高考试题中圆锥曲线问题的类型与解法 学案
文档属性
| 名称 | 高考试题中圆锥曲线问题的类型与解法 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 5.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-22 07:07:51 | ||
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文档简介
高考试题中圆锥曲线问题的类型与解法
圆锥曲线问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有圆锥曲线的问题。从题型上看，可能是选择题或填空题，也可能是大题，难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线问题主要包括：①求圆锥曲线的标准方程；②圆锥曲线定义与几何性质的运用；③求圆锥曲线离心率的值或取值范围；④与圆锥曲线相关的最值问题；⑤直线与圆锥曲线位置关系问题；⑥圆锥曲线的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题：
【典例1】解答下列问题：
1、已知离心率为2的双曲线C：-=1（a>0，b>0）与椭圆+=1有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）（成都市2021高三零诊）
A - =1 B -=1 C - =1 D -=1
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线离心率的基本方法；③椭圆的定义与性质。
【解题思路】根据双曲线，椭圆的性质，结合问题条件得到双曲线半焦距c的值，运用求双曲线离心率e的基本方法求出a，b的值，从而得到双曲线的方程就可得出选项。
【详细解答】 双曲线C：-=1（a>0，b>0）与椭圆+=1有公共焦点，双曲线的半焦距c=2，双曲线C的离心率e= =2， a= =1，=-=4-1=3，
双曲线的方程为：- =1，C正确，选C。
2、已知抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，若位于X轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C的交点B，且-|AF|=1，则抛物线C的标准方程为 （成都市2020高三零诊）
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②直线方程的定义与求法；③求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】设点A（-，），B（，），运用抛物线的性质，结合问题条件得到==，利用问题条件得到关于p的方程，求解方程得出p的值就可求出抛物线C的标准方程。
【详细解答】如图，设点A（-，），B（， A y
），F(，0)， =，|AF| B
= |BF|，-|AF|=1， |BF|= + 0 F x
，2（1--）=-，（p-1）（+）=0，+>0，p-1=0，
P=1，抛物线C的标准方程为：=2x。
『思考题1』
（1）【典例1】是求圆锥曲线标准方程的问题，解答这类问题应该注意掌握求圆锥曲线标准方程常用的基本方法：①定义法，②待定系数法；
（2）采用定义法，需要注意椭圆2a>2c,双曲线2c>2a这一条件，尤其是问题涉及点的轨迹方程时，运用圆锥曲线的定义，会使问题解答更简捷；
（3）待定系数法求圆锥曲线标准方程的基本方法是：①作判断，判断圆锥曲线焦点所在的坐标轴，②设方程，=1（a＞b＞0）或 =1（a＞b＞0）或-=1（a>0，b>0）或-=1（a＞0，b＞0）或=2px(p>0)或=-2px(p>0)或=2py(p>0)或=-2py(p>0)或A+B=1，（A＞0，B＞0，A B），③找关系建立方程或方程组，④解方程或方程组求出，的值，⑤将，的值代入所设方程得到已知曲线的标准方程；
（4）设圆锥曲线标准方程时可以按照如下思路进行：①如果明确圆锥曲线的焦点在X轴上，标准方程设为=1（a＞b＞0）或-=1（a>0，b>0）或=2px(p>0)或=-2px
(p>0)；②如果明确圆锥曲线的焦点在Y轴上，方程设为=1（a＞b＞0）或-=1（a＞0，b＞0），或=2py(p>0)或=-2py(p>0)；③如果圆锥曲线中心在原点，焦点位置不确定在X轴上还是在Y轴上，方程设为A+B=1，（A＞0，B＞0，A B），或A+B=1，（AB<0）。
【典例2】解答下列问题：
1、点（3，0）到双曲线-=1的一条渐近线的距离为（ ）（2021全国高考甲卷文）
A B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线渐近线方程的基本方法；③点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】根据双曲线的性质和求双曲线渐近线的基本方法，结合问题条件得到双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式求出点（3，0）到渐近线的距离就可得出选项。
【详细解答】双曲线-=1的渐近线方程为：y= x，点（3，0）到双曲线-=1的一条渐近线的距离为：d= =，A正确，选A。
2、已知，为椭圆C：+=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=||，则四边形PQ的面积为 （2021全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②三角形面积公式及运用；③求四边形面积的基本方法。
【解答思路】根据椭圆的性质，结合问题条件得到关于点P坐标的方程组，求解方程组求出点P的坐标，从而得到点Q的坐标，运用三角形面积公式和求四边形面积的基本方法就可求出四边形PQ的面积。 y
【详细解答】如图，设点P（，），则点Q（-，-）， P
（-2，0），（2，0），|PQ|==2 x
=||=4①，+=1②，联立①②解得 Q
=，=，P（，），Q（-，-），直线PQ的方程为：y=x，==，=
=，=+=2=24=8。
3、（理）已知双曲线C：-=1（m>0）的一条渐近线为x+my=0，则C的焦距为 。
（文）双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 （2021全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②双曲线渐近线定义与性质；③双曲线焦距定义与性质；④点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】（理）根据双曲线和双曲线渐近线的性质，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程求出m的值，运用双曲线焦距的性质就可求出双曲线C的焦距。（文）根据双曲线的性质，求出双曲线-=1的右焦点F的坐标，运用点到直线的距离公式就可求出双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离。
【详细解答】（理）双曲线C：-=1（m>0）的一条渐近线为x+my=0，=，
m=3，=m+1=3+1=4，c=2，即双曲线C的焦距为2c=22=4。（文）=4+5=9，双曲线-=1的右焦点F的坐标为（3，0），===，双曲
线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为。
4、已知O为坐标原点，抛物线C：=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与X轴垂直，Q为X轴上一点，且PQOP，若|FQ|=6，则 C的准线方程为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②抛物线准线方程定义与性质； ③向量坐标运算法则和基本方法；④向量数量积定义与性质。
【解题思路】设点Q（，0），根据抛物线的性质，得到焦点为F，点P的坐标，从而得到，的坐标，运用向量数量积的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程求出P的值就可求出抛物线C的准线方程。
【详细解答】设点Q（，0），抛物线C：=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与X轴垂直，F（，0），P（，p），|FQ|=6，=6+，=（6，-p），
=（，p）， PQOP，.=3p-=3p(3-p)=0，p=3，抛物线C的准线方程为x=-。
5、抛物线=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为，则p=（ ）（2021全国高考新高考II）
A 1 B 2 C 2 D 4
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】根据抛物线的性质，得到焦点为F的坐标，运用点到直线的距离公式，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程求出P的值就可得出选项。
【详细解答】抛物线=2px(p>0)的焦点F（，0）到直线y=x+1的距离为，
===，即p=2，B正确，选B。
6、已知双曲线-=1（a>0，b>0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②双曲线离心率定义与性质；③双曲线渐近线定义与性质。
【解题思路】根据双曲线和双曲线离心率的性质，得到关于a，b的式子，从而求出的值就可得出双曲线的渐近线方程。
【详细解答】双曲线-=1（a>0，b>0）的离心率为2，=2，=1+=4，=，即双曲线的渐近线方程为y=x。
7、已知抛物线=4y的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，P（0，-），若PBAB，则|AF|=（ ）（成都市2021高三一诊）
A B 2 C D 3
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②已知直线上两点的坐标求直线斜率的公式及运用； ③两条直线垂直的充分必要条件及运用；④两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】设A（，），B（，），根据抛物线性质，已知直线上两点的坐标求直线斜率的公式和两条直线垂直的充分必要条件，求出点B的坐标，从而求出点A的坐标，运用两点之间的距离公式求出|AF|的值就可得出选项。 y
【详细解答】如图设A（，），B（，），点B A
在抛物线=4y上，F（0，1），P（0，-），=4①， 0 x
=，=，PBAB，. P
=-1②, 联立①②得：2+13-7=0，=，=，直线l的方程为：x=-2y+2，联
立直线l与抛物线的方程得：2-5y+2=0，=2，=-2，即A（-2，2），|AF|=
=3，D正确，选D。
8、已知F为抛物线=2x的焦点，A为抛物线上的动点，点B（-1，0），则当取最大值时，|AB|的值为（ ）（成都市2021高三二诊）
A 2 B C D 2
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②两点之间的距离公式及运用；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】设A（,y）是抛物线=2x上的动点，根据抛物线的性质和两点之间的距离公式，结合问题条件得到关于y的函数解析式，运用求函数最值的基本方法求出点A的坐标，利用两点之间的距离公式求出|AB|的值就可得出选项。
【详细解答】设A（,y）是抛物线=2x上的动点， F为抛物线=2x的焦点，点B（-1，0），F（，0），==
设+2=t，t［2，+），==，设g(t)=1+，t［2，+），（t）=- + = ,令（t）=0解得：t=4，当t［2，4）时，（t）＞0，t［4，+）时，（t）0，函数g(t)在［2，4）上单调递增，在［4，+）上单调递减，当且仅当t=4，即y= 时，取得最大值，A（1，），|AB|==
=，C正确，选C。
9、已知双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点为，点M，N在双曲线的同一条渐近线上，O为坐标原点，若直线M平行于双曲线的另一条渐近线，且ON，|M|
=|N|，则该双曲线的渐近线方程为（ ）（成都市2021高三三诊）
A y=x B y= x C y= x D y=2x
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线渐近线的定义与性质；③求双曲线渐近线方程的基本方法。
【解题思路】根据双曲线和双曲线渐近线的性质，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组求出的值，运用求双曲线渐近线方程的基本方法求出双曲线渐近线的方程就可得出选项。
【详细解答】设M（，），N（，）是双曲线渐近线y=x上的两点，
（，0），O为坐标原点，直线M平行于双曲线的另一条渐近线，且ON，|M|=|N|，=-①，=，=②，
+=（）③，联立①②③解得：= ，双曲线
-=1（a>0，b>0）的渐近线方程为：y= x，B正确，选B。
10、已知A为抛物线C：=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到Y轴的距离为9，则p=（ ）（2020全国高考新课标I）
A 2 B 3 C 6 D 9
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质。
【解题思路】根据抛物线的性质，得到关于p的方程，求解方程求出P的值就可得出选项。
【详细解答】 A为抛物线C：=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到Y轴的距离为9，+9=12，即p=6，C正确，选C。
11、已知双曲线C：- =1（a>0，b>0）的左右焦点，，离心率为，P是C上的一点，且PP，若P的面积为4，则a=（ ）（2020全国高考新课标III理）
A 1 B 2 C 4 D 8
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②三角形面积公式及运用。
【解题思路】根据双曲线的性质和三角形面积公式，结合问题条件得到关于a，c，|P|的方程组，求解方程组求出a的值就可得出选项。 y P
【详细解答】如图，e==， =5①，
P是C上的一点，且PP，若P 0 x
的面积为4， + =4②，（2a+|P|）|P|=4③，联立①②③解得：a=1，A正确，选A。
12、已知曲线C：m+n=1，则（ ）（2020全国高考新高考I）
A 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在Y轴上 B 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=x D 若m=0，n>0，则C是两条直线
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②圆定义与性质；③双曲线定义与性质；④直线定义与性质。
【解题思路】根据椭圆，圆，双曲线和直线的性质，运用判断命题真假的基本方法对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， m>n>0，<，C是椭圆，其焦点在Y轴上，A正确；对B， m=n>0， m+n=1，+=，C是圆，其半径为，B错误；对C，
mn<0，m，n一个是正数，另一个是负数，C是双曲线，其渐近线方程为y=x，
C正确；对D， m=0，n>0， m+n=1，=，C是两条与X轴平行的直线，D正确，A，C，D正确，选A，C，D。
13、已知抛物线=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点，若|MF|+|NF|=5，则线段MN中点到Y轴的距离为（ ）（成都市2020高三一诊）
A 3 B C 5 D
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②抛物线焦点的定义与确定方法；③抛物线上的点到焦点距离的定义与性质。
【解题思路】根据抛物线的定义与性质，结合抛物线上的点到焦点距离的定义与性质和抛物线的图像，就可确定线段MN中点到Y轴的距离。
【详细解答】如图，设l是抛物线=4x 的准线，过M作 y
MA l于点A，过N作NB l于点B，D是线段MN的 A M
中点，过点D作DCY轴于点C，M，N是抛物线=4x C0 F D x
上的不同两点，F是抛物线=4x 的焦|MA|+|NB|=|MF|+|NF| B N
=5，C D=（|MA|+|NB|）-1=， B正确，选B。
『思考题2』
（1）【典例2】是圆锥曲线定义与性质运用的问题，解决这类问题需要理解圆锥曲线的定义，掌握圆锥曲线的性质；
（2）椭圆和双曲线都有两个定义，解答问题时选用哪一个，应根据题给的条件和问题的特点来确定；
（3）运用圆锥曲线的性质解答问题时，应该注意问题中涉及到圆锥曲线的哪些性质，再运用这些性质去解答问题。
【典例3】解答下列问题：
1、已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且P=，|P|=3|P|，则C的离心率为（ ）（2021全国高考甲卷理）
A B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②余弦定理及运用；③求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】根据双曲线的性质和余弦定理，结合问题条件得到关于a，c的等式，运用求双曲线离心率的基本方法求出双曲线C离心率的值就可得出选项。 y P
【详细解答】如图，|P|=3|P|， |P|-|P|
=2|P|=2a，|P|=3a，|P|=a，在P中， 0 x
P=，||=2c， 4=+9-2a3a=7，==，e
=，A正确，选A。
2、设B是椭圆C：=1（a＞b＞0）的上顶点，C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是（ ）（2021全国高考乙卷）
A ［，1） B ［，1） C （0，］ D （0, ］
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆离心率的基本方法；③求圆标准方程的基本方法。
【解题思路】设点P（，）是椭圆C上任意一点，根据点B（0，b）为定点，|PB|2b，得到椭圆C与以点B为圆心，2b为半径的圆至多有一个公共点，从而得到关于a，c的不等式，化为关于椭圆C离心率e的不等式，求解不等式求出椭圆C离心率e的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设P（，）是椭圆C上的任意一点，B（0，b），|PB|2b，以点B为圆心，2b为半径的圆的标准方程为：+=4，联立椭圆C的方程与圆的方程得：
-2by+-3=0，=4［-（-3）］=4-4+=
=0，0，0＜e，C正确，选C。
3、已知点P在椭圆+=1（a>b>0）上，是椭圆的左焦点，线段P的中点在圆+=-上，记直线P的斜率为k，若k1，则椭圆离心率的最小值为 （2021成都市高三零珍）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②已知直线上两点的坐标求直线斜率的公式及运用；③椭圆离心率公式及运用；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】如图，设点P（，）是椭圆上一点，线段P的中点为M，连接P，M，根据椭圆的性质，结合问题条件得到M=a-c，从而得到M=
=，运用直线斜率公式得到关于a，c的不等式，将不等式化为关于椭圆离心率e的不等式，求解不等式求出椭圆离心率的取值范围就可求出椭圆离心率的最小值。
【详细解答】如图，设点P（，），线段P的中点为M，连接P，M，（-c，0），线段P的中点在圆+=-上，OM=c， P=2c， P=2（a-c），M=a-c， M= ，直线P的斜率为k， P y
且k1， a-c，+2e-10，
-1+e＜1， 即椭圆离心率的最小值为-1+。
4、已知平行于X轴的一条直线与双曲线=1（a＞0,b＞0）相交于P，Q两点，|PQ|=4a，
PQO=（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）（2021成都市高三一诊）
A B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线离心率的基本方法；③余弦定理及运用。
【解答思路】如图，设，分别为双曲线=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点，连接Q，Q，过点Q作QM垂直于X轴于M，根据余弦定理分别得到|Q||Q|关于a，c的表达式，从而得到|Q|关于a，c的表达式，运用勾股定理得到关于a，c的齐次方程，从而化为关于e的一元二次方程，求解方程求出双曲线离心率e的值就可得出选项。
【详细解答】如图，设，分别为双曲线 y
=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点，连接 P Q
Q，Q，过点Q作QM垂直于X轴于M， O M x
|PQ|=4a，PQO=，|O|=c，|OQ|=4a，QO=，|Q|=16+-24ac
=16+-4ac，|Q|=16+-24ac（-）=16++4ac，|Q|-|Q|=2a①, |Q|+|Q|=4c②，联立①②解得：|Q|=2c-a，在RtQM中，|QM|=2a，
|M|=c-2a，12+=，=5，e=，D正确，选D。
5、如图，椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为e，F是C的右焦点，点P是C上第一象限内任意一点，且sinPOF0)，.=0，若>e，
则离心率e的取值范围是 （2021成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆离心率的基本方法；③平面向量共线的充分必要条件及运用；④平面向量数量积的定义与性质。
【解题思路】如图，设POF=，根据点P是C上第一象限内任意一点，且sinPOFe得到关于a，b，c，的不等式，求解不等式就可求出离心率e的取值范围。
【详细解答】如图，设POF=，点P是椭圆C上第一象限内任意一点，且sinPOF0)，P（，），+=1，=
+，>e，+>，>>3，
>3=3（-），>，6、设双曲线C：-=1（a>0，b>0）的一条渐近线为y=x，则C的离心率为 （2020全国高考新课标III文）
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线渐近线的定义与性质；③求双曲线离心率的基本方法。
【解答思路】根据双曲线和双曲线渐近线的性质，结合问题条件得到关于a，b的等式，从而求出a，c之间的关系式，运用求双曲线离心率的基本方法就可求出C的离心率。
【详细解答】双曲线C：-=1（a>0，b>0）的一条渐近线为y=x， =， =2，=+=+2=3，c=a，e==，C的离心率为。
