(共46张PPT)
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
必备知识·自主学习
1.正弦函数、余弦函数的图象
应用:①解简单三角不等式;②比较三角函数值的大小.
2.正弦曲线、余弦曲线
(1)正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫_________.
正弦曲线
(2)余弦函数y=cos x,x∈R的图象叫余弦曲线.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正弦函数y=sin x的图象向左右和上下无限伸展. ( )
(2)函数y=sin x与y=sin(-x)的图象完全相同. ( )
(3)函数y=cos x的图象关于(0,0)对称. ( )
提示:(1)×,正弦函数y=sin x的图象向左右无限伸展,但上下限定在直线y=1和y=-1之间.
(2)×,二者图象不同,而是关于y轴对称.
(3)×,函数y=cos x的图象关于y轴对称.
2.利用“五点法”作函数y=cos x,x∈[0,2π]的简图时,第三个点的坐标是 ( )
A. B.(π,1) C.(π,0) D.(π,-1)
【解析】选D.根据五点法作图中起关键作用的五点的特征加以判断可得D选项
符合题意.
3.(教材二次开发:习题改编)下列图象中是y=-sin x在[0,2π]上的图象的是 ( )
【解析】选D.y=-sin x的图象与y=sin x的图象关于x轴对称,故只有D符合.
关键能力·合作学习
类型一 正弦函数、余弦函数图象的初步认识(直观想象)
【题组训练】
1.下列叙述正确的个数是 ( )
①y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称;
②y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称;
③正、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.函数y=cos x· 的大致图象是( )
【解析】1.选D.分别画出函数y=sin x,x∈[0,2π]和y=cos x,x∈[0,2π]的图
象,由图象(略)观察可知①②③均正确.
2.选C.由题意得y=cos x·
所以其图象的大体形状如选项C所示.
【解题策略】
1.解决正、余弦函数的图象问题,关键是要正确地画出正、余弦曲线.
2.正、余弦曲线的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
3.研究正、余弦曲线的对称性时,要仔细观察函数的图象.
类型二 用“五点法”作三角函数的图象(直观想象)
【典例】用“五点法”作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
【思路导引】列出五点法作图中的五点,描点,然后用平滑的曲线连接起来.
【解析】列表:
x 0
π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
1-cos x 0 1 2 1 0
描点并用光滑的曲线连接起来,
如图.
【解题策略】
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤:
(1)列表:
x 0
π 2π
sin x
或cos x 0或1 1或0 0或-1 -1或0 0或1
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:
(0,y1), (π,y3), (2π,y5).
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
【跟踪训练】
利用“五点法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图.
【解析】取值列表:
描点连线,如图所示.
x 0
π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-sin x 1 0 1 2 1
类型三 正弦函数、余弦函数图象的应用(逻辑推理)
角度1 解三角不等式
【典例】在[0,2π]内,不等式2sin x-1≥0的解集为 ( )
【思路导引】在[0,2π]上,作出y=sin x的图象,再在这个平面直角坐标系中
作出直线y= 观察图象,找到满足sin x≥ 的x的取值范围.
【解析】选D.因为2sin x-1≥0,所以sin x≥ .
在同一坐标系下,作函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象以及直线y= .由函数的
图象知,
所以根据图象可知,sin x≥ 的解集为
【变式探究】
求不等式sin x≤ 的解集.
【解析】在同一坐标系下,作函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象以及直线y= .由
函数的图象知
所以当0≤x≤2π时,sin x≤ 的解集为0≤x≤ 或 ≤x≤2π,
所以不等式sin x≤ 的解集为
角度2 比较三角函数值的大小
【典例】记a=sin 1,b=sin 2,c=sin 3,则 ( )
A.c
C.a【思路导引】先画出函数f(x)=sin x的图象,然后作直线x=1,x=2,x=3,与函数f(x)=sin x图象交点的纵坐标即为a,b,c,从而判断其大小.
【解析】选B.
画出f(x)=sin x的图象,如图,其中A(1,sin 1),B(2,sin 2),C(3,sin 3),由图可知,sin 3【解题策略】
用三角函数的图象解sin x>m(或cos x>m)的方法
(1)作出y=m,y=sin x(或y=cos x)的图象.
(2)确定sin x=m(或cos x=m)的x值.
(3)确定sin x>m(或cos x>m)的解集.
【题组训练】
1.在(0,2π)上使cos x>sin x成立的x的取值范围是 ( )
【解析】选A.以第一、三象限角平分线为分界线,终边在下方的角满足
cos x>sin x.
因为x∈(0,2π),所以cos x>sin x的x的范围不能用一个区间表示,必须是两个区间的并集.
2.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的区间是______.
【解析】画出函数y=cos x在[0,2π]上的图象,如图所示,由图象可知,cos x>
0对应的x的取值范围为
答案:
3.函数y= 的定义域为________.
【解析】由题意得sin x-cos x≥0,即sin x≥cos x,
画出函数y=sin x与y=cos x在[0,2π]上的图象,
如图所示,结合图象可知在[0,2π]上,满足条件的x的取值范围是 .
故函数y= 的定义域为 ,k∈Z.
答案: ,k∈Z
备选类型 正、余弦函数图象与其他曲线的交点问题(直观想象)
【典例】判断方程sin x=lg x的解的个数.
【思路导引】在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=sin x与y=lg x的图象,观察图象判断.
【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的
图象,再依次向左、右连续平移,得到y=sin x的图象.在同一平面直角坐标系内
描出 ,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象,如图,
由图象可知方程sin x=lg x的解有3个.
【解题策略】
函数图象在判断交点问题中的应用
(1)确定方程解的个数问题,常借助函数图象用数形结合的方法求解.
(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具,通过图象可较简便地解决问题,这正是数形结合思想方法的应用.
【跟踪训练】
已知函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π],若直线y=k与其仅有两个不同的交
点,求k的取值范围.
【解析】由题意知f(x)=sin x+2|sin x|=
图象如图所示:
若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不
同的交点,则由图可知k的取值范围是(1,3).
1.用“五点法”画函数y=2-3sin x的图象时,首先应描出五点的横坐标是 ( )
【解析】选B.所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同,
即0, ,2π.
课堂检测·素养达标
2.函数y=-cos x(x>0)的图象与y轴最近的最高点的坐标为 ( )
A. B.(π,1)
C.(0,1) D.(2π,1)
【解析】选B.画出函数y=-cos x(x>0)的图象如图所示,由图可知,与y轴最近的最高点为(π,1).
3.(教材二次开发:例题改编)函数y=sin|x|的图象是 ( )
【解析】选B.y=sin|x|=
作出y=sin|x|的简图知选B.
4.点M 在函数y=sin x的图象上,则m等于 ( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
【解析】选C.由题意-m=sin ,所以-m=1,所以m=-1.
5.函数y= 的定义域是________.
【解析】要使函数有意义,只需2cos x- ≥0,
即cos x≥ .
由余弦函数图象知(如图).
所求定义域为 ,k∈Z.
答案: ,k∈Z(共33张PPT)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
必备知识·自主学习
1.正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数 余弦函数
图象
值域 _______ _______
单
调
性 增区间 _______________________
减区间 _________________
[-1,1]
[-1,1]
正弦函数 余弦函数
最
值 ymax=1 x= +2kπ,k∈Z ____________
ymin=-1 _______________ x=(2k+1)π,k∈Z
x=2kπ,k∈Z
2.作用
①求最值;②确定单调区间;③比较大小.
