福建省顶级名校2022届高三上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

福建省顶级名校2022届高三上学期期中考试
数学考试卷
（完卷时间：120分钟 满分150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设(为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列的前项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知数列满足：.若，
则（ ）
A. B. C. D.
7.设、、为非零不共线向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.若对任意的，，且，都有，则的最小值是（ ）
A. B. C. 1 D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10.设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）
A． B． C． D．
11.若正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为，将其中两个正三角形侧面
与按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是（ ）
A.五面体 B.七面体 C.斜三棱柱 D.正三棱柱
12.数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，与的比值为定值，该直线被称为欧拉线. 若，，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正项等比数列，若，则______.
14.在中，已知，，点在边上，且满足，
则__________，__________.
15. 如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点出发，
绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的
纵坐标之差第5次达到最大值时，运动的时间为_________分钟.
16.函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）已知函数的图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）首先将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的，
然后将所得函数图象向右平移按个单位，最后再向上平
移个单位得到函数的图象，求函数在内的值域.
18．（12分）如图，在正三棱柱中，，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值．
19.（12分）在①三边长成等差数列，②三边长为连续奇数，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角对边分别是，且，，_____？
注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20.（12分）已知数列的前项和是，，点均在斜率为的直线上.
数列、满足.
（1）求数列的通项；
（2）若数列中去掉数列的项后，余下的项按原来的顺序组成数列，且数列的前项和
为，求.
21. （12分）如图所示，在底半径为、高为（为定值，且）的圆锥内部内接一个底半径
为、高为的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合
的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）.
（1）设、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径为自变量分别表示
、；
（2）试分别求、的最大值、，并比较、的大小.
22．（12分）形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.
已知，
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围.
2021—2022学年第一学期
高三数学考试卷
（完卷时间：120分钟 满分150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A A B C D A
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 ACD BCD AC ACD
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ____63____; 14.（1）___7 ____（2）______; 15.___49.5____; 16.____
4、解答题：本题共6小题，共70分.
17【解析】（1）由图象得，，........................2分.
由........................3分.
.......................4分 .......................5分
（2）.......................8分
当时，，，......9分....10分
18.【解析】（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接，，...................1分
因为，分别是，的中点，所以，，...................2分
又，同理...................4分
又，，所以平面平面，...................5分
又平面，所以平面．...................6分
（Ⅱ）法一：（几何法）取中点，因连结，因为为中点，所以，（或其补角）为直线与直线所成角....................8分
，，分别是，的中点
在中，，，，
设直线与直线所成角
根据余弦定理得...................10分
所以直线与直线所成角的余弦值为．...................12分
法二：（向量法）如图所示，在平面内过作直线.以为原点，分别以的方向为轴，轴，，轴的正方向，建立空间直角坐标系....................7分
则，0，，，，，，，，，...................9分
所以，，，，设直线与直线所成角...................10分
所以...................11分
所以直线与直线所成角的余弦值为．...................12分
19【解析】选①，不妨设..................1分
由正弦定理得，得，，..................4分
由余弦定理得..................7分
所以，整理的，因为，所以..................9分
而三边长为能构成三角形，所以..................11分
即...................12分
(用正弦定理将三边关系转化为角的关系、结合三倍角公式也可解决此问题)
另解：由得，，..................1分
即，..................5分
，化简得，，..................9分
解得，..................11分 ...................12分
选②，不妨设，且为奇数..................1分
由正弦定理得，，得..................5分
由余弦定理得..................9分
所以，整理的，所以..................11分
因为不为奇数，不合题意，故不存在奇数满足要求..................12分
选③，，，..................3分
由正弦定理得..................6分
..................11分
.................12分
20【解析】（1）数列的前项和是，，点均在斜率为直线上，
，数列是以首项，为公差的等差数列..................1分
..................1分
当时，，满足上式，故.................4分
数列、满足
时，，
两式相减得，，满足上式，故..................6分
.................8分
（2）设数列中前项中有数列的项，则，，即求满足的最大正整数，易得，所以数列中前106项有数列的6项，..................10分
所以..................11分
.................12分
21.【解析】（1）如图，设，................1分
根据三角形相似得，................2分
①若圆柱“竖放”，则
................4分
②若圆柱“横放”，则
...............6分
（2）①，由，解得
当时，；当时，；
.................8分
②由解得
当时，；当时，；
.................10分
.......11分
.................12分
22【解析】（1）由，不妨设，..............1分
由幂指函数导数公式得，..............2分
所以，又，
所以，曲线在处的切线方程为..................3分
（2）先寻找必要条件：若恒成立，则，解得.................4分
证明充分性：当时，若恒成立，
构造，，
则，..............5分
令，
所以，
因为与同号，所以，所以，..............7分
（也可以对分类讨论）
所以，所以即为上增函数，.................8分
又因为，所以，当时，； 当时，.
所以，为上减函数，为上增函数，.................10分
所以，，无最大值.又因为，所以，当时，；
当时，. 恒成立，.................12分