7、（理）已知F为双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于X轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为 ；
（文）设，是双曲线C：-=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，且|OP|
=2，则P的面积为（ ）（2020全国高考新课标I）
A B 3 C D 2
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直角三角形的定义与性质；③直线斜率的定义与性质；④求双曲线离心率的基本方法；⑤求三角形面积的基本方法。
【解题思路】（理）如图，连接AB，运用双曲线的性质，结合问题条件求出点B的坐标，根据直线AB的斜率为3得到关于a，c的等式，利用求双曲线离心率的基本方法就可求出双曲线C的离心率；（文）运用双曲线的性质，结合问题条件求出||的值和点P的坐标，利用求三角形面积的基本方法通过运算求出P的面积就可得出选项。 Y B
【详细解答】（理）如图，连接AB， F为双曲线
C：=1（a＞0,b＞0）的右焦点，A为C的右 0 A F
顶点，B为C上的点，且BF垂直于X轴，A（a，0），C（c，0），B（c，）， AB的斜率为3，===3，e=2，双曲线C的离心率为2。（文），是双曲线C：-=1的两个焦点，（-2，0），（2，0），||=4， O为坐标原点，点P在C上，且|OP|,=2，-=1①，+=4②，联立①②解得：x=，y=，点P（，），=4=3，B正确，选B。
8、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为（-c，0），（c，0），又点N（-c，），若双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）（2020成都市高三零诊）
A （，） B （，）
C （1，）（，+ ） D （1，）（，+ ）
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线离心率的定义与求法；③不等式的定义与解法。
【解题思路】运用双曲线的性质和双曲线离心率的基本求法，结合问题条件得到关于双曲线离心率e的不等式，求解不等式就可得出选项。
【详细解答】如图，连接N，交双曲线C的左支 N y
于点M， N（-c，），M（-c，），|M| M
-|M|=2a，|MN|=-=，|M|=2a+ 0 x
|M|=，双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，+
=>4b，4>8ab，16-40+9>09-58+65>0，
<或>5，1，C正确，选C。
9、（理）已知直线y=kx与双曲线C：=1（a＞0,b＞0）相较于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为
；
（文）已知直线y=kx与双曲线C：=1（a＞0,b＞0）相较于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C 2 D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直线与双曲线相交的定义与性质；③双曲线离心率的定义与性质；；④设而不求，整体代入数学思想的运用；⑤求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】（理）根据直线与双曲线相交的定义与性质，得出+，.关于a，c的式子，结合问题条件得到关于a，c的齐次方程，从而化为关于e的方程，求解方程就可求出双曲线C的离心率。（文）根据直线与双曲线相交的定义与性质，得出+，.关于a，c的式子，结合问题条件得到关于a，c的齐次方程，从而化为关于e的方程，求解方程求出双曲线C的离心率就可得出选项。
【详细解答】如图，设A（，），B（，），双曲线C的右焦点为，连接A，
由 y=kx，（-）=， +=0， y
-=1，.=，|AF|=3|BF|=3| A|， A
|AF|- | A| =2| A|=2a，| A|=a，|OA|=b， F 0 x
|O|=c，+=，OA=，cos B
AO=，在AF中， =+-2. cosAO ，9=4+ -4ac，12=4，=3，e=。
（文）如图，设A（，），B（，），双曲线C的右焦点为，连接A，联立y=kx与-=1得：（-）=， +=0，.=，|AF|
=3|BF|=3| A|， |AF|- | A| =2| A|=2a， y A
| A|=a，|OA|=b，|O|=c，+=，
OA=，cosAO=，在AF F 0 x
中，=+-2. cos B
AO ，9=4+ -4ac，12=4，=3，e=，B正确，选B。
10、如图，双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别是（-c，0），（c，0），直线y=与双曲线C的两条渐近线分别相较于A，B两点，若B=，则双曲线
的离心率为（ ）（2020成都市高三二诊）
A 2 B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②等腰梯形的定义与性质；③双曲线离心率的定义与基本求法。
【解答思路】题中没有确定焦点在X轴还是Y轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只考虑焦点在X轴上的情况。由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出a，c的值，然后根据椭圆离心率的公式e= 求出结果；
【详细解答】如图，过点B作BDX轴于D，联立y=-x与 y=解得x=- ，y=，
B（-，），RtBD中，D=-c+=，BD=，B=，==，=3，=+=4，==4，e=2，A正确，选A。
11、已知，是双曲线=1（a＞0,b＞0）的左右焦点，经过点且与X轴垂直
的直线与双曲线的一条渐近线相较于点A，且A，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）（2020成都市高三三诊）
A [，] B [，3] C [3，] D [，3]
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直角三角形的定义与性质；③锐角三角函数的定义与性质；④双曲线离心率的定义与基本求法。
【解答思路】运用双曲线性质，结合问题条件求出点A的坐标，从而根据直角三角形的性质得到|A|关于a，c的式子，利用锐角三角函数得到cosA关于a，c的式子，由问题条件得到关于双曲线离心率e的不等式，求解不等式求出双曲线离心率e的取值范围就可得出选项。
【详细解答】如图，连接A，联立x=c与y=x y A
解得：x=c，y=，点A的坐标为（c，），
在RtA中，||=2c，|A|=， O
|A|==，cosA===
，A，cosA， cosA
，，，e，A正确，选A。
〖思考问题3〗
（1）【典例3】圆锥曲线离心率的问题，从近几年高考试题来看，圆锥曲线离心率问题主要包括：①求已知曲线离心率的值；②求圆锥曲线离心率的取值范围两种类型；
（2）解答求圆锥曲线离心率值问题的基本方法是：①根据问题条件求出a，c的值（或得到关于a，c的齐次方程，进而化为关于e的方程）；②运用圆锥曲线离心率公式e=(或求解方程)求出圆锥曲线离心率e的值；③结合圆锥曲线离心率的取值范围得出e的值；
（3）解答求圆锥曲线离心率取值范围问题的基本方法是：①根据题给条件得到关于a，c的齐次不等式；②将①中的不等式化为关于e的不等式；③求解②中的不等式；④根据圆锥曲线离心率满足的条件求出离心率的取值范围；
（4）注意从实例解析中体会数形结合的数学思想的渗透和平面几何知识的灵活运用，同时方程，不等式思想也是解题过程中必不可缺的基本思想与方法。
【典例4】解答下列问题：
1、设B是椭圆C：+=1的上顶点，点P在椭圆C上，则|PB|的最大值为（ ）（2021全国高考乙卷）
A B C D 2
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②椭圆参数方程定义与性质；③两点之间的距离公式及运用；④求三角函数最值的基本求法。
【解答思路】根据椭圆和椭圆参数方程的性质，得到点B，P的坐标，运用两点之间的距离公式得到|PB|关于参数的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出|PB|的最大值就可得出选项。
【详细解答】 B是椭圆C：+=1的上顶点，点P在椭圆C上，B（0，1），P（cos，
sin）（是参数），|PB|==，当且仅当sin=-时，|PB|==为最大值，A正确，选A。
2、已知，是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|M|.|M|的最大值为（ ）（2021全国高考新高考I）
A 13 B 12 C 9 D 6
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②椭圆参数方程定义与性质；③两点之间的距离公式及运用；④求三角函数最值的基本求法。
【解答思路】根据椭圆和椭圆参数方程的性质，得到点，，M的坐标，运用两点之间的距离公式得到|M|.|M|关于参数的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出|M|.|M|的最大值就可得出选项。
【详细解答】已知，是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，（-，0），（，0），M（3cos，2sin）（是参数），|M|=
=，|M|=
=，|M|.|M|=.
==|5-9|，当且仅当=0时，|M|.|M|=|5-9|=9为最大值，C正确，选C。
3、设O为坐标原点，直线x=a与双曲线=1（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）（2020全国高考新课标II）
A 4 B 8 C 16 D 32
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②三角形面积公式及运用；③基本不等式及运用。
【解题思路】根据双曲线的性质，结合问题条件求出点D，E的坐标，运用三角形面积公式得到关于a，b的式子，从而求出ab的值，利用基本不等式求出+的最小值，求出双曲线C的焦距的最小值就可得出选项。
【详细解答】双曲线=1（a＞0,b＞0）的渐近线方程为y=x，直线x=a与双曲线=1（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，D（a，b），E（a，-b），|DE|=b-(-b)=2b，ODE的面积为8，=|DE|.=2ba=ab=8，+
2ab2816，双曲线C的焦距2c=22248，即当且仅当a=b=2时，双曲线C焦距取得最小值为8，B正确，选B。
4、已知曲线C： x=2cos，（为参数），若点P在曲线C上运动，点Q为直线l：x+2y-4
y=sin，=0上的动点，则|PQ|的最小值为 （成都市2020高三零诊）
【解析】
【考点】①曲线参数方程的定义与性质；②点到直线的距离公式与求法；③求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】运用曲线参数方程的性质和点到直线的距离公式，结合问题条件得到|PQ|的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出|PQ|的最小值。
【详细解答】点P在曲线C上运动，点Q为直线l：x+2y-4=0上的动点，|PQ|
==，当=2k+，即=2k+
（kZ）时， |PQ|==为最小，|PQ|的最小值为。
『思考题4』
（1）【典例4】是求圆锥曲线中最值的问题，解决这类问题的基本思路是：①注意圆锥曲线几何性质中的不等关系（标准方程中x，y的取值范围，离心率的取值范围）；②数形结合，运用函数的图像求最值问题；
（2）解决圆锥曲线中最值问题的常用方法有：①数形结合，几何意义，尤其是圆锥曲线的几何性质；②构造函数，运用求函数最值的基本方法；③运用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题；④运用一元二次方程的判别式求圆锥曲线中的最值问题。
（3）运用三角函数解答圆锥曲线的最值问题也是一种有效的方法，其基本方法是：①运用圆锥曲线的参数方程把已知曲线上的动点表示出来；②根据问题条件构造三角函数解析式；③运用求三角函数最值的基本方法求出三角函数的最值；④求出圆锥曲线中的最值。
【典例5】解答下列问题：
x=1+sin2，
1、在平面直角坐标系XOY中，已知直线l：y=k(x+1)与曲线C：y=sin+cos(为参数)在第一象限恰有两个不同的交点，在实数k的取值范围为（ ）（成都市2021高三零诊）
A （0，1） B （0，） C [，1） D [，）
【解析】
【考点】①参数方程的定义与性质；②参数方程化普通方程的基本方法；③确定直线与曲线交点的基本方法。
【解题思路】根据方程的性质和参数方程化普通方程的基本方法，结合问题条件得到曲线C的普通方程，联立直线l与曲线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用一元二次方程有两个不同正根的条件得到关于k的不等式组，求解不等式组求出实数k的取值范围就可得出选项。 x=1+sin2， y
【详细解答】曲线C：y=sin+cos(为参数)，
曲线C的普通方程为=x，联立直线l和曲线 -1 0 x
C的方程得：+（2-1）x+=0，如图，直线l：y=k(x+1)与曲线C在第一象限恰有两个不同的交点，方程+（2-1）x+=0有两个不同的正根，k>0①，=-4=4-4+1-4=-4+1>0②，>0③，联立①②③解得：
00，y=sin+cos=sin(+)>0，-<<，
< y=sin(+)<，k，综上所述，若直线l与曲线C在第一象限有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 [，），D正确，选D。
2、设双曲线=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为，，以为直径的
圆与双曲线在第一象限内的交点为P，直线P与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q，若点Q恰好为线段P的中点，则直线P的斜率的值为 （成都市2021高三二诊）
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求圆标准方程的基本方法；④已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法。
【解题思路】根据求圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出以为直径的圆的方程，从而求出点P的坐标，运用已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法求出直线P的方程，从而得出点Q的坐标，由点Q恰好为线段P的中点得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，利用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法就可求出直线P的斜率的值。
【详细解答】设Q（，-），（-c，0），点Q恰好为线段P的中点，P（2+c，-），双曲线=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为
，，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P，|OQ|=
=，|P|=，|P|=2a+=，
=4①，直线P的方程为：y=(+c)，-= (+c)②，联立①②得： 5=,=，直线P斜率k==。
3、已知F为抛物线=2px(p>0)的焦点，过点F且斜率为1的直线与抛物线相较于A，B两点，若|AF|-|BF|=，则线段AB的长为 （成都市2021高三三诊）
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②求直线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④弦长公式及运用。
【解题思路】根据求直线方程的基本方法，结合问题条件得到直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想，弦长公式得到线段AB关于p的式子，利用|AF|-|BF|=得到关于p的方程，求解方程就可求出P的值，把求出的p值代入线段AB的式子就可曲线线段AB的长。 y
【详细解答】如图，设A（，），B（，）， A
直线过点F，斜率为1，F（，0），直线的方程 0 B F x
为：y=x-，联立直线方程与抛物线方程消去y得：
-3px+=0，+=3p，.=，|AB|==
2p=4p，|AF|=+，|BF|=+，|AF|-|BF|=-==2p =，
p=，即|AB|=4p=4=2。
4、设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：=2px（p>0）交于D，E两点，若ODOE，则焦点坐标为（ ）（2020全国高考新课标III）
A （，0） B （，0） C （1，0） D （2，0）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②设而不求，整体代入数学思想及运用；③向量坐标运算的法则和基本方法；④向量数量积的定义与性质。
【解答思路】联立直线方程和抛物线方程得到关于y的一元二次方程，根据设而不求，整体代入数学思想得到+，关于p的表示式，运用向量坐标运算的法则和基本方法，向量数量积的性质得到关于p的方程，求解方程求出p的值就可得出选项。
【详细解答】设D（，），E（，），联立直线方程和抛物线方程得：-4p=0，+=0，=-4p，=（，），=（，），ODOE， .=
+=4-4p=0， p=1，抛物线C：=2px 的焦点坐标为（，0），B正确，选B。
5、斜率为的直线过抛物线C：=4x的焦点，且与C相交于A，B两点，则|AB|= （2020全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②设而不求，整体代入数学思想及运用；③弦长公式及运用。
【解答思路】根据抛物线的性质，结合问题条件得到直线的方程，联立直线和抛物线方程得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入数学思想求出+，的值，利用弦长公式就可求出|AB|的值。
【详细解答】设A（，），B（，），抛物线C：=4x的焦点为F（1，0），斜率为且过点F的直线方程是y=(x-1)，联立直线和抛物线方程得：3-10x+3=0，
+=，=1，|AB|==2=。
6、（理）经过椭圆+=1中心的直线与椭圆相交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作X轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P，则cosNMP的值是 。
（文）设直线l：y=x-1与抛物线=2px（p>0）相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为2，则p的值为 （成都市2020高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②抛物线定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④直线方程定义与性质；⑤求直线方程的基本方法；⑥已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法。
【解题思路】（理）设点M（，），根据椭圆的性质得到N（-，-），E（，0），运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，分别求出，，从而求出直线NE的方程，联立直线NE和椭圆的方程得到关于x的一元二次方程，由设而不求，整体代入数学思想得到关于，的式子，求出点P的坐标关于，的表示式，求出，从而证明直线MP与NP相互垂直，就可求出cosNMP的值。（文）根据抛物线的性质，联立直线l与抛物线的方程，得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想得到关于p的方程，求解方程就可求出p的值。 y
【详细解答】（理）如图，设点M（，），P（， M P
），则N（-，-），E（，0）， =， x
=，直线NE的方程为：y=(x-)， 联立直线NE和椭圆的方程得：（1
+）-x+-2=0，-+=，=+=(-)
=，==-=-，.=-.=-1，即MPNP，cosNMP=0。（文）设点A（，），B（，），联立直线l与抛物线的方程得：
-2（1+p）x+1=0，+=2（1+p），弦AB中点的横坐标为2，2（1+p）=4，即
P=1。
7、（理）已知点F为抛物线=2px(p>0)的焦点，经过点F且倾斜角为（0<<）的直线与抛物线相较于A，B两点，OAB（O为坐标原点）的面积为2sin，线段AB的垂直平分线与X轴相较于点M，则|FM|的值为 。
（文）已知点F为抛物线=2px(p>0)的焦点，经过点F且倾斜角为的直线与抛物线相较
于A，B两点，线段AB的垂直平分线与X轴相较于点M，则的值为 （成都市2020高三三诊）
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②设而不求，整体代入数学思想及运用；③三角形面积公式及运用；④两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】（理）根据抛物线的性质和设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到关于的三角函数式，运用三角函数求出的值，从而求出点F，M的坐标，利用两点之间的距离公式就可求出|FM|的值。（文）根据抛物线的性质和设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到关于p的式子，从而求出M的坐标，利用两点之间的距离公式得到|FM|关于p的式子就可求出的值。 y
【详细解答】（理）设A（，），B（，）， A
直线AB过点F（，0），倾斜角为， 0 F M x
直线AB的方程为：y=tan(x-)，联立直线 B
和抛物线方程消去y得：-p(+2)x+=0，.=，+
=，|AB|==
=，==，=
===2sin，=4
，P=2=2sin，+= tan(+-p)= tan
=，线段AB中点为（，），线段AB垂直平分线方程为：y-=- [x-]，令y=0得：x=，点M的坐标为：
（，0）|FM|=-===2，|FM|的值
为2。（文）设A（，），B（，）， y A
直线AB过点F（，0），倾斜角为， 0 F M x
直线AB的方程为：y= x-，联立直线和抛物 B
线方程消去y得：-3px+=0，+=3p，.=，+= +-p=2p，
线段AB中点为（，p），线段AB垂直平分线方程为：y-p=- (x-)，令y=0得：x=+p=，点M的坐标为：（，0）|FM|=-=2p，==2。
『思考题5』