【思考】
从图象的变化趋势来看,正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置
提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的地方.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=sin x在(0,π)上是增函数. ( )
(2)cos 1>cos 2>cos 3. ( )
(3)函数y=- sin x,x∈ 的最大值为0. ( )
提示:(1) ×.y=sin x在 上是增函数,在 上是减函数.
(2) √.y=cos x在(0,π)上是减函数,且0<1<2<3<π,所以cos 1>cos 2>cos 3.
(3) √.函数y=- sin x在x∈ 上为减函数,故当x=0时,y=- sin x取最大
值0.
2.下列函数中,周期为π,且在 上为减函数的是 ( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
【解析】选A.因为函数的周期为π,所以排除C,D.又因为y=cos
=-sin 2x在 上为增函数,故B不符.只有函数y=sin 的周期为π,
且在 上为减函数.
3.(教材二次开发:练习改编)函数y=|sin x|+sin x的值域为 ( )
A.[-1,1] B.[-2,2] C.[-2,0] D.[0,2]
【解析】选D.因为y=|sin x|+sin x
又因为-1≤sin x≤1,所以y∈[0,2],
即函数的值域为[0,2].
关键能力·合作学习
类型一 正弦函数、余弦函数的单调性(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知f(x)=-2sin ,求函数f(x)的单调递增区间.
【思路导引】先将函数表达式化简得到f(x)=2sin ,
由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,解得x的范围.
【解析】因为f(x)=-2sin =2sin ,由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,
k∈Z,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,可得函数f(x)的单调递增区间
为
【解题策略】
求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,b为常数)的函数的单调区间
(1)数形结合法:可以借助于正弦函数、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间,通过解不等式求得.
(2)整体代换法:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.
【跟踪训练】
求函数f(x)=2sin +1的单调递减区间.
【解析】对于函数f(x)=2sin +1,
当2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ (k∈Z)时,
f(x)单调递减,解得4k+ ≤x≤4k+ (k∈Z),
所以函数f(x)的单调递减区间是
类型二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(逻辑推理、数学运算)
【题组训练】
比较下列各组数的大小.
(1)sin 与sin
(2)sin 196°与cos 156°.
(3)cos 与cos
【解析】(1)
所以sin >sin .
(2)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,cos 156°=cos(180°-24°)
=-cos 24°=-sin 66°,因为0°<16°<66°<90°,所以sin 16°从而-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°.
(3)
因为 且y=cos x在 上是减函数,
所以
【解题策略】
三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到 内;
对于余弦函数来说,一般将两个角转化到 内.
(2)不同名的函数化为同名的函数.
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
【补偿训练】
(2020·济南高一检测)设a=cos ,b=sin ,c=cos ,则 ( )
A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a
【解析】选A.
因为 ,且y=cos x在 上是单调递减函数,所以a>c>b.
类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题(数学运算)
角度1 形如y=Asin(ωx+φ)+k或 y=Acos(ωx+φ)+k型最值问题
【典例】已知x∈ ,求函数y=2cos +1的值域.
【思路导引】根据x 的范围,逐步求出2x+ 的范围,再根据余弦函数的单调性,
求出函数的值域.
【解析】因为- 所以0 < y < 3,所以函数y=2cos +1,x∈ 的值域为(0,3).
角度2 形如y=Asin2 x+Bsin x+C或y=Acos2 x+Bcos x+C型最值问题
【典例】函数y=cos2 x+2sin x-2,x∈R的值域为________.
【思路导引】先用平方关系转化,即cos2x=1-sin2x,再将sin x看作整体,转化为二次函数的值域问题.
【解析】y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
因为-1≤sin x≤1,所以-4≤y≤0,
所以函数y=cos2 x+2sin x-2,x∈R的值域为 .
答案:
【解题策略】
1.求三角函数值域或最值的常用方法.
(1)可化为单一函数y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的最大值为|A|+k,最小值为-|A|+k(其中A,ω,k为常数,A≠0,ω≠0).
(2)可化为y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C(A≠0)的最大、最小值,可利用二次函数在区间[-1,1]上的最大、最小值的求法来求.(换元法)
2.形如y=sin(ωx+φ)的值域问题,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的最值(值域).
【题组训练】
1.设|x|≤ ,函数f(x)=cos2x+sin x的最小值是________.
【解析】函数f(x)=cos2x+sin x=
因为|x|≤ ,所以sin x∈
当sin x=- 时,函数取得最小值 .
答案:
2.已知函数y=a-bcos (b>0)的最大值为 ,最小值为- .
(1)求a,b的值.
(2)求函数g(x)= 的最小值并求出对应x的集合.
【解析】 (1)cos ∈[-1,1],因为b>0,所以-b<0.
所以
所以a= ,b=1.
(2)由(1)知g(x)=-2sin ,
因为sin ∈[-1,1],所以g(x)∈[-2,2].
所以g(x)的最小值为-2,此时,sin =1.
对应x的集合为
1.函数f(x)=sin 的单调递减区间是 ( )
课堂检测·素养达标
【解析】选B.因为f(x)=sin ,
令
解得 +kπ即函数f(x)=sin 的单调递减区间是
2.y=2sin 的值域是 ( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.[-1,1]
【解析】选A.因为sin ∈[-1,1],所以y∈[-2,2].
3.(教材二次开发:例题改编)用不等号填空:sin ________cos .
【解析】由题意得,
因为 >0,所以sin >sin ,即sin >cos .
答案:>
4.已知0<θ< ,将cos θ,cos(sin θ),sin(cos θ)从小到大排列________.
【解析】当x>0时,sin x因为0<θ< ,所以sin θ<θ,
所以cos(sin θ)>cos θ,
令x=cos θ,所以cos θ>sin(cos θ).
答案:cos(sin θ)>cos θ>sin(cos θ)(共37张PPT)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
必备知识·自主学习
1.函数的周期性
(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每
一个值时,都有____________,那么这个函数的周期为T.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________,那么
这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
f(x+T)=f(x)
最小的正数
【思考】
是不是所有的函数都是周期函数 若一个函数是周期函数,它的周期是否唯一
提示:并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
(1)本质:函数的周期性反映的是函数值的周而复始的现象;函数的奇偶性反映的是互为相反的两个自变量,函数值之间的对应关系.
(2)应用:
周期性:①画图;②求值.
奇偶性:①求解析式;②解不等式;③画图.
函数 y=sin x y=cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 ____ 2π
奇偶性 奇函数 _______
2π
偶函数
【思考】
(1)正弦曲线对称吗
提示:正弦函数y=sin x是奇函数,正弦曲线关于原点对称.
(2)余弦曲线对称吗
提示:余弦函数y=cos x是偶函数,余弦曲线关于y轴对称.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)因为 则 是函数y=sin x的一个周期. ( )
(2)所有的周期函数都有最小正周期. ( )
(3)函数y= 是奇函数. ( )
提示:(1)×.因为对任意x, 与sin x并不一定相等.
(2)×.不是所有的周期函数都有最小正周期,如函数f(x)=5是周期函数,就不存
在最小正周期.
