人教版七年级下册第五章相交线与平行线典型例题（74张ppt）

(共74张PPT)
相交线与平行线典型例题
如图,直线a、b相交，∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠4的度数.
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
变式1：若∠1= 32°20′，求∠2、∠3、∠4的度数.
解：由邻补角的定义可知
∠2=180°-∠1
=180°-40°=140°；
由对顶角相等可得
∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.
一.利用对顶角、领补角的性质求角的度数
解:设∠1=x°,则∠2=3x°，
变式3：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数？
根据邻补角的定义,得 x+3x=180，
所以 x=45，
根据对顶角相等,可得∠3=∠1=45°.
则∠1=45°，
变式2：若∠1＋∠3 = 50°，则∠3= ，
∠2= .
25°
155°
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
（3）若 1: 2 = 2: 7 ，则∠1,∠2,∠3,∠4的度数分别为________________________.
（2）若∠2是∠3的 3倍，则∠1,∠2,∠3,∠4的度数分别为________________________.
（1）若∠1+∠3= 60 ，则∠1,∠2,∠3,∠4的度数分别为________________________ .
30 、150 、30 、150
45 、 135 、 45 、 135
40 、140 、40 、140
如图所示，直线a和b相交于点O，完成下列各题:
如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数.
解：∵∠1＝40°， ∠BOC＝110°(已知)，
∴∠BOF＝∠BOC－∠1 ＝110°－40°＝70°.
∵∠BOF＝∠2(对顶角相等)，
∴∠2＝70°(等量代换)．
提示：隐含条件“对顶角相等”.
二.利用隐含条件求角的度数
如图，直线AB、CD、EF、MN相交，若∠2=∠5，找出图中与∠2 互补的角.
F
N
C
E
A
B
D
M
1
2
3
4
5
8
6
7
解：∵ EF与AB相交，∠1+∠2=180°，
∠2+∠3= 180°,
∴∠2的补角有∠1和∠3;
∵ CD与MN相交，∠5+∠8=180°，
∠5+∠6=180 °且∠2=∠5,
∴∠2的补角有∠6和∠8;
∴∠2的补角有∠1、∠3、∠6和∠8.
如图,直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)写出∠AOC, ∠BOE的邻补角； (2)写出∠DOA, ∠EOC的对顶角； (3)如果∠AOC =50°,求∠BOD ，∠COB的度数.
C
A
E
D
B
F
O
解:(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠COB;
∠BOE的邻补角是∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB;
∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°;
∠COB=180°-∠AOC=130°.
如图,直线AB,CD相交于点O， ∠EOC=70°，
OA平分∠EOC，求∠BOD的度数.
A
B
C
D
E
O
解：∵OA平分∠EOC,
∴∠AOC= ∠EOC=35°,
∴∠BOD=∠AOC=35°.
如图，直线AB、CD、EF相交，若∠1 +∠5=180°,
找出图中与∠1 相等的角.
D
B
E
O
A
C
F
解：∵∠1= ∠3（对顶角相等），
1
2
3
4
5
6
8
7
∠5+∠8=180 °且∠1 +∠5=180°，
∴∠8= ∠1.
∵∠8= ∠6（对顶角相等），
∴∠6= ∠1.
与∠1 相等的角有：∠3、∠8、∠6.
如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°，求∠AOE？
解：∵AB⊥CD（已知），
　　∴∠COB=90°（垂直的定义）.
　　∴∠BOF= ∠COB－∠COF
　　 =90°－56°=34° .
　　∴ ∠AOE=∠BOF=34°（对顶角相等） .
F
E
D
C
B
A
O

56°
三.利用垂直求角的度数
如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB, ∠1=55°,求∠EOD的度数.
∴ ∠EOB=90° (垂直的定义).
∴ ∠EOD =∠EOB +∠BOD
=90°+55°=145°.
A
C
E
B
D
O
1
(
∵ AB⊥OE （已知）,
∵ ∠BOD =∠1=55° （对顶角相等）,
解:
如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON ＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求∠EOF、∠COE的度数．
A
F
D
O
B
C
E
解：∵AO⊥OD且∠AOB=40°，
∴∠BOD=90°-40°=50°，
∴∠EOF=50°.
又∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC=∠BOD=50°，
∴∠COE=180°-50°-50°=80°．
0cm
20cm
30cm
10cm
如图，（1)画出线段BC的中点M，连结AM；
（2)比较点B与点C到直线AM的距离.
