2021-2022学年北师大版高一数学必修三3.3模拟方法--概率的应用 课件（27张ppt）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版高一数学必修三3.3模拟方法--概率的应用 课件（27张ppt） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 716.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-22 20:01:20 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
§3 模拟方法-------概率的应用
o
x
y
A
1
1
复习回顾
1.古典概型的特征
（1）有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
2.古典概型概率公式
3.思考
引例：如图, 曲线 y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A, 直线 x=1, 直线 y=1, x轴、y轴围成一个正方形, 你能否设计一个方法求出区域A的近似面积
几何方法:
把正方形分割成10×10个全等的小正方形, 可得A的近似值.
特点:
方法比较粗略, 并且操作起来很麻烦.
§3 模拟方法-------概率的应用
o
x
y
A
1
1
概率方法:
向图中的正方形中随机地投一粒芝麻, 这个试验具有以下特点:
（1）正方形有有限的度量即面积，
一次试验是向正方形内随机投一点, 试验的所有可能结果就是正方形内的所有点, 因此有无限个.
（2）正方形内任何一点被投到的可能性是相同的.
所投的点落在正方形中某 个区域A内的可能性与A的面积成正比, 而与A在正方形中的位置、形状无关.
可以向正方形中随机撒100粒芝麻, 数落在区域A内的芝麻数与落在正方
形内的芝麻数, 由
就可以求出区域A的近似面积.
特点:
直观、易试验；
操作难度大, 特别是数芝麻数难度大.
在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果（即基本事件）为无穷多的情况，这时用大量试验的方法很难获得一个符合要求的概率，也不能用古典概型的方法求解。当无穷多个基本事件仍然保持着古典概型的“等可能性”时，我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率。
模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法。当现实中的试验难以实施或者不可能实施时，模拟可以给我们提供一个解决问题的方案，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验。比如，在本章第一节中我们用随机数表产生随机数来模拟抛掷硬币的试验，以及通过4个人依次摸球来模拟摸奖的活动等。
刚才的引例是利用模拟方法求图形的面积，下面我们利用模拟方法的思想来研究有关概率的求法。
一、几何概型及计算公式
向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M, 若点M落在子区域G1 G的概率与G1的面积成正比, 而与G的形状、位置无关, 即
则称这种模型为几何概型.
几何概型的特点：
（1）无限性：即在一次随机试验中，可能出现的结果有无穷多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；
（2）等可能性：即在一次随机试验中，每个试验结果发生的可能性是均等的。
G
G1
M
注：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比。
问1：几何概型的随机试验具有什么样的特点？和古典概型有什么区别与联系？如何求几何概型的随机事件的概率？
（2）几何概型中涉及到的图形与形状、位置无关.
（1）公式中的区域可以是长度、面积和体积等；
注意:
几何概型与古典概型的区别与联系：
在古典概型及几何概型中，基本事件的发生都是等可能的；另外，两种概型求解思路也是相同的，同属于“比例解法”。在古典概型中基本事件个数是有限的正整数n,而在几何概型中基本事件个数是无限的。
可见，古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形。
几何概型的概率计算公式：
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
问2：1.判断下列试验是古典概型还是几何概型。
（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如图有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向N区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
解析：（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的可能结果有6X6=36（种），且它们都是等可能的，因此属于古典概型。
（2）游戏中指针指向N区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型。
点评：本题考查的是几何概型与古典概型的概念，需要抓住古典概型与几何概型的区别与联系进行判断.古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无穷多个。
问2：2.请思考解决以下问题：
（1）一个人到单位的时间可能是8:00至9:00之间的任何一个时刻，那么他8:30之前到达的概率是多少？
（2）在1万km2的海域中有40 km2的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
（3）在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率是多少？
点评：由上可知，常见的几何概型主要分三大类：长度型、面积型、体积型。
二、随机模拟的常用方法
例 .小明家的晚报在下午5:30～6:30之间的任何一个时间随机地被送到, 小明一家人在下午6:00～7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.