(3)×.函数 的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},不关于原点对
称,故非奇非偶.
2.函数 ( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
【解析】选A.因为f(x)= =sin x,所以f(-x)=sin(-x)=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
3.(教材二次开发:练习改编)函数 的最小正周期为______.
【解析】因为y=sin x的周期为2π,
所以函数 的最小正周期为
答案:3π
关键能力·合作学习
类型一 求函数的周期(数学抽象)
【题组训练】
1.如图是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是 ( )
2.f(x)= 的周期为 ( )
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=-1,则f(x)的周期为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.1
【解析】1.选D.D中x∈(-1,1)时的图象与其他区间图象不同,不是周期函数.
2.选C.f(x)=
所以周期为π.
3.选B.方法一:f(x+2)=
所以f(x+4)=
所以函数f(x)是周期函数,4是一个周期.
方法二:因为f(x+2)f(x)=-1,所以f(x+4)f(x+2)=-1.
解方程得f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期函数,4是一个周期.
【解题策略】
求三角函数周期的方法
(1)定义法:即利用周期函数的定义f(x+T)=f(x)求解.
(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=
(3)图象法:即通过观察函数图象求其周期.
【补偿训练】
求下列三角函数的周期:
(1)
(2)y=|cos x|,x∈R.
【解析】(1)因为
由周期函数的定义知,y= 的周期为6π.
(2)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示,
由图象可知,y=|cos x|的周期为π.
类型二 三角函数奇偶性的判断(逻辑推理)
【典例】判断函数f(x)= 的奇偶性.
【思路导引】先根据诱导公式对解析式作恒等变形,再判断奇偶性.
【解析】
又
所以函数f(x)= 是偶函数.
【解题策略】
1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面:
一看函数的定义域是否关于原点对称;
二看f(x)与f(-x)的关系.
2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
【跟踪训练】
1.已知函数f(x)= 则函数f(x)为 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
【解析】选B.因为f(x)= =cos x,
所以f(-x)= =f(x),所以f(x)是偶函数.
2.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)= sin 2x.
(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x).
【解析】(1)因为f(x)= sin 2x,
所以f(-x)= sin(-2x)=- sin 2x=-f(x),
所以f(x)= sin 2x是奇函数.
(2)由 得-1解得定义域为
所以f(x)的定义域关于原点对称.
又因为f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x),
所以f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]
=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
类型三 三角函数周期性、奇偶性的综合应用(逻辑推理、数学抽象)
角度1 函数奇偶性、周期性的综合判断
【典例】下列函数中既是周期函数又是偶函数的是 ( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.y=-sin 2x
D.y=-cos 2x
【思路导引】先对解析式进行化简,再根据奇偶性的定义判断奇偶性,根据周期的求解方法求周期.
【解析】选D.函数
周期 且f(-x)=-7sin
=7sin x=-f(x),为奇函数.
为奇函数,不符合.
设f(x)=-sin 2x,则f(-x)=sin 2x,
所以f(-x)=-f(x),为奇函数,不符合.
设f(x)=y=-cos 2x,
则f(-x)=- cos 2(-x)=- cos 2x=f(x),
故函数y=-cos 2x是偶函数,由T= =π,
故函数y=-cos 2x是最小正周期为π的偶函数.
角度2 根据奇偶性、周期性求值
【典例】定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周
期为π,且当x∈ 时,f(x)=sin x,则 等于 ( )
【思路导引】先依据f(x+π)=f(x)化简
再依据f(x)是偶函数和x∈ 时,f(x)=sin x求值.
【解析】选D.
【解题策略】
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.
【题组训练】
1.设函数f(x)= x∈R,则f(x)是 ( )
A.最小正周期为π 的奇函数
B.最小正周期为 的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
【解析】选D.函数f(x)= ,x∈R,化简可得f(x)=-cos 2x,所以f(x)是
偶函数.最小正周期T= =π,所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.
2.下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( )
A.y=cos|2x| B.y=|sin 2x|
C.y=sin D.y=cos
【解析】选D.y=cos|2x|是偶函数,y=|sin 2x|是偶函数,
y=sin =cos 2x是偶函数,y=cos =-sin 2x是奇函数,根据公式得
其最小正周期T=π.
3.若f(x)是以 为周期的奇函数,且 =1,则 =________.
【解析】因为f(x)是以 为周期的奇函数,
所以
答案:-1
1.下列函数中,周期为 的是 ( )
A.y=sin B.y=sin 2x
C.y=cos D.y=cos 4x
【解析】选D.由公式T= 可得.
课堂检测·素养达标
2.函数y= (x∈R)是 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.无法确定
【解析】选A.y= =-sin x,所以此函数为奇函数.
3.下列函数为奇函数的是 ( )
A.y= B.y=|sin x|
C.y=cos x D.y=ex-e-x
【解析】选D.对于D,f(x)=ex-e-x的定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故y=ex-e-x
为奇函数.而y= 的定义域为{x|x≥0},不具有对称性,故y= 为非奇非偶函
数.y=|sin x|和y=cos x为偶函数.
4.函数y=4sin(2x+π)的图象关于 ( )
A.x轴对称 B.原点对称
C.y轴对称 D.直线x= 对称
【解析】选B.y=4sin(2x+π)=-4sin 2x是奇函数,其图象关于原点对称.
5.已知函数f(x)的周期为1.5,且f(1)=20,则f(10)的值是________.
【解析】f(10)=f(6×1.5+1)=f(1)=20.
答案:20(共46张PPT)
1.4.3 正切函数的性质与图象
必备知识·自主学习
正切函数y=tan x的图象和性质
解析式 y=tan x
图象
定义域
解析式 y=tan x
值域 __
周期 π
奇偶性 奇函数
对称
中心 _______,k∈Z
单调性 在开区间______________,
k∈Z内都是增函数
R
应用:①比较大小;②解三角不等式;③求单调区间;④求对称中心
【思考】
(1)从正切曲线上观察,正切函数值是有界的吗
提示:不是,正切函数没有最大值和最小值,正切函数的值域为R.
(2)正切函数在整个定义域上都是增函数吗
提示:不是.正切函数在每一个开区间 上是增函数.但在整
个定义域上不是增函数.
(3)可以怎样快速作出正切函数的图象
提示:正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出,三点指的是
两线为直线x=kπ+ 和直线x=kπ- ,
其中k∈Z.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=tan x在其定义域上是增函数. ( )
(2)函数y=tan x的图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z). ( )
(3)函数y=tan 2x的周期为π. ( )
提示:(1)×.y=tan x在区间 (k∈Z)上是增函数,但在其定义域
上不是增函数.
(2)×.y=tan x图象的对称中心是 (k∈Z).
(3)×.y=tan 2x的周期为
2.函数f(x)=tan 的单调递增区间为 ( )
【解析】选C.f(x)=tan
令
所以 +kπ所以f(x)的单调递增区间为 k∈Z.
3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)= 的最小正周期为________.
【解析】因为
即
所以f(x)=2tan 的周期为2.
答案:2
关键能力·合作学习
类型一 正切函数的定义域、周期性、奇偶性(数学抽象)
【题组训练】
1.函数y=tan 的定义域为 ( )
A.x≠ B.x≠kπ+ ,k∈Z
C. x≠ D.x≠ k∈Z
2.函数f(x)=tan 的最小正周期是 ( )
A.π B.2π C. D.