A
B
C
M
P
Q
0cm
20cm
30cm
10cm
0cm
20cm
30cm
10cm
9cm
9cm
∴BP=CQ
四.画出点到直线的距离
C
A
B
0m
20m
30m
10m
0m
20m
30m
10m
8m
25m
如图,量出
（1）村庄A与货场B的距离,
（2）货场B到铁道的距离.
五.测量点线间距离
马路两旁两名同学A、B，若A同学到马路对边怎样走最近？若A同学到B同学处怎样走最近？
解：过点A作AC⊥BC，垂足为C，A同学沿着AC走到路对面最近，根据
A
B
C
连接AB, A同学沿着AB走到B同学处最近，根据
垂线段最短.
两点之间线段最短.
如图三角形ABC，根据要求画图：
要求：过点B画出点B到AC的垂线段BF.
解：如图所示：
A
C
B
F
如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E．试比较四条线段AC，CD，DE和AB的大小.
解：∵ AC⊥BC于C (已知)，
∴ AC＜AB(垂线的性质二) ．
又∵ CD⊥AD于D(已知)，
∴ CD＜AC(垂线的性质二)．
∵ DE⊥CE于E(已知)，
∴ DE＜CD(垂线的性质二)．
∴ AB＞AC＞CD＞DE．
如图，直线DE,BC被直线AB所截.
（1）∠1和∠2， ∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？
4
3
2
1
F
E
D
C
B
A
解：（1）∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角.
提示：解题之前要明确哪两条直线被哪条直线所截.
六.各类角的综合题
解：(2)如果∠1=∠4，由对顶角相等，得∠2=∠4，那么 ∠1=∠2.
4
3
2
1
F
E
D
C
B
A
（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠3互补吗？ 为什么？
因为∠3和∠4互补，即∠4+∠3=180°，又因为∠1=∠4,所以∠1+∠3=180°,即∠1与∠3互补.
a
7
8
5
3
2
6
4
1
c
b
找出图中的同位角、内错角 、同旁内角：
4
3
2
1
6
5
7
8
c
b
a
解：同位角：∠1与∠8，∠2与∠5，∠3与∠6，∠4与∠7；
内错角： ∠1与∠6，∠4与∠5；
同旁内角：∠1与∠5 ，∠4与∠6.
3
2
4
1
c
b
a
找出图中的同位角、内错角、同旁内角：
解：同位角：
∠1与∠3，∠2与∠4；
同旁内角：∠2与∠3.
如图，直线DE截AB ，AC，构成8个角，指出所有的同位角,内错角,同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线是DE，所以8个角中，
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
七.在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角
同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8, ∠6与∠3；
内错角：∠4与∠5，∠1与∠6；
同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6.
识别这些角是同位角、内错角还是同旁内角.
1
2
(1)
同位角
1
2
(2)
1
2
(3)
1
2
(4)
1
2
(5)
1
2
(6)
1
2
(7)
1
2
(8)
1
2
1
2
(9)
(10)
同位角
同位角
同位角
同位角
内错角
同旁内角
∠A与∠8是哪两条直线被哪条直线所截的角 它们是什么关系的角 ∠A与∠5呢 ∠A与∠6呢
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
解：∠A与∠8是直线AB，DE被直线AC所截形成的内错角.
∠A与∠5是直线AB，DE被直线AC所截形成的同旁内角.
∠A与∠6是直线AB，DE被直线AC所截形成的同位角.
下列说法中，正确的是(　　)
（1）过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（3）一条直线的平行线有且只有一条；
（4）若a∥b，b∥c，则a∥c.
A.（1）（2） B.（2）（3）
C.（1）（3） D.（2）（4）
八.平行公理及其推论的应用
D
×
√
×
√
如图所示，AD∥BC，P是AB的中点.
(1)画出线段PQ，使PQ∥AD，PQ与DC交于Q点；
(2)PQ与BC平行吗 为什么？
(3)测量DQ、CQ，判断DQ和CQ是否相等 测量AD、BC、PQ，判断AD+BC=2PQ是否成立？
答：(1)线段PQ如图所示；
(2)PQ与BC平行，理由如下：
因为 AD∥BC，PQ∥AD，所以PQ∥BC(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)；
(3)经测量DQ=CQ，AD+BC=2PQ成立.
如图，直线a ∥b，b∥c，c∥d，那么a ∥d吗？为什么？
a
b
c
d
解： a ∥d ，理由如下：
因为 a ∥b，b∥c，所以 a ∥c
（ ）
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
因为 c∥d，所以 a ∥d
（ ）
下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗？写出你的推理过程.
解：∵∠1=∠7
∠1=∠3
∴ ∠7=∠3
∴ AB∥CD
B
1
A
C
D
F
3
7
E
( ),
已知
（ ）,
对顶角相等
（ ）
等量代换 .
