量的范围.
(3)直视三角的有界性的影响.
【跟踪训练】
如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成矩形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最大
【解析】设∠AOB=α,△OAB的周长为l,则AB=Rsin α,OA=Rcos α,
所以l=OB+AB+OA
=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R
= Rsin +R.
因为0<α< ,所以 <α+ < ,
所以l的最大值为 R+R=( +1)R,此时,α+ = ,即α= ,
即当α= 时,△OAB的周长最大.
【补偿训练】
在本题条件下,求矩形面积的最大值.
【解析】如图所示,设∠AOB=α ,则AB=Rsin α,
OA=Rcos α.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB,
所以S=2Rcos α·Rsin α=R2·2sin αcos α=R2sin 2α.
因为α∈ ,所以2α∈(0,π).
因此,当2α= ,即α= 时,Smax=R2.
这时点A,D到点O的距离均为 R,矩形ABCD面积的最大值为R2.
备选类型 三角变换在实际生活中的应用(数学运算、数学建模)
【典例】某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD,已知草坪长AB=100 米,宽
BC=50 米,为了便于专家平时工作、起居,该高校计划在这块草坪内铺设三
条小路HE,HF和EF,并要求H是CD的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且∠EHF为
直角,如图所示.
(1)设∠CHE=x(弧度),试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数,
并求出此函数的定义域.
(2)这三条路,每米铺设预算费用均为400 元,试问如何设计才能使铺路的总
费用最低 并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值:
取1.732, 取1.414).
【解析】(1)因为在Rt△CHE中,CH=50,∠C= ,
∠CHE=x,所以HE=
在Rt△HDF中,HD=50,∠D= ,∠DFH=x,
所以HF= .又∠EHF= ,所以EF=
所以三条路的全长(即△HEF的周长)L=
当点F在A点时,x最小,求得此时x= ;
当点E在B点时,x最大,求得此时x= .
故此函数的定义域为
(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求出
△HEF的周长L的最小值即可.
由(1)得L=
设sin x+cos x=t,则sin xcos x=
所以L=
由t=sin x+cos x= ,x∈ ,得
当x= ,即CE=50时,Lmin=100( +1),所以当CE=DF=50 米时,铺路总费用最低,
最低总费用约为96 560 元.
【解题策略】
此类问题,关键是合理引入辅助角,确定各变量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解.
提醒:在利用三角变换解决实际问题时,常因忽视角的范围而致误.
【跟踪训练】
如图,某工匠要将一块圆心角为120°,半径为20 cm的扇形铁片裁成一块面积最大的矩形,现有两种裁法:(1)让矩形一边在扇形的半径OA上(如图①),(2)让矩形一边与弦AB平行(如图②),请问该工匠应采用哪种裁法 并求出这种裁法面积的最大值.
【解析】在题图①中,MN=20sin θ,ON=20cos θ,
所以S1=ON·NM=400sin θcos θ=200sin 2θ,
所以当sin 2θ=1,即θ=45°时,(S1)max=200 cm2.
题图②中,MQ=40sin(60°-α),MN= sin α,
所以S2= [cos(2α-60°)-cos 60°],
当cos(2α-60°)=1,即2α-60°=0,
α=30°时,(S2)max= cm2.因为 >200,
所以用图②这种裁法得到的矩形的面积大,最大为 cm2.
1.化简 cos x+ sin x等于 ( )
【解析】选B.
课堂检测·素养达标
2.(教材二次开发:练习改编)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的
最大值是 ( )
【解析】选C.f(x)=cos x-sin x= .当x∈[0,a]时,x+
所以结合题意可知,a+ ≤π,即a≤ ,故所求a的最大值是 .
3.函数y= sin 2x+cos2x的最小正周期为________.
【解析】因为y= sin 2x+cos2x= sin 2x+ cos 2x+ =sin
所以函数的最小正周期T= =π.
答案:π
4.北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,则cos 2θ=________.
【解析】由题意知,5cos θ-5sin θ=1,θ∈ ,
所以cos θ-sin θ= .又(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2,
所以cos θ+sin θ= (负值舍去),
所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)= .
答案:
5.形如 的符号叫二阶行列式,现规定 =
a11a22-a21a12,如果f(θ)=
0<θ<π,求θ的值.
【解析】因为 = ,
所以f(θ)= =cos θsin -sin θcos
= cos θ- sin θ=sin
因为(共42张PPT)
3.2 简单的三角恒等变换(一)
必备知识·自主学习
半角公式:
【思考】
(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的 如何推导的
提示:二倍角的余弦公式.推导如下:在二倍角公式cos 2α=1-2sin2α
=2cos2α-1中,以α代替2α,以 代替α,
即得:cos α=1-2sin2 =2cos2 -1.
所以sin2 = ,cos2 = ,
tan2 = .开方可得半角公式.
