(共44张PPT)
第一章 三 角 函 数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任 意 角
必备知识·自主学习
1.角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_____到另一个位置所形成的图
形.
旋转
2.角的表示
顶点:用O表示;
始边:用OA表示,用语言可表示为_________.
终边:用OB表示,用语言可表示为_________.
起始位置
终止位置
3.角的分类
类型 定义 图示
正角 按_______方向旋转
形成的角
负角 按_______方向旋转
形成的角
零角 一条射线没有作___
_______,称它形成
了一个零角
逆时针
顺时针
任
何旋转
【思考】
如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗
提示:不一定,零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角,如360°,-360°等,角的大小不是根据始边、终边的位置,而是根据射线的旋转.
4.象限角
如果角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的_________重合,那么,角的终边
在_________,就说这个角是_________角.如果角的终边在 _______上,就认为这
个角不属于任何一个象限.
非负半轴
第几象限
第几象限
坐标轴
5.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= ______________
____________,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的
和.
(1)本质:满足某一特定条件的角的同一表示.
(2)作用:①判断角所在的象限;②表示角的集合;③求角的三角函数值.
{β|β=α+k·
360°,k∈Z}
【思考】
反过来,若角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,角α,β是否是终边相同的角
提示:当角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,表示角α与β相隔整数个周角,即角α,β终边相同.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)-30°角与330°角是终边相同的角. ( )
(2)负角都是第四象限角. ( )
(3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同. ( )
(4)终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍. ( )
提示:(1)√.因为-30°=-360°+330°,所以-30°角与330°角终边相同.
(2)×.如-150°角是第三象限角.
(3)√.(4)√.
2.与-457°角终边相同的角的集合是 ( )
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
【解析】选C.-457°=-2×360°+263°.所以-457°角与263°角终边相同.
3.(教材二次开发:练习改编)-870°角的终边所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.因为-870°=-360°×3+210°,
所以210°角与-870°角的终边相同,
又因为210°角的终边在第三象限,
所以-870°角的终边也在第三象限.
关键能力·合作学习
类型一 任意角的概念及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.给出下列说法:
①锐角都是第一象限角;
②第一象限角一定不是负角;
③钝角是第二象限角;
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确说法的序号为__________.(把正确说法的序号都写上)
2.将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________.
【解析】1.锐角指大于0°小于90°的角,都是第一象限的角,所以①正确;由任意角的概念知,第一象限角也可为负角;钝角一定是第二象限角,所以③正确;小于180°的角还有负角、零角,所以②④错误.
答案:①③
2.分针每分钟转6°,由于顺时针旋转,所以20分钟转了-120°.
答案:-120°
【解题策略】
1.解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.
2.角的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.
【补偿训练】
给出下列四个命题:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°
<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°.所以这四个命题都是正确的.
类型二 终边相同的角的表示及应用(数学运算)
【典例】已知-990°<α<-630°,且α与120°角终边相同,求角α的集合.
【思路导引】α与120°角终边相同,可表示为α=k·360°+120°,k∈Z,结合角的范围,可得结论.
【解析】α与120°角终边相同,
所以α=k·360°+120°,k∈Z.
因为-990°
所以-1 110°所以k=-3,此时α=(-3)×360°+120°=-960°.
所以角α的集合为:{-960°}.
【解题策略】
(1)一般地,可以将所给的角β化成k·360°+α的形式(其中0°≤α
<360°,k∈Z),其中的α就是所求的角.
(2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给角是负角时,采用连续加360°的方式;当所给角是正角时,采用连续减360°的方式,直到所得结果达到要求为止.
特别提醒:表示终边相同的角时,k∈Z这一条件不能省略.
【跟踪训练】
1.与1 650°角终边相同的角是 ( )
A.30° B.210° C.-30° D.-210°
【解析】选B.与1 650°角终边相同的角是α=1 650°+k·360°,k∈Z,
当k=-4时,α=210°,所以与1 650°角终边相同的角是210°.
2.设α=1 000°,若β是与α终边相同的最小正角,则β=________.
【解析】因为与α终边相同的角为k·360°+α(k∈Z),
当α=1 000°时,又β是与α终边相同的最小正角,
则β=(-2)×360°+1 000°=280°.
答案:280°
类型三 象限角及其应用(直观想象)
角度1 用不等式组表示角的集合
【典例】如图所示.
(1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【思路导引】
(1)根据题目给出的条件分别写出OA,OB表示的角.
(2)根据阴影部分写出不等式,注意两个角的先后顺序.
【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.
【变式探究】将本例中的图形改为如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.
【解析】设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.
①{α|k·360°+30°≤α②{α|k·360°+210°≤α所以角α的集合应当是集合①与②的并集,即
S={α|k·360°+30°≤α∪{α|k·360°+210°≤α={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}
∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}={α|2k·180°+
30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}
={α|n·180°+30°≤α 角度2 nα或 所在象限的判定
【典例】若α是第二象限角,则2α, 分别是第几象限的角
【思路导引】根据已知条件,用不等式表示出α的范围,再求出nα或 ,然后判
定所在象限即可.
【解析】(1)因为α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),
所以180°+k·720°<2α<360°+k·720°,
所以2α是第三或第四象限的角,或角的终边在y轴的非正半轴上.
(2)方法一:因为α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),
所以45°+k·180°< <90°+k·180°(k∈Z).
①当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°< <90°+n·360°(n∈Z),即 是第一象
限角;
②当k=2n+1(n∈Z)时,225°+n·360°< <270°+n·360°(n∈Z),即 是第
三象限角.故 是第一或第三象限角.
方法二:作图
因为α是第二象限角,所以 是第一或第三象限角.
【解题策略】
已知α范围,求nα和 所在象限
(1)已知α范围,求nα所在象限时,用不等式表示出来,再查找不等式的范围即
可,注意结果可能不只有象限角,还可能有轴线角.
(2)已知α范围,求 所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺
序标记一,二,三,四,找到原象限数字即可.