（1）【典例5】是圆锥曲线与直线相交的问题，解答这类问题需要理解直线和已知曲线的定义，掌握直线方程和圆锥曲线方程的求法，明确处理直线与圆锥曲线相交问题的基本思路是联立直线和已知曲线方程消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，再运用韦达定理整体代入的数学思想；
（2）如果问题中涉及到过定点的直线时，注意需要对直线的斜率存在还是不存在的两种情况分别考虑；在实际解答问题时，为了避免分情况解答的麻烦，可直接设过定点的直线方程为：
x=my+n。
【典例6】解答下列问题：
1、抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在X轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M（2，0），M与l相切。
（1）求C，M的方程；
（2）设，，是C上的三个点，直线，均与M相切，判断与M的位置关系，并说明理由（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线方程的基本方法；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据抛物线与圆的性质和求抛物线与圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线和圆的方程；（2）如图，设（，），（，），（，），根据直线，均与M相切，得到关于，，的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断与M的位置关系。
【详细解答】（1）设抛物线的方程为 =2px（p>0），直线l：x=1交C于P，Q两点，P（1，），Q（1，-），=（1，），=（1，-）， OPOQ，.=1-2P=0，p=，抛物线C的方程为： =x，点M（2，0），M与l相切，M的方程为：+=1；如图，设（，），（，），（，），直线，的方程 y
分别为：x-y+ =0，x-y 0
+ =0，直线，均与M相
切，=1，，，是方程（-1）+2x-+3=0的两根，直线的方程为：x-(+)y+=0，点M到直线的距离
====1，直线与M相切。
2、（理）已知抛物线C：=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4（2021全国高考乙卷）。
（1）求P；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值。
（文）已知抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2。
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值。
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线切线方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤抛物线弦长公式及运用；⑥点到直线的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧求函数最值的基本方法；⑨平面向量的定义与性质；⑩已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据抛物线和圆的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程就可求出p的值；（2）根据求曲线在某点处切线方程的基本方法分别求出切线PA，PB的方程，从而求出直线AB的方程，联立直线AB与抛物线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想，弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|，点P到直线AB的距离关于点P横坐标的式子，根据三角形的面积公式得到PAB面积关于点P横坐标的函数，利用求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到PAB面积的最大值。（文）（1）根据抛物线的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程求出p的值就可求出抛物线C的方程；（2）根据平面向量的性质，结合问题条件求出点Q关于点P坐标的表示式，由点P在抛物线C上求出点Q的轨迹方程，联立直线OQ与点Q的轨迹方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用直线OQ与点Q的轨迹相切时斜率最大得到关于直线OQ斜率k的方程，求解方程就可求出直线OQ斜率的最大值。
【详细解答】（理）（1）F（0，），F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4，+3=4，p=2， p=2；（2）设A（，），B（，），P（，），由（1）知，=4y，切线PA，PB的方程分别为：y=x-, y=x-，切线PA，PB均过点P（，），=-，=-，直线AB的方程为y
=x-+=x-，联立直线AB与抛物线C的方程消去y得：-2x+4
=0，+=2，.=4，+=1，|AB|==
，==，=|AB|=
==，-5-3，当且仅当=-5时，取得最大值=20，即PAB面积的最大值为20。（文）（1）
抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2，+=p=2，抛物线C的方程为=4x；（2）设P（，），Q（x，y），直线OQ的方程为y=kx，=（x-，y-），=（1-x，-y），=9, x-=9-9x，y-=-9y，=10x-9，=10y，P（10x-9，10y），点P在抛物线C上，100=4（10x-9），点Q的轨迹方程为=x-（x>0），联立直线OQ和点Q的轨迹方程消去y得：-x+=0，当且仅当直线OQ与点Q的轨迹相切时，直线OQ的斜率最大，=-4=-
=0，k=，直线OQ斜率的最大值为。
3、在平面直角坐标系XOY中，已知点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2,
记M的轨迹为C。
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|.|TB|
=|TP|.|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件就可求出C的方程；（2）如图，设A（，），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，根据直线点斜式方程求出直线AB的方程，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，得到|TA|.|TB|关于，m的表示式，同理可得|TP|.|TQ|关于，m的表示式，联立两个表示式得到关于，的等式，求出，之间的关系就可求出直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。
【详细解答】（1）点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2, a=1，c=，=-=17-1=16，C的方程为-=1（x1）；（2）如图，设A（，
），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，直线
AB过点T（，m），斜率为，直线AB的方程为y=x-+m，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得：（16-）+（-2m）x-+m--16=0，+
=，.=，|TA|.|TB|=（1+）（-）（-）
=（1+）[-+]=-（1+）=（1+）
，同理可得|TP|.|TQ|=（1+），|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|，（1+）
=（1+），（1+）（）=（1+）（），=，，
=-，+=0，直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0。
4、已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线+=相切，证明M，N，F三点共线的充分必要条件是|MN|= ，（2021全国高考新高考II卷）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③圆的定义与性质；④设而不求，
整体代入数学思想及运用；⑤椭圆弦长公式及运用；⑥证明三点共线的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得到椭圆C的方程；（2）设M（，），N（，），①必要性，设M，N，F三点共线，直线MN的方程为x=my+，联立直线MN和椭圆C的方程消去x得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到|MN|关于m的式子，从而证明|MN|= ；②充分性，设|MN|= ，直线MN的方程为x=my+n,联立直线MN和椭圆C的方程消去x得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到|MN|关于m的式子，从而得到关于m，n的等式，求出直线MN含参数m的解析式，证明点F在直线上就可得出结论。
【详细解答】（1）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为，=，a=，=-=3-2=1，椭圆C的方程为+=1；
（2）如图，设M（，），N（，）， y
①必要性，设M，N，F三点共线，直线MN M
的方程为x=my+，联立直线MN和椭圆C的 x
方程得：（+3）+2my-1=0，+ N
=-，.=-，===1，|MN|=
==；②充分性，设|MN|= ，直线MN的方程为x=my+n, 联立直线MN和椭圆C的方程得：（+3）+2mny+ -3=0，+
=-，.=，===1，|MN|=
===,m=1，n=，直线MN的方程为x=y+，或x=-y-，当y=0时，
x=，直线MN过点F(，0)， M，N，F三点共线， M，N，F三点共线的
充分必要条件是|MN|= 。
5、在同一平面直角坐标系XOY中，圆+=4经过伸缩变换：=x，后得到曲线
=y，C。
（1）求曲线C的方程；
（2）（理）设直线l与曲线C相较于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相较于点D，且
|AD|=2，求ABD面积的最大值；（文）设曲线C与X轴和Y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与Y轴相交于点M，直线PB与X轴相交于点N，求ABM与BMN的面积之和（2021成都市高三零诊）。
【解析】
【考点】①伸缩变换的定义与性质；②椭圆的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据伸缩变换的性质，结合问题条件就可求出曲线C的方程；（2）（理）利用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点D到直线AB的距离关于参数k的式子，根据三角形的面积公式得到ABD面积关于参数k的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到ABD面积的最大值。（文）根据设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，结合问题条件得到|AN|，|BM|关于，的表示式，求出|AN|.|BM|的值，运用三角形的面积公式就可求出ABM+BMN的值。
【详细解答】（1）伸缩变换：=x， x=，+4=4，曲线C的方程
=y， y=2，为+=1；（2）设A（，），B（，），直线l的方程为：x=my+n，联立 y A D
直线l和曲线C的方程消去x得：（+4）
+2mny+-4=0，+=-，. B
=，+=m（+）+2n=-+=，点D（-，-），|AD|====2，
=，|AB|==，
==，点D与点B关于原点对称，=2=|AB|=
===，设t=，t[2，
+），=2===，当且仅当t=，即t=2时，
取得最大值=2，ABD面积的最大值为2。（文）设P（，），
点P在曲线C：+=1上，+=1， y B
直线PA的方程为：y= (x-2)，点M N A x
为（0，-），直线PB的方程为：y= x+1，点N为（-，0），|BM|
=|1+|=||，|AN|=|2+|=||，|AN||BM|=||
||=||=||=4，+
=|AO||BM|+|NO||BM|=|BM|(|AO|+|NO|)=||BM||AN|=4=2。
6、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线+=1与圆+=2相切。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记AOM，BOP的面积分别为，，求的取值范围。（文）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且|OP|= |OM|，
求ABO的面积（2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥椭圆弦长公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a,b,c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得到椭圆的方程；（2）（理）设A（，），B（，），M（，）根据设而不求，整体代入的数学思想，点O在以AB为直径的圆上，得到关于参数m，n的等式，运用已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法求出射线OM的方程，联立射线OM和椭圆C的方程求出点P的坐标，由两点之间的距离公式分别得到|OM|,|OP|关于参数m，n的表示式，利用三角形面积公式得到关于m的解析式，由求函数值域的基本方法求出的取值范围就可得到的取值范围。（文）设A（，），B（，），M（，）根据设而不求，整体代入的数学思想，已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法求出射线OM的方程，联立射线OM和椭圆C的方程求出点P的坐标，由两点之间的距离公式分别得到|OM|,|OP|关于参数m，n的表示式，结合问题条件得到关于m，n的等式，运用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式分别得到|AB|，关于m，n的表示式，利用三角形的面积公式就可求出ABO的面积。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线+=1与圆+=2相切，=①，=②，=+③，联立①②③解得：
=6，=3，椭圆C的方程为+=1；（2）（理）设A（，），B（，），M（，），直线l的方程为x=my+n，联立直线l和椭圆C的方程得：（+2）+2mny+
-6=0，+=-，.=，+=m（+）+2n=+
=，=，=-，M（，-），|OM|
=，=（，），=（，），点O在以AB为直径的圆上，
.=.+.=（1+）.+mn（+）+=-
+==0，=2+2，A，B是不同两点，=4
-4（+2）（-6）=8（3-+6）>0，<3+4，=2+2满足条件，射线OM的方程为y=-x，联立射线OM和椭圆C的方程得：=，=，|OP|=，==|OA|.|OM|，==|OB|.|OP|，M为线段AB的中点，====
+22, 0<，1-<1，=<，即的取值范围是[，）。（文）设A（，），B（，），M（，），直线l的方程为x=my+n，联立直线l和椭圆C的方程得：（+2）+2mny+
-6=0，+=-，.=，+=m（+）+2n=+
=，=，=-，M（，-），|OM|
=，射线OM的方程为y=-x，联立射线OM和椭圆C的方程得：= ， =，|OP|=，|OP|= |OM|，
=，（+4）（5--2）=0，=+，A，
B是不同两点，=4-4（+2）（-6）=8（3-+6）>0，<3+4，=+满足条件，|AB|=
=，==，=|AB|.=
.===，即ABO的面积为。
7、已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，求DEG的面积S的取值范围。（文）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，记BEG与BDG的面积分别为，，求|-|的最大值（2021成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④椭圆弦长公式及运用；⑤两点之间的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数值域（或最值）的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得到椭圆的方程；（2）（理）设D（，），E（，），F（，-），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线DF的方程，从而求出点G的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想，两点之间的距离公式和椭圆的弦长公式求出|BG|关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到DEG面积关于参数m的函数，由求函数值域的基本方法求出函数的值域就可得到DEG面积的取值范围。（文）设D（，），E（，），F（，-），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线DF的方程，从而求出点G的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想，两点之间的距离公式和椭圆的弦长公式求出|BG|关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到BEG与BDG面积，关于参数m的表示式，从而得到|-|关于m的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最大值就可得到|-|的最大值。
【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2，
a=2①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的方程为+=1；
（2）（理）设D（，），E（，），F（，-），直线l过点B（-1，0），直线l的方程为x=my-1，联立直线l和椭圆C的方程得：（+4）-2my-3=0， +
=，.=-，直线DF的方程为y-=(x-)，令y=0，x=-
====-4，G（-4，0），|BG|=-1-（-4）=3，=|BG||-|=3=，令t=
，t（,+），0<==<，DEG的面积S的取值范围是（0，）。（文）设D（，），E（，），F（，-），直线l过点B（-1，0），直线l的方程为x=my-1，联立直线l和椭圆C的方程得：（+4）-2my-3=0， +=，.=-，直线DF的方程为y-=(x-)，令y=0，x=-
====-4，G（-4，0），|BG|=-1-（-4）=3，=|BG|，=|BG|（-），0<|-|=|BG||+|=||
=，|-|的最大值为。
8、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2（2021成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若AM与BN面积相等，求直线l的方程。
（文）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若|MA|=|BN|，求直线l的方程。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间的距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可求出椭圆C的方程；（2）（理）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MN|关于参数m的表示式，利用点到直线的距离公式和三角形面积公式得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。（文）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MA|，|BN|关于参数m的表示式，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2，2ab=2①，===2②，
=+③，联立①②③解得：=5，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）（理）
设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，
联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，
直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MN|=
=，==，=-=,|MN|
. -|M|.||=|M|.||，.=（2+3）|+|=，
5（+5）=6（+1），m=，直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。
（文）设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，
联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，
直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MA|=|BN|，|-0|=|
-|，点A，B在点M，N之间，+=，=， m=，即直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。
9、已知A，B分别为椭圆E：+=1（a>1）的左，右顶点，G为E上顶点，.=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D。
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点（2020全国高考新课标I）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③求直线方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤证明直线过定点的基本方法。
【解题思路】（1）运用椭圆的性质和求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出的值，从而得到椭圆E的标准方程；（2）如图，设C（，），D（，），P（6，），运用求直线方程的基本方法求出直线PA，PB的方程，从而得到点C，D关于参数的坐标，根据求直线方程的基本方法求出直线CD的方程，利用证明直线过定点的基本方法证明直线CD过定点。