（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？
（2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
6:30
5:30
6:15
5:45
6:00
晚报
晚报6:07
7:00
6:00
6:45
6:15
6:30
晚餐
晚餐6:23
对于（1）, 晚报在5:30～6:00之间送到; 或晚餐在6:30～7:00之间开始, 这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开始之前, 因此晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大.
对于（2）, 我们可以用转盘模拟估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率.
注意！一个转盘用于模拟晚报的送达, 另一个转盘用于模拟开始晚餐, 两个转盘各转动一次并记录下结果就完成一次模拟.
练习1.哪种类型的试验可以用抛掷一枚硬币作为模拟模型？为什么？
分析：因为抛掷一枚硬币只有两个等可能的结果：正面朝上和反面朝上。所以，如果一个随机试验只有两个等可能的结果就可以用抛掷一枚硬币来模拟。
比如，甲、乙两人抓阄儿决定一件奖品的归属，只有甲中奖和乙中奖这两个等可能的结果，因此可以用抛掷一枚硬币作为模拟模型。
练习2.怎样用随机数表来模拟转动下面每个转盘的试验？
1
2
3
4
1
1
2
2
165o
练习2.怎样用随机数表来模拟转动下面每个转盘的试验？
1
2
3
4
1
1
2
2
165o
分析：对于第一个转盘，可以在随机数表中去掉0,5,6,7,8,9，用1,2,3,4分别代表转动转盘指针指向转盘的1,2,3,4部分，在随机数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个随机数就完成一次模拟。
对于第二个转盘，编号为2的部分的面积与编号为1的部分的面积之比为165:15=11:1.可以在随机数表中考虑相邻的两个数字，这样产生的随机数为00,01,02，... ,99.在产生的两位随机数中去掉12,13,14,... ,99,用00代表转动转盘指针指向转盘的编号为1的部分,用01,02,... ,11这11个数代表转动转盘指针指向转盘的编号为2的部分.在随机数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个两位随机数就完成一次模拟。
问3：随机数表是由哪些数字组成的？
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
【概括】随机模拟的常用方法：
（1）直接试验法：
如教材中的向正方形中撒芝麻和使用转盘模拟试验过程等；
（2）随机数表法：
随机数表是由数字0,1,2,···,9组成的, 并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的；
（3）利用计算机或计算器产生随机数模拟试验：
用计算机软件产生随机数,比如用Excel 软件产生随机数。我们只要按照它的程序一步一步进行即可，比如教材中信息技术的应用。
三、几何概型例题与练习
例1.设m在[0,5]上随机地取值，求方程
有实根的概率。
解：由于m在[0,5]上随机地取值，其样本点是连续无限的，所 以属于几何概型问题。方程
所以方程有实根时m的取值范围为[2,5]。
分析：方程有实根的概率就是不等式 的解集在区间[0,5]内的部分的长度与区间[0,5]的长度的比值。
【概括】1.几何概型概率的计算步骤：
（1）判断是否为几何概型，尤其是判断等可能性;
（2）计算基本事件空间与事件A所含基本事件对应的区域的几何度量（长度、面积或体积）n和m.这是计算的难点;
（3）代入概率公式 计算.
【概括】2.常用到的把实际问题转化为几何概型问题的策略：
（1）选择适当的观察角度；
（2）把基本事件转化为与之对应的区域；
（3）把随机事件A转化为与之对应的区域；
（4）利用概率公式计算；
（5）如果事件A对应的区域不好处理，可以利用对立事件来处理。同时要注意判断基本事件的等可能性，切忌想当然，需要从问题的实际背景中去判断。
例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆, 随机向正方形内丢一
粒豆子, 求豆子落入圆内的概率.