【发散·拓】
确定 (n∈N*)的终边所在的象限的方法:
一般地,要确定 所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线,它
们与坐标轴把周角分成4n个区域,从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区
域依次标上1,2,3,4,…,1,2,3,4,…,标号为几的区域,就是根据α所在第几象限
时, 的终边所落在的区域,如此 所在的象限就可以由标号区域所在的象限
直观看出.
【题组训练】
1.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是 ( )
【解析】选C.由集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}可知,
当k为偶数时,集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}与 |45°
≤α≤90°}表示的范围相同;
当k为奇数时,集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}与{α|225°
≤α≤270°}表示的范围相同;所以集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°
+90°,k∈Z}中表示的角的范围为选项C.
2.若α是第三象限角, 则180°- 是 ( )
A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角
C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角
【解析】选B.因为α是第三象限角,
所以k·360°+180°<α所以k·180°+90°< 所以-k·180°-135°<- <-k·180°-90°,k∈Z,
所以-k·180°+45°<180°- α<-k·180°+90°,k∈Z,
故当k为偶数时,180°- α是第一象限角;
故当k为奇数时,180°- α是第三象限角.
3.已知角α是第一象限角,则角 可能是第________象限角.
【解析】根据题意,角α是第一象限角,故k·360°<α所以k·120°< 所以当k=3n时,n·360°< 可能是第一、二、三象限角.
答案:一、二、三
1.下列说法正确的是 ( )
A.终边相同的角一定相等
B.钟表的时针旋转而成的角是负角
C.终边相同的角之间相差360°
D.小于90°的角都是锐角
【解析】选B.终边相同的角不一定相等,可能相隔k·360°,A错误;钟表的时针是顺时针旋转,故是负角,所以B正确;终边相同的角之间相差360°的整数倍,C错误;负角小于90°,但不是锐角,D错误.
课堂检测·素养达标
2.下列是第三象限角的是 ( )
A.-110° B.-210° C.80° D.-13°
【解析】选A.-110°=-360°+250°,所以-110°是第三象限角,正确;-210°
=-360°+150°,
所以-210°是第二象限角,不正确;80°是第一象限角,不正确;
-13°=-360°+347°,所以-13°是第四象限角,不正确.
3.(教材二次开发:例题改编)在0°～360°的范围内,与-510°终边相同的角是 ( )
A.330° B.210° C.150° D.30°
【解析】选B.因为-510°=-720°+210°,
则在0°～360°的范围内,与-510°终边相同的角是210°.
4.与-2 020°角终边相同的最小正角是________.
【解析】-2 020°=-6×360°+140°,
即与-2 020°角终边相同的最小正角是140°.
答案:140°
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是________.
【解析】观察图形可知,角α的集合是{α|k·360°+45°<α+150°,k∈Z}.
答案:{α|k·360°+45°<α1.1.2 弧 度 制
必备知识·自主学习
1.度量角的两种制度
(1)角度制
①定义:用度作为单位来度量角的单位制.
②1度的角:周角的 为1度角,记作1°.
(2)弧度制
①定义:以弧度为单位来度量角的单位制.
②1弧度的角:长度等于_______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
③表示方法:1弧度记作1 rad.
半径长
【思考】
在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗
提示:不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1,在大小不同的圆中,由于半径不同,所以圆心角也不同.
2.弧度数的计算与互化
(1)弧度数的计算.
(2)弧度与角度的互化.
(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表
【思考】
你认为式子|α|= 中,比值 与所取的圆的半径大小是否有关
提示:与半径大小无关,一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一
确定的.
3.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则
(1)弧长公式:l=____.
(2)扇形面积公式:S=
αR
【思考】
我们初中学过的半径为r,圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么
提示:半径为r,圆心角为n°的扇形弧长公式为l= 扇形面积公式为
S扇=
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧. ( )
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关. ( )
(3)160°化为弧度制是 π rad. ( )
提示:(1)×.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.
(2)√.“1弧度的角”的大小是等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径
大小无关.
(3)√.160°=160× rad= π rad.
2.(1) 化为角度是________.
(2)215°化为弧度是________.
【解析】(1)
(2)215°=215×
答案:(1)315° (2) rad
3.(教材二次开发:练习改编)已知扇形的圆心角为 ,面积为 ,则扇形的半
径是________.
【解析】设扇形的圆心角为α,半径为r,扇形的面积公式为:S= αr2,
= × ·r2 r2=4 r=2.
答案:2
关键能力·合作学习
类型一 弧度与角度的互化
【题组训练】
1.(1)将112°30′化为弧度为________.
(2)将- rad化为角度为________.
2.已知α=15°,β= γ=1,θ=105°,试比较α,β,γ,θ的大小.
【解析】1.(1)因为1°= rad,
所以112°30′= rad×112.5= rad.
(2)因为1 rad=
所以
答案:(1) rad (2)-75°
2.方法一(化为弧度):
α=15°=15× θ=105°=105×
显然 故α<β<γ<θ.
方法二(化为角度):β= =18°,γ=1≈57.30°.
显然,15°<18°<57.30°<105°,故α<β<γ<θ.
【解题策略】
角度制与弧度制互化的原则和方法
(1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°= rad和1 rad= 进行换算;
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad= ;n°=n· .
【补偿训练】
1.252°的弧度数为 ( )
A.252π B.-252π C. π D.- π
【解析】选C.根据1°= 弧度,
252°=252× 弧度.
2.将 弧度化为角度的结果为 ( )
A. B.120°
C. D.270°
【解析】选A.根据1= ,可得
类型二 利用弧度制表示角
【典例】若角θ的终边与角 的终边相同,则在 内与角 的终边相同的
角是________.
【思路导引】根据角θ的终边与角 的终边相同,得到θ= +2kπ,k∈Z,再
得到 ,然后由 ∈[0,2π)列式,根据k∈Z,可得整数k 的值,从而可得出答案.
【解析】因为θ= +2kπ(k∈Z),
所以 (k∈Z).