【详细解答】（1） A，B分别为椭圆E：+=1（a>1）的左，右顶点，G为E上顶点，A（-a，0），B（a，0），G（0，1），=（a，1），=（a，-1），.=-1=8，=9，即：椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图，设C（，），D（，），P（6，），直线CD的方程为；x=my+n，由 y G P
（1）知，A（-3，0），B（3，0），直线PA，PB C
的方程分别为：y=(x+3)，y=(x-3)，= A B x
D
（+3），=（-3），3（-3）=（+3），点C，D在椭圆E上，=1-，=1-，=，=，27=-（+3）（+3），（27+）+m（n+3）(+)+=0①，联立直线CD和椭圆E的方程得：（+9）+2nmy+-9=0，+=-，.=②，联立①②得：（27+）（-9）-2n（n+3）+（+9）=0，n=-3，或n=,-310、已知椭圆：=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与X轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且|CD|
=|AB|（2020全国高考新课标II）。
（1）求的离心率；
（2）（理）设M是与的公共点，若|MF|=5，求与的标准方程。（文）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与求法；②求椭圆标准方程的基本方法；③抛物线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤弦长公式及运用；⑥求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用椭圆和抛物线的性质，弦长公式，设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到关于a，c的等式，利用求椭圆离心率的基本方法就可求出求出的离心率；（2）（理）设点M（，），由（1）得：a=2c，从而得到值含参数c的椭圆，抛物线的方程，根据点M是椭圆，抛物线的公共点得到关于的一元二次方程，结合问题条件得到关于的等式，求出关于参数c的表示式，把代入一元二次方程得到关于参数c的方程，求解方程求出参数c的值就可求得与的标准方程。（文）设点M（，），由（1）得：a=2c，从而得到值含参数c的椭圆，抛物线的方程，根据点M是椭圆，抛物线的公共点得到关于的一元二次方程，结合问题条件得到关于的等式，求出关于参数c的表示式，把代入一元二次方程得到关于参数c的方程，求解方程求出参数c的值就可求得与的标准方程。
【详细解答】（1）椭圆：=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与X轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D
两点，A（c，），B（c，-），C（c，2c），D（c，-2c），|AB|=，|CD|
=4c，|CD|=|AB|，4c=，3ac=2=2（-），2+3e-2=0,
e=，的离心率为；（2）（理）如图设点M（，），由（1）得：a=2c，椭圆的方程为：+=1，抛物线的方程为：=4cx，点M（，）是与的公共点，+=1，=4c，+=1，|MF|= c+=5，=5-c，+=1，-2c-3=0，c=3，椭圆的标准方程为：+=1，抛物线的标准方程为：=12x。（文）如图设点M（，），由（1）得：a=2c，椭圆的方程为：+=1，抛物线的方程为：=4cx，点M（，）是与的公共点，+=1，=4c，+=1，的四个顶点到的准
线距离之和为12，3c+c+c+c=6c=12，c=2，椭圆的标准方程为：+=1，抛
物线的标准方程为：=8x。
11、已知椭圆C：+ =1（0（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求APQ的面积（2020全国高考新课标III）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④求直线方程的基本方法；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥两点之间的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出的值就可得到椭圆的标准方程；（2）设点P（，），Q（6，），根据等腰直角三角形的性质，直线垂直直线的性质和两点之间的距离公式，结合问题条件得到关于，，的方程组，求解方程组求出，，的值，利用三角形的面积公式通过运算就可求出APQ的面积。
【详细解答】（1）椭圆C：+ =1（0==，25=+，=25-=，即椭圆C的方程为：+=1；
（2）如图设点P（，），Q（6，），A（-5，0），B（5，0），|BP|=|BQ|，BP BQ，点P在C上，.=-1①，+ =1②，= ③，联立①②③解得：=3，=1，=2，或=-3，=1，=8，P（3，1），Q（6，2），或P（-3，1），Q（6，8），|AQ|==5，或|AQ|=
=，直线AQ的方程为：2x-11y+10=0，或8x-11y+40=0，=
=，或==，=|AQ|.=5=,
或=|AQ|.==,综上所述APQ的面积为。
12、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值（2020全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）如图设M（，），N（，），运用椭圆的性质和设而不求，整体代入的数学思想得到关于m，n的等式，从而求出直线MN的方程，由直线MN的方程可得直线MN过定点P，取线段AP的中点为Q就可证明结论。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1），=①，+=1②，联立①②解得：=6，=3，椭圆C的标准方程为：
+=1；（2）如图设M（，），N（，），直线MN的方程为：x=my+n，联立直线MN和椭圆C的方程消去x得：（2+ ）+2mny+ -6=0，+=-，
.=，+=m（+）+2n=-+=，.
=.+mn（+）+=-+=，
AM AN，=（-2，-1），=（-2，-1），.=（-2）（-2）
+（-1）（-1）=.-2（+）+4+.-（+）+1=-+
++==0，（3n-m-2）(n+m-2)=0，点A（2，1）不在直线MN上，2m+n，即n+m-20，3n-m-2=0，m=3n-2，直线MN的方程为：x=(3n-2)y+n，令y=-得x=，直线MN过定点P（，-），取AP的中点
Q（，），①若点P与点D重合，则|QD|==；②若点P与点D不重合，AP是RtADP的斜边，|QD|=|AP|==
=，综上所述，存在点Q（，），使得|QD|=为定值。
13、已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为（2020全国高考新高考II）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）N为椭圆上任意一点，求AMN面积的最大值。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③求直线方程的基本方法；④点到直线的距离公式及运用；⑤两点之间的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）设点N（x，y），根据椭圆的性质，点到直线的距离公式和两点之间的距离公式，结合问题条件求出|AM|的值，得到点N到直线AM的距离关于角的三角函数式，由三角形的面积公式得到AMN面积关于角的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出AMN面积的最大值。
【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为，+=1①，==②，联立①②解得：=16，=12，椭圆C的标准方程为：+=1；（2）如图设点N（x，y），点A（-4，0），点N为椭圆C上任意一点，|AM|==3，N（4cos，2sin）（
），直线AM的方程为：x-2y+4=0，=
=，=|AM|.=3
=6，当且仅当=，即=时，取得最大值为18，
AMN面积的最大值为18。
14、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0），
且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P
关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。
（文）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）利用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|PQ|，点D到直线PQ的距离关于参数k的式子，根据三角形的面积公式得到DPQ面积关于参数k的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到DPQ面积的最大值。（文）利用设而不求，整体代入的数学思想，求直线方程的基本方法求出直线Q的方程，运用证明直线过定点的基本方法证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
【详细解答】（1）c=，A（，）在椭圆C上，=+3①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的标准方程为+=1；（2）（理）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4，由
x=my+4，得（+4）+8my+12=0，+=-，.=，|PQ|=.
+=1， ==，点
P关于X轴对称的点为，（，-），直线Q的方程为，y-=(x-)，令y=0得x=-==
==4+=4-3=1，点D（1，0），==，
P，Q是不同的两点，=64-48（4+）=16-1612>0，>12，
=|PQ|.=.=，设t=，t（0，
+），===，当且仅当t=4，即m=2时，等号成立，DPQ面积的最大值为。（2）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，且过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4由 x=my+4，得（+4）+8my
+=1，+12=0，+ =-，.=，点P关于X轴对称的点为，（，-），直线Q的方程为，y-= (x-)，令y=0得x=-=
===4+=4-3=1为定值，直线Q经过X轴上一定点D，且定点D的坐标为（1，0）。
15、（理）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，求|AB|.|CD|的取值范围。
（文）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P（1，）在椭圆E上。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，当|AB|.|CD|的值为8时，求直线l的方程（2020成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤椭圆弦长公式及运用；⑥圆弦长公式及运用；⑦求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）设A（，），B（，），根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到|AB|，|CD|关于参数m的式子，从而得到|AB|.|CD|关于参数m的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出|AB|.|CD|的取值范围；（文）设A（，），B（，），P（，）根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程求出m的值就可得到直线l的方程。
【详细解答】（理）（1）设P（，），椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|，=+1①，+=1②，. =-1③，2=a④，联立①②③④解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由 +=1，得：（2+ ）+2my-1=0，+=-，.=-，
x=my+1，|AB|=.=，+
=2，直线l：x=my+1(mR)与圆+=相较于C，D两点，==，
|CD|=4（2-）=，|AB|.|CD|=.=
=8（2-），2-<2，48（2-）<16，即|AB|.|CD|的取值范围是[4，16）。（文）（1）椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P（1，）在椭圆E上，=+1①，+=1②，联立①②解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由+=1，得：（2+ ）+2my-1=0，+=-，
x=my+1，.=-，|AB| =.
=，+=2，直线l：x=my+1 (mR)与圆+=相较于C，D两点，==，|CD|=4（2-）=，|AB|.|CD|=
.==8，=1，m=1，当|AB|.|CD|的值为8时，直线l的方程为：x-y-1=0或x+y-1=0。
16、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上（2020成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过圆O：+=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相较于异于点P的M，N两点。
（理）①求证：+=0；②求OAB的面积的取值范围。（文）①当直线PA，PB的斜率都存在时，记直线PA，PB斜率分别为，，求证：.=-1；②求的取值范围。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③圆的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤椭圆切线的定义与性质；⑥直线斜率的定义与基本求法；⑦椭圆弦长公式及运用；⑧点到直线的距离公式及运用；⑨三角形面积公式及运用；⑩求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）①如图设P（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率，关于，的式子，根据点P在圆O上，证明直线PM垂直直线PN，利用圆的性质就可证明+=0；②如图设A（，），B（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率关于，的式子，关于，的式子，从而得到直线PA，PB的方程，根据点P在直线PA，PB上，得到关于，，，，，的等式，从而求出直线AB的方程，联立直线AB和椭圆C的方程，得到关于x的一元二次方程，从而由题意弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|, 的值，根据三角形的面积公式得到OAB的面积关于的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出OAB面积的取值范围；（文）①如图设P（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率，关于，的式子，根据点P在圆O上就可证明.=-1；②如图设A（，），B（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率关于，的式子，关于，的式子，从而得到直线PA，PB的方程，根据点P在直线PA，PB上，得到关于，，，，，的等式，从而求出直线AB的方程，联立直线AB和椭圆C的方程，得到关于x的一元二次方程，从而由题意弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|关于的式子,根据直线PAPB得到MN是圆O的直径求出|MN|的值，从而得到关于的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出的取值范围。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上，=+3①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）（理）①如图设P（，），（i）当直线PA，PB的斜率存在时，设过点P（，）与椭圆C相切的直线方程为：y=k(x-)+，联立直线和椭圆方程消去y得：（1+4）+8k（-k）x+4-4=0，直线与椭圆相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，
设直线PA，PB的斜率分别为，，点P（，）在圆O：+=5上，+=5，
.===-1，PAPB，即MN是圆O的直径，+=0；（ii）当直线PA或直线PB的斜率不存在时，当y=1时，=5-1=4，x=2或x=-2，点（2，1），（-2，1）在圆O上，取P（2，1），直线PA的方程为：x=2，直线PB的方程为：y=1，点M（2，1），N（-2，1），=（2，-1），=（-2，1），+=0也成立，综上所述，+=0；②如图设A（，），B（，），（i）当直线PA的斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA的方程为：y=（x-）+，联立直线PA与椭圆C的方程消去y得：（1+4）+8（-）x+4-4=0，直线PA与椭圆C相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，=-=-=-，直线PA的方程为；y=-（x-）+，即：+y-1=0，（ii）当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为：x=2或
x=-2，也满足+y-1=0，直线PA的方程为：+y-1=0，同理可得直线PB的方程为：+y-1=0，点P（，）在直线PA，PB上，+-1=0，+-1=0，直线AB的方程为：+y-1=0，联立直线AB和椭圆C的方程消去y得：（3+5）-8x+16-16=0, +=,.=,|AB|=
. ==，
==,=.=,
令t=，t[1，4]，则==， t[1，4]，[4，5]，即：OAB面积的取值范围是[，1]。（文）①如图设P（，），当直线PA，PB的斜率存在时，设过点P（，）与椭圆C相切的直线方程为：y=k(x-)+，联立直线和椭圆方程消去y得：（1+4）+8k（-k）x+4-4=0，直线与椭圆相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，直线PA，PB的斜率分别为，，点P（，）在圆O：+=5上，+=5，即： .===-1，②如图设A（，），B（，），（i）当直线PA的斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA的方程为：y=（x-）+，联立直线PA与椭圆C的方程消去y得：（1+4）+8（-）x+4-4=0，直线PA与椭圆C相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，=-=-=-，直线PA的方程为；y=-（x-）+，即：+y-1=0，（ii）当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为：x=2或x=-2，也满足+y-1=0，直线PA的方程为：+y-1=0，同理可得直线PB的方程为：+y-1=0，点P（，）在直线PA，PB上，+-1=0，+-1=0，直线AB的方程为：+y-1=0，联立直线AB和椭圆C的方程消去y得：（3+5）-8x+16-16=0, +=,.=，|AB|=
.= =，直线PAPB，MN是圆O的直径|MN|=2，==1-， [0，5]，[，]，1-[，]，的取值范围是 [，]。
『思考问题6』
（1）【典例6】是圆锥曲线综合问题，从近几年高考试题来看，归结起来圆锥曲线综合问题主要包括：①求直线的方程（或直线斜率的值或直线斜率的取值范围）；②求多边形面积的值（或取值范围或最值）；③求某一式子的值（或取值范围）；④求点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤证明直线过定点（点在定直线上）等几种类型；
（2）求直线的方程（或直线斜率的值或直线斜率的取值范围）问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）；
（3）解答求直线的方程（或直线斜率的值或直线斜率的取值范围）的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），然后运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④结合问题条件得到关于参数k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数k（或m）的值；⑥得出问题的结果；
（4）求多边形面积的值（或取值范围或最值）问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是多边形面积的值（或取值范围或最值）；
（5）解答求多边形面积的值（或取值范围或最值）的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果；
（5）求某一式子的值（或取值范围）问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某一式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值；
（7）解答求某一式子的值（或取值范围）的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数得到关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数的值（或值域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；⑥得出问题的结果；
（8）求点的坐标（或点的轨迹方程）问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某点的坐标（或点的轨迹方程）；
（9）解答求点的坐标（或点的轨迹方程）的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程得到方程组，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把点的坐标表示成关于参数k（或m）的式子；⑤求出参数的值得到点的坐标（或消去参数得到点的轨迹方程）；⑥得出问题的结果；