2a
记“豆子落在圆内”为事件A，
解：
答：豆子落在圆内的概率是
三、几何概型例题与练习
分析：在该试验中，丢在正方形上的每一粒豆子都是一个基本事件，则基本事件有无数多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此属于几何概型且为面积型。
答：灯与两端距离都大于3m的概率是0.25.
事件A发生的概率
8m
3m
3m
由于绳长8m, 当挂灯位置介于中间2m时, 事件A发生, 于是
解 记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，
例3.两根相距8m的木杆上系一根拉直的绳子, 并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的概率.
分析：在绳子上每一位置挂一盏灯都是一个基本事件，则基本事件有无数多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此属于几何概型且为长度型。
点评：采用模拟方法的思想，利用线段的长度比例得到所求概率。将概率问题转化为几何问题来计算是几何概型的精华之所在。
例4. 有一杯1升的水，其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水
中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
分析：细菌在这升水中的分布可以看作是随机的,取得0.1升水可作为事件的区域.
解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事件记为A, 则
答:小杯水中含有这个细菌的概率是0.1.
三、几何概型例题与练习
三、几何概型例题与练习（拓展提升）
o
6:00
6:30
7:00
5:30
6:00
6:30
晚餐时间(x)
晚报时间(y)
y=x
例5.小明家的晚报在下午5:30～6:30之间的任何一个时间随机地被送到, 小明一家人在下午6:00～7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐, 晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
分析：由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于横、纵两轴产生公共区域，结合面积得到问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题。
“约会型”概率问题的求解关键
在于合理、恰当地引入变量，
再将具体问题“数学化”，通过
数学模型，得出结论。
y深入分析本题会发现
是晚餐开始时间， 是晚报送达时间，要晚报在晚餐开始之前送到必须 ，于是，结合图形，分析面积，得出结论。
三、几何概型例题与练习（拓展提升）
o
6:00
6:30
7:00
5:30
6:00
6:30
晚餐时间(x)
晚报时间(y)
y=x
例5.小明家的晚报在下午5:30～6:30之间的任何一个时间随机地被送到, 小明一家人在下午6:00～7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐, 晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
解:
设A={晚报在晚餐开始之前被送到},
事件A发生的条件是 ,
建立平面直角坐标系.
y则 P(A)=
答:晚报在晚餐开始之前被送
到的概率0.875.
点评：本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点（x,y)，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题。
练习3.某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.
打开收音机的时刻位于[50, 60]时间段内则事件A发生.
解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A，
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
由几何概型的求概率公式得
P(A)=(60-50)/60=1/6
练习4.小明家订了一瓶阳光鲜奶, 送奶人在早上6:00～7:00之间把阳光鲜奶送到小明家, 小明去上学的时间在早上6:30～7:30之间, 问小明在离开家之前能喝到阳光鲜奶的概率是多少
解:
设A={离开家之前能喝到阳光鲜奶},
建立平面直角坐标系.
x 轴表示送奶人到达的时间,
y 轴表示小明离家去上学的时间.
事件A发生的条件是 y>x ,
o
6:00
7:00
6:30
7:30
x
y
y=x
即图中阴影部分.
则 P(A)=
答:小明在离开家之前能喝到阳光鲜奶的概率是0.875.
分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可用几何概型求解。
四、课堂小结
1.几何概型的概率计算公式中的有限区域的意义依试验的全部结果构成的区域而定, 当区域分别是线段、平面图形、立体图形时, 相应的有限区域分别表示长度、面积、体积等;
2.当试验的全部结果构成的区域一定时, A的概率只与构成事件A的区域的“大小”有关, 而与A的位置和形状无关;
3.对于有关具体问题能否应用几何概型的概率公式计算事件的概率, 关键在于将问题几何化, 也可根据问题的情况, 选择合适的参数, 建立适当的坐标系, 在此基础上, 将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点, 使得全体结果构成一个区域, 且是可度量的;
4.用随机试验模拟的方法求随机事件的概率时, 为省时省力, 通常用计算机或计算器产生随机数来模拟试验.