(2)半角公式中的正负号能否去掉 该如何选择
提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;
②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求 所在范围,
然后根据 所在范围选用符号.
(3)半角公式对α∈R都成立吗
提示:公式 对α∈R都成立,但公式 要求α≠(2k+1)π(k∈Z).
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1) ( )
(2)存在α∈R,使得cos cos α. ( )
(3)对于任意α∈R,sin sin α都不成立. ( )
(4)若α是第一象限角,则tan . ( )
提示:(1)×.只有当 (k∈Z),
即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,
(2)√.当cos α=- +1时,上式成立,但一般情况下不成立.
(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.
(4)√.若α是第一象限角,则 是第一、三象限角,此时tan =
成立.
2.(教材二次开发:例题改编)已知cos α= ,α∈ ,
则sin 等于 ( )
【解析】选A.由题知
3.已知2π<θ<4π,且sin θ=- ,cos θ<0,则tan 的值等于________.
【解析】由sin θ=- ,cos θ<0得cos θ=- ,
所以
答案:-3
关键能力·合作学习
类型一 利用半角公式求值(数学运算、直观想象)
角度1 给角求值
【典例】求值:(1)sin =________.(2)tan =________.
【思路导引】利用半角公式求解.
【解析】(1)
(2)tan
答案:(1) (2) -1
【变式探究】
设a= cos 6°- sin 6°,b= ,c= 则有 ( )
A.a>b>c B.aC.a【解析】选C.a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin 24°,
b=sin 26°,c=sin 25°,所以a角度2 给值求值
【典例】已知sin α=- ,π<α< ,求 的值.
【思路导引】利用半角公式求解.
【解析】因为π<α< ,sin α=- ,
所以cos α=- ,且 ,所以
【解题策略】
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan = ,其优点
是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,
常先利用sin2 ,cos2 计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
【题组训练】
1.求值: = ( )
A.1 B.2 C. D.
【解析】选C.原式=
2.(2020·聊城高一检测) 若α∈ ,则
等于 ( )
A.cos α-sin α B.cos α+sin α
C.-cos α+sin α D.-cos α-sin α
【解析】选D.因为α∈ ,所以sin α≥0,
cos α≤0,则
=|cos α|-|sin α|=-cos α-sin α.
3.设π<θ<2π,cos =a,求:
(1)sin θ的值;(2)cos θ的值;(3)sin2 的值.
【解析】(1)因为π<θ<2π,所以 < <π.又因为cos =a,
所以sin =
所以sin θ=2sin cos =2a
(2)cos θ=2cos2 -1=2a2-1.
(3)sin2
类型二 三角函数式的化简(直观想象、数学运算)
【典例】1.设5π<θ<6π,cos =a,则sin 等于( )
2.化简: =________.
3.已知π<α< ,化简:
【思路导引】注意分析角之间的关系,利用半角、倍角及两角差的正弦公式化简求值.
【解析】1.选D.因为5π<θ<6π,所以
所以
2.原式=
答案:2 cos α
3.原式=
因为π<α< ,
所以
所以cos <0,sin >0,
所以原式=
【解题策略】
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】
1.化简: =________.
【解析】原式=
答案: cos 2x
2.(2020·本溪高一检测)化简:
【解析】原式=
又因为180°<α<360°,所以90°< <180°,所以cos <0,
所以原式= =cos α.
类型三 三角恒等式的证明(数学建模、逻辑推理)
【典例】证明
【思路导引】方法一:从右边入手,切化弦,推导出左边.
方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,弦化切,得到右边.
【证明】方法一:右边=
由左右两边的角之间的关系,想到分子分母同乘以cos +sin ,
得
=左边.所以原等式成立.
方法二: 左边=
由两边三角函数的种类差异,想到弦化切,即分子分母同除以cos ,
得 =右边.所以原等式成立.
【解题策略】
关于证明三角恒等式的原则
(1)由繁到简:一般由式子较复杂的一边向较简单的一边化简证明.
(2)两边夹:对于式子两边都比较复杂的式子,则采取两边同时化简,找到一个共同的“第三者”从而证明等式成立.
(3)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”,还是由“倍”到“单”,或是需消去一个角,从而采取不同的变换.
(4)变名:观察函数名称的关系,采用弦切互化,降幂等方法,实现三角函数名称的变换.
【跟踪训练】
求证:
【证明】左边=
所以原等式成立.
【延伸拓展】
积化和差公式
sin αcos β=
cos αsin β= [sin(α+β)-sin(α-β)];
cos αcos β= [cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)].
和差化积公式
sin θ+sin φ =2sin cos ,
sin θ-sin φ=2cos sin ,
cos θ+cos φ=2cos cos ,
cos θ-cos φ=-2sin sin .
已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,则sin αcos β=________.