（10）证明直线过定点（点在定直线上）问题的特征是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线过定点（或点在定直线上）；
（11）解答证明直线过定点（点在定直线上）问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把直线方程（或某点的坐标）表示成关于参数k（或m）的式子；⑤确定直线存在与参数k（或m）无关的点（定点）（或把某点的坐标代入给定的直线方程验证）；⑥得出问题的结果。
0
M
x x
0 E
F
O F
o
O
M
O
O
圆锥曲线问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有圆锥曲线的问题。从题型上看，可能是选择题或填空题，也可能是大题，难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线问题主要包括：①求圆锥曲线的标准方程；②圆锥曲线定义与几何性质的运用；③求圆锥曲线离心率的值或取值范围；④与圆锥曲线相关的最值问题；⑤直线与圆锥曲线位置关系问题；⑥圆锥曲线的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题：
【典例1】解答下列问题：
1、已知离心率为2的双曲线C：-=1（a>0，b>0）与椭圆+=1有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）（成都市2021高三零诊）
A - =1 B -=1 C - =1 D -=1
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线离心率的基本方法；③椭圆的定义与性质。
【解题思路】根据双曲线，椭圆的性质，结合问题条件得到双曲线半焦距c的值，运用求双曲线离心率e的基本方法求出a，b的值，从而得到双曲线的方程就可得出选项。
【详细解答】 双曲线C：-=1（a>0，b>0）与椭圆+=1有公共焦点，双曲线的半焦距c=2，双曲线C的离心率e= =2， a= =1，=-=4-1=3，
双曲线的方程为：- =1，C正确，选C。
2、已知抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，若位于X轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C的交点B，且-|AF|=1，则抛物线C的标准方程为 （成都市2020高三零诊）
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②直线方程的定义与求法；③求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】设点A（-，），B（，），运用抛物线的性质，结合问题条件得到==，利用问题条件得到关于p的方程，求解方程得出p的值就可求出抛物线C的标准方程。
【详细解答】如图，设点A（-，），B（， A y
），F(，0)， =，|AF| B
= |BF|，-|AF|=1， |BF|= + 0 F x
，2（1--）=-，（p-1）（+）=0，+>0，p-1=0，
P=1，抛物线C的标准方程为：=2x。
『思考题1』
（1）【典例1】是求圆锥曲线标准方程的问题，解答这类问题应该注意掌握求圆锥曲线标准方程常用的基本方法：①定义法，②待定系数法；
（2）采用定义法，需要注意椭圆2a>2c,双曲线2c>2a这一条件，尤其是问题涉及点的轨迹方程时，运用圆锥曲线的定义，会使问题解答更简捷；
（3）待定系数法求圆锥曲线标准方程的基本方法是：①作判断，判断圆锥曲线焦点所在的坐标轴，②设方程，=1（a＞b＞0）或 =1（a＞b＞0）或-=1（a>0，b>0）或-=1（a＞0，b＞0）或=2px(p>0)或=-2px(p>0)或=2py(p>0)或=-2py(p>0)或A+B=1，（A＞0，B＞0，A B），③找关系建立方程或方程组，④解方程或方程组求出，的值，⑤将，的值代入所设方程得到已知曲线的标准方程；
（4）设圆锥曲线标准方程时可以按照如下思路进行：①如果明确圆锥曲线的焦点在X轴上，标准方程设为=1（a＞b＞0）或-=1（a>0，b>0）或=2px(p>0)或=-2px
(p>0)；②如果明确圆锥曲线的焦点在Y轴上，方程设为=1（a＞b＞0）或-=1（a＞0，b＞0），或=2py(p>0)或=-2py(p>0)；③如果圆锥曲线中心在原点，焦点位置不确定在X轴上还是在Y轴上，方程设为A+B=1，（A＞0，B＞0，A B），或A+B=1，（AB<0）。
【典例2】解答下列问题：
1、点（3，0）到双曲线-=1的一条渐近线的距离为（ ）（2021全国高考甲卷文）
A B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线渐近线方程的基本方法；③点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】根据双曲线的性质和求双曲线渐近线的基本方法，结合问题条件得到双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式求出点（3，0）到渐近线的距离就可得出选项。
【详细解答】双曲线-=1的渐近线方程为：y= x，点（3，0）到双曲线-=1的一条渐近线的距离为：d= =，A正确，选A。
2、已知，为椭圆C：+=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=||，则四边形PQ的面积为 （2021全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②三角形面积公式及运用；③求四边形面积的基本方法。
【解答思路】根据椭圆的性质，结合问题条件得到关于点P坐标的方程组，求解方程组求出点P的坐标，从而得到点Q的坐标，运用三角形面积公式和求四边形面积的基本方法就可求出四边形PQ的面积。 y
【详细解答】如图，设点P（，），则点Q（-，-）， P
（-2，0），（2，0），|PQ|==2 x
=||=4①，+=1②，联立①②解得 Q
=，=，P（，），Q（-，-），直线PQ的方程为：y=x，==，=
=，=+=2=24=8。
3、（理）已知双曲线C：-=1（m>0）的一条渐近线为x+my=0，则C的焦距为 。
（文）双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 （2021全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②双曲线渐近线定义与性质；③双曲线焦距定义与性质；④点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】（理）根据双曲线和双曲线渐近线的性质，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程求出m的值，运用双曲线焦距的性质就可求出双曲线C的焦距。（文）根据双曲线的性质，求出双曲线-=1的右焦点F的坐标，运用点到直线的距离公式就可求出双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离。
【详细解答】（理）双曲线C：-=1（m>0）的一条渐近线为x+my=0，=，
m=3，=m+1=3+1=4，c=2，即双曲线C的焦距为2c=22=4。（文）=4+5=9，双曲线-=1的右焦点F的坐标为（3，0），===，双曲
线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为。
4、已知O为坐标原点，抛物线C：=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与X轴垂直，Q为X轴上一点，且PQOP，若|FQ|=6，则 C的准线方程为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②抛物线准线方程定义与性质； ③向量坐标运算法则和基本方法；④向量数量积定义与性质。
【解题思路】设点Q（，0），根据抛物线的性质，得到焦点为F，点P的坐标，从而得到，的坐标，运用向量数量积的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程求出P的值就可求出抛物线C的准线方程。
【详细解答】设点Q（，0），抛物线C：=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与X轴垂直，F（，0），P（，p），|FQ|=6，=6+，=（6，-p），
=（，p）， PQOP，.=3p-=3p(3-p)=0，p=3，抛物线C的准线方程为x=-。
5、抛物线=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为，则p=（ ）（2021全国高考新高考II）
A 1 B 2 C 2 D 4
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】根据抛物线的性质，得到焦点为F的坐标，运用点到直线的距离公式，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程求出P的值就可得出选项。
【详细解答】抛物线=2px(p>0)的焦点F（，0）到直线y=x+1的距离为，
===，即p=2，B正确，选B。
6、已知双曲线-=1（a>0，b>0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②双曲线离心率定义与性质；③双曲线渐近线定义与性质。
【解题思路】根据双曲线和双曲线离心率的性质，得到关于a，b的式子，从而求出的值就可得出双曲线的渐近线方程。
【详细解答】双曲线-=1（a>0，b>0）的离心率为2，=2，=1+=4，=，即双曲线的渐近线方程为y=x。
7、已知抛物线=4y的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，P（0，-），若PBAB，则|AF|=（ ）（成都市2021高三一诊）
A B 2 C D 3
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②已知直线上两点的坐标求直线斜率的公式及运用； ③两条直线垂直的充分必要条件及运用；④两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】设A（，），B（，），根据抛物线性质，已知直线上两点的坐标求直线斜率的公式和两条直线垂直的充分必要条件，求出点B的坐标，从而求出点A的坐标，运用两点之间的距离公式求出|AF|的值就可得出选项。 y
【详细解答】如图设A（，），B（，），点B A
在抛物线=4y上，F（0，1），P（0，-），=4①， 0 x
=，=，PBAB，. P
=-1②, 联立①②得：2+13-7=0，=，=，直线l的方程为：x=-2y+2，联
立直线l与抛物线的方程得：2-5y+2=0，=2，=-2，即A（-2，2），|AF|=
=3，D正确，选D。
8、已知F为抛物线=2x的焦点，A为抛物线上的动点，点B（-1，0），则当取最大值时，|AB|的值为（ ）（成都市2021高三二诊）
A 2 B C D 2
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②两点之间的距离公式及运用；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】设A（,y）是抛物线=2x上的动点，根据抛物线的性质和两点之间的距离公式，结合问题条件得到关于y的函数解析式，运用求函数最值的基本方法求出点A的坐标，利用两点之间的距离公式求出|AB|的值就可得出选项。
【详细解答】设A（,y）是抛物线=2x上的动点， F为抛物线=2x的焦点，点B（-1，0），F（，0），==
设+2=t，t［2，+），==，设g(t)=1+，t［2，+），（t）=- + = ,令（t）=0解得：t=4，当t［2，4）时，（t）＞0，t［4，+）时，（t）0，函数g(t)在［2，4）上单调递增，在［4，+）上单调递减，当且仅当t=4，即y= 时，取得最大值，A（1，），|AB|==
=，C正确，选C。
9、已知双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点为，点M，N在双曲线的同一条渐近线上，O为坐标原点，若直线M平行于双曲线的另一条渐近线，且ON，|M|
=|N|，则该双曲线的渐近线方程为（ ）（成都市2021高三三诊）
A y=x B y= x C y= x D y=2x
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线渐近线的定义与性质；③求双曲线渐近线方程的基本方法。
【解题思路】根据双曲线和双曲线渐近线的性质，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组求出的值，运用求双曲线渐近线方程的基本方法求出双曲线渐近线的方程就可得出选项。
【详细解答】设M（，），N（，）是双曲线渐近线y=x上的两点，
（，0），O为坐标原点，直线M平行于双曲线的另一条渐近线，且ON，|M|=|N|，=-①，=，=②，
+=（）③，联立①②③解得：= ，双曲线
-=1（a>0，b>0）的渐近线方程为：y= x，B正确，选B。
10、已知A为抛物线C：=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到Y轴的距离为9，则p=（ ）（2020全国高考新课标I）
A 2 B 3 C 6 D 9
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质。
【解题思路】根据抛物线的性质，得到关于p的方程，求解方程求出P的值就可得出选项。
【详细解答】 A为抛物线C：=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到Y轴的距离为9，+9=12，即p=6，C正确，选C。
11、已知双曲线C：- =1（a>0，b>0）的左右焦点，，离心率为，P是C上的一点，且PP，若P的面积为4，则a=（ ）（2020全国高考新课标III理）
A 1 B 2 C 4 D 8
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②三角形面积公式及运用。
【解题思路】根据双曲线的性质和三角形面积公式，结合问题条件得到关于a，c，|P|的方程组，求解方程组求出a的值就可得出选项。 y P
【详细解答】如图，e==， =5①，
P是C上的一点，且PP，若P 0 x
的面积为4， + =4②，（2a+|P|）|P|=4③，联立①②③解得：a=1，A正确，选A。
12、已知曲线C：m+n=1，则（ ）（2020全国高考新高考I）
A 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在Y轴上 B 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=x D 若m=0，n>0，则C是两条直线
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②圆定义与性质；③双曲线定义与性质；④直线定义与性质。
【解题思路】根据椭圆，圆，双曲线和直线的性质，运用判断命题真假的基本方法对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， m>n>0，<，C是椭圆，其焦点在Y轴上，A正确；对B， m=n>0， m+n=1，+=，C是圆，其半径为，B错误；对C，
mn<0，m，n一个是正数，另一个是负数，C是双曲线，其渐近线方程为y=x，
C正确；对D， m=0，n>0， m+n=1，=，C是两条与X轴平行的直线，D正确，A，C，D正确，选A，C，D。
13、已知抛物线=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点，若|MF|+|NF|=5，则线段MN中点到Y轴的距离为（ ）（成都市2020高三一诊）
A 3 B C 5 D
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②抛物线焦点的定义与确定方法；③抛物线上的点到焦点距离的定义与性质。
【解题思路】根据抛物线的定义与性质，结合抛物线上的点到焦点距离的定义与性质和抛物线的图像，就可确定线段MN中点到Y轴的距离。
【详细解答】如图，设l是抛物线=4x 的准线，过M作 y
MA l于点A，过N作NB l于点B，D是线段MN的 A M
中点，过点D作DCY轴于点C，M，N是抛物线=4x C0 F D x
上的不同两点，F是抛物线=4x 的焦|MA|+|NB|=|MF|+|NF| B N
=5，C D=（|MA|+|NB|）-1=， B正确，选B。
『思考题2』
（1）【典例2】是圆锥曲线定义与性质运用的问题，解决这类问题需要理解圆锥曲线的定义，掌握圆锥曲线的性质；
（2）椭圆和双曲线都有两个定义，解答问题时选用哪一个，应根据题给的条件和问题的特点来确定；
（3）运用圆锥曲线的性质解答问题时，应该注意问题中涉及到圆锥曲线的哪些性质，再运用这些性质去解答问题。
【典例3】解答下列问题：
1、已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且P=，|P|=3|P|，则C的离心率为（ ）（2021全国高考甲卷理）
A B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②余弦定理及运用；③求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】根据双曲线的性质和余弦定理，结合问题条件得到关于a，c的等式，运用求双曲线离心率的基本方法求出双曲线C离心率的值就可得出选项。 y P
【详细解答】如图，|P|=3|P|， |P|-|P|
=2|P|=2a，|P|=3a，|P|=a，在P中， 0 x
P=，||=2c， 4=+9-2a3a=7，==，e
=，A正确，选A。
2、设B是椭圆C：=1（a＞b＞0）的上顶点，C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是（ ）（2021全国高考乙卷）
A ［，1） B ［，1） C （0，］ D （0, ］
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆离心率的基本方法；③求圆标准方程的基本方法。
【解题思路】设点P（，）是椭圆C上任意一点，根据点B（0，b）为定点，|PB|2b，得到椭圆C与以点B为圆心，2b为半径的圆至多有一个公共点，从而得到关于a，c的不等式，化为关于椭圆C离心率e的不等式，求解不等式求出椭圆C离心率e的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设P（，）是椭圆C上的任意一点，B（0，b），|PB|2b，以点B为圆心，2b为半径的圆的标准方程为：+=4，联立椭圆C的方程与圆的方程得：
-2by+-3=0，=4［-（-3）］=4-4+=
=0，0，0＜e，C正确，选C。
3、已知点P在椭圆+=1（a>b>0）上，是椭圆的左焦点，线段P的中点在圆+=-上，记直线P的斜率为k，若k1，则椭圆离心率的最小值为 （2021成都市高三零珍）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②已知直线上两点的坐标求直线斜率的公式及运用；③椭圆离心率公式及运用；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】如图，设点P（，）是椭圆上一点，线段P的中点为M，连接P，M，根据椭圆的性质，结合问题条件得到M=a-c，从而得到M=
=，运用直线斜率公式得到关于a，c的不等式，将不等式化为关于椭圆离心率e的不等式，求解不等式求出椭圆离心率的取值范围就可求出椭圆离心率的最小值。
【详细解答】如图，设点P（，），线段P的中点为M，连接P，M，（-c，0），线段P的中点在圆+=-上，OM=c， P=2c， P=2（a-c），M=a-c， M= ，直线P的斜率为k， P y
且k1， a-c，+2e-10，
-1+e＜1， 即椭圆离心率的最小值为-1+。
4、已知平行于X轴的一条直线与双曲线=1（a＞0,b＞0）相交于P，Q两点，|PQ|=4a，
PQO=（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）（2021成都市高三一诊）
A B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线离心率的基本方法；③余弦定理及运用。
【解答思路】如图，设，分别为双曲线=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点，连接Q，Q，过点Q作QM垂直于X轴于M，根据余弦定理分别得到|Q||Q|关于a，c的表达式，从而得到|Q|关于a，c的表达式，运用勾股定理得到关于a，c的齐次方程，从而化为关于e的一元二次方程，求解方程求出双曲线离心率e的值就可得出选项。
【详细解答】如图，设，分别为双曲线 y
=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点，连接 P Q
Q，Q，过点Q作QM垂直于X轴于M， O M x
|PQ|=4a，PQO=，|O|=c，|OQ|=4a，QO=，|Q|=16+-24ac
=16+-4ac，|Q|=16+-24ac（-）=16++4ac，|Q|-|Q|=2a①, |Q|+|Q|=4c②，联立①②解得：|Q|=2c-a，在RtQM中，|QM|=2a，
|M|=c-2a，12+=，=5，e=，D正确，选D。
5、如图，椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为e，F是C的右焦点，点P是C上第一象限内任意一点，且sinPOF
则离心率e的取值范围是 （2021成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆离心率的基本方法；③平面向量共线的充分必要条件及运用；④平面向量数量积的定义与性质。
【解题思路】如图，设POF=，根据点P是C上第一象限内任意一点，且sinPOF
【详细解答】如图，设POF=，点P是椭圆C上第一象限内任意一点，且sinPOF
+，>e，+>，>>3，
>3=3（-），>，
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线渐近线的定义与性质；③求双曲线离心率的基本方法。
【解答思路】根据双曲线和双曲线渐近线的性质，结合问题条件得到关于a，b的等式，从而求出a，c之间的关系式，运用求双曲线离心率的基本方法就可求出C的离心率。
【详细解答】双曲线C：-=1（a>0，b>0）的一条渐近线为y=x， =， =2，=+=+2=3，c=a，e==，C的离心率为。
7、（理）已知F为双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于X轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为 ；