4.几何概型可分为：区间长度型（例1，练习3），线段长度型（例3），角度型（补充1），周长（弧长）型（补充2），面积型（例2，例5，练习4）和体积型（例4）;
五、课后作业
1.P153 习题3---3
A组 1,2；
B组 1,2,3
2. 课时作业P93课时作业（十七）
六、补充
1.（角度型）如图示，在直角坐标系中，射线OA落在80°角的终边上，任意作射线OB，求射线OB落在∠XOA外的概率。
解： 由于以O为起点作射线OB是随机的，而射线OB落在直角坐标平面内任何位置上是等可能的，所以射线OB落在∠XOA外只与∠XOA的大小有关。
设事件M={射线 OB落在∠XOA外}，事件N={射线 OB落在∠XOA内}，显然，事件M与事件N是对立事件。由∠XOA=80°，得
所以所求概率
2.（周长或弧长型）设有一个均匀的陀螺，在其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1]上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1,3]上的诸数字（所有的数字均按大小排列，且0与3重合）。旋转陀螺，求它停下时，圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率。
解： 设圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1]上的概率为P1,刻度位于[1,1.5]上的概率为P2.
因为区间 [0.5,1]的长度只占半个圆周的 ，
所以区间 [0.5,1]的长度占了整个圆周的 ，可得P1= .
同理，区间[1,1.5]的长度占了整个圆周的 ，可得P2= .
故圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率为
P=P1+P2 = + = .
在古典概型中，每个基本事件发生的概率都是1/n,在几何概型中，每个基本事件（对应于几何区域中的一个点）发生的概率都是0.
如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，那么它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，那么它出现的概率为1，但不是必然事件。
几何概型中的区域边界点是否取到都不影响具体事件A的概率。
几何概型中事件A的概率 ,当P(A)=0时，事件A不一定是不可能事件，但不可能事件的概率一定为0；当P(A)=1时，事件A不一定是必然事件，但必然事件的概率一定为1.
几何概型的注意事项：
将每个基本事件理解或看成从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等。用这种方法处理随机试验时，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比，而与“事件”的位置及形状无关。
几何概型的基本思想：
§3 模拟方法-------概率的应用
o
x
y
A
1
1
复习回顾
1.古典概型的特征
（1）有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
2.古典概型概率公式
3.思考
引例：如图, 曲线 y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A, 直线 x=1, 直线 y=1, x轴、y轴围成一个正方形, 你能否设计一个方法求出区域A的近似面积
几何方法:
把正方形分割成10×10个全等的小正方形, 可得A的近似值.
特点:
方法比较粗略, 并且操作起来很麻烦.
§3 模拟方法-------概率的应用
o
x
y
A
1
1
概率方法:
向图中的正方形中随机地投一粒芝麻, 这个试验具有以下特点:
（1）正方形有有限的度量即面积，
一次试验是向正方形内随机投一点, 试验的所有可能结果就是正方形内的所有点, 因此有无限个.
（2）正方形内任何一点被投到的可能性是相同的.
所投的点落在正方形中某 个区域A内的可能性与A的面积成正比, 而与A在正方形中的位置、形状无关.
可以向正方形中随机撒100粒芝麻, 数落在区域A内的芝麻数与落在正方
形内的芝麻数, 由
就可以求出区域A的近似面积.
特点:
直观、易试验；
操作难度大, 特别是数芝麻数难度大.
在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果（即基本事件）为无穷多的情况，这时用大量试验的方法很难获得一个符合要求的概率，也不能用古典概型的方法求解。当无穷多个基本事件仍然保持着古典概型的“等可能性”时，我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率。
模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法。当现实中的试验难以实施或者不可能实施时，模拟可以给我们提供一个解决问题的方案，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验。比如，在本章第一节中我们用随机数表产生随机数来模拟抛掷硬币的试验，以及通过4个人依次摸球来模拟摸奖的活动等。
刚才的引例是利用模拟方法求图形的面积，下面我们利用模拟方法的思想来研究有关概率的求法。
一、几何概型及计算公式
向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M, 若点M落在子区域G1 G的概率与G1的面积成正比, 而与G的形状、位置无关, 即
则称这种模型为几何概型.