依题意,得0≤ <2π(k∈Z),
解得- (k∈Z),
所以k=0,1,2,
所以在 内与角 的终边相同的角为
答案:
【解题策略】
1.弧度制下与角α终边相同的角的表示:在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
【跟踪训练】
1.在0～2π范围内,与角- 终边相同的角是 ( )
【解析】选A.与角- 终边相同的角是2kπ+ ,k∈Z,令k=1,可得与角-
终边相同的角是 .
2.将- 化为2kπ+α 的形式为________.
【解析】因为- +4π= π,所以- =-4π+ .
答案:-4π+
3.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.
【解析】因为30°= rad,210°= rad,这两个角的终边所在的直线相同,
因为终边在直线AB上的角为α=kπ+ ,k∈Z,而终边在y轴上的角为β=kπ+ ,
k∈Z,从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合
为
类型三 扇形的弧长公式及面积公式
角度1 利用公式求弧长和面积
【典例】已知扇形的半径为10 cm,圆心角为60°,求扇形的弧长和面积.
【思路导引】已知扇形的半径,圆心角,把圆心角化为弧度制,利用扇形的弧长、面积公式算出即可.
【解析】已知扇形的圆心角α=60°= ,半径r=10 cm,则弧长l=α·r= ×
10= (cm),于是面积S= lr= × ×10= (cm2).
角度2 利用公式求半径和弧度数
【典例】扇形OAB的面积是4 cm2,它的周长是8 cm,求扇形的半径和圆心角.
【思路导引】设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,圆心角的弧度数为θ,由已知列方程组,解方程组即可.
【解析】设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l cm,半径为r cm,
依题意有
由①②,得r=2,所以l=8-2r=4,θ= =2.
故所求扇形的半径为2 cm、圆心角的弧度数为2 rad.
角度3 利用公式求扇形面积的最值
【典例】已知扇形的圆心角为α,半径为R.
若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大
【思路导引】利用扇形的周长是C以及弧长公式,即可表示扇形圆心角α
为 ,由扇形面积、二次函数即可求解.
【解析】因为扇形周长C=2R +l=2R +αR,
所以α= ,
所以S扇= αR2= ·R2=-R2+ CR=
当且仅当R= ,即α=2 rad时,扇形面积最大.
【解题策略】
(1)三个公式:α= ,l=αR,S= lR= αR2.要根据已知量、未知量之间的
关系,适当选择公式,建立方程(组)、不等式(组)或函数解决问题.
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪
些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求
解.
(3)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利
用函数知识求最值,一般多利用二次函数的最值求解.
【题组训练】
1.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为 ( )
【解析】选B.分针每分钟转6°,则分针在8点到10点20分这段时间里转过的度数
为-6°×(2×60+20)=-840°,所以-840×
2.若2弧度的圆心角所对的弦长为4,则这个圆心角所对的弧长为 ( )
【解析】选B.画出图象如图所示,
在☉O中,∠AOB=2α=2,α=1,AB=4,C是AB的中点,
所以OC⊥AB,在Rt△OCB中,sin α= ,
即sin 1= ,所以OB= ,
所以2弧度的圆心角所对的弧长为2×
1.已知α=-2 rad,则角α的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.因为1 rad= ,
所以α=-2 rad=- °≈-114.6°,
故角α的终边在第三象限.
课堂检测·素养达标
2.已知某扇形的面积为2.5 cm2,若该扇形的半径r,弧长l满足2r+l=7 cm,则该
扇形圆心角大小的弧度数是 ( )
【解析】选D.据题意,
所以 或5.
3.(教材二次开发:例题改编)化-225°为弧度为________.
【解析】因为180°=π,所以45°= ,
所以-225°=-(180°+45°)=-
答案:-
4.已知扇形的圆心角为60°,其弧长为π,则此扇形的半径为________,面积
为________.
【解析】由题意可知,扇形圆心角为 ,
则弧长l=αr= r=π,所以r=3,
扇形面积S= lr= .
答案:3 (共31张PPT)
1.2.1 任意角的三角函数(二)
必备知识·自主学习
1.有向线段
(1)定义:带有_____的线段.
(2)表示:用大写字母表示,如有向线段OM,MP.
导思 (1)什么是有向线段
(2)如何用三角函数线表示正弦、余弦和正切
方向
【思考】
书写有向线段时,字母的顺序可以颠倒吗
提示:在用字母表示有向线段时,要注意它们的方向,即分清起点和终点,书写顺序不能颠倒.
2.三角函数线
(1)本质:平面直角坐标系中的有向线段.
(2)应用:①求三角函数值;②比较三角函数值的大小;③解三角不等式.
【思考】
三角函数线的长度等于三角函数的值吗
提示:不等于,三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)角α的正弦线的长度等于sin α. ( )
(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线. ( )
提示:(1)×.角α的正弦线的长度等于|sin α|.
(2)×.90°角不能作正切线.
2.如图,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是 ( )
A.正弦线MP,正切线A′T′ B.正弦线OM,正切线A′T′
C.正弦线MP,正切线AT D.正弦线OM,正切线AT
【解析】选C.α为第三象限角,故正弦线为MP,正切线为AT,C正确.
3.(教材二次开发:练习改编)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等,且
符号相同,那么α的值为________.
【解析】根据正弦线和余弦线的定义知,
当α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等时,终边落在了第一、三象限的角
平分线上,即α= 或 .
答案: 或
关键能力·合作学习
类型一 三角函数线的作法及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.角 和角 有相同的 ( )
A.正弦线 B.余弦线
C.正切线 D.不能确定
【解析】选C.角 和角 的终边互为反向延长线,所以正切线相同.
2.求作 的正弦线、余弦线和正切线.
【解析】角 的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴,垂足为M,过
A(1,0)作单位圆的切线AT,与 的终边的反向延长线交于点T,则 的正弦线
为MP,余弦线为OM,正切线为AT.
【解题策略】
三角函数线的作法步骤
(1)作直角坐标系和角的终边.
(2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线,垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或终边反向延长线交于点T.
(5)有向线段MP,OM,AT即分别为角的正弦线,余弦线和正切线.
【补偿训练】
作出 的正弦线、余弦线和正切线.
【解析】如图所示, 的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.