3.函数f(x)=sin x+tan x的奇偶性为 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
【解析】1.选D.因为
所以
2.选C.因为
即
所以
所以f(x)=tan 的最小正周期是
3.选A.定义域为 关于原点对称,
因为f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),
所以它是奇函数.
【解题策略】
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还
要保证正切函数y=tan x有意义即x≠ +kπ,k∈Z.
(2)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T= 常常利用此公式来求周
期.
(3)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对
称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.
【补偿训练】
1.(2020·灵宝高一检测)函数y= 的定义域是 ( )
【解析】选D.
函数有意义,则
解得x≠kπ+ ,据此可得函数y=tan 的定义域是
2.函数f(x)= 与函数g(x)= 的最小正周期相同,则ω= ( )
A.±1 B.1 C.±2 D.2
【解析】选A.因为函数f(x)= 与函数g(x)= 的最小正周期
相同,因此 所以ω=±1.
类型二 正切函数的单调性(逻辑推理)
角度1 求正切函数的单调区间
【典例】求函数y=tan 的定义域、最小正周期,并判断它的单调性.
【思路导引】函数的定义域根据公式3x- ≠ +kπ,k∈Z求解,正切函数的最
小正周期T= ,利用y=tan x的单调性,令- +kπ<3x- < +kπ, k∈Z,求解函
数的单调区间
【解析】由题意知,3x- ≠ +kπ,k∈Z,
解得:x≠ π+ π,k∈Z,
所以函数的定义域是
函数的最小正周期T= ;
- +kπ<3x- < +kπ, k∈Z,
解得:- + 所以函数的单调递增区间是
角度2 利用正切函数的性质比较大小
【典例】已知a=sin ,b=cos ,c=tan ,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.bC.c【思路导引】将a=sin 利用诱导公式化为 a=sin ,利用角的范围判断
a>0>b>-1,而c<-1.大小关系即可确定.
【解析】选C.a=sin =sin π;
因为 < <π,所以sin π>0>cos π>-1,
即-1因为 < ,所以tan >tan =1,
所以c=tan =-tan <-1,
所以a>0>b>-1>c.
【解题策略】
1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”
的思想,令kπ- <ωx+φ(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]
=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的
范围即可.
2.比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
【题组训练】
1.比较大小:
(1)tan 32°________tan 215°.
(2)tan ________tan
【解析】(1)tan 215°=tan(180°+35°)=tan 35°,
因为y=tan x在 上单调递增,32°< 35°,
所以tan 32°< tan 35°=tan 215°.
(2)tan
因为y=tan x在 上单调递增,且
所以
答案: (1) < (2)<
2.将tan 1,tan 2,tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)
【解析】tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),
因为- <2-π<3-π<1< ,
且y=tan x在 上单调递增,
所以tan(2-π)即tan 2答案:tan 2类型三 求函数的值域、最值(数学运算)
【典例】求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈ 的值域.
【思路导引】换元,把三角函数变为二次函数,根据二次函数的性质求函数的值域
【解析】因为- ≤x≤ ,所以-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
所以f(t)=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
开口向下,对称轴为t=2,
又因为f(t)在t∈[-1,1]时为增函数,
所以当t=-1,即x=- 时,ymin=-4,
当t=1,即x= 时,ymax=4,故所求函数的值域为[-4,4].
【解题策略】
求与正切函数相关的值域的方法
(1)对于y=tan x在不同区间上的值域,可以结合图象,利用单调性求值域.
(2)对于y=A tan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域.
(3)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.
【跟踪训练】
1.函数y=tan x 的值域是________.
【解析】因为函数y=tan x在区间 上为增函数,所以当x=- 时有最小值
为-1,当x= 时有最大值为 ,所以其值域为[-1, ].
答案:
2.函数f(x)=sin x+tan x,x∈ 的值域是________.
【解析】由题意,根据正弦函数和正切函数的性质,可得函数y=sin x与y=tan x在区间 上都是增函数,所以函数f(x)在区间 上是增函数,
所以
所以函数f(x)=sin x+tan x的值域为
答案:
备选类型 正切函数图象、性质的综合应用(直观想象)
【典例】1.函数f(x)= 在区间[-π,π]内的大致图象是下列图中的 ( )
2.关于函数y= 下列说法正确的是 ( )
A.是奇函数
B.在区间 上单调递增
C. 为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
【思路导引】1.根据绝对值的意义,先对|cos x|化简,然后根据化简结果判断图象.
2.对每一选项逐一判断,得出正确选项.
【解析】1.选C.在 上,cos x>0,f(x)=tan x,所以在 上其图象与
y=tan x的图象相同,
在 上,cos x<0,f(x)=-tan x,所以在这两段上其图象是
y=tan x的图象关于x轴的对称图形,故选C.
2.选C.因为 所以 是函数y= 图象的一个对称
中心.
【解题策略】
1.形如y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx+φ= ,k∈Z求出.
2.作出函数y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法,具体步骤是:
(1)保留函数y=f(x)图象在x轴上方的部分.
(2)将函数y=f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
3.作出函数y=f(|x|)的图象一般利用图象变换方法,具体步骤是:
(1)保留函数y=f(x)图象在y轴右侧的部分.
(2)将函数y=f(x)图象在y轴左侧部分去掉,右侧部分对称过去.
【跟踪训练】
1.已知函数y= 则该函数图象的对称中心坐标为________.
【解析】由 (k∈Z)得 (k∈Z),
所以图象的对称中心坐标为
答案:
2.画出函数y=|tan x|+tan x的图象,并根据图象求出函数的值域、周期和单调区间.
【解析】由y=|tan x|+tan x知
y=
其图象如图所示.
所以值域:[0,+∞);周期性:T=π;
单调增区间为 ,k∈Z.
1.下列说法正确的是 ( )
A.正切函数的定义域为R
B.正切函数在整个定义域内是减函数
C.函数y=3tan 的图象关于y轴对称
D.若x是第一象限角,则y=tan x是增函数
【解析】选C.正切函数的定义域为 故A错误;由增减
函数的概念知B错误;对D,390°和60°均为第一象限角,且390°>60°,
但tan 390°课堂检测·素养达标
2.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点 ,则φ可以是 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选A.因为函数的图象过点 ,
所以tan =0,所以 +φ=kπ,k∈Z,
所以φ=kπ- ,k∈Z,
令k=0,则φ=- .
3.函数f(x)= 的定义域为________.
【解析】要使函数y= 的解析式有意义,自变量x
须满足:2x- ≠kπ+ ,k∈Z,解得x≠ + π,k∈Z,故函数y= 的
定义域为
答案:
4.(教材二次开发:例题改编)已知函数y= 则它的单调递减区间是________.
【解析】
由kπ- < x- 得2kπ- 所以函数y= 的单调递减区间是
答案:
5.已知函数f(x)=x+tan x+1,若f(a)=2,则f(-a)=________.
【解析】设g(x)=x+tan x,显然g(x)为奇函数.
因为f(a)=g(a)+1=2,所以g(a)=1,所以
f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0.