（ ）
同位角相等，两直线平行 .
九.利用同位角相等判定两直线平行
已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，试说明AB//CD ？
解：∵∠1=∠2（对顶角相等）,
∠1与∠2互余,
∴ ∠1+∠2=90°(已知).
∴∠1=∠2=45°.
∵ ∠3=45°(已知),
∴∠ 2=∠3.
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
1
2
3
A
B
C
D
如图，如果 1+ 2=180° ，你能判定a//b吗
c
解:能,
∵ 1+ 2=180°（已知）,
1+ 3=180°（邻补角的性质）,
∴ 2= 3（同角的补角相等） .
∴a//b（同位角相等，两直线平行） .
2
b
a
1
3
十.利用同旁内角互补判定两直线平行
如图：直线AB、CD都和AE相交，且∠1+∠A=180 ．求证：AB//CD ．
证明：∵∠1+∠A=180
C
B
A
D
2
1
E
3
∴∠2+∠A=180
（ ）.
（ ）,
已知
对顶角相等
等量代换
（ ）.
同旁内角互补，两直线平行
∠1=∠2 （ ）,
∴
AB∥CD
十一.利用同旁内角互补判定两直线平行
理由如下：
∵ AC平分∠DAB（已知）,
∴ ∠1=∠2（角平分线定义）.
又∵ ∠1= ∠3（已知） ,
∴ ∠2=∠3（等量代换）.
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
如图，已知∠1= ∠3，AC平分∠DAB，你能判断哪两条直线平行？请说明理由？
2
3
A
B
C
D
）
）
1
（
解： AB∥CD.
∴ AB∥MN（内错角相等，两直线平行）.
∵ ∠MCA= ∠ A（已知）,
又 ∵∠ DEC= ∠ B（已知）,
∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）.
∴ DE∥MN（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
如图，已知∠MCA= ∠ A， ∠ DEC= ∠ B，那么DE∥MN吗？为什么？
A
E
B
C
D
N
M
解：
DE∥MN.
如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由.
解：方法1：测出∠3=90°，理由是同位角相等，
两直线平行.
方法2：测出∠2=90°，理由是同旁内角互补，两
直线平行.
方法3：测出∠5=90°，理由是内错角相等，两直线平行.
方法4：测出∠2,∠3,∠4,∠5中任意一个角为90°，
理由是同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.
十二.平行线判定方法的应用
∵ ∠1=∠C （已知）,
∴ MN∥BC （内错角相等，两直线平行）.
∵ ∠2=∠B （已知）,
∴ EF∥BC （同位角相等，两直线平行）.
∴ MN∥EF （ ）.
证明：
F
E
M
N
A
2
1
B
C
已知：如图，∠1=∠C，∠2=∠B，
求证：MN∥EF.
平行于同一直线的两条直线平行
如图所示，已知BE、EC分别平分∠ABC，∠BCD，且∠1与∠2互余，试说明AB∥DC.
解：∵∠1与∠2互余，∴∠1＋∠2＝90°.
∵BE，EC分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠ABC＝2∠1，∠BCD＝2∠2.
∴∠ABC＋∠BCD
＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)
＝180°.
∴AB∥DC.
如图，MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
解： AB∥CD,
过点F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，
则∠NFQ＝∠MFN－∠MFQ
＝90°－50°＝40°，
∵AB∥FQ.
∴∠1＋∠NFQ＝180°，
∴CD∥FQ，
Q
理由如下：
∴AB∥CD.
又∵∠1＝140°，
如图，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°,∠B=60°,
∠AED=40°.（1）DE和BC平行吗？为什么？
（2）∠C是多少度？为什么？
解：（1）DE∥BC，
∵∠ADE＝60°,∠B＝60°，∴∠ADE＝ ∠B.
∴DE∥BC （ ）.
同位角相等，两直线平行
（2） ∠C =40°.
( )
∵∠AED=40°，∴∠C =40°.
两直线平行，同位角相等
十三.利用“两直线平行，同位角相等”求角的度数
∵DE∥BC ，∴∠C ＝ ∠AED.
A
B
C
D
E
如图，已知直线a∥b，∠1 = 50°, 求∠2的度数.
a
b
c
1
2
∴∠ 2= 50° (等量代换).
解：∵ a∥b(已知),
∴∠ 1= ∠ 2
(两直线平行,内错角相等).
又∵∠ 1 = 50° (已知),
十四.利用“两直线平行，内错角相等”求角的度数
如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
A
B
C
D
解：∵梯形上、下底互相平行，
∴ ∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
∴梯形的另外两个角分别是80°、65°.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°
十五.利用“两直线平行，同旁内角互补”求角的度数
解: ∵ AB∥DE( ),
∴∠A= ______ ( ).
