马鞍山市第二中学 2021—2022 学年度
第一学期期中素质测试
高二年级 数学参考答案
一和二、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C D C D D A AC BC ACD BC
三、填空题：
题号 13 14 15 16
45 9
答案 2 2x y 0
2 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题 10 分）已知椭圆的两焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，P 为椭圆上一点，且 2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
（1）求椭圆方程．
（2）若点 P 与两焦点距离之差的绝对值为 1，求△PF1F2的面积．
解：(1)由已知得|F1F2|＝2，∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4＝2a，
2 2
x y
∴ 2 2 2a＝2.∴b ＝a －c ＝4－1＝3，∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
4 3
3
(2)
2
18.（本题 12 分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，
侧棱 AA1＝2，D、E 分别是 CC1和 A1B 的中点.
（1）求证：平面 ADE⊥平面 A1AB；
（2）求点 A1到平面 ADE 的距离.
解：
2 6
（2）
3
1
19.（本题 12 分）已知圆 x2 y2 8 内有一点 P 1,2 ， AB 为过点 P 且倾斜角为 的弦.
（1）当 135 时，求 AB 的长；
（2）是否存在弦 AB 被点 P 平分？若存在，写出直线 AB 的方程；若不存在，说明理由.
（1） 30
（2）存在.即 x 2y 5 0 .
π
20.（本题 12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsinA＝acos B－ . 6
（1）求 B；
（2）设 a＝2，c＝3，求 sin(2A－B)的值．
π
(1) B＝ .
3
3 3
(2)
14
21.（本题 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD， AP∥CQ，
3
AB＝2BC＝2，CQ＝ AP＝3.
2
（1）求直线 PD 与平面 BPQ 所成角的正弦值．
（2）求平面 APQ 与平面 BPQ 所成角的余弦值．
55
（1）
11
7 55
(2
55
22.（本题 12 分）已知一个动点 2P 在圆 x 4y y2 32 0上移动，它与定点Q 6,0 所连线段的
中点为M .
（1）求点M 的轨迹方程；
（2）是否存在过定点 0, 3 的直线 l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，且
x1 x 2满足 2 ，若存在，求直线 l 的方程；若不存在，说明理由.
x2 x1
解：
（1）设M x, y , P x0 , y0 ，
2
x0 6
x 2 x0 2x 6
则 ，则 ， P在圆上，
y 0 y0 2y0 y
2
2 2
2x 6 4 2y 2y 32 0 ，
2 2
即 x 3 y 1 9，
2 2
所以点M 的轨迹方程为 x 3 y 1 9；
（2）当 l斜率不存在时，直线 l : x 0与圆M交于一点，不符合题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为 y kx 3，
2 2
将直线方程代入圆M方程可得 1 k x 6 4k x 4 0，
2 5
则 6 4k 16 1 k 2 0，解得 k ，
12
6 4k 4
x1 x2 , x1x2 ，
1 k 2 1 k 2
x1 x
则
2 2 ，
x2 x1
5
解得 k ，
12
故不存在.
3马鞍山市花山区第二中学2021—2022学年度
第一学期期中素质测试
高二年级 数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.倾斜角为，在轴上的截距为的直线方程是( )
A． B． C． D．
2.已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是
l⊥α的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面内一定点，O为平面外任一点，则下列能表示向量的为( )
A．
B．
C．
D．
4.已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则( )
A． B． C． D．
5.在三棱锥中，⊥平面且，△是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
6.若直线通过点，则( )
A． B． C． D．
7.设函数，则满足( )
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
8.已知点和直线：，则点到直线的距离的取值范围
是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.设函数,则下列结论正确的是( )
A．函数的一个周期为 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称 D．函数在区间上单调递减
10.空间直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A．点关于坐标平面Oxy的对称点的坐标为
B．点在平面Oxz面上
C．表示一个与坐标平面Oxy平行的平面
D．表示一条直线
11.已知点 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 在圆 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 上，点 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，则( )
A．点 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 到直线 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的距离小于10 B．点 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 到直线 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的距离大于2
C．当 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 最小时， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 D．当 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 最大时， QUOTE EMBED Equation.DSMT4
12.在正三棱柱 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 中， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，点 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 满足 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，其中 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，则下列结论正确的是( )
A．当 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 时，△的周长为定值
B．当 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 时，三棱锥 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 的体积为定值
C．当 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 时，存在两点，使得⊥
D．当 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 时，存在两点，使得 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ⊥平面 QUOTE EMBED Equation.DSMT4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷的相应位置．
13.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(5，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x＋y＝ ．
14.已知，则的最小值为 ．
15.已知直线将圆的周长平分，其中，，则的最小值为 ．
16.已知圆：与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题10分）已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
（1）求椭圆方程．
（2）若点P与两焦点距离之差的绝对值为1，求△PF1F2的面积．
18.（本题12分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1和A1B的中点.
（1）求证：平面ADE⊥平面A1AB；
（2）求点A1到平面ADE的距离.
19.（本题12分）已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦.
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.
20.（本题12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.
（1）求B；
（2）设a＝2，c＝3，求sin(2A－B)的值．
21.（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD， AP∥CQ，AB＝2BC＝2，CQ＝AP＝3.
（1）求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值．
（2）求平面APQ与平面BPQ所成角的余弦值．
22.（本题12分）已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）是否存在过定点的直线与点的轨迹方程交于不同的两点，，且满足，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