答案:0(共39张PPT)
阶段提升课
第二课 三角函数的图象与性质及其应用
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 三角函数图象问题
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则ω和φ的值分别为 ( )
A.ω=1,φ=-
B.ω=1,φ=-
C.ω=2,φ=-
D.ω=2,φ=-
【解析】选D.由题知三角函数半个周期为 ,故 ω=2.
易得A=2,又函数过 ,
故2sin =2 φ=- +2kπ,k∈Z,又-π<φ<π,故φ=- .
2.已知函数f(x)=2sin ,x∈R
求函数f(x)的最小正周期、振幅、初相、频率并画出函数y=f(x)在区间
[0,π]上的图象.
【解析】因为f(x)=2sin ,x∈R,所以振幅为A=2,初相φ= ,周期T=
=π,频率f=
列表:
作图:
【方法技巧】
解析式f(x)=Asin(ωx+φ)中参数的确定方法
(1)A:由最大值、最小值确定A.
(2)ω:通过周期确定ω.
(3)φ:通过代点列方程求解.
题组训练二 三角函数图象的变换
1.已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sin ,则下面结论正确的是 ( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移 个单位长
度,得到曲线C2.
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移 个单位长
度,得到曲线C2.
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再向左平移 个单位长
度,得到曲线C2.
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再向左平移 个单位
长度,得到曲线C2.
【解析】选D.先伸缩变换,将C1:y=sin x纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
倍,得到y=sin 2x,再平移变换,将y=sin 2x向左平移 个单位长度,得到
C2:y=sin .
2.为了得到函数y=sin 的图象,可以将函数y=cos 2x的图象( )
A.向右平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度
D.向左平移 个单位长度
【解析】选B.由y=
即为了得到函数y=sin 的图象,可以将函数y=cos 2x的图象向右平移
个单位长度.
3.已知函数f(x)=sin .
(1)说明函数图象可由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样变换得到的.
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程.
【解析】(1)把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得图
象的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y= 的图象.
(2)由 所以函数的对称轴方程是
x=2kπ+ ,k∈Z.
【方法技巧】函数y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ),x∈R图象的两种方法
题组训练三 三角函数定义域、值域问题
1.函数y= 的定义域为________.
2.定义运算a※b为a※b= 例如1※2=1,则函数f(x)=sin x※cos x的值
域为 ( )
A.[-1,1] B.
C. D.
【解析】1.由题意得cos x≥ ,
所以2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z.
即函数的定义域是 ,k∈Z.
答案: ,k∈Z
2.选C.根据题设中的新定义,得
f(x)=
作出函数f(x)在一个周期内的图象,
如图可知函数f(x)的值域为
【方法技巧】
解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式,然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.
题组训练四 三角函数最值问题
已知函数y=asin +b在x∈ 上的值域为[-5,1],求a,b的值.
【解析】因为x∈
所以
所以当a>0时, 解得
当a<0时, 解得
所以a,b的取值分别是4,-3或-4,-1.
【方法技巧】
求三角函数最值问题注意点
利用y=Asin(ωx+φ)+k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.
题组训练五 三角函数周期性、奇偶性问题
1.函数f(x)=3sin 的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象关于
原点对称,则m的最小值是 ( )
【解析】选B.将函数f(x)=3sin 的图象向右平移m(m>0)个单位后得到
y=3sin =3sin ,因为其图象关于原点对称,所以该函数为
奇函数,故sin =0,解得2m+ =kπ,k∈Z,
即m= ,k∈Z,则正数m的最小值为 .
2.①函数y=sin 2x的单调增区间是 ,(k∈Z);②函数y=tan x在
它的定义域内是增函数;③函数y=|cos 2x|的最小正周期是π;④函数y=
sin 是偶函数;其中正确的是________.(填序号)
【解析】①由- +2kπ≤2x≤ +2kπ,解得- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z),可
知:函数y=sin 2x的单调增区间是 ,(k∈Z),故①正确;②函数
y=tan x在定义域内不具有单调性,故②不正确;③因为 =|cos(2x+π)|
=|cos 2x|,因此函数y=|cos 2x|的最小正周期是 ,故③不正确;④函数y=
sin =cos x是偶函数,故④正确.
答案:①④
【方法技巧】
三角函数的周期性及奇偶性
(1)周期性:函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,
y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为 .
(2)奇偶性:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx,而偶函数
一般可化为y=Acos ωx的形式.
题组训练六 三角函数的单调性问题
1.下列关系式中正确的是 ( )
A.sin 11°B.sin 78°C.sin 11°D.cos 10°【解析】选C.cos 10°=sin 80°,y=sin x在锐角范围内单调递增,故
sin 11°2.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(-π<φ<0)的图象经过点 .
(1)求φ的值以及函数f(x)的单调递增区间.
(2)若f(θ)= ,求cos 的值.
【解析】(1)函数的图象过点 ,
所以
又因为-π<φ<0,
所以
所以f(x)=cos .
由π+2kπ≤2x- ≤2π+2kπ,k∈Z,
整理得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为
(2)因为f(θ)=
所以
【方法技巧】
1.关于三角函数值大小的判断方法
首先将不同名的三角函数化为同名,然后将自变量化到同一单调区间内,根据函数的单调性判断大小.
2.形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函数单调区间问题的解法
(1)画出函数的图形,借助于图象求解.
(2)利用正弦函数、余弦函数的单调性,将ωx+φ看成一个整体建立不等式求解.
题组训练七 三角函数的对称问题
1.函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象过点 (如图所示),若将f(x)的
图象上所有点向右平移 个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)图象的一
条对称轴的方程为 ( )
【解析】选D.因为y=sin(2x+φ)过 ,
所以 +φ=kπ(|φ|<π),k∈Z,
所以φ=- 或φ= ,
又因为f(0)>0,所以φ= ,
所以f(x)=sin ,向右平移 个单位长度,
得g(x)=
即g(x)=
令 k∈Z,k=0时,x= 为g(x)的一条对称轴的方程.
2.已知函数f(x)=sin(2x+φ) ,将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位
长度后,得到的图象关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图象 ( )
A.关于直线x= 对称 B.关于点 对称
C.关于直线x=- 对称 D.关于点 对称
【解析】选B.函数f(x)=sin(2x+φ),将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位
长度后,可得g(x)=
因为g(x)的图象关于y轴对称,
则2x+ +φ= +kπ,k∈Z,将x=0代入,
解得φ=- +kπ,k∈Z,而|φ|< ,
所以φ=- ,则f(x)=sin ,
令2x- = +kπ,k∈Z,
解得x= ,k∈Z,
则y=f(x)的对称轴为x= ,k∈Z.
令2x- =kπ,k∈Z,
解得x= ,k∈Z,
则y=f(x)的对称中心为 k∈Z.
结合四个选项可知, 为y=f(x)的一个对称中心.
【方法技巧】三角函数的对称问题
形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函数的对称问题
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴是直线ωx+φ=kπ+ (k∈Z),图象与x轴的
交点,都是该函数图象的对称中心.
(2)函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴是直线ωx+φ=kπ(k∈Z),图象与x轴的交点,
都是该函数图象的对称中心.
(3)函数y=Atan(ωx+φ)没有对称轴,对称中心为 (k∈Z).
题组训练八 三角函数模型的应用
某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式.