∵AC∥DF( ),
∴∠D+ _______=180o ( ).
∴∠A+∠D=180o（ ）.
有这样一道题：如图,若AB∥DE ,　AC∥DF，试说明∠A+∠D=180o.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行,同旁内角互补
等量代换
如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？
解：∠2=∠3.
∵两直线平行，内错角相等,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠2=∠3=∠4.
∴进入潜望镜的光线和离开潜望镜
的光线平行.
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴ ∠5=∠6.
证明：∵ AD ∥BC（已知），
∴ ∠A+∠B＝180°（ ）.
∵ ∠AEF=∠B（已知），
∴ ∠A＋∠AEF＝180°（等量代换）.
∴ AD∥EF（ ）.
【思考】在填写依据时要注意什么问题？
两直线平行，同旁内角互补
同旁内角互补，两直线平行
十六.平行线性质和判定的综合应用
如图，已知：AD∥BC, ∠AEF=∠B,
求证：AD∥EF.
如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗？说说你的看法．
B
D
C
E
A
解：过点E作EF//AB．
∴∠B=∠BEF．
∵AB//CD．
∴∠D =∠DEF．
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB．
即∠B＋∠D＝∠DEB．
F
十七.添加辅助线的证明题
∴EF//CD．
如图，AB//CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系.
解：过点E作EF//AB．
∴∠B+∠BEF＝180°．
∵AB//CD,
∴EF//CD．
∴∠D +∠DEF＝180°．
∴∠B＋∠D+∠DEB
＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF
＝360°．
即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
F
B
D
C
E
A
【讨论1】如图,AB∥CD,则 :
C
A
B
D
E
A
C
D
B
E2
E1
当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°
当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°
当有三个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°
A
B
C
D
E1
E2
E3
…
A
B
C
D
E1
E2
En
当有n个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C
= 180°
（n+1）
若有n个拐点，你能找到规律吗？
【讨论2】如图,若AB∥CD, 则：
A
B
C
D
E
当左边有两个角，右边有一个角时： ∠A+∠C= ∠E
当左边有两个角，右边有两个角时： ∠A+∠F= ∠E +∠D
C
A
B
D
E
F
E1
C
A
B
D
E2
F1
当左边有三个角，右边有两个角时: ∠A+∠ F1 +∠C
= ∠ E1 +∠ E2
C
A
B
D
E1
F1
E2
Em-1
F2
Fn-1
∠A+∠F1 + ∠ F2 +…+ ∠Fn-1= ∠E1 +∠E2 +…+∠Em-1+ ∠D
当左边有n个角，右边有m个角时：
若左边有n个角，右边有m个角,你能找到规律吗？
如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝80°，AD∥EF，∠1＝∠2，求∠BDG的度数.
解：∵AD∥EF，∴∠2＝∠DAC.
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DAC.
∴GD∥AC.
∵∠BAC＝80°，∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°－∠BAC＝100°.
∴∠C＝50°.
∴∠BDG＝50°.
∴∠BDG＝∠C.
已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，
试说明∠3=∠E.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
∵∠1=∠2
∴AB∥EF
（内错角相等，两直线平行）.
(已知），
∵AB⊥BF，CD⊥BF，
∴AB∥CD
∴EF∥CD
∴ ∠3= ∠E
(垂直于同一条直线的两条直线平行).
(平行于同一条直线的两条直线平行).
(两直线平行，同位角相等).
解:
如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，
求∠AGD的度数.
∵EF∥AD
(已知),
∴∠2=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DG∥AB
∴∠BAC+∠AGD=180°
∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°.
（两直线平行，同位角相等）.
(已知),
（等量代换） .
（内错角相等，两直线平行）.
（两直线平行，同旁内角互补）.
D
A
G
C
B
E
F
1
3
2
解:
如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD的数量关系，并说明理由.
A
B
C
D
P
E
解法一：作∠PCE =∠APC,交AB于E.
∴ AP∥CE
∴ ∠A+∠P=∠PCE+∠AEC,
∵AB∥CD ∴ ∠ECD=∠AEC,
∴∠A+∠P =∠PCE+∠ECD=∠PCD.
∴ ∠AEC=∠A，∠P=∠PCE.
如图，AB∥CD，猜想∠BAP、∠APC 、∠PCD的数量关系，并说明理由.
A
B
C
D
P
E
解法二：作∠APE =∠BAP.