几何概型的特点：
（1）无限性：即在一次随机试验中，可能出现的结果有无穷多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；
（2）等可能性：即在一次随机试验中，每个试验结果发生的可能性是均等的。
G
G1
M
注：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比。
问1：几何概型的随机试验具有什么样的特点？和古典概型有什么区别与联系？如何求几何概型的随机事件的概率？
（2）几何概型中涉及到的图形与形状、位置无关.
（1）公式中的区域可以是长度、面积和体积等；
注意:
几何概型与古典概型的区别与联系：
在古典概型及几何概型中，基本事件的发生都是等可能的；另外，两种概型求解思路也是相同的，同属于“比例解法”。在古典概型中基本事件个数是有限的正整数n,而在几何概型中基本事件个数是无限的。
可见，古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形。
几何概型的概率计算公式：
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
问2：1.判断下列试验是古典概型还是几何概型。
（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如图有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向N区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
解析：（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的可能结果有6X6=36（种），且它们都是等可能的，因此属于古典概型。
（2）游戏中指针指向N区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型。
点评：本题考查的是几何概型与古典概型的概念，需要抓住古典概型与几何概型的区别与联系进行判断.古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无穷多个。
问2：2.请思考解决以下问题：
（1）一个人到单位的时间可能是8:00至9:00之间的任何一个时刻，那么他8:30之前到达的概率是多少？
（2）在1万km2的海域中有40 km2的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
（3）在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率是多少？
点评：由上可知，常见的几何概型主要分三大类：长度型、面积型、体积型。
二、随机模拟的常用方法
例 .小明家的晚报在下午5:30～6:30之间的任何一个时间随机地被送到, 小明一家人在下午6:00～7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.
（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？
（2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
6:30
5:30
6:15
5:45
6:00
晚报
晚报6:07
7:00
6:00
6:45
6:15
6:30
晚餐
晚餐6:23
对于（1）, 晚报在5:30～6:00之间送到; 或晚餐在6:30～7:00之间开始, 这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开始之前, 因此晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大.
对于（2）, 我们可以用转盘模拟估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率.
注意！一个转盘用于模拟晚报的送达, 另一个转盘用于模拟开始晚餐, 两个转盘各转动一次并记录下结果就完成一次模拟.
练习1.哪种类型的试验可以用抛掷一枚硬币作为模拟模型？为什么？
分析：因为抛掷一枚硬币只有两个等可能的结果：正面朝上和反面朝上。所以，如果一个随机试验只有两个等可能的结果就可以用抛掷一枚硬币来模拟。
比如，甲、乙两人抓阄儿决定一件奖品的归属，只有甲中奖和乙中奖这两个等可能的结果，因此可以用抛掷一枚硬币作为模拟模型。
练习2.怎样用随机数表来模拟转动下面每个转盘的试验？
1
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3
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165o
练习2.怎样用随机数表来模拟转动下面每个转盘的试验？
1
2
3
4
1
1
2
2
165o
分析：对于第一个转盘，可以在随机数表中去掉0,5,6,7,8,9，用1,2,3,4分别代表转动转盘指针指向转盘的1,2,3,4部分，在随机数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个随机数就完成一次模拟。
对于第二个转盘，编号为2的部分的面积与编号为1的部分的面积之比为165:15=11:1.可以在随机数表中考虑相邻的两个数字，这样产生的随机数为00,01,02，... ,99.在产生的两位随机数中去掉12,13,14,... ,99,用00代表转动转盘指针指向转盘的编号为1的部分,用01,02,... ,11这11个数代表转动转盘指针指向转盘的编号为2的部分.在随机数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个两位随机数就完成一次模拟。