（文）设，是双曲线C：-=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，且|OP|
=2，则P的面积为（ ）（2020全国高考新课标I）
A B 3 C D 2
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直角三角形的定义与性质；③直线斜率的定义与性质；④求双曲线离心率的基本方法；⑤求三角形面积的基本方法。
【解题思路】（理）如图，连接AB，运用双曲线的性质，结合问题条件求出点B的坐标，根据直线AB的斜率为3得到关于a，c的等式，利用求双曲线离心率的基本方法就可求出双曲线C的离心率；（文）运用双曲线的性质，结合问题条件求出||的值和点P的坐标，利用求三角形面积的基本方法通过运算求出P的面积就可得出选项。 Y B
【详细解答】（理）如图，连接AB， F为双曲线
C：=1（a＞0,b＞0）的右焦点，A为C的右 0 A F
顶点，B为C上的点，且BF垂直于X轴，A（a，0），C（c，0），B（c，）， AB的斜率为3，===3，e=2，双曲线C的离心率为2。（文），是双曲线C：-=1的两个焦点，（-2，0），（2，0），||=4， O为坐标原点，点P在C上，且|OP|,=2，-=1①，+=4②，联立①②解得：x=，y=，点P（，），=4=3，B正确，选B。
8、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为（-c，0），（c，0），又点N（-c，），若双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）（2020成都市高三零诊）
A （，） B （，）
C （1，）（，+ ） D （1，）（，+ ）
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线离心率的定义与求法；③不等式的定义与解法。
【解题思路】运用双曲线的性质和双曲线离心率的基本求法，结合问题条件得到关于双曲线离心率e的不等式，求解不等式就可得出选项。
【详细解答】如图，连接N，交双曲线C的左支 N y
于点M， N（-c，），M（-c，），|M| M
-|M|=2a，|MN|=-=，|M|=2a+ 0 x
|M|=，双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，+
=>4b，4>8ab，16-40+9>09-58+65>0，
<或>5，1
9、（理）已知直线y=kx与双曲线C：=1（a＞0,b＞0）相较于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为
；
（文）已知直线y=kx与双曲线C：=1（a＞0,b＞0）相较于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C 2 D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直线与双曲线相交的定义与性质；③双曲线离心率的定义与性质；；④设而不求，整体代入数学思想的运用；⑤求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】（理）根据直线与双曲线相交的定义与性质，得出+，.关于a，c的式子，结合问题条件得到关于a，c的齐次方程，从而化为关于e的方程，求解方程就可求出双曲线C的离心率。（文）根据直线与双曲线相交的定义与性质，得出+，.关于a，c的式子，结合问题条件得到关于a，c的齐次方程，从而化为关于e的方程，求解方程求出双曲线C的离心率就可得出选项。
【详细解答】如图，设A（，），B（，），双曲线C的右焦点为，连接A，
由 y=kx，（-）=， +=0， y
-=1，.=，|AF|=3|BF|=3| A|， A
|AF|- | A| =2| A|=2a，| A|=a，|OA|=b， F 0 x
|O|=c，+=，OA=，cos B
AO=，在AF中， =+-2. cosAO ，9=4+ -4ac，12=4，=3，e=。
（文）如图，设A（，），B（，），双曲线C的右焦点为，连接A，联立y=kx与-=1得：（-）=， +=0，.=，|AF|
=3|BF|=3| A|， |AF|- | A| =2| A|=2a， y A
| A|=a，|OA|=b，|O|=c，+=，
OA=，cosAO=，在AF F 0 x
中，=+-2. cos B
AO ，9=4+ -4ac，12=4，=3，e=，B正确，选B。
10、如图，双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别是（-c，0），（c，0），直线y=与双曲线C的两条渐近线分别相较于A，B两点，若B=，则双曲线
的离心率为（ ）（2020成都市高三二诊）
A 2 B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②等腰梯形的定义与性质；③双曲线离心率的定义与基本求法。
【解答思路】题中没有确定焦点在X轴还是Y轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只考虑焦点在X轴上的情况。由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出a，c的值，然后根据椭圆离心率的公式e= 求出结果；
【详细解答】如图，过点B作BDX轴于D，联立y=-x与 y=解得x=- ，y=，
B（-，），RtBD中，D=-c+=，BD=，B=，==，=3，=+=4，==4，e=2，A正确，选A。
11、已知，是双曲线=1（a＞0,b＞0）的左右焦点，经过点且与X轴垂直
的直线与双曲线的一条渐近线相较于点A，且A，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）（2020成都市高三三诊）
A [，] B [，3] C [3，] D [，3]
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直角三角形的定义与性质；③锐角三角函数的定义与性质；④双曲线离心率的定义与基本求法。
【解答思路】运用双曲线性质，结合问题条件求出点A的坐标，从而根据直角三角形的性质得到|A|关于a，c的式子，利用锐角三角函数得到cosA关于a，c的式子，由问题条件得到关于双曲线离心率e的不等式，求解不等式求出双曲线离心率e的取值范围就可得出选项。
【详细解答】如图，连接A，联立x=c与y=x y A
解得：x=c，y=，点A的坐标为（c，），
在RtA中，||=2c，|A|=， O
|A|==，cosA===
，A，cosA， cosA
，，，e，A正确，选A。
〖思考问题3〗
（1）【典例3】圆锥曲线离心率的问题，从近几年高考试题来看，圆锥曲线离心率问题主要包括：①求已知曲线离心率的值；②求圆锥曲线离心率的取值范围两种类型；
（2）解答求圆锥曲线离心率值问题的基本方法是：①根据问题条件求出a，c的值（或得到关于a，c的齐次方程，进而化为关于e的方程）；②运用圆锥曲线离心率公式e=(或求解方程)求出圆锥曲线离心率e的值；③结合圆锥曲线离心率的取值范围得出e的值；
（3）解答求圆锥曲线离心率取值范围问题的基本方法是：①根据题给条件得到关于a，c的齐次不等式；②将①中的不等式化为关于e的不等式；③求解②中的不等式；④根据圆锥曲线离心率满足的条件求出离心率的取值范围；
（4）注意从实例解析中体会数形结合的数学思想的渗透和平面几何知识的灵活运用，同时方程，不等式思想也是解题过程中必不可缺的基本思想与方法。
【典例4】解答下列问题：
1、设B是椭圆C：+=1的上顶点，点P在椭圆C上，则|PB|的最大值为（ ）（2021全国高考乙卷）
A B C D 2
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②椭圆参数方程定义与性质；③两点之间的距离公式及运用；④求三角函数最值的基本求法。
【解答思路】根据椭圆和椭圆参数方程的性质，得到点B，P的坐标，运用两点之间的距离公式得到|PB|关于参数的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出|PB|的最大值就可得出选项。
【详细解答】 B是椭圆C：+=1的上顶点，点P在椭圆C上，B（0，1），P（cos，
sin）（是参数），|PB|==，当且仅当sin=-时，|PB|==为最大值，A正确，选A。
2、已知，是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|M|.|M|的最大值为（ ）（2021全国高考新高考I）
A 13 B 12 C 9 D 6
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②椭圆参数方程定义与性质；③两点之间的距离公式及运用；④求三角函数最值的基本求法。
【解答思路】根据椭圆和椭圆参数方程的性质，得到点，，M的坐标，运用两点之间的距离公式得到|M|.|M|关于参数的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出|M|.|M|的最大值就可得出选项。
【详细解答】已知，是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，（-，0），（，0），M（3cos，2sin）（是参数），|M|=
=，|M|=
=，|M|.|M|=.
==|5-9|，当且仅当=0时，|M|.|M|=|5-9|=9为最大值，C正确，选C。
3、设O为坐标原点，直线x=a与双曲线=1（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）（2020全国高考新课标II）
A 4 B 8 C 16 D 32
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②三角形面积公式及运用；③基本不等式及运用。
【解题思路】根据双曲线的性质，结合问题条件求出点D，E的坐标，运用三角形面积公式得到关于a，b的式子，从而求出ab的值，利用基本不等式求出+的最小值，求出双曲线C的焦距的最小值就可得出选项。
【详细解答】双曲线=1（a＞0,b＞0）的渐近线方程为y=x，直线x=a与双曲线=1（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，D（a，b），E（a，-b），|DE|=b-(-b)=2b，ODE的面积为8，=|DE|.=2ba=ab=8，+
2ab2816，双曲线C的焦距2c=22248，即当且仅当a=b=2时，双曲线C焦距取得最小值为8，B正确，选B。
4、已知曲线C： x=2cos，（为参数），若点P在曲线C上运动，点Q为直线l：x+2y-4
y=sin，=0上的动点，则|PQ|的最小值为 （成都市2020高三零诊）
【解析】
【考点】①曲线参数方程的定义与性质；②点到直线的距离公式与求法；③求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】运用曲线参数方程的性质和点到直线的距离公式，结合问题条件得到|PQ|的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出|PQ|的最小值。
【详细解答】点P在曲线C上运动，点Q为直线l：x+2y-4=0上的动点，|PQ|
==，当=2k+，即=2k+
（kZ）时， |PQ|==为最小，|PQ|的最小值为。
『思考题4』
（1）【典例4】是求圆锥曲线中最值的问题，解决这类问题的基本思路是：①注意圆锥曲线几何性质中的不等关系（标准方程中x，y的取值范围，离心率的取值范围）；②数形结合，运用函数的图像求最值问题；
（2）解决圆锥曲线中最值问题的常用方法有：①数形结合，几何意义，尤其是圆锥曲线的几何性质；②构造函数，运用求函数最值的基本方法；③运用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题；④运用一元二次方程的判别式求圆锥曲线中的最值问题。
（3）运用三角函数解答圆锥曲线的最值问题也是一种有效的方法，其基本方法是：①运用圆锥曲线的参数方程把已知曲线上的动点表示出来；②根据问题条件构造三角函数解析式；③运用求三角函数最值的基本方法求出三角函数的最值；④求出圆锥曲线中的最值。
【典例5】解答下列问题：
x=1+sin2，
1、在平面直角坐标系XOY中，已知直线l：y=k(x+1)与曲线C：y=sin+cos(为参数)在第一象限恰有两个不同的交点，在实数k的取值范围为（ ）（成都市2021高三零诊）
A （0，1） B （0，） C [，1） D [，）
【解析】
【考点】①参数方程的定义与性质；②参数方程化普通方程的基本方法；③确定直线与曲线交点的基本方法。
【解题思路】根据方程的性质和参数方程化普通方程的基本方法，结合问题条件得到曲线C的普通方程，联立直线l与曲线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用一元二次方程有两个不同正根的条件得到关于k的不等式组，求解不等式组求出实数k的取值范围就可得出选项。 x=1+sin2， y
【详细解答】曲线C：y=sin+cos(为参数)，
曲线C的普通方程为=x，联立直线l和曲线 -1 0 x
C的方程得：+（2-1）x+=0，如图，直线l：y=k(x+1)与曲线C在第一象限恰有两个不同的交点，方程+（2-1）x+=0有两个不同的正根，k>0①，=-4=4-4+1-4=-4+1>0②，>0③，联立①②③解得：
0
< y=sin(+)<，
2、设双曲线=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为，，以为直径的
圆与双曲线在第一象限内的交点为P，直线P与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q，若点Q恰好为线段P的中点，则直线P的斜率的值为 （成都市2021高三二诊）
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求圆标准方程的基本方法；④已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法。
【解题思路】根据求圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出以为直径的圆的方程，从而求出点P的坐标，运用已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法求出直线P的方程，从而得出点Q的坐标，由点Q恰好为线段P的中点得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，利用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法就可求出直线P的斜率的值。
【详细解答】设Q（，-），（-c，0），点Q恰好为线段P的中点，P（2+c，-），双曲线=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为
，，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P，|OQ|=
=，|P|=，|P|=2a+=，
=4①，直线P的方程为：y=(+c)，-= (+c)②，联立①②得： 5=,=，直线P斜率k==。
3、已知F为抛物线=2px(p>0)的焦点，过点F且斜率为1的直线与抛物线相较于A，B两点，若|AF|-|BF|=，则线段AB的长为 （成都市2021高三三诊）
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②求直线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④弦长公式及运用。
【解题思路】根据求直线方程的基本方法，结合问题条件得到直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想，弦长公式得到线段AB关于p的式子，利用|AF|-|BF|=得到关于p的方程，求解方程就可求出P的值，把求出的p值代入线段AB的式子就可曲线线段AB的长。 y
【详细解答】如图，设A（，），B（，）， A
直线过点F，斜率为1，F（，0），直线的方程 0 B F x
为：y=x-，联立直线方程与抛物线方程消去y得：
-3px+=0，+=3p，.=，|AB|==
2p=4p，|AF|=+，|BF|=+，|AF|-|BF|=-==2p =，
p=，即|AB|=4p=4=2。
4、设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：=2px（p>0）交于D，E两点，若ODOE，则焦点坐标为（ ）（2020全国高考新课标III）
A （，0） B （，0） C （1，0） D （2，0）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②设而不求，整体代入数学思想及运用；③向量坐标运算的法则和基本方法；④向量数量积的定义与性质。
【解答思路】联立直线方程和抛物线方程得到关于y的一元二次方程，根据设而不求，整体代入数学思想得到+，关于p的表示式，运用向量坐标运算的法则和基本方法，向量数量积的性质得到关于p的方程，求解方程求出p的值就可得出选项。
【详细解答】设D（，），E（，），联立直线方程和抛物线方程得：-4p=0，+=0，=-4p，=（，），=（，），ODOE， .=
+=4-4p=0， p=1，抛物线C：=2px 的焦点坐标为（，0），B正确，选B。
5、斜率为的直线过抛物线C：=4x的焦点，且与C相交于A，B两点，则|AB|= （2020全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②设而不求，整体代入数学思想及运用；③弦长公式及运用。
【解答思路】根据抛物线的性质，结合问题条件得到直线的方程，联立直线和抛物线方程得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入数学思想求出+，的值，利用弦长公式就可求出|AB|的值。
【详细解答】设A（，），B（，），抛物线C：=4x的焦点为F（1，0），斜率为且过点F的直线方程是y=(x-1)，联立直线和抛物线方程得：3-10x+3=0，
+=，=1，|AB|==2=。
6、（理）经过椭圆+=1中心的直线与椭圆相交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作X轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P，则cosNMP的值是 。
（文）设直线l：y=x-1与抛物线=2px（p>0）相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为2，则p的值为 （成都市2020高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②抛物线定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④直线方程定义与性质；⑤求直线方程的基本方法；⑥已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法。
【解题思路】（理）设点M（，），根据椭圆的性质得到N（-，-），E（，0），运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，分别求出，，从而求出直线NE的方程，联立直线NE和椭圆的方程得到关于x的一元二次方程，由设而不求，整体代入数学思想得到关于，的式子，求出点P的坐标关于，的表示式，求出，从而证明直线MP与NP相互垂直，就可求出cosNMP的值。（文）根据抛物线的性质，联立直线l与抛物线的方程，得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想得到关于p的方程，求解方程就可求出p的值。 y
【详细解答】（理）如图，设点M（，），P（， M P
），则N（-，-），E（，0）， =， x
=，直线NE的方程为：y=(x-)， 联立直线NE和椭圆的方程得：（1
+）-x+-2=0，-+=，=+=(-)
=，==-=-，.=-.=-1，即MPNP，cosNMP=0。（文）设点A（，），B（，），联立直线l与抛物线的方程得：
-2（1+p）x+1=0，+=2（1+p），弦AB中点的横坐标为2，2（1+p）=4，即
P=1。
7、（理）已知点F为抛物线=2px(p>0)的焦点，经过点F且倾斜角为（0<<）的直线与抛物线相较于A，B两点，OAB（O为坐标原点）的面积为2sin，线段AB的垂直平分线与X轴相较于点M，则|FM|的值为 。
（文）已知点F为抛物线=2px(p>0)的焦点，经过点F且倾斜角为的直线与抛物线相较
于A，B两点，线段AB的垂直平分线与X轴相较于点M，则的值为 （成都市2020高三三诊）
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②设而不求，整体代入数学思想及运用；③三角形面积公式及运用；④两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】（理）根据抛物线的性质和设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到关于的三角函数式，运用三角函数求出的值，从而求出点F，M的坐标，利用两点之间的距离公式就可求出|FM|的值。（文）根据抛物线的性质和设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到关于p的式子，从而求出M的坐标，利用两点之间的距离公式得到|FM|关于p的式子就可求出的值。 y
【详细解答】（理）设A（，），B（，）， A
直线AB过点F（，0），倾斜角为， 0 F M x
直线AB的方程为：y=tan(x-)，联立直线 B
和抛物线方程消去y得：-p(+2)x+=0，.=，+
=，|AB|==
=，==，=
===2sin，=4
，P=2=2sin，+= tan(+-p)= tan
=，线段AB中点为（，），线段AB垂直平分线方程为：y-=- [x-]，令y=0得：x=，点M的坐标为：
（，0）|FM|=-===2，|FM|的值
为2。（文）设A（，），B（，）， y A
直线AB过点F（，0），倾斜角为， 0 F M x
直线AB的方程为：y= x-，联立直线和抛物 B
线方程消去y得：-3px+=0，+=3p，.=，+= +-p=2p，
线段AB中点为（，p），线段AB垂直平分线方程为：y-p=- (x-)，令y=0得：x=+p=，点M的坐标为：（，0）|FM|=-=2p，==2。
『思考题5』
（1）【典例5】是圆锥曲线与直线相交的问题，解答这类问题需要理解直线和已知曲线的定义，掌握直线方程和圆锥曲线方程的求法，明确处理直线与圆锥曲线相交问题的基本思路是联立直线和已知曲线方程消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，再运用韦达定理整体代入的数学思想；