(2)画出种群数量y关于时间t变化的草图.(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)
【解析】(1)设表示该曲线的函数为y=Asin(ωt+a)+b(A>0,ω>0,|a|<π,b∈R).
由已知平均数为800,最高数与最低数差为200,数量变化周期为12个月,故振幅
A= =100,ω= ,b=800.
又因为7月1日种群数量达到最高,
所以 ×6+a= +2kπ(k∈Z).
又因为|a|<π,所以a=- .
故种群数量y关于时间t的函数解析式为
y=800+100sin .
(2)种群数量关于时间变化的草图如图.
【方法技巧】
三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象,确定适当的函数模型.
(2)利用三角函数模型解决实际问题.
(3)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.(共44张PPT)
1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
必备知识·自主学习
1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,A,ω,φ的物理意义
(1)简谐运动的振幅就是__.
(2)简谐运动的周期T=____.
(3)简谐运动的频率f= =____.
(4)_______称为相位.
(5)x=0时的_______称为初相.
导思 (1)如何根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式
(2)函数y=Asin(ωx+φ)的性质有哪些
A
ωx+φ
相位φ
【思考】
若函数y=Asin(ωx+φ)中的A<0或ω<0时怎么办
提示:当A<0或ω<0时,应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数再确定初相φ.
2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
名称 性质
定义域 R
值域 _______
周期性 T=
对称中心 ________(k∈Z)
对称轴 _________________(k∈Z)
[-A,A]
名称 性质
奇偶性 当____________ 时是奇函数
当_________________时是偶函数
单调性 由2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ ,k∈Z,解得单调递增区间
由2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ ,k∈Z,解得单调递减区间
φ=kπ(k∈Z)
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y= sin(ωx+φ)(ω≠0)的值域为[- , ]. ( )
(2)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为A. ( )
(3)函数y=3sin(2x-5)的初相为5. ( )
提示:(1)√.因为A= ,定义域为R ,所以值域为[- , ].
(2)×.当A为负数时,函数的最大值为-A.
(3)×.函数y=3sin(2x-5)的初相为-5.
2.(教材二次开发:练习改编)简谐运动y=4sin 的相位与初相是( )
【解析】选C.相位是5x- ,当x=0时的相位为初相即- .
3.在函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的一个周期上,当x= 时,有最大值2,当x=
时,有最小值-2,则ω=________.
【解析】依题意知
所以T=π,又T= =π,得ω=2.
答案:2
关键能力·合作学习
类型一 函数y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义(数学抽象)
【题组训练】
1.简谐运动f(x)=2sin 的图象经过点P(0,1),则该简谐运动的最
小正周期T和初相φ分别为( )
A.T=6,φ= B.T=6,φ=
C.T=6π,φ= D.T=6π,φ=
2.函数y=-6sin ,x∈R的振幅、周期、初相为 ( )
【解析】1.选A.将(0,1)点代入f(x)可得sin φ= .
因为|φ|< ,所以φ= ,T= =6.
2.选D.根据诱导公式,将原解析式变形,得y=
则有A=6,T= =π,φ= π.
【解题策略】
首先把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的形式,再求振幅、周期、初相.应注意A>0,ω>0.
【补偿训练】
y=2sin 的振幅、频率和初相分别为 ( )
【解析】选A.由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin 的振幅为2,
周期为π,频率为 ,初相为- .
类型二 求函数的解析式(直观想象)
【典例】函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的图象如图所示,为了
得到g(x)=sin 的图象,只需将f(x)的图象上所有点 ( )
A.向右平移 个单位长度
B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度
D.向左平移 个单位长度
【思路导引】根据图象可得A,ω,φ的值,然后再由图象的变换规律变换.
【解析】选A.根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的图象,
可得A=1, 所以ω=2.
再利用五点法作图可得2· +φ=π+2kπ,又|φ|< ,求得φ= ,
所以f(x)=sin .
为了得到g(x)=sin =sin 的图象,
只需将f(x)的图象上所有点向右平移 个单位长度即可.
【解题策略】给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)第一零点法:如果从图象可直接确定A和ω,则选取“第一零点”(即“五点
法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是
“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这
里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.
(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再
根据图象平移规律确定相关的参数.
【跟踪训练】
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式.
(2)将y=f(x)的图象先向右平移 个单位长度,再将图象上的所有点横坐标变为
原来的 倍(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数为y=g(x),求y=g(x)在
上的最大值与最小值.
【解析】(1)观察题干图象知,T= =π,
所以ω=2,sin =0,|φ|< ,所以φ= ,
所以A=2.f(x)=2sin .
(2)将f(x)=2sin 的图象向右平移 个单位长度,得到y=2sin
的图象,
再将图象上的所有点横坐标变为原来的 倍得到y=g(x)=2sin ,
当x∈ 时,4x- ∈ ,g(x)∈ ,
所以y=g(x)在 上的最小值与最大值分别为 ,2.
类型三 三角函数的图象与性质的综合应用(逻辑推理)
角度1 三角函数的对称性
【典例】若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的
对称轴为 ( )
【思路导引】根据函数平移的方法,求出平移后的函数解析式,再根据正弦函数的性质求对称轴.
【解析】选B.函数y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度,得到的图象对应的
函数表达式为y=
令 (k∈Z),解得x= (k∈Z),所以所求对称轴的方程为x=
(k∈Z).
【变式探究】
本题条件不变,则平移后图象的对称中心为________.
【解析】函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,得到的图象对应的函数表达式为:y= 令2x+ =kπ(k∈Z),解得x=
(k∈Z),
所以所求图象的对称中心为 (k∈Z).
答案: (k∈Z)
角度2 三角函数的奇偶性与单调性
【典例】1.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移 个单位长度后,得到
一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )
2.若f(x)= sin 2ωx+1(ω>0)在区间 上为增函数,则ω的最大值为________.
【思路导引】1.先用平移求出新函数的解析式,再根据正弦函数为奇函数,余弦
函数为偶函数解决即可.
2.函数f(x)在区间 上为增函数,所以 ≥f(x)min, ≤f(x)max,解
出来即可.
【解析】1.选B.将函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移 个单位长度后,得到
y=sin 的图象,因为它是偶函数,所以φ+ = +kπ,k∈Z,即φ=
+kπ,k∈Z,当k=0时,φ= .
2.因为f(x)= sin 2ωx+1(ω>0)在区间 上为增函数,可得- ·2ω
≥- ,且 ·2ω≤ ,求得ω≤ ,故ω的最大值为 .
答案:
角度3 函数f(x)=Asin(ωx+φ)性质的综合应用
【典例】设函数f(x)=
(1)若x= 为函数f(x)的图象的一条对称轴,当x∈ 时,求函数f(x)的最小
值.
(2)将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度得到函数g(x)的图象,已知
=0,求g(x)的单调递减区间.
【思路导引】(1)由题意利用正弦函数的图象的对称性,正弦函数的定义域和值
域,求出当x∈ 时,函数f(x)的最小值.
(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求出g(x)的解析式,再利用正弦
函数的单调性,求得g(x)的单调递减区间.
【解析】(1)因为函数f(x)=2sin(2x+φ) ,
若x= 为函数f(x)的图象的一条对称轴,0≤φ≤ ,
所以2· +φ= ,所以φ= ,f(x)=2sin .