【解析】sin αcos β= sin(α+β)+ sin(α-β)=
答案:
1.(教材二次开发:例题改编)已知180°<α<360°,则cos 等于 ( )
【解析】选C.因为180°<α<360°,所以90°< <180°,cos <0,
又cos2 = ,所以cos =
课堂检测·素养达标
2.已知α∈(π,2π),则 等于 ( )
A.sin B.cos C.-sin D.-cos
【解析】选D.因为α∈(π,2π),
所以
所以
3.化简: =________.
【解析】原式=
因为 <θ<2π,所以 <π,
所以sin >0,
故原式=sin .
答案:sin
4.在△ABC中,4sin A+3cos B=5,4cos A+3sin B=2 ,求角C.
【解析】由4sin A+3cos B=5,可得16sin2A+9cos2B+
24sin Acos B=25.①,
由4cos A+3sin B=2 ,
可得16cos2A+9sin2B+24sin Bcos A=12.②,
用①+②可得25+24(sin Acos B+sin Bcos A)=37,
因为sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C,
所以24sin C=12,sin C= ,
所以C= π或C= .
因为当C= ,
即A+B= 时,A< ,所以cos A>cos = ,
所以4cos A>2 ,又sin B>0,
所以4cos A+3sin B>2 ,与题中的4cos A+3sin B=2 矛盾(舍去).故C= .(共31张PPT)
阶段提升课
第四章 三角恒等变换
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 三角函数式求值
1.求值:
【分析】切化弦,然后通分,利用和差公式,约去非特殊角,得到结果.
【解析】原式
2.(1)设α为锐角,若
求 的值.
(2)已知0<β< <α<π,且
求cos(α+β)的值.
【解析】(1)因为α为锐角且
所以
所以
(2)因为0<β< <α<π,所以
所以
所以
所以
3.已知0<α< ,0<β< ,且3sin β=sin(2α+β),
4tan =1-tan2 ,求α+β的值.
【分析】本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角,因为
2α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,可先将条件式3sin β=sin(2α+β)展开
后求α+β的正切值.
【解析】因为3sin β=sin(2α+β),
即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),
整理得2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α.
即tan(α+β)=2tan α.
又4tan =1-tan2 ,
所以tan α= tan(α+β)=2tan α=2× =1.
又0<α< ,0<β< ,所以α+β∈
所以α+β= .
【方法技巧】
三角函数求值的三种情况
(1)“给角求值”:一般给出的角都是非特殊角,从表面看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,一般用已知角表示所求角.
(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再根据角的范围,确定角.
【补偿训练】
1. 的值为 ( )
【解析】选B.原式=
2.已知 求 的值.
【解析】因为
所以
又因为
所以
题组训练二 三角函数式化简
1.化简: -2cos(α+β)=__________.
【解析】原式=
答案:
2.化简:
【解析】原式=
【方法技巧】
三角函数式的化简,主要有以下几类:(1)对三角函数的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;(2)对三角函数的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或较简式子;(3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段,以实现三角函数式的化简.
【补偿训练】
已知sin(3π+θ)= ,求
的值.
【解析】因为sin(3π+θ)=-sin θ= ,所以sin θ=- ,
原式=
题组训练三 三角恒等式的证明
证明:
【证明】方法一:
方法二:
【方法技巧】
三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明,要认真分析等式两边三角函数式的特点,找出差异,化异角为同角,化异次为同次,化异名为同名,寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明,要认真观察条件式与被证式的区别与联系,灵活使用条件等式,通过代入法、消元法等方法进行证明.
【补偿训练】
证明:
【证明】方法一:
左边=
=tan θ=右边.
方法二:
左边=
=右边.
方法三:左边=
= =tan θ=右边.
题组训练四 三角恒等变换的综合应用
1.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3 ,tan2B=tan A·tan C,则B=________.
【解析】tan B=-tan(A+C)=
所以tan3B=3 ,所以tan B= ,又因为B为三角形的内角,
所以B= .
答案:
2.设函数f(x)=sin2x+cos .
(1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合.
(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,已知cos B= ,f =- ,且C为锐角,
求sin A的值.
【解析】(1)因为f(x)=
所以当sin 2x=-1时,f(x)max= ,此时2x=2kπ- (k∈Z),
x=kπ- (k∈Z),
所以x的取值集合为
(2)因为 所以sin C= ,
因为C为锐角,所以C= .
由cos B= ,得
所以
【方法技巧】
利用三角恒等变换研究函数性质的方法步骤
(1)运用和、差、倍角公式化简.
(2)统一把f(x)化成f(x)=asin ωx+bcos ωx+k的形式.
(3)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质.
【补偿训练】
设平面向量 b=(cos x,-1),函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的最小正周期,并求出f(x)的单调递增区间.
(2)若锐角α满足 求cos 的值.
【解析】(1)由题意得f(x)=a·b= sin x·cos x+ -cos2x
= sin 2x- cos 2x=sin
所以f(x)的最小正周期为π.
由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,
得kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z.
(2)由(1)可得
因为α为锐角，所以
所以
所以