类型二 利用三角函数线解三角不等式(直观想象)
【典例】求函数 的定义域.
【思路导引】转化为不等式组 利用三角函数线求解.
【解析】由题意,得自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,
所以
【解题策略】
1.利用三角函数线解形如sin α≥m,sin α≤m(|m|≤1)的不等式
(1)画出如图所示的单位圆;在y轴上截取OM=|m|,过点(0,m)作y轴的垂线交单位
圆于两点P和P′,并作射线OP和OP′.
(2)写出终边在OP和OP′上的角的集合.
(3)图中阴影部分(含边界)即为满足不等式
sin α≤m的角α的范围,其余部分(不含边界)
即为满足不等式sin α>m的角α的范围.
2.利用三角函数线解形如cos α≥m,cos α≤m(|m|≤1)的不等式
(1)画出如图所示的单位圆;在x轴上截取OM=|m|,过点(m,0)作x轴的垂线交单位
圆于两点P和P′,作射线OP和OP′.
(2)写出终边在OP和OP′上的角的集合.
(3)图中阴影部分(含边界)即为满足不等式
cos α≤m的角α的范围,其余部分(不含边界)
即为满足不等式cos α>m的角α的范围.
【跟踪训练】
在[-π,π]上,满足sin x≤ 的x的取值范围是________.
【解析】如图所示,由于sin =sin = ,
所以满足sin x≤ 的x的范围为 .
答案:
类型三 三角函数线的综合应用(逻辑推理)
角度1 利用三角函数线比较大小
【典例】已知a=sin ,b=cos ,c=tan ,则 ( )
A.aC.b【思路导引】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:
①关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
②注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
【解析】选D.因为 ,作出角 的三角函数线,如图可知
cos 角度2 利用三角函数线证明不等关系
【典例】已知0【思路导引】作出三角函数线BP,OB,AE,由S△OPA面积,可推得BP< 【证明】如图作三角函数线BP,OB,AE,
因为S△OPAS△OPA= ·1·BP,S扇形OPA= ·1· ,
S△OAE= ·1·AE,所以BP< 【解题策略】
利用三角函数线比较大小的关注点
(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值.
(2)比较两个三角函数值的大小,不仅要看长度,还要看其方向.
提醒:在利用三角函数线比较大小时,要注意三角函数线的方向,即注意三角函数值的正负.
【题组训练】
1.若点P 在第一象限,则在[0,2π)内α的取值范围是 ( )
【解析】选A.点P 在第一象限
如图所示:
在[0,2π)内α的取值范围是 .
2.如果 <θ< π,那么下列各式中正确的是 ( )
A.cos θC.tan θ【解析】选C.
由于 <θ< π,
如图所示,正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,
由此容易得到AT1.下列命题:
①α一定时,单位圆中的正弦线一定;
②单位圆中,有相同正弦线的角相等;
③α和α+π有相同的正切线;
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.
其中不正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.由三角函数线的定义知①③④正确,②不正确.
课堂检测·素养达标
2.如果OM,MP分别是角α= 的余弦线和正弦线,那么下列结论正确的是 ( )
A.MPC.MP>OM>0 D.OM>MP>0
【解析】选D.角 的余弦线、正弦线相等,结合图象可知角α= 的余弦线和
正弦线满足OM>MP>0.
3.已知 的正弦线为MP,正切线为AT,则有 ( )
A.MP与AT的方向相同 B.|MP|=|AT|
C.MP>0,AT<0 D.MP<0,AT>0
【解析】选A.三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.
MP=sin <0,AT=tan <0.
4.若角α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为________.
【解析】若角α的余弦线长度为0,则终边与y轴重合,此时正弦线的长度为1.
答案:1
5.在单位圆中画出适合cos α≤- 的角α终边的范围,并由此写出角α的集
合.
【解析】作直线x=- ,交单位圆于C,D两点,
连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(图中的阴影部分)即为角α的终边的范围.故
满足条件的角α的集合为(共33张PPT)
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数(一)
必备知识·自主学习
1.三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那
么:
sin α=__;cos α=__;tan α=____(x≠0).
y
x
2.三角函数值的符号
如图所示:
正弦:一二象限___,三四象限___;
余弦:一四象限___,二三象限___;
正切:一三象限___,二四象限___.
正
负
正
负
正
负
【思考】
三角函数值在各象限的符号由什么决定
提示:三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此,三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.
3.诱导公式一
sin(α+k·2π)=______,cos(α+k·2π)=______,tan(α+k·2π)=
______ (k∈Z).
sinα
cosα
tanα
【思考】
根据三角函数的诱导公式一,终边相同的角的同一三角函数值有何关系
提示:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.
因为这些角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若sin α=sin β,则α=β. ( )
(2)设角α终边上的点P(x,y),r=|OP|≠0,则sin α= ,且y越大,sin α的值越
大. ( )
(3)终边相同的角的三角函数值相等. ( )
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0. ( )
提示:(1)×.由诱导公式sin(α+k·2π)=sin α可知,当β=α+2kπ时,sin α
=sin β,其中k∈Z.
(2)×.由任意角的正弦函数的定义知,sin α= .但y变化时,sin α是定值.
(3)√.三角函数值由其角的终边所在位置决定.
(4)×.终边落在y轴上的角的正切函数值不存在.
2.cos 420°的值是 ( )
【解析】选A.cos 420°=cos(360°+60°)=cos 60°= .
3.(教材二次开发:习题改编)已知角α的终边经过点P(4,-3),则2sin α+
cos α的值等于 ( )
【解析】选A.因为角α的终边过点P ,r=OP=5,所以利用三角函数的定义,
求得sin α=- ,cos α= ,
所以2sin α+cos α=- ×2+
关键能力·合作学习
类型一 三角函数的定义及应用(数学抽象、数学运算)
【题组训练】
1.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),那么sin α+2cos α的值等
于 ( )
2.已知角α的终边落在直线 x+y=0上,求sin α,cos α,tan α的值.
【解析】1.选A.因为点P在单位圆上,则|OP|=1.
