河南省顶级名校2022届高三上学期期中联考数学（理）试题（Word版含答案）

河南省顶级名校2022届高三上学期期中联考
理科数学
（时间：120分钟，满分：150分）
1、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设，则　　
A． B． C． D．
2.已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是 　
A． B． C． D．
3.已知，，，则　　
A． B． C． D．
4.模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　
A．60 B．63 C．66 D．69
5.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
6.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
7.已知，，则　　
A．0和 B． C． D．和0
8.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥的所有顶点都在球上，则球的半径为　　
A． B． C． D．
9.给定两个长度为2的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，则的最小值为　　
A． B． C．0 D．2
10.已知函数且关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为　　
A．， B． C． D．，
11.棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为　　
A． B． C． D．1
12.已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知等比数列的公比，其前项和为，且，，则　　．
14.设实数、满足约束条件，则的取值范围为 ．
15.已知椭圆，，是的长轴的两个端点，点是上的一
点，满足，，设椭圆的离心率为，则 ．
16.在中，若，，则的面积为 ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分。
17．(12分)
正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．(12分)
如图，在中，，，，为内一点，．
(1)若，求；
(2)若，求．
19．(12分)
如图，正方形所在平面与等边所在平面互相垂直，设平面与平面相交于直线．
(1)求直线与直线所成角的大小；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
20．(12分)
已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程．
(2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
21．(12分)
已知函数．其中
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对于任意，都有恒成立，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），直线的参数方程为为参数）．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
23.[选修4-5：不等式选讲](10分)
设，，．
(1)证明：； (2)证明：．
高三 理科数学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A B C D A B A B B A B
13、2 14 ． 15． 16．
17.解：(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.
(2)由an＝2n，bn＝，则bn＝＝，
Tn＝＝＝.
18.解：(1)在中，，，．在中，余弦定理得．
(2)设，在中，．在中，由正弦定理得，即，化为．．
19．解：（1）四边形为正方形，，平面，平面，
平面，又平面，且平面平面直线，，
四边形为正方形，，故与所成角的大小是；
（2）分别取、的中点、，连接，
由为等边三角形，可知，由四边形为正方形，知，
平面平面，平面平面，
且平面，平面，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，0，，，，，，0，，
于是，0，，，，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
由，取，可得，1，；
设平面的一个法向量为；
由，取，可得，2，．
．由图二面角为锐二面角，则其余弦值为．
20．解：(1)点与椭圆的上顶点重合时，，．
又椭圆离心率为，，即可得，椭圆方程为：．
(2)证明：设直线的方程为，联立得，
设，，，，则，
又，，，，
，即为定值．
21．解：(1)当时，，，
在上单调递增，又（1），当时，，
当时，，的单调减区间为，单调增区间为．
(2)设，则，
，
在上单调递减，又（1），
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，（1），
即在上恒成立，当且仅当时取等号．
由(1)可知，，显然当时，取任何数都成立，
当时，，即，恒成
立，恒成立，．所以的取值范围是，．
22．解：（1）由为参数），消去参数，得，
即曲线的直角坐标方程为，由为参数），
当时，消去参数，可得直线的直角坐标方程为．
当时，可得直线的参数方程为；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
整理可得：．①
曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，则方程①有两解，设为，，
则，故，解得．的斜率为2．
声明：试题
解析23．证明：(1)因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即．
(2)由(1)可知，所以
当且仅当时取等号，所以．