黑龙江省大庆市名校2022届高三上学期期中联考数学（理）试题（Word版含答案）

大庆市名校2022届高三上学期期中联考
理科数学试题
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的）
1.已知集合则（ ）
B． C． D．
2.设，则（ ）
A． B． C． D．
3.“”是“”的（ ）
A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列命题中错误的是( )
A.如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C.如果平面，平面，，那么
D.如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
5.已知，那么（ ）
A． B． C． D．
6.下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
7.函数在的图像大致为
A． B．C．D．
8.已知为等比数列,,,则（ ）
A． B． C． D．
9.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　
A． B． C． D．
10.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
11.已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
12.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是__________________．
14.设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为，则C的离心率为_______________．
15.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于___________________．
16.已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为____________________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题12分）已知数列的前项和为，且，数列满足.
（1）求；
（2）求数列的前项和.
18（本题12分）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
19.（本题12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
20.（本题12分）已知，分别是椭圆的左，右焦点，，当在上且垂直轴时，.
（1）求的标准方程；
（2）A为的左顶点，为的上顶点，是上第四象限内一点，与轴交于点，与轴交于点. 求证：四边形的面积是定值.
21.（本题12分）
已知，.
（1）求在处的切线方程；
（2）若不等式对任意成立，求的最大整数解。
（本题10分）
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为，且直线经过椭圆右焦点.
（1）求椭圆的内接矩形面积的最大值；
（2）若直线与椭圆交于两点，求的值.
大庆市名校2022届高三上学期期中联考
理科数学答案
选择题：
1.D 2.C 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.A 11.C 12.B
二．填空题：
13.9 14. 15.6 16
三．解答题：
17．解：（1）由可得，当时，,
当时，，
而，适合上式，故，又∵，∴
（2）由（1）知， ，
，
∴
.
18.解：(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：.
又因,故，
故.故的取值范围是
19.解：（1）因为，为的中点，所以，且．
连结．因为，所以为等腰直角三角形，
且 由知．
由知平面．
（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ．
由已知得
取平面的法向量．
设，则．
设平面的法向量为．
由得 ，可取
所以 ．由已知得 ．
所以 ．解得(舍去)， ．
所以 ．
又 ，所以 ．所以与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）由题意知，，，则，
得，又，，解得，所以的标准方程是.
（2）由题意知，，设，，，
因为，，三点共线，则，解得，
，，三点共线，则，解得，
，，，
.
.
21.解：（1）所以定义域为，
，，，所以切线方程为；
（2）等价于，
，记，，
所以为上的递增函数，且，，
所以，使得，即，
所以在上递减，在上递增，且，
所以的最大整数解为；
22.解：（1）椭圆化为，所以，则.
设椭圆的内接矩形中，的坐标为，
所以
所以椭圆的内接矩形面积最大值为.
（2）由椭圆的方程，得椭圆的右焦点，由直线经过右焦点，得，易得直线的参数方程可化为（为参数）），代入到，
整理得，，所以，即.
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