（2）如果问题中涉及到过定点的直线时，注意需要对直线的斜率存在还是不存在的两种情况分别考虑；在实际解答问题时，为了避免分情况解答的麻烦，可直接设过定点的直线方程为：
x=my+n。
【典例6】解答下列问题：
1、抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在X轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M（2，0），M与l相切。
（1）求C，M的方程；
（2）设，，是C上的三个点，直线，均与M相切，判断与M的位置关系，并说明理由（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线方程的基本方法；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据抛物线与圆的性质和求抛物线与圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线和圆的方程；（2）如图，设（，），（，），（，），根据直线，均与M相切，得到关于，，的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断与M的位置关系。
【详细解答】（1）设抛物线的方程为 =2px（p>0），直线l：x=1交C于P，Q两点，P（1，），Q（1，-），=（1，），=（1，-）， OPOQ，.=1-2P=0，p=，抛物线C的方程为： =x，点M（2，0），M与l相切，M的方程为：+=1；如图，设（，），（，），（，），直线，的方程 y
分别为：x-y+ =0，x-y 0
+ =0，直线，均与M相
切，=1，，，是方程（-1）+2x-+3=0的两根，直线的方程为：x-(+)y+=0，点M到直线的距离
====1，直线与M相切。
2、（理）已知抛物线C：=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4（2021全国高考乙卷）。
（1）求P；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值。
（文）已知抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2。
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值。
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线切线方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤抛物线弦长公式及运用；⑥点到直线的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧求函数最值的基本方法；⑨平面向量的定义与性质；⑩已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据抛物线和圆的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程就可求出p的值；（2）根据求曲线在某点处切线方程的基本方法分别求出切线PA，PB的方程，从而求出直线AB的方程，联立直线AB与抛物线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想，弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|，点P到直线AB的距离关于点P横坐标的式子，根据三角形的面积公式得到PAB面积关于点P横坐标的函数，利用求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到PAB面积的最大值。（文）（1）根据抛物线的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程求出p的值就可求出抛物线C的方程；（2）根据平面向量的性质，结合问题条件求出点Q关于点P坐标的表示式，由点P在抛物线C上求出点Q的轨迹方程，联立直线OQ与点Q的轨迹方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用直线OQ与点Q的轨迹相切时斜率最大得到关于直线OQ斜率k的方程，求解方程就可求出直线OQ斜率的最大值。
【详细解答】（理）（1）F（0，），F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4，+3=4，p=2， p=2；（2）设A（，），B（，），P（，），由（1）知，=4y，切线PA，PB的方程分别为：y=x-, y=x-，切线PA，PB均过点P（，），=-，=-，直线AB的方程为y
=x-+=x-，联立直线AB与抛物线C的方程消去y得：-2x+4
=0，+=2，.=4，+=1，|AB|==
，==，=|AB|=
==，-5-3，当且仅当=-5时，取得最大值=20，即PAB面积的最大值为20。（文）（1）
抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2，+=p=2，抛物线C的方程为=4x；（2）设P（，），Q（x，y），直线OQ的方程为y=kx，=（x-，y-），=（1-x，-y），=9, x-=9-9x，y-=-9y，=10x-9，=10y，P（10x-9，10y），点P在抛物线C上，100=4（10x-9），点Q的轨迹方程为=x-（x>0），联立直线OQ和点Q的轨迹方程消去y得：-x+=0，当且仅当直线OQ与点Q的轨迹相切时，直线OQ的斜率最大，=-4=-
=0，k=，直线OQ斜率的最大值为。
3、在平面直角坐标系XOY中，已知点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2,
记M的轨迹为C。
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|.|TB|
=|TP|.|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件就可求出C的方程；（2）如图，设A（，），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，根据直线点斜式方程求出直线AB的方程，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，得到|TA|.|TB|关于，m的表示式，同理可得|TP|.|TQ|关于，m的表示式，联立两个表示式得到关于，的等式，求出，之间的关系就可求出直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。
【详细解答】（1）点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2, a=1，c=，=-=17-1=16，C的方程为-=1（x1）；（2）如图，设A（，
），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，直线
AB过点T（，m），斜率为，直线AB的方程为y=x-+m，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得：（16-）+（-2m）x-+m--16=0，+
=，.=，|TA|.|TB|=（1+）（-）（-）
=（1+）[-+]=-（1+）=（1+）
，同理可得|TP|.|TQ|=（1+），|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|，（1+）
=（1+），（1+）（）=（1+）（），=，，
=-，+=0，直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0。
4、已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线+=相切，证明M，N，F三点共线的充分必要条件是|MN|= ，（2021全国高考新高考II卷）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③圆的定义与性质；④设而不求，
整体代入数学思想及运用；⑤椭圆弦长公式及运用；⑥证明三点共线的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得到椭圆C的方程；（2）设M（，），N（，），①必要性，设M，N，F三点共线，直线MN的方程为x=my+，联立直线MN和椭圆C的方程消去x得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到|MN|关于m的式子，从而证明|MN|= ；②充分性，设|MN|= ，直线MN的方程为x=my+n,联立直线MN和椭圆C的方程消去x得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到|MN|关于m的式子，从而得到关于m，n的等式，求出直线MN含参数m的解析式，证明点F在直线上就可得出结论。
【详细解答】（1）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为，=，a=，=-=3-2=1，椭圆C的方程为+=1；
（2）如图，设M（，），N（，）， y
①必要性，设M，N，F三点共线，直线MN M
的方程为x=my+，联立直线MN和椭圆C的 x
方程得：（+3）+2my-1=0，+ N
=-，.=-，===1，|MN|=
==；②充分性，设|MN|= ，直线MN的方程为x=my+n, 联立直线MN和椭圆C的方程得：（+3）+2mny+ -3=0，+
=-，.=，===1，|MN|=
===,m=1，n=，直线MN的方程为x=y+，或x=-y-，当y=0时，
x=，直线MN过点F(，0)， M，N，F三点共线， M，N，F三点共线的
充分必要条件是|MN|= 。
5、在同一平面直角坐标系XOY中，圆+=4经过伸缩变换：=x，后得到曲线
=y，C。
（1）求曲线C的方程；
（2）（理）设直线l与曲线C相较于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相较于点D，且
|AD|=2，求ABD面积的最大值；（文）设曲线C与X轴和Y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与Y轴相交于点M，直线PB与X轴相交于点N，求ABM与BMN的面积之和（2021成都市高三零诊）。
【解析】
【考点】①伸缩变换的定义与性质；②椭圆的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据伸缩变换的性质，结合问题条件就可求出曲线C的方程；（2）（理）利用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点D到直线AB的距离关于参数k的式子，根据三角形的面积公式得到ABD面积关于参数k的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到ABD面积的最大值。（文）根据设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，结合问题条件得到|AN|，|BM|关于，的表示式，求出|AN|.|BM|的值，运用三角形的面积公式就可求出ABM+BMN的值。
【详细解答】（1）伸缩变换：=x， x=，+4=4，曲线C的方程
=y， y=2，为+=1；（2）设A（，），B（，），直线l的方程为：x=my+n，联立 y A D
直线l和曲线C的方程消去x得：（+4）
+2mny+-4=0，+=-，. B
=，+=m（+）+2n=-+=，点D（-，-），|AD|====2，
=，|AB|==，
==，点D与点B关于原点对称，=2=|AB|=
===，设t=，t[2，
+），=2===，当且仅当t=，即t=2时，
取得最大值=2，ABD面积的最大值为2。（文）设P（，），
点P在曲线C：+=1上，+=1， y B
直线PA的方程为：y= (x-2)，点M N A x
为（0，-），直线PB的方程为：y= x+1，点N为（-，0），|BM|
=|1+|=||，|AN|=|2+|=||，|AN||BM|=||
||=||=||=4，+
=|AO||BM|+|NO||BM|=|BM|(|AO|+|NO|)=||BM||AN|=4=2。
6、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线+=1与圆+=2相切。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记AOM，BOP的面积分别为，，求的取值范围。（文）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且|OP|= |OM|，
求ABO的面积（2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥椭圆弦长公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a,b,c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得到椭圆的方程；（2）（理）设A（，），B（，），M（，）根据设而不求，整体代入的数学思想，点O在以AB为直径的圆上，得到关于参数m，n的等式，运用已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法求出射线OM的方程，联立射线OM和椭圆C的方程求出点P的坐标，由两点之间的距离公式分别得到|OM|,|OP|关于参数m，n的表示式，利用三角形面积公式得到关于m的解析式，由求函数值域的基本方法求出的取值范围就可得到的取值范围。（文）设A（，），B（，），M（，）根据设而不求，整体代入的数学思想，已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法求出射线OM的方程，联立射线OM和椭圆C的方程求出点P的坐标，由两点之间的距离公式分别得到|OM|,|OP|关于参数m，n的表示式，结合问题条件得到关于m，n的等式，运用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式分别得到|AB|，关于m，n的表示式，利用三角形的面积公式就可求出ABO的面积。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线+=1与圆+=2相切，=①，=②，=+③，联立①②③解得：
=6，=3，椭圆C的方程为+=1；（2）（理）设A（，），B（，），M（，），直线l的方程为x=my+n，联立直线l和椭圆C的方程得：（+2）+2mny+
-6=0，+=-，.=，+=m（+）+2n=+
=，=，=-，M（，-），|OM|
=，=（，），=（，），点O在以AB为直径的圆上，
.=.+.=（1+）.+mn（+）+=-
+==0，=2+2，A，B是不同两点，=4
-4（+2）（-6）=8（3-+6）>0，<3+4，=2+2满足条件，射线OM的方程为y=-x，联立射线OM和椭圆C的方程得：=，=，|OP|=，==|OA|.|OM|，==|OB|.|OP|，M为线段AB的中点，====
+22, 0<，1-<1，=<，即的取值范围是[，）。（文）设A（，），B（，），M（，），直线l的方程为x=my+n，联立直线l和椭圆C的方程得：（+2）+2mny+
-6=0，+=-，.=，+=m（+）+2n=+
=，=，=-，M（，-），|OM|
=，射线OM的方程为y=-x，联立射线OM和椭圆C的方程得：= ， =，|OP|=，|OP|= |OM|，
=，（+4）（5--2）=0，=+，A，
B是不同两点，=4-4（+2）（-6）=8（3-+6）>0，<3+4，=+满足条件，|AB|=
=，==，=|AB|.=
.===，即ABO的面积为。
7、已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，求DEG的面积S的取值范围。（文）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，记BEG与BDG的面积分别为，，求|-|的最大值（2021成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④椭圆弦长公式及运用；⑤两点之间的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数值域（或最值）的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得到椭圆的方程；（2）（理）设D（，），E（，），F（，-），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线DF的方程，从而求出点G的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想，两点之间的距离公式和椭圆的弦长公式求出|BG|关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到DEG面积关于参数m的函数，由求函数值域的基本方法求出函数的值域就可得到DEG面积的取值范围。（文）设D（，），E（，），F（，-），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线DF的方程，从而求出点G的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想，两点之间的距离公式和椭圆的弦长公式求出|BG|关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到BEG与BDG面积，关于参数m的表示式，从而得到|-|关于m的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最大值就可得到|-|的最大值。
【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2，
a=2①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的方程为+=1；
（2）（理）设D（，），E（，），F（，-），直线l过点B（-1，0），直线l的方程为x=my-1，联立直线l和椭圆C的方程得：（+4）-2my-3=0， +
=，.=-，直线DF的方程为y-=(x-)，令y=0，x=-
====-4，G（-4，0），|BG|=-1-（-4）=3，=|BG||-|=3=，令t=
，t（,+），0<==<，DEG的面积S的取值范围是（0，）。（文）设D（，），E（，），F（，-），直线l过点B（-1，0），直线l的方程为x=my-1，联立直线l和椭圆C的方程得：（+4）-2my-3=0， +=，.=-，直线DF的方程为y-=(x-)，令y=0，x=-
====-4，G（-4，0），|BG|=-1-（-4）=3，=|BG|，=|BG|（-），0<|-|=|BG||+|=||
=，|-|的最大值为。
8、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2（2021成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若AM与BN面积相等，求直线l的方程。
（文）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若|MA|=|BN|，求直线l的方程。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间的距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可求出椭圆C的方程；（2）（理）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MN|关于参数m的表示式，利用点到直线的距离公式和三角形面积公式得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。（文）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MA|，|BN|关于参数m的表示式，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2，2ab=2①，===2②，
=+③，联立①②③解得：=5，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）（理）
设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，
联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，
直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MN|=
=，==，=-=,|MN|
. -|M|.||=|M|.||，.=（2+3）|+|=，
5（+5）=6（+1），m=，直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。
（文）设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，
联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，
直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MA|=|BN|，|-0|=|
-|，点A，B在点M，N之间，+=，=， m=，即直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。
9、已知A，B分别为椭圆E：+=1（a>1）的左，右顶点，G为E上顶点，.=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D。
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点（2020全国高考新课标I）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③求直线方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤证明直线过定点的基本方法。
【解题思路】（1）运用椭圆的性质和求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出的值，从而得到椭圆E的标准方程；（2）如图，设C（，），D（，），P（6，），运用求直线方程的基本方法求出直线PA，PB的方程，从而得到点C，D关于参数的坐标，根据求直线方程的基本方法求出直线CD的方程，利用证明直线过定点的基本方法证明直线CD过定点。