即 =1,解得a=±
因为a<0,所以a=- 所以P点的坐标为
所以sin α= cos α=
所以sin α+2cos α=
2.直线 x+y=0,即y=- x,经过第二、四象限,在第二象限取直线上的
点(-1, ),
则r= =2,所以sin α= cos α=- ,
tan α=- ;在第四象限取直线上的点(1,- ),
则r= =2,
所以sin α= cos α= tan α=-
【解题策略】
角α的终边在直线上求α的三角函数值的方法
方法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定
义求出相应三角函数值.
方法二:在α的终边上任选一点P(a,b),求出P到原点的距离为r(r>0).再根据公
式sin α= cos α= tan α= 求值即可.
【补偿训练】
1.角a的终边经过点P 且cos a=- ,则b的值为 ( )
A.-3 B.3 C.±3 D.5
【解析】选B.因为角a的终边经过点P 且cos a=- ,
所以cos a=-
则b>0,解得b=3.
2.已知P(-2,y)是角α终边上一点,且sin α=- ,求cos α与tan α的值.
【解析】因为点P到原点的距离为r= ,所以sin α= ,所以y2+4
=5y2,所以y2=1.
又易知y<0,所以y=-1,所以r= ,
所以cos α=
tan α=
类型二 三角函数值符号的应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】若sin α·cos α<0,则角α的终边位于第________象限.
【思路导引】由sin α·cos α<0可得
由三角函数在各个象限的符号可求角α的终边所在象限.
【解析】由sin α·cos α<0可得
当 时角α的终边位于第四象限,
当 时角α的终边位于第二象限.
答案:二或四
【解题策略】
判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限.
(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号.
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要将弧度误认成角度.
提醒:注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限内的符号.
【跟踪训练】
判断下列各式的符号:
(1)sin 145°cos(-210°);(2)sin 3·cos 4·tan 5.
【解析】(1)因为145°是第二象限角,所以sin 145°>0,
因为-210°=-360°+150°,
所以-210°是第二象限角,所以cos(-210°)<0,
所以sin 145°cos(-210°)<0.
(2)因为 <3<π,π<4< , <5<2π,
所以sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0,
所以sin 3·cos 4·tan 5>0.
类型三 诱导公式一的应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】计算下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°.
【思路导引】先用诱导公式一化简,再根据特殊角的三角函数求值.
【解析】(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°
+60°)sin(2×360°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
(2)原式=
【解题策略】
利用诱导公式进行化简求值的步骤
(1)定形:把已知的任意角写成2kπ+α,α∈(0,2π)的形式.
(2)转化:根据诱导公式,转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值:若角为特殊角直接求出该角的三角函数值.
【跟踪训练】
1.点A(sin 1 918°,cos 1 918°)在平面直角坐标系上位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.因为1 918°=360°×5+118°,
因为118°是第二象限角,
所以1 918°是第二象限角,则sin 1 918°>0,cos1 918°<0,
所以点A(sin 1 918°,cos 1 918°)在平面直角坐标系上位于第四象限.
2. 的值为________.
【解析】
答案:0
1.已知角α终边过点P(1,-1),则tan α的值为 ( )
【解析】选B.由三角函数定义知tan α= =-1.
课堂检测·素养达标
2.已知角α的终边过点P ,且cos α=- ,则m的值为( )
【解析】选B.因为角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),
所以r
3.(教材二次开发:例题改编)已知点P(cos α,tan α)在第三象限,则角α的终
边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.由题意可得
所以角α的终边在第二象限.
4.sin(-315°)的值是 ( )
【解析】选C.sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin 45°= .
5.确定下列各式的符号:
(1)sin 105°·cos 230°;(2)cos 6·tan 6.
【解析】(1)因为105°,230°分别是第二、三象限角,
所以sin 105°>0,cos 230°<0.所以sin 105°·cos 230°<0.
(2)因为 <6<2π,所以6是第四象限角.
所以cos 6>0,tan 6<0.所以cos 6·tan 6<0.(共33张PPT)
1.2.2 同角三角函数的基本关系
必备知识·自主学习
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系
①公式:sin2α+cos2α=1.
②语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
(2)商数关系
①公式:
②语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
本质:反映的是同角间正弦、余弦和正切之间的关系.
应用:①求值;②化简三角式;③证明三角恒等式.
【思考】
(1)两个公式成立的条件分别是什么
提示:平方关系对于α∈R都成立;商数关系中公式成立的条件必须为:α≠kπ
+ ,k∈Z.
(2)同角三角函数的基本关系有变形公式吗
提示:有;①sin2α+cos2α=1的变形公式有:
sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α.
②tan α= 的变形公式有:
sin α=cos αtan α;cos α=
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对任意的角α,β,sin2α+cos2β=1一定成立. ( )
(2)sin2 +cos2 =1. ( )
(3)对任意的角α,都有tan α= 成立. ( )
提示:(1)×.在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立,
即sin2α+cos2α=1.
(2)√.在sin2α+cos2α=1中,令α= 可得sin2 +cos2 =1.
(3)×.当α= +kπ,k∈Z时就不成立.
2.已知α∈ ,sin α= ,则cos α= ( )
【解析】选A.因为sin α= ,α∈ ,所以cos α=
3.(教材二次开发:习题改编)若sin α= ,且α是第二象限角,则tan α的值
等于 ( )
【解析】选A.因为α是第二象限角,sin α= ,
所以cos α= ,所以tan α=
关键能力·合作学习
类型一 利用同角三角函数的基本关系求值(数学运算)
【题组训练】
1.若α∈(0,π),且sin2α+cos α= ,则tan α的值等于 ( )
2.已知 =3,则tan α= ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
【解析】1.选D.由sin 2α+cos α= ,
得4(1-cos 2α)+4cos α-1=0,即4cos 2α-4cos α-3=0,
解得cos α=- 或cos α= (舍).
因为α∈(0,π),所以α= ,所以tan α=tan
2.选C.因为 =3,所以 =3,解得tan α=2.