当x∈ 时,2x+ ∈ ,
故当 时,函数f(x)的最小值为-1.
(2)将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度得到函数g(x)=2sin
的图象,
已知 =0=2sin ,0≤φ≤ ,所以φ=0,所以g(x)=2sin .
令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,
求得kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z,可得g(x)的单调递减区间为
k∈Z.
【解题策略】
1.正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)和余弦型函数y=Acos(ωx+φ)不一定具备奇偶性.
对于函数y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,当φ=kπ+ (k∈Z)时
为偶函数;对于函数y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数,当φ=kπ+
(k∈Z)时为奇函数.
2.与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦型函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“α=ωx+φ”,即通过求y=Asin α的单调区间求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间.
【题组训练】
1.函数y=2sin 与y轴最近的对称轴方程是________.
【解析】对于函数y=2sin ,
令 (k∈Z)得,x= ,k∈Z,
因此,当k=-1时,得到x=- ,故直线x=- 是与y轴最近的对称轴.
答案:x=-
2.在函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,其中A>0,ω>0,0<φ< ) 的图象与x轴的
交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为M .
(1)当x∈ 时,求f(x)的值域.
(2)若函数g(x)与f(x)的图象关于直线x= 对称,试求g(x)图象的对称轴方程
和对称中心.
【解析】(1)由已知A=2,T= =π,得ω=2.从而f(x)=2sin(2x+φ),由最
低点M 得2sin =-2,得φ= +2kπ,k∈Z,又0<φ< ,
所以φ= ,f(x)=2sin .
由 得
从而 故f(x)的值域为 .
(2)因为g(x)与f(x)的图象关于直线x= 对称,
所以g(x)=f(π-x)=2sin
令2x- =kπ,得x= ,k∈Z,
令 ,得x= ,k∈Z.
故所求函数的对称轴方程为x= ,k∈Z,对称中心为 ,k∈Z.
1.最大值为 ,最小正周期为 ,初相为 的函数解析式是 ( )
【解析】选D.因为最小正周期为 ,
所以由T= 可得ω= =3,排除A,B;
因为初相为 ,所以排除C.
课堂检测·素养达标
2.函数y= 的图象的一条对称轴是 ( )
【解析】选C.由x- =kπ+ ,k∈Z,解得x=kπ+ ,k∈Z,令k=-1,得x=- .
3.若f(x)=cos 是奇函数,则φ=________.
【解析】由题意可知 ,k∈Z,即φ= +kπ,k∈Z.又|φ|< ,故
当k=0时,得φ= .
答案:
4.已知函数f(x)=sin 的部分图象如图所示,则φ的值为
________.
【解析】先计算周期T=2 =π,则 =π ω=2,函数f(x)=sin ,
又图象过点 ,
则
所以φ=kπ- ,k∈Z,由于0<φ≤ ,则φ= .
答案:
5.如图所示的曲线是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,则这个函数的解析式是________.
【解析】由题干图可知A=2,T= =π,即 =π,故ω=2.又 是五
点法作图的第五个点,即2× +φ=2π,则φ= .故所求函数的解析式为y=2sin .
答案:y=2sin(共35张PPT)
1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)
必备知识·自主学习
参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
(1)φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
导思 (1)五点作图法中的五点是什么
(2)如何进行图象间的变换
(2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
(3)A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
【思考】
如何由y=f(x)的图象变换得到y=f(x+a)的图象
提示:向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=sin 3x的图象向左平移 个单位所得图象的解析式是y= . ( )
(2)y=sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是
y=sin 2x. ( )
(3)y=sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y=
sin x. ( )
提示:(1)×.y=sin 3x的图象向左平移 个单位得y=
(2)×.y=sin 2x应改为y=sin x.
(3)×.y= sin x应改为y=2sin x.
2.(教材二次开发:练习改编)为了得到函数 y=sin 的图象,只需把函数
y=sin 的图象 ( )
A.向左平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度
D.向右平移 个单位长度
【解析】选B.y=
y= 所以将y=sin 的图象向右平移 个单位长度得
到y=sin 的图象.
关键能力·合作学习
类型一 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象(直观想象)
【典例】已知函数f(x)=3sin ,x∈R,画出函数f(x)在长度为一个周期
的闭区间上的简图.
【思路导引】作函数图象的方法为列表、描点、连线.
【解析】函数f(x)的周期T= =4π.
由 解得x=
列表如下:
描出五个关键点并光滑连线,得到一个周期的简图.图象如下:
【解题策略】
“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
【跟踪训练】
用“五点法”画函数y=3sin ,x∈ 的图象.
【解析】①列表:
②描点:在坐标系中描出下列各点:
③连线:用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来,得函数y=3sin ,
x∈ 的简图,如图所示.
类型二 三角函数的图象变换(逻辑推理)
角度1 图象的平移问题
【典例】为了得到y=3sin 的图象,只需将y=3cos 2x的图象 ( )
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度
【思路导引】先将函数化为同名函数,再根据平移规律确定选项.
【解析】选C.因为y=3sin
所以将y=3cos 2x的图象向右平移 个单位长度得
y=3sin 的图象.
角度2 图象的伸缩变换
【典例】将函数y=sin 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍(纵坐
标不变),再把图象上的各点向右平移 个单位长度,则所得图象的解析式为
( )
【思路导引】平移时,注意左加右减,上加下减;伸缩时,沿x轴伸缩,变为原来的
倍,沿y轴伸缩,变为原来的|A|倍.
【解析】选C.函数y=sin 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍(纵
坐标不变),得到函数y=sin 的图象,再把图象上的各点向右平移 个单
位长度,
得到y=
【解题策略】
解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横
纵坐标伸缩的量,在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同,
这点应特别注意.
对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同则先化为同名函数.再
观察x前系数,当x前系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循
左加右减,且从ωx→ωx+φ的平移量为 个单位长度.
【题组训练】
1.要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin 4x的图象 ( )
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位
【解析】选B.由y=sin =sin 得,只需将y=sin 4x的图象向右平
移 个单位即可.
2.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不
变,再把图象向左平移 个单位,则所得图象的解析式为 ( )
A.y=sin B.y=-sin 2x
C.y=cos 2x D.y=sin
【解析】选C.由题意y=sin x的图象 y=sin 2x的图象
y=sin 2 的图象
即y=sin =cos 2x的图象.
3.已知函数y=3sin ,请说明此图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换
得到的.
【解析】方法一:先平移,后伸缩
第一步:把y=sin x的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,得到y=
sin 的图象;
第二步:把y=sin 图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变),得到y=sin 的图象;
第三步:将y=sin 的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标
不变),就得到y=3sin 的图象.
方法二:先伸缩,后平移
第一步:把y=sin x的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
得到y=sin x的图象;
第二步:把y=sin x图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,得到y=
sin 的图象;
第三步:将y=sin 的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标
不变),就得到y=3sin 的图象.
1.为了得到函数y=sin 的图象,只需把函数y=sin x的图象 ( )
A.向左平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度
C.向上平移 个单位长度
D.向下平移 个单位长度
【解析】选B.将函数y=sin x的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函
数解析式为y=sin .
课堂检测·素养达标
2.要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin 2x的图象 ( )
A.向左平移 个单位长度
B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度
D.向右平移 个单位长度
【解析】选B.y= 因此只需将函数y=sin 2x的图象向左
平移 个单位长度.