【详细解答】（1） A，B分别为椭圆E：+=1（a>1）的左，右顶点，G为E上顶点，A（-a，0），B（a，0），G（0，1），=（a，1），=（a，-1），.=-1=8，=9，即：椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图，设C（，），D（，），P（6，），直线CD的方程为；x=my+n，由 y G P
（1）知，A（-3，0），B（3，0），直线PA，PB C
的方程分别为：y=(x+3)，y=(x-3)，= A B x
D
（+3），=（-3），3（-3）=（+3），点C，D在椭圆E上，=1-，=1-，=，=，27=-（+3）（+3），（27+）+m（n+3）(+)+=0①，联立直线CD和椭圆E的方程得：（+9）+2nmy+-9=0，+=-，.=②，联立①②得：（27+）（-9）-2n（n+3）+（+9）=0，n=-3，或n=,-3
=|AB|（2020全国高考新课标II）。
（1）求的离心率；
（2）（理）设M是与的公共点，若|MF|=5，求与的标准方程。（文）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与求法；②求椭圆标准方程的基本方法；③抛物线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤弦长公式及运用；⑥求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用椭圆和抛物线的性质，弦长公式，设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到关于a，c的等式，利用求椭圆离心率的基本方法就可求出求出的离心率；（2）（理）设点M（，），由（1）得：a=2c，从而得到值含参数c的椭圆，抛物线的方程，根据点M是椭圆，抛物线的公共点得到关于的一元二次方程，结合问题条件得到关于的等式，求出关于参数c的表示式，把代入一元二次方程得到关于参数c的方程，求解方程求出参数c的值就可求得与的标准方程。（文）设点M（，），由（1）得：a=2c，从而得到值含参数c的椭圆，抛物线的方程，根据点M是椭圆，抛物线的公共点得到关于的一元二次方程，结合问题条件得到关于的等式，求出关于参数c的表示式，把代入一元二次方程得到关于参数c的方程，求解方程求出参数c的值就可求得与的标准方程。
【详细解答】（1）椭圆：=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与X轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D
两点，A（c，），B（c，-），C（c，2c），D（c，-2c），|AB|=，|CD|
=4c，|CD|=|AB|，4c=，3ac=2=2（-），2+3e-2=0,
e=，的离心率为；（2）（理）如图设点M（，），由（1）得：a=2c，椭圆的方程为：+=1，抛物线的方程为：=4cx，点M（，）是与的公共点，+=1，=4c，+=1，|MF|= c+=5，=5-c，+=1，-2c-3=0，c=3，椭圆的标准方程为：+=1，抛物线的标准方程为：=12x。（文）如图设点M（，），由（1）得：a=2c，椭圆的方程为：+=1，抛物线的方程为：=4cx，点M（，）是与的公共点，+=1，=4c，+=1，的四个顶点到的准
线距离之和为12，3c+c+c+c=6c=12，c=2，椭圆的标准方程为：+=1，抛
物线的标准方程为：=8x。
11、已知椭圆C：+ =1（0
（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求APQ的面积（2020全国高考新课标III）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④求直线方程的基本方法；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥两点之间的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出的值就可得到椭圆的标准方程；（2）设点P（，），Q（6，），根据等腰直角三角形的性质，直线垂直直线的性质和两点之间的距离公式，结合问题条件得到关于，，的方程组，求解方程组求出，，的值，利用三角形的面积公式通过运算就可求出APQ的面积。
【详细解答】（1）椭圆C：+ =1（0
（2）如图设点P（，），Q（6，），A（-5，0），B（5，0），|BP|=|BQ|，BP BQ，点P在C上，.=-1①，+ =1②，= ③，联立①②③解得：=3，=1，=2，或=-3，=1，=8，P（3，1），Q（6，2），或P（-3，1），Q（6，8），|AQ|==5，或|AQ|=
=，直线AQ的方程为：2x-11y+10=0，或8x-11y+40=0，=
=，或==，=|AQ|.=5=,
或=|AQ|.==,综上所述APQ的面积为。
12、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值（2020全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）如图设M（，），N（，），运用椭圆的性质和设而不求，整体代入的数学思想得到关于m，n的等式，从而求出直线MN的方程，由直线MN的方程可得直线MN过定点P，取线段AP的中点为Q就可证明结论。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1），=①，+=1②，联立①②解得：=6，=3，椭圆C的标准方程为：
+=1；（2）如图设M（，），N（，），直线MN的方程为：x=my+n，联立直线MN和椭圆C的方程消去x得：（2+ ）+2mny+ -6=0，+=-，
.=，+=m（+）+2n=-+=，.
=.+mn（+）+=-+=，
AM AN，=（-2，-1），=（-2，-1），.=（-2）（-2）
+（-1）（-1）=.-2（+）+4+.-（+）+1=-+
++==0，（3n-m-2）(n+m-2)=0，点A（2，1）不在直线MN上，2m+n，即n+m-20，3n-m-2=0，m=3n-2，直线MN的方程为：x=(3n-2)y+n，令y=-得x=，直线MN过定点P（，-），取AP的中点
Q（，），①若点P与点D重合，则|QD|==；②若点P与点D不重合，AP是RtADP的斜边，|QD|=|AP|==
=，综上所述，存在点Q（，），使得|QD|=为定值。
13、已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为（2020全国高考新高考II）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）N为椭圆上任意一点，求AMN面积的最大值。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③求直线方程的基本方法；④点到直线的距离公式及运用；⑤两点之间的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）设点N（x，y），根据椭圆的性质，点到直线的距离公式和两点之间的距离公式，结合问题条件求出|AM|的值，得到点N到直线AM的距离关于角的三角函数式，由三角形的面积公式得到AMN面积关于角的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出AMN面积的最大值。
【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为，+=1①，==②，联立①②解得：=16，=12，椭圆C的标准方程为：+=1；（2）如图设点N（x，y），点A（-4，0），点N为椭圆C上任意一点，|AM|==3，N（4cos，2sin）（
），直线AM的方程为：x-2y+4=0，=
=，=|AM|.=3
=6，当且仅当=，即=时，取得最大值为18，
AMN面积的最大值为18。
14、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0），
且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P
关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。
（文）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）利用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|PQ|，点D到直线PQ的距离关于参数k的式子，根据三角形的面积公式得到DPQ面积关于参数k的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到DPQ面积的最大值。（文）利用设而不求，整体代入的数学思想，求直线方程的基本方法求出直线Q的方程，运用证明直线过定点的基本方法证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
【详细解答】（1）c=，A（，）在椭圆C上，=+3①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的标准方程为+=1；（2）（理）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4，由
x=my+4，得（+4）+8my+12=0，+=-，.=，|PQ|=.
+=1， ==，点
P关于X轴对称的点为，（，-），直线Q的方程为，y-=(x-)，令y=0得x=-==
==4+=4-3=1，点D（1，0），==，
P，Q是不同的两点，=64-48（4+）=16-1612>0，>12，
=|PQ|.=.=，设t=，t（0，
+），===，当且仅当t=4，即m=2时，等号成立，DPQ面积的最大值为。（2）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，且过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4由 x=my+4，得（+4）+8my
+=1，+12=0，+ =-，.=，点P关于X轴对称的点为，（，-），直线Q的方程为，y-= (x-)，令y=0得x=-=
===4+=4-3=1为定值，直线Q经过X轴上一定点D，且定点D的坐标为（1，0）。
15、（理）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，求|AB|.|CD|的取值范围。
（文）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P（1，）在椭圆E上。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，当|AB|.|CD|的值为8时，求直线l的方程（2020成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤椭圆弦长公式及运用；⑥圆弦长公式及运用；⑦求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）设A（，），B（，），根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到|AB|，|CD|关于参数m的式子，从而得到|AB|.|CD|关于参数m的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出|AB|.|CD|的取值范围；（文）设A（，），B（，），P（，）根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程求出m的值就可得到直线l的方程。
【详细解答】（理）（1）设P（，），椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|，=+1①，+=1②，. =-1③，2=a④，联立①②③④解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由 +=1，得：（2+ ）+2my-1=0，+=-，.=-，
x=my+1，|AB|=.=，+
=2，直线l：x=my+1(mR)与圆+=相较于C，D两点，==，
|CD|=4（2-）=，|AB|.|CD|=.=
=8（2-），2-<2，48（2-）<16，即|AB|.|CD|的取值范围是[4，16）。（文）（1）椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P（1，）在椭圆E上，=+1①，+=1②，联立①②解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由+=1，得：（2+ ）+2my-1=0，+=-，
x=my+1，.=-，|AB| =.
=，+=2，直线l：x=my+1 (mR)与圆+=相较于C，D两点，==，|CD|=4（2-）=，|AB|.|CD|=
.==8，=1，m=1，当|AB|.|CD|的值为8时，直线l的方程为：x-y-1=0或x+y-1=0。
16、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上（2020成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过圆O：+=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相较于异于点P的M，N两点。
（理）①求证：+=0；②求OAB的面积的取值范围。（文）①当直线PA，PB的斜率都存在时，记直线PA，PB斜率分别为，，求证：.=-1；②求的取值范围。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③圆的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤椭圆切线的定义与性质；⑥直线斜率的定义与基本求法；⑦椭圆弦长公式及运用；⑧点到直线的距离公式及运用；⑨三角形面积公式及运用；⑩求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）①如图设P（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率，关于，的式子，根据点P在圆O上，证明直线PM垂直直线PN，利用圆的性质就可证明+=0；②如图设A（，），B（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率关于，的式子，关于，的式子，从而得到直线PA，PB的方程，根据点P在直线PA，PB上，得到关于，，，，，的等式，从而求出直线AB的方程，联立直线AB和椭圆C的方程，得到关于x的一元二次方程，从而由题意弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|, 的值，根据三角形的面积公式得到OAB的面积关于的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出OAB面积的取值范围；（文）①如图设P（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率，关于，的式子，根据点P在圆O上就可证明.=-1；②如图设A（，），B（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率关于，的式子，关于，的式子，从而得到直线PA，PB的方程，根据点P在直线PA，PB上，得到关于，，，，，的等式，从而求出直线AB的方程，联立直线AB和椭圆C的方程，得到关于x的一元二次方程，从而由题意弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|关于的式子,根据直线PAPB得到MN是圆O的直径求出|MN|的值，从而得到关于的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出的取值范围。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上，=+3①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）（理）①如图设P（，），（i）当直线PA，PB的斜率存在时，设过点P（，）与椭圆C相切的直线方程为：y=k(x-)+，联立直线和椭圆方程消去y得：（1+4）+8k（-k）x+4-4=0，直线与椭圆相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，
设直线PA，PB的斜率分别为，，点P（，）在圆O：+=5上，+=5，
.===-1，PAPB，即MN是圆O的直径，+=0；（ii）当直线PA或直线PB的斜率不存在时，当y=1时，=5-1=4，x=2或x=-2，点（2，1），（-2，1）在圆O上，取P（2，1），直线PA的方程为：x=2，直线PB的方程为：y=1，点M（2，1），N（-2，1），=（2，-1），=（-2，1），+=0也成立，综上所述，+=0；②如图设A（，），B（，），（i）当直线PA的斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA的方程为：y=（x-）+，联立直线PA与椭圆C的方程消去y得：（1+4）+8（-）x+4-4=0，直线PA与椭圆C相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，=-=-=-，直线PA的方程为；y=-（x-）+，即：+y-1=0，（ii）当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为：x=2或
x=-2，也满足+y-1=0，直线PA的方程为：+y-1=0，同理可得直线PB的方程为：+y-1=0，点P（，）在直线PA，PB上，+-1=0，+-1=0，直线AB的方程为：+y-1=0，联立直线AB和椭圆C的方程消去y得：（3+5）-8x+16-16=0, +=,.=,|AB|=
. ==，
==,=.=,
令t=，t[1，4]，则==， t[1，4]，[4，5]，即：OAB面积的取值范围是[，1]。（文）①如图设P（，），当直线PA，PB的斜率存在时，设过点P（，）与椭圆C相切的直线方程为：y=k(x-)+，联立直线和椭圆方程消去y得：（1+4）+8k（-k）x+4-4=0，直线与椭圆相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，直线PA，PB的斜率分别为，，点P（，）在圆O：+=5上，+=5，即： .===-1，②如图设A（，），B（，），（i）当直线PA的斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA的方程为：y=（x-）+，联立直线PA与椭圆C的方程消去y得：（1+4）+8（-）x+4-4=0，直线PA与椭圆C相切，=64-16[-1]. （1+4）=（4-）+2k+1-=0，=-=-=-，直线PA的方程为；y=-（x-）+，即：+y-1=0，（ii）当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为：x=2或x=-2，也满足+y-1=0，直线PA的方程为：+y-1=0，同理可得直线PB的方程为：+y-1=0，点P（，）在直线PA，PB上，+-1=0，+-1=0，直线AB的方程为：+y-1=0，联立直线AB和椭圆C的方程消去y得：（3+5）-8x+16-16=0, +=,.=，|AB|=
.= =，直线PAPB，MN是圆O的直径|MN|=2，==1-， [0，5]，[，]，1-[，]，的取值范围是 [，]。
『思考问题6』
（1）【典例6】是圆锥曲线综合问题，从近几年高考试题来看，归结起来圆锥曲线综合问题主要包括：①求直线的方程（或直线斜率的值或直线斜率的取值范围）；②求多边形面积的值（或取值范围或最值）；③求某一式子的值（或取值范围）；④求点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤证明直线过定点（点在定直线上）等几种类型；
（2）求直线的方程（或直线斜率的值或直线斜率的取值范围）问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）；
（3）解答求直线的方程（或直线斜率的值或直线斜率的取值范围）的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），然后运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④结合问题条件得到关于参数k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数k（或m）的值；⑥得出问题的结果；
（4）求多边形面积的值（或取值范围或最值）问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是多边形面积的值（或取值范围或最值）；
（5）解答求多边形面积的值（或取值范围或最值）的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果；
（5）求某一式子的值（或取值范围）问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某一式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值；
（7）解答求某一式子的值（或取值范围）的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数得到关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数的值（或值域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；⑥得出问题的结果；
（8）求点的坐标（或点的轨迹方程）问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某点的坐标（或点的轨迹方程）；
（9）解答求点的坐标（或点的轨迹方程）的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程得到方程组，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把点的坐标表示成关于参数k（或m）的式子；⑤求出参数的值得到点的坐标（或消去参数得到点的轨迹方程）；⑥得出问题的结果；
（10）证明直线过定点（点在定直线上）问题的特征是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线过定点（或点在定直线上）；
（11）解答证明直线过定点（点在定直线上）问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把直线方程（或某点的坐标）表示成关于参数k（或m）的式子；⑤确定直线存在与参数k（或m）无关的点（定点）（或把某点的坐标代入给定的直线方程验证）；⑥得出问题的结果。
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