【解题策略】
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解
(2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题,我们可利用平方关系或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2=1±
2sin αcos α的等价转化,分析解决问题的突破口.
【补偿训练】
1.已知cos α=- ,α是第三象限角,则sin α= ( )
【解析】选C.因为cos α=- ,α是第三象限角,所以其正弦值为负,则sin α=
- .
2.若tan θ=2,则2sin2θ-3sin θcos θ= ( )
A.10 B.± C.2 D.
【解析】选D.2sin2θ-3sin θcos θ
类型二 sin α±cos α、sin αcos α关系的应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知sin α+cos α=- ,0<α<π.
(1)求sin αcos α的值.
(2)求sin α-cos α的值.
【思路导引】(1)两边平方得出sin αcos α的值
(2)先确定sin α-cos α的正负,再求解
【解析】(1)由sin α+cos α=- ,得(sin α+cos α)2= ,
sin2α+2sin αcos α+cos2α= ,sin αcos α=- .
(2)因为0<α<π,sin αcos α<0,
所以sin α>0,cos α<0 sin α-cos α>0.
sin α-cos α=
【解题策略】
sin α±cos α,sin αcos α求值的方法
已知sin α±cos α,sin αcos α求值问题,一般利用三角恒等式,
采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有:
①(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;
②(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α;
③(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;
④(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α.
【跟踪训练】
已知sin α+cos α= ,则sin α·cos α=________.
【解析】在等式sin α+cos α= 两边同时平方得sin2α+
2sin αcos α+cos2α= ,即1+2sin αcos α= ,
解得sin α·cos α=- .
答案:-
类型三 利用同角三角函数关系式化简、证明(逻辑推理)
角度1 利用同角三角函数关系式化简
【典例】已知α是第三象限角,化简:
【思路导引】对于含有根号的三角函数式,常把根号里面的部分利用平方差公
式和平方关系化简,然后去根号达到化简的目的.
【解析】原式=
因为α是第三象限角,所以cos α<0.
所以原式= =-2tan α.
角度2 利用同角三角函数关系式证明
【典例】求证:
【思路导引】思路1.把左边分子分母同乘以cos x,再利用公式变形;思路2:把左
边分子、分母同乘以(1+sin x)先满足右式分子的要求;思路3:用作差法,不管分
母,只需将分子转化为零;三种证明方法都要注意平方关系sin2x+cos2x=1的应用.
【证明】证法1:左边= =右边,所以原等
式成立.
证法2:左边=
=右边.
证法3:因为
所以
【解题策略】
1.三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根式的,常把根号里部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于含有高次的三角式,可借助于因式分解或构造sin2α+cos2α=1,降低函数次数,达到化简的目的.
2.简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始,证明它等于另一边.
(2)证明左、右两边等于同一个式子.
(3)逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简.
3.证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则
(1)常用技巧:切化弦、整体代换、“1”的代换等.
(2)原则:由繁到简,变异为同.
【题组训练】
1.化简: =________.
【解析】原式=
答案:cos 80°
2.求证:
【证明】方法一:左边=
=右边,所以原等式成立.
方法二:右边=
= =左边,所以原等式成立.
1.下列四个命题中可能成立的是 ( )
A.sin α= 且cos α= B.sin α=0且cos α=-1
C.tan α=1且cos α=-1 D.tan α=- (α在第二象限)
【解析】选B.由基本关系式可逐个判断A,C,D不正确.
课堂检测·素养达标
2.设θ为锐角,sin θ= ,则cos θ= ( )
【解析】选D.因为θ为锐角,sin θ= ,
所以cos θ=
3.(教材二次开发:习题改编)已知α∈ ,且tan α= ,那么
sin α= ( )
【解析】选B.因为α∈ ,tan α= >0,故α∈ ,即sin α=
cos α,又sin2α+cos2α=1,解得:sin α=- .
4.化简 的结果是 ( )
A.cos B.sin C.-cos D.-sin
【解析】选C.
因为 <π,所以cos <0,所以 =-cos ,
即(共23张PPT)
阶段提升课
第一课 任意角的三角函数及诱导公式
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 终边相同的角
1.-2 019°角的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.因为-2 019°=-360°×6+141°,
而90°<141°<180°,所以-2 019°角的终边在第二象限.
2.若角α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在 ( )
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
【解析】选A.α=45°+k·180°,k∈Z,
当k=0时,α=45°,此时α为第一象限角,排除C,D;
当k=1时,α=225°,此时α是第三象限角,排除B;所以角α的终边落在第一或第三象限.
3.已知α=- ,则下列4个角中与角α终边相同的是 ( )
【解析】选C.由题得与角α终边相同的角的集合为
当k=6时,β= .
【方法技巧】
终边相同角的问题
(1)灵活运用弧度制或角度制表示角,注意同一表达式中角度与弧度不能混用.
(2)利用弧度制表示时,π的系数为2k,即偶数.
题组训练二 弧度制中的弧长、面积问题
1.扇形的周长是4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是( )
A. B.1 C.2 D.4
【解析】选C.设扇形的弧长为l,半径为r,扇形的圆心角的弧度数是α,
则2r+l=4,①,因为S扇形= lr=1,②
解①②得:r=1, l=2,
所以扇形的圆心角的弧度数α= =2.
2.已知扇形AOB的面积为 ,圆心角∠AOB=120°,则该扇形半径r为________.
【解析】圆心角∠AOB=120°= π,扇形AOB的面积为 ,
所以
所以r=2.
答案:2
3.如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧 、
弧 的圆心依次是A,B,C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是________.
【解析】因为∠DAC=∠DBE=∠ECF=120°= ,
所以弧 的长是 ,弧 ,弧 ×3=2π,则曲
线CDEF的长是 +2π=4π.
答案:4π
【方法技巧】
扇形的弧长、面积问题
(1)涉及扇形的周长、弧长、面积、圆心角等的计算,先分析题目已知哪些量,求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.
(2)涉及扇形周长、面积的最值问题,一般转化为二次函数的最值,通过配方求最值.
题组训练三 任意角的三角函数定义
1.已知sin α= ≤α≤π,则tan α=________.