3.(教材二次开发:例题改编)函数y=sin 在区间 上的简图是（ ）
【解析】选A.当x=0时,y=sin <0,
故可排除B,D;当x= 时,sin =sin 0=0,排除C.
4.利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象时,其五点的坐标分别
为 则A=________,周期T=________.
【解析】由题知A= ,T=2 =π.
答案: π
5.把函数y=sin 的图象向右平移 个单位,得函数y=
的图象,则θ的值为________.
【解析】把函数y=sin 的图象向右平移 个单位,得函数y=sin
=sin =sin = 的图象,则θ= .
答案:(共39张PPT)
1.6 三角函数模型的简单应用
必备知识·自主学习
1.三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用.
导思 (1)如何应用三角函数的知识解决物理中的有关问题
(2)如何建立三角函数模型解决生活中的有关问题
【思考】
现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述
提示:一般应用三角函数模型.
2.利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步:阅读理解,审清题意.
读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字,理解题目所反映的实际背景,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题.
第二步:收集、整理数据,建立数学模型.
根据收集到的数据找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式,将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题,即建立三角函数模型,从而实现实际问题的数学化.
第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.
第四步:将所得结论转译成实际问题的答案.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y= 的周期为π. ( )
(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s,振幅为5 cm,则该振子在2 s内通
过的路程为50 cm. ( )
(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin ,则当t= s时,
电流强度I为 A. ( )
提示:(1)×.函数y= 的周期为2π.
(2) ×.一个周期通过路程为20 cm,所以2 s内通过的路程为20× =100(cm).
(3) √.I=5sin
2.电流I(A)随时间t(s)变化的解析式是I=2sin 100πt,t∈(0,+∞),则电流I变
化的周期是 ( )
A. B.100 C. D.50
【解析】选C.由T= ,得T=
3.(教材二次开发:练习改编)如图为某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要________s往返一次.
【解析】观察题干图象可知此简谐运动的周期T=0.8,所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次.
答案:0.8
关键能力·合作学习
类型一 三角函数图象问题(直观想象)
【题组训练】
1.函数y=ln cos x 的大致图象是 ( )
2.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0( ),角速
度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
【思路导引】识别图象关键通过特殊点来断定.
【解析】1.选A.函数为偶函数,排除B,D,又因为x∈ 时,cos x≤1,这时
ln cos x≤0,排除C.
2.选C.通过分析可知当t=0时,点P到x轴的距离d为 ,于是可以排除A,D,再根
据当t= 时,可知点P在x轴上,此时点P到x轴的距离d为0,排除B.
【解题策略】
解决函数图象与解析式对应问题的策略:一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决,如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域,此外特殊点也可以作为判断的好方法.
【补偿训练】
如图是函数y=sin x(0≤x≤π)的图象,A(x,y)是图象上任意一点,过点A作x轴的平行线,交其图象于另一点B(A,B可重合).设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图象是 ( )
【解析】选A.当x∈ 时,f(x)=π-2x;当x∈ 时,f(x)=2x-π.
类型二 三角函数在物理中的应用(数学建模)
【典例】某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数
关系:f(t)=10-2sin ,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温
【思路导引】(1)由t∈ ,求得 结合正弦函数的图象求得
的最大值与最小值;
(2)由10-2sin >11,
可得 结合正弦函数的图象求得t的取值范围.
【解析】(1)因为f(t)=10-2sin
又0≤t<24,所以
-1≤sin ≤1.
当t=2时,sin =1;
当t=14时,sin =-1.
于是f(t)在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温
度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin ,
故有10-2sin >11,
即 又0≤t<24,因此 即10【解题策略】
物理问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用物理、数学等知识才能解决,其中最重要的是:(1)熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论,有助于解决此类问题;(2)由于应用题的背景比较新颖,情景比较陌生,所以解题的关键是读懂题目,理解题意,弄清每个词语的含义,领会每一个词语的数学意义,再结合相关学科的知识理解问题,从而解决问题.
【跟踪训练】
单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的
函数解析式为s=6sin .
(1)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少
(2)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少
(3)单摆来回摆动一次需多长时间
【解析】(1)由s=6sin ,
得t=0时,s=6sin =3(cm),
所以单摆开始摆动时,离开平衡位置的距离是3 cm.
(2)由解析式知,振幅为6,所以单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是
6 cm.
(3)T= =1,即单摆来回摆动一次需1 s.
类型三 三角函数在实际生活中的应用(数学建模)
【典例】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5
经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象.
(1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式.
(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动
【思路导引】(1)根据y的最大值和最小值求A,b,定周期求ω.
(2)解不等式y>1,确定有多少时间可供冲浪者活动.
【解析】(1)由表中数据可知,T=12,所以ω= .又t=0时,y=1.5,所以
A+b=1.5;t=3时,y=1.0,得b=1.0,所以振幅为 ,函数解析式为y= cos t
+1(0≤t≤24).
(2)因为y>1时,才对冲浪爱好者开放,所以y= cos t+1>1,cos t>0,2kπ-
< t<2kπ+ (k∈Z),即12k-39即9【变式探究】
若将本例(2)中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何
【解析】由y= +1>1.25得 k∈Z,即12k-
2间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动,即10【解题策略】
1.对三角函数应用的理解
三角函数是基本的初等函数之一,是反映周期变化现象的重要函数模型,在数学和其他领域具有重要作用,命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体,考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力.
2.三角函数的应用在生产生活中的求解框图
【跟踪训练】
健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳
动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血
压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.
设某人的血压满足函数解析式p(t)=115+25sin(160πt),其中p(t)为血压(mmHg),
t为时间(min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期.
(2)求此人每分钟心跳的次数.
(3)求出此人的血压和血压计上的读数,并与正常值比较.
【解析】(1)T= (min).
(2)f= =80次/分,所以此人每分钟心跳的次数为80.
(3)p(t)max=115+25=140(mmHg),
p(t)min=115-25=90(mmHg).
即收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg,比正常值高.
1.电流I(A)随时间t(s)变化的解析式是I=5sin ,则当t= 时,电流I
为 ( )
A.5 B. C.2 D.-5
【解析】选B.直接将t= 代入计算即可.当t= 时,I=
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2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在
时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin ,s2=
10cos 2t确定,则当t= s时,s1与s2的大小关系是 ( )
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能确定
【解析】选C.当t= 时,s1= =-5,当t= 时,s2=10cos
=10× =-5,故s1=s2.
3.(教材二次开发:例题改编)与图中曲线对应的函数解析式是 ( )
A.y=|sin x| B.y=sin |x|
C.y=-sin |x| D.y=-|sin x|
【解析】选C.注意题图中的函数值的正负,因此可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin |x|>0,而图中显然是小于零,因此排除选项B.
4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin
+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10
【解析】选C.由题意可知当sin 取最小值-1时,函数取最小值ymin=
-3+k=2,得k=5,
所以y=3sin +5,当sin 取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.
5.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数解析式为________.
【解析】设y与x的函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),则A=6,T=
=12,ω= .
当x=9时,ymax=6.故 ×9+φ= +2kπ,k∈Z.
取k=1得φ=π,即y=-6sin x.
答案:y=-6sin x