问3：随机数表是由哪些数字组成的？
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
【概括】随机模拟的常用方法：
（1）直接试验法：
如教材中的向正方形中撒芝麻和使用转盘模拟试验过程等；
（2）随机数表法：
随机数表是由数字0,1,2,···,9组成的, 并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的；
（3）利用计算机或计算器产生随机数模拟试验：
用计算机软件产生随机数,比如用Excel 软件产生随机数。我们只要按照它的程序一步一步进行即可，比如教材中信息技术的应用。
三、几何概型例题与练习
例1.设m在[0,5]上随机地取值，求方程
有实根的概率。
解：由于m在[0,5]上随机地取值，其样本点是连续无限的，所 以属于几何概型问题。方程
所以方程有实根时m的取值范围为[2,5]。
分析：方程有实根的概率就是不等式 的解集在区间[0,5]内的部分的长度与区间[0,5]的长度的比值。
【概括】1.几何概型概率的计算步骤：
（1）判断是否为几何概型，尤其是判断等可能性;
（2）计算基本事件空间与事件A所含基本事件对应的区域的几何度量（长度、面积或体积）n和m.这是计算的难点;
（3）代入概率公式 计算.
【概括】2.常用到的把实际问题转化为几何概型问题的策略：
（1）选择适当的观察角度；
（2）把基本事件转化为与之对应的区域；
（3）把随机事件A转化为与之对应的区域；
（4）利用概率公式计算；
（5）如果事件A对应的区域不好处理，可以利用对立事件来处理。同时要注意判断基本事件的等可能性，切忌想当然，需要从问题的实际背景中去判断。
例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆, 随机向正方形内丢一
粒豆子, 求豆子落入圆内的概率.
2a
记“豆子落在圆内”为事件A，
解：
答：豆子落在圆内的概率是
三、几何概型例题与练习
分析：在该试验中，丢在正方形上的每一粒豆子都是一个基本事件，则基本事件有无数多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此属于几何概型且为面积型。
答：灯与两端距离都大于3m的概率是0.25.
事件A发生的概率
8m
3m
3m
由于绳长8m, 当挂灯位置介于中间2m时, 事件A发生, 于是
解 记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，
例3.两根相距8m的木杆上系一根拉直的绳子, 并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的概率.
分析：在绳子上每一位置挂一盏灯都是一个基本事件，则基本事件有无数多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此属于几何概型且为长度型。
点评：采用模拟方法的思想，利用线段的长度比例得到所求概率。将概率问题转化为几何问题来计算是几何概型的精华之所在。
例4. 有一杯1升的水，其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水
中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
分析：细菌在这升水中的分布可以看作是随机的,取得0.1升水可作为事件的区域.
解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事件记为A, 则
答:小杯水中含有这个细菌的概率是0.1.
三、几何概型例题与练习
三、几何概型例题与练习（拓展提升）
o
6:00
6:30
7:00
5:30
6:00
6:30
晚餐时间(x)
晚报时间(y)
y=x
例5.小明家的晚报在下午5:30～6:30之间的任何一个时间随机地被送到, 小明一家人在下午6:00～7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐, 晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
分析：由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于横、纵两轴产生公共区域，结合面积得到问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题。
“约会型”概率问题的求解关键
在于合理、恰当地引入变量，
再将具体问题“数学化”，通过
数学模型，得出结论。
y
是晚餐开始时间， 是晚报送达时间，要晚报在晚餐开始之前送到必须 ，于是，结合图形，分析面积，得出结论。
三、几何概型例题与练习（拓展提升）
o
6:00
6:30
7:00
5:30
6:00
6:30
晚餐时间(x)
晚报时间(y)
y=x
例5.小明家的晚报在下午5:30～6:30之间的任何一个时间随机地被送到, 小明一家人在下午6:00～7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐, 晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
解:
设A={晚报在晚餐开始之前被送到},
事件A发生的条件是 ,
建立平面直角坐标系.
y
答:晚报在晚餐开始之前被送
到的概率0.875.