【解析】由sin α= ,且sin2α+cos2α=1得cos α=± ,因为 ≤α≤π,
可得cos α=- ,所以tan α= =-2.
答案:-2
2.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点
P ,则sin(α+π)=________.
【解析】由角α的终边过点P ,得sin α=- ,所以sin(α+π)=
-sin α= .
答案:
【方法技巧】
(1)已知某角的正(余)弦函数值求其他三角函数值时,先利用平方关系求另一余(正)弦函数值,再求正切函数值,需要注意的是利用平方关系时,若没有角度的限制,要注意分类讨论.
(2)已知角终边上的点求角的三角函数值时,先根据条件求出定点到原点的距离,再根据三角函数的定义求三角函数值;利用诱导公式化简三角函数时,关键注意两点:函数名和函数的符号.
题组训练四 同角三角函数的基本关系式
1.α是第三象限角,且sin α=- ,则tan α= ( )
【解析】选B.因为α是第三象限角且sin α=- ,
所以cos α=- ,所以tan α=
2.已知tan α=2,则 的值为________.
【解析】
代入tan α=2得,原式=
答案:
3.已知sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π).
(1)求tan θ的值.
(2)求 的值.
【解析】(1)因为sin θ+cos θ= ,θ∈ ①,
则sin θ>0.平方可得1+2sin θcos θ= ,
所以sin θcos θ=- ②,
由①②求得sin θ= ,cos θ=- ,所以tan θ=
(2)
【方法技巧】 利用同角三角函数的基本关系化简时的注意点
(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”,因此sin2α+cos2β≠1,
tan α≠
(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就
角所在象限进行分类讨论.
题组训练五 诱导公式的应用
1.锐角α满足sin ,则sin = ( )
【解析】选D.由锐角α满足sin
所以cos
所以sin
2.已知tan α=-2,则 =________.
【解析】
答案:-
3.已知角α终边上有一点P ,且sin α= .
(1)求tan α的值.
(2)求 的值.
【解析】(1)角α终边上有一点P ,且sin α= ,则 ,解得y=
2,所以tan α= =2.
(2)
【方法技巧】
用诱导公式求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值,关键在于根据给出的特点,将角化成2kπ±
α,π±α, ±α, ±α(或k· ±α),k∈Z的形式,再用“奇变偶不变,
符号看象限”来化简.
(2)解决“已知某三角函数值,求其他三角函数值”的问题,关键在于观察分析条
件角和结论角,清除条件与结论之间的差异,将已知和未知联系起来,还应注意整
体思想的应用.(共34张PPT)
1.3 三角函数的诱导公式(二)
必备知识·自主学习
(3)应用:①实现正弦函数与余弦函数的转化;②化简;③求值;④证明三角恒
等式.
【思考】
(1)角 -α与角α的终边有什么样的位置关系
提示:如图,角 -α与角α的终边关于y= x对称.
(2)点P1(a,b)关于y= x对称的对称点坐标是什么
提示:点P1(a,b)关于y= x对称的对称点坐标是P2(b,a).
(3)如何由公式四及公式五推导公式六
提示:
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)sin( +α)=-cos α. ( )
(2)在△ABC中, ( )
(3)sin =±cos α. ( )
提示:(1)×.由公式六知sin( +α)=cos α.
(2)√.因为 ,由公式五可知sin =cos .
(3)×.当k=2时,sin =sin(π-α)=sin α.
2.已知tan α=3,则sin 的值为 ( )
【解析】选B.已知tan α=3,
则sin
3.(教材二次开发:习题改编)已知sin 40°=a,则cos 130°等于________.
【解析】cos 130°=cos(90°+40°)=-sin 40°=-a.
答案:-a
关键能力·合作学习
类型一 利用诱导公式求值(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知cos <α<0,求cos 的值.
【思路导引】结合已知及同角平方关系可求sin ,然后利用诱导公式及
同角平方关系可求.
【解析】因为- <α<0,所以0<-α< ,
所以
又因为cos
所以sin
所以
【解题策略】
解决化简求值问题的策略
(1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系,发现它们的互补、互余关系.
(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.
提醒:常见的互余关系有: -α与 +α, +α与 -α等;常见的互补关系
有: +θ与 -θ, +θ与 -θ等.
【跟踪训练】
1.已知sin 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是 ( )
A.m B.
C.-m D.-
【解析】选A.sin 239°tan 149°
=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)
=-sin 59°(-tan 31°)
=-sin(90°-31°)·(-tan 31°)
=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°=m.
2.已知cos(π+α)=- ,α为第一象限角,则cos 的值为________.
【解析】因为cos(π+α)=-cos α=- ,
所以cos α= ,又α为第一象限角,
则cos =-sin α=
答案:
3.已知sin ,则cos 的值为________.
【解析】
答案:
类型二 利用诱导公式化简、证明(逻辑推理)
角度1 利用诱导公式化简
【典例】已知f =
化简f .
【思路导引】先利用诱导公式化简每一个因式,再运算.
【解析】f =
=
角度2 利用诱导公式证明恒等式
【典例】求证:
=-tan α.
【思路导引】利用诱导公式直接对等式左边进行化简,从而推得等式右边.
【证明】因为左边
=-tan α=右边.
所以原等式成立.
【解题策略】
对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推导右边或从右边推导左边,也可以左右归一,变更论证的方法.常用定义法、弦化切、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简洁的方法.
【题组训练】
1.已知角θ终边经过点(3,-4),则 = ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选C.由三角函数的定义可得tan θ=- ,
因此,
2.已知α为第二象限角,化简 =________.
【解析】
答案:-1
3.化简或求值:
(1)
(2)6sin(-90°)+3sin0°-8sin270°+12cos180°.
【解析】(1)原式=
=-sin α+sin α=0.
(2)原式=6× +3×0-8× +12× =-6+8-12=-10.
类型三 诱导公式的综合应用(数学运算)
【典例】已知
(1)化简f(α).
(2)若f(α)=2,求sin2α-3sin αcos α的值.
【思路导引】(1)利用诱导公式即可化简.