∴ EP∥AB，
∴ EP∥CD，∴∠EPC=∠PCD.
∴ ∠APE+∠APC= ∠PCD.
即∠BAP+∠APC =∠PCD.
∵AB∥CD.
判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并
说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；
（2）是做一件事情，也不是命题.
十八.命题的识别
分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式.
(1)两点确定一条直线；
(2)等角的补角相等；
(3)内错角相等.
解：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线；
(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等；
(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
十九.命题表述形式的变换
请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）对顶角相等．
如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；
如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等．
下列命题哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）对顶角相等．
√
√
√
二十.真假命题的识别
×
×
下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
（1）猪有四只脚；
（2）内错角相等；
（3）画一条直线；
（4）四边形是正方形；
（5）你的作业做完了吗？
（6）同位角相等，两直线平行；
（7）同角的补角相等；
（8）同垂直于一直线的两直线平行；
（9）过点P画线段MN的垂线；
（10）x＞2.
是
真命题
否
是
假命题
是
假命题
否
是
真命题
是
真命题
是
真命题
否
否
分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了.
从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.
如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行.
二十一.利用证明推理解决问题
证明：
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠3=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3.
∴AB∥CD.
B
D
C
E
A
F
1
2
3
已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）,
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
又∵ b ∥ c（已知）,
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
二十二.利用公理定理进行推理
填空:
已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证：EG∥FH．
证明：∵∠1=∠2（已知）, ∠AEF=∠1 （ ）,
∴∠AEF=∠2 （ ）．
∴AB∥CD （ ）．
∴∠BEF=∠CFE （ ）．
∵∠3=∠4（已知）,∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．
即∠GEF=∠HFE （ ）．
∴EG∥FH （ ）．
对顶角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
等式性质
内错角相等，两直线平行
(1)如图所示，若∠1＝∠2，则AB∥CD，试判断该命题的真假： (填“真”或“假”).
(2)若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由.
假
解：加条件：BE∥FD.
理由如下：∵BE∥FD，∴∠EBD＝∠FDN(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1＝∠2，∴∠ABD＝∠CDN.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直
线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分
∠BPQ，QH平分∠CQP， 求证：PG∥HQ.
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G
下列现象：（1）水平运输带上砖块的运动；（2）高楼电梯上上下下迎接乘客；（3）健身做呼啦圈运动；（4）火车飞驰在一段平直的铁轨上；（5）沸水中气泡的运动.
属于平移的是_______________.
二十三.平移现象的识别
平移
旋转
平移
旋转
平移
（1）（2）（4）
提示：判断生活中的现象是否是平移，要根据平移的定义，进行判断，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化.
下列四组图形中，平移其中一个三角形可以得到另一个三角形的一组图形是（　　）
解析：根据平移的定义与特征可知，平移后的图形的形状、大小不改变，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，故选A.
二十四.图形平移变换的识别
A
AA＇
AA＇
C
AA＇
AA＇
B＇
C＇
如图，平移三角形ABC，使点A移动
到点A＇,画出平移后的三角形A＇B＇C＇.
解：（1）连接 ，
（2）过点B作AA＇的平行线, 在上截取BB＇= ，
（3）过点 作 的平行线，在上截取
CC＇= ，
（4）连接A＇B＇，B＇C＇，A＇C＇，
所得的三角形就是平移后的
三角形.
二十五.平移作图
A
B
C
A＇
1m
1m
21m
15m
A
C
D
B
图 1
如图是一块长方形的草地, 长为21m.宽为15m. 在草地上有两条宽为1米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的
面积为
多少
1m
1m
21m
15m
A
C
D
B
图 1
提示：两种平移方式
解：长草部分的面积=(21-1)×(15-1)=280(m2).
二十六.利用平移求面积
1m
21m
15m
A
C
D
B
【思考】如图是一块长方形的草地, 长为21米.宽为15米.在草地上有一条宽为1米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少
提示：平移构成规则图形
解：长草部分的面积=(21-1)×15=300(m2).
如何将平行四边形ABCD平移，使点A移动到点E，画出平移后的图形.
E
A
B
C
D
F
G
H
四边形 EFGH 就是四边形ABCD平移后的图形．
(1)如图所示，图①是将线段AB向右平移1个单位长度，图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形.
(2)若长方形的长为a，宽为b，
请分别写出三个图形中除去阴
影部分后剩余部分的面积.
(3)如图④，在宽为10m，长为40m的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽为1m，求这块菜地的面积.
解：（1）如图所示：
（2）三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
①ab-b； ②ab-b； ③ab-b；
（3）（40-1）×10=390（m2）．
答：这块菜地的面积为390m2.