点评：本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点（x,y)，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题。
练习3.某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.
打开收音机的时刻位于[50, 60]时间段内则事件A发生.
解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A，
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
由几何概型的求概率公式得
P(A)=(60-50)/60=1/6
练习4.小明家订了一瓶阳光鲜奶, 送奶人在早上6:00～7:00之间把阳光鲜奶送到小明家, 小明去上学的时间在早上6:30～7:30之间, 问小明在离开家之前能喝到阳光鲜奶的概率是多少
解:
设A={离开家之前能喝到阳光鲜奶},
建立平面直角坐标系.
x 轴表示送奶人到达的时间,
y 轴表示小明离家去上学的时间.
事件A发生的条件是 y>x ,
o
6:00
7:00
6:30
7:30
x
y
y=x
即图中阴影部分.
则 P(A)=
答:小明在离开家之前能喝到阳光鲜奶的概率是0.875.
分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可用几何概型求解。
四、课堂小结
1.几何概型的概率计算公式中的有限区域的意义依试验的全部结果构成的区域而定, 当区域分别是线段、平面图形、立体图形时, 相应的有限区域分别表示长度、面积、体积等;
2.当试验的全部结果构成的区域一定时, A的概率只与构成事件A的区域的“大小”有关, 而与A的位置和形状无关;
3.对于有关具体问题能否应用几何概型的概率公式计算事件的概率, 关键在于将问题几何化, 也可根据问题的情况, 选择合适的参数, 建立适当的坐标系, 在此基础上, 将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点, 使得全体结果构成一个区域, 且是可度量的;
4.用随机试验模拟的方法求随机事件的概率时, 为省时省力, 通常用计算机或计算器产生随机数来模拟试验.
4.几何概型可分为：区间长度型（例1，练习3），线段长度型（例3），角度型（补充1），周长（弧长）型（补充2），面积型（例2，例5，练习4）和体积型（例4）;
五、课后作业
1.P153 习题3---3
A组 1,2；
B组 1,2,3
2. 课时作业P93课时作业（十七）
六、补充
1.（角度型）如图示，在直角坐标系中，射线OA落在80°角的终边上，任意作射线OB，求射线OB落在∠XOA外的概率。
解： 由于以O为起点作射线OB是随机的，而射线OB落在直角坐标平面内任何位置上是等可能的，所以射线OB落在∠XOA外只与∠XOA的大小有关。
设事件M={射线 OB落在∠XOA外}，事件N={射线 OB落在∠XOA内}，显然，事件M与事件N是对立事件。由∠XOA=80°，得
所以所求概率
2.（周长或弧长型）设有一个均匀的陀螺，在其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1]上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1,3]上的诸数字（所有的数字均按大小排列，且0与3重合）。旋转陀螺，求它停下时，圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率。
解： 设圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1]上的概率为P1,刻度位于[1,1.5]上的概率为P2.
因为区间 [0.5,1]的长度只占半个圆周的 ，
所以区间 [0.5,1]的长度占了整个圆周的 ，可得P1= .
同理，区间[1,1.5]的长度占了整个圆周的 ，可得P2= .
故圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率为
P=P1+P2 = + = .
在古典概型中，每个基本事件发生的概率都是1/n,在几何概型中，每个基本事件（对应于几何区域中的一个点）发生的概率都是0.
如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，那么它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，那么它出现的概率为1，但不是必然事件。
几何概型中的区域边界点是否取到都不影响具体事件A的概率。
几何概型中事件A的概率 ,当P(A)=0时，事件A不一定是不可能事件，但不可能事件的概率一定为0；当P(A)=1时，事件A不一定是必然事件，但必然事件的概率一定为1.
几何概型的注意事项：
将每个基本事件理解或看成从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等。用这种方法处理随机试验时，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比，而与“事件”的位置及形状无关。
几何概型的基本思想：