(2)利用同角三角函数的基本关系化简并将数据代入即可.
【解析】(1)f(α)=
(2)由(1)知tan α=-2,sin2α-3sin αcos α
【解题策略】
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称:一般是弦切互化.
三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
【跟踪训练】
已知f(α)=
(1)化简f(α).
(2)若角A是△ABC的内角,且f(A)= ,求tan A-sin A的值.
【解析】(1)f(α)=
(2)因为f(A)=cos A= ,
又A为△ABC的内角,
所以由平方关系,得sin A=
所以tan A=
所以tan A-sin A=
1.若α是三角形内角,且sin ,则角α等于 ( )
【解析】选D.因为sin
所以cos α=- .
因为0<α<π,所以α= .
课堂检测·素养达标
2.已知tan θ=2,则 等于 ( )
【解析】选B.
3.(教材二次开发:例题改编)化简 得________.
【解析】
答案:
4.若cos +sin(π+θ)=-m,则cos +2sin(6π-θ)的值为________.
【解析】由题意知,sinθ+sinθ=m,所以sinθ= .
所以cos +2sin(6π-θ)
=-sin θ-2sin θ=-3sin θ
=- .
答案:-
5.化简
【解析】(共35张PPT)
1.3 三角函数的诱导公式(一)
必备知识·自主学习
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角. ( )
(2)sin(α-π)=sin α. ( )
(3)cos π=- . ( )
提示:(1)×.正、余弦函数的诱导公式中,α为任意角,但是正切函数的诱导公
式中,α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
(2)×.sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin (π-α)=-sin α.
(3)√.
2.点P 是角α终边上一点,则sin 的值为 ( )
【解析】选A.由三角函数的定义可得sin α=
由诱导公式可得sin =sin α= .
3.(教材二次开发:习题改编)求值:sin
【解析】
答案:
关键能力·合作学习
类型一 给角求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.计算 的值是 ( )
2.求下列各式的值:
(1)cos(-120°)sin(-150°)+tan 855°.
(2)
【解析】1.选C.原式=
2.(1)原式=cos 120°(-sin 150°)+tan (135°+2×360°)
=-cos(180°-60°)sin(180°-30°)+tan 135°
=cos 60°sin 30°+tan (180°-45°)
=cos 60°sin 30°-tan 45°=
(2)原式=
=sin ·cos ·tan =-sin ·cos ·tan =
=-sin ·cos ·tan =
【解题策略】
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”:用公式一或三来转化.
(2)“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”:用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值.
【补偿训练】
1.sin(-210°)的值为 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选B.由诱导公式得sin (-210°)
=-sin 210°=-sin =sin 30°= .
2.sin +cos +tan 1 665°的值为________.
【解析】原式=sin +cos +tan
=sin 150°+cos 240°+tan 45°=sin 30°-cos 60°+1= - +1=1.
答案:1
类型二 给值(式)求值问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】当θ∈ 时,若cos ,则tan 的值为________.
【思路导引】根据题中所给的角的范围,确定相应的角的范围,结合题中所给的
角的三角函数值,结合角的范围,利用同角三角函数的平方关系式,求得相应的
三角函数值,之后应用诱导公式和同角三角函数商数关系,求得结果.
【解析】因为θ∈(0,π),所以-θ∈(-π,0),
所以
因为cos <0,
所以
所以sin
所以tan
答案:
【解题策略】
解决给值求值问题的策略
(1)解决给值求值问题,首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
【跟踪训练】
1.已知sin =a,则sin = ( )
A.a B.-a C.±a D.不确定
【解析】选B.方法一:因为 π-α+ =2π,
所以α+ π=2π-
所以
方法二:
=sin =a.
所以
=-sin =-a.
2.若cos 165°=a,则tan 195°= ( )
【解析】选B.cos 165°=cos(180°-15°)=-cos 15°=a,
故cos 15°=-a(a<0),得sin 15°=
tan 195°=tan(180°+15°)=tan 15°=
类型三 化简求值问题(逻辑推理、数学运算)
角度1 化简求值
【典例】计算:cos +cos +cos +cos +cos +cos =________.
【思路导引】观察 与 , 与 , 与 的关系,分别用诱导公式化简.
【解析】原式=cos +cos +cos +cos
+ cos +cos
=cos +cos +cos -cos -cos -cos
=0.
答案:0
角度2 给值化简求值
【典例】已知sin(3π+θ)= ,则 =____.
【思路导引】利用诱导公式进行化简求值.
【解析】原式=
因为sin(3π+θ)= ,所以sin θ=- ,代入上式,
所以原式=32.
答案:32
【解题策略】
三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
(2)常用“切化弦”法,即表达式中的正切函数通常化为正弦、余弦函数.
(3)注意“1”的变式应用:如1=sin2α+cos2α=tan .
【题组训练】
1.化简: =________.
【解析】
答案:-1
2.已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边为x轴正半轴,终边上有一点P(3,-4),
则sin(θ-π)+cos(θ+π)=________.
【解析】r=
cos θ= .sin(θ-π)+ cos(θ+π)=sin(θ+π)-cos θ
=-sin θ-cos θ=-
答案:
3.已知tan (π+α) =m,求值:
【解析】因为tan (π+α)=m,所以tan α=m,
原式=
=-tan α
=-m.
1.tan 等于 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选C.
课堂检测·素养达标
2.tan 300°+sin 450°的值是 ( )
A.-1+ B.1+
C.-1- D.1-
【解析】选D.原式=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)
=tan(-60°)+sin 90°=-tan 60°+1=- +1.
3.(教材二次开发:例题改编)sin 的值为________.
【解析】sin
答案:
4.已知角α终边上一点P ,则cos 的值为______.
【解析】由三角函数的定义可得cos α=
因此cos =-cos α= .
答案:
5.若cos(π+α)= ,α为第二象限角,则tan(π-α)=________.
【解析】因为cos(π+α)=-cos α= ,
所以cos α=- ,
又α为第二象限角,所以sin α=
所以tan(π-α)=-tan α=-
答案: