沪科版数学七年级上册 3.5 三元一次方程组及其解法 教案

沪科版义务教育教科书初中数学七上
3.5 三元一次方程组及其解法
一、教材内容
“三元一次方程组及其解法”是沪科版七年级数学上册第三章第五节的教学内容（选学），《义务教育教学课程标准（2011年版）》中明确要求“能解简单的三元一次方程组”，因为这对后续用待定系数法求解二次函数解析式、圆的一般方程等带来方便，同时进一步熟悉解方程组时“消元”方法的运用，体会解方程组的基本思想是转化与化归.
二、教学目标
1．了解三元一次方程组的概念，面对一个方程组能甄别出是否是三元一次方程组；
2. 会用消元法解简单三元一次方程组，在消元过程中进一步体会化归思想，感受运用转化思想的必要性；
3．让学生通过自己的探索、比较、分析、归纳等活动去发现一些规律，体会一些数学学习的思想方法，从而激发学生的求知欲望和学习兴趣.
三、教学重难点
重点： 会用消元法解简单的三元一次方程组.
难点： 能针对方程组的特点，确定选择消哪个元，选择用什么方法消元.
四、教学准备
多媒体课件 实物投影仪
五、教学方法
精讲点拨、小组合作、启发式教学
六、教学过程
环节一：复习生长
问题1：快速解方程组：
再现思路：二元一次方程组 一元一次方程
【设计意图】二元一次方程组学完后，如果再次用实际问题启动三元一次方程组的学习有重复之嫌，不能很好地体现二元与三元的内在关联，使得解三元一次方程组方法的出现有点突兀、不自然.因此通过复习二元一次方程组，在不断的调适中，把新的知识固着在呈稳定状态的“四基”之上，使得新知的学习自然而然，顺乎内在关联与学生的认知规律.
环节二：概念引入
问题2：若以上方程组的解也是方程x+2y+z=3的解，求z的值.
预设：代入求解.
问题3：请同学们思考，第3个方程能否和前两个方程放在一起，即变成呢？
预设：能，因为前两个方程的解和第3个方程的解是相同的，它们是同解方程，故可联立在一起构成新的方程组.
追问1：这是二元一次方程组吗？
追问2：是什么方程组？
预设：三元一次方程组.（板书课题）
追问3：哪什么样的方程组是三元一次方程组？
预设：由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
及时练习：判断下列方程组哪些是三元一次方程组：
（1） （2）
（3） （4）
【设计意图】一方面让学生体会三元与二元之间的关联，为下一步探究三元一次方程组的解法做好准备，另一方面引入课题，完成预设的教学目标1.
环节三：解法探究
问题4：下面我们的主要任务就是学习如何去解一个三元一次方程组.先来看刚才得到的这个三元一次方程组，大家知道如何去求它的解吗？
预设:先由方程①和②组成的二元一次方程组求出x，y的值，再代入方程③中，求出z值.
变式1：解方程组：
预设：由于第①个方程没有未知数z，故可通过第②，③个方程把z消去，即可转化成关于x，y的二元一次方程组，先求出x，y，再代入②或③求出z.
变式2：解方程组：
预设：通过观察系数，消去x比较合适.由+得3y-z=0；得，这样就先通过两次消去同一个未知数得到一个二元一次方程组，转化为与前面相同.
问题5：通过以上探究，你能说说解三元一次方程组的基本思路吗？
预设：三元 二元 一元 （思维路径）
定元 消元 代入 （具体手段）
【设计意图】通过渐次增加未知数个数逐步提升求解难度的方式落实解法的教学，二个变式基于原始方程组，三元与二元的内部关联，一脉相承，学生在步步推进中顺乎自然地学会了解法，进一步领悟了转化与化归的功用，初步达成教学目标2、3.
环节四：巩固练习
1.解方程组：
2.应用拓展
在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.
预设：考虑到学情，如果学生有困难，可以在课堂上适当启发引导.
【设计意图】通过练习进一步达成教学目标2，并从教学整体考虑，为待定系数法求二次函数解析式打下基础.
环节五：课堂小结
预设提问：
解三元一次方程组的基本思想是什么？用的是什么方法？
解三元一次方程组前要认真观察各方程系数的特点，选择恰当的消元解法.通过本节课的学习，你对于选择消元的方法有什么心得？
预设：（1）当方程组中某个方程只含有二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，另两个方程就用加减法消哪个元；（2）当方程组中各个方程的同一个元的系数的绝对值相同或成倍数关系，就用加减法消去这个元；（3）若方程组中三个方程均含有三个未知数，通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组，但要注意两次必须消去同一个元。
通过本节课的学习，对于大家在今后的学习生活中遇到新的问题，有什么样的启示？
【设计意图】思想方法明确化便于学生的感知与领会，求解思路程序化便于迅速定位，在学生交流中凝聚成本节课的内核.
环节六：作业设计
1.已知方程组的解满足x+y=3，则k的值为______.
2.解方程组：
3. 《九章算术》是我国古代非常重要的一部数学专著，全书共分九章，其中第八章“方程”第一题为：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
大意为：
现今有上等稻子三捆，中等稻子二捆，下等稻子一捆，能结出谷子三十九斗；上等稻子二捆，中等稻子三捆,下等稻子一捆，能结出谷子三十四斗；上等稻子一捆，中等稻子二捆，下等稻子三捆，能结出谷子二十六斗。求上、中、下三等稻子每捆能结多少斗谷子？
【设计意图】通过第1题联通二元与三元，通过第2题直接巩固本节课的核心技能，通过第3题落实实际问题的数学化，一方面感受祖国古代数学文化的成就，另一方面进一步熟悉方程模型，认识到学习三元一次方程组的意义.
七、教后思考
本节课的设计重心在于化归，从简单到复杂，逐步增添未知量，把方程组从仅含一个三元一次方程，到含有两个直至增为三个，在不断的变式中，三元一次方程组的求解思路渐行渐明，最后落定，让学生感觉到思路的出现顺乎其理，是一种自然状态的向前行走，哪种自然会让学生忘却了是在攀高，效果自然会好.