河南省顶级名校2022届高三上学期期中联考数学（文）试题（Word版含答案）

河南省顶级名校2022届高三上学期期中联考
文科数学
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，集合，，则( )
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题：“，”的否定是“，”；命题：，．下列说法不正确的是( )．
A．为真命题 B．为真命题
C．为真命题 D．为假命题
5．已知实数x，y满足，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
7．下列函数既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．10 B．15 C．18 D．23
9．已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称 D．函数是偶函数
10．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则直线与所成角的大小是（ ）．
A． B． C． D．
11．已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
12．若不等式对任意x>0恒成立，则正实数m的最大值为（ ）
A．2 B．e C．3 D．e2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，若，则______.
14．若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离心率为________．
15．已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为______.
16．如图所示，点D在线段AB上，∠CAD＝30°，∠CDB＝45°．给出下列三组条件（已知线段的长度）：①AC，BC；②AD，DB；③CD，DB．其中，使△ABC唯一确定的条件的所有序号为____．
三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价
销售量
17．（12分）某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：
（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.
参考数据：，.
18．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，且，.
（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的侧面积.
19．（12分）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和
20．（12分）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别为，，双曲线的右顶点在圆：上，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，问(为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
21．（12分）已知函数.
（1）设，若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若对任意，，求实数的值.
（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为其中为参数，，曲线的参数方程为其中为参数.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）若，曲线，交于，两点，求的值.
[选修4—5:不等式选讲]
23．已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
2021——2022学年上期期中答案
高三 文科数学
1、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C A B A C B C B C C B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13． 14. 或 15. 16.②③
三、解答题
17.（12分）
（1）因为，，-----2分
所以，-----5分
得，-----6分
于是关于的回归直线方程为；-----7分
（2）当时，，-----9分
则，-----11分
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的. -----12分
18．（12分）
（1）由，知，故，
又，，，平面，
所以平面.-----2分
因为平面，所以.
又在直角梯形中，易求得，
所以，故.-----4分
又，，平面，
所以平面.
又平面，
所以平面平面.-----6分
（2）由（1）知平面四棱锥的四个侧面均为直角三角形，
所以，，-----8分
，-----9分
.-----10分
故四棱锥的侧面积为.-----12分
19．（12分）
（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得或，-----4分
所以或；-----6分
（2）当时，，
此时；-----8分
当时，，
此时.-----12分
20．（12分）
(1)不妨设，，因为，从而，，
故由，又因为，所以，-----2分
又因为在圆：上，所以，-----4分
所以双曲线的标准方程为：.-----5分
(2)由于动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，
当动直线的斜率不存在时，，，-----6分
当动直线的斜率存在时，且斜率，
不妨设直线：，
故由，
从而，化简得，，-----8分
又因为双曲线的渐近线方程为：，
故由，从而点，同理可得，，
所以，-----10分
又因为原点到直线：的距离，
所以，又由，
所以，-----12分
故的面积是为定值，定值为1.
21．（12分）
（1）因为，
所以，， -----1分
因为在区间上单调递增，
所以，即，即在恒成立，-----3分
令，，
所以在上单调递减. -----5分
则，所以，
故实数的取值范围为.-----6分
（2）.
因为，所以，
令，
当时，因为，所以，
则，在单调递增，-----8分
又，所以当时，，不满足题意；
当时，，，又，
所以在单调递减，存在，使得，
且当时，，即；
当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
在有唯一的最小值点. -----10分
因为，要使得恒成立，当且仅当，则，即，解得，
综上，实数的值为. -----12分
22．（10分）
（1）依题意，曲线的普通方程为
即曲线的极坐标方程为；-----2分
曲线的普通方程为，即，
故曲线的极坐标方程为.-----5分
（2）将代入曲线的极坐标方程中，
可得，-----7分
设上述方程的两根分别是，则，故.-----10分
23．（10分）
（1）当时，．
当时，，解得，结合得；-----1分
当时，，解得，结合得；-----2分
当时，，解得，结合得．-----3分
∴原不等式的解集为．-----5分
（2）当时，可化为，
∴或，
即存在，使得，或．-----7分
，因为，所以∴，
，因为，所以，所以，
∴实数a的取值范围为．-----10分