黑龙江省大庆市名校2022届高三上学期期中联考数学（文）试题（Word版含答案）

大庆市名校2022届高三上学期期中联考
文科数学试题
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的）
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C．，或 D．，或
2．已知复数，则z的共轭复数对应的点在第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
3．已知函数为奇函数，当时，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．设为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
7．已知两个不同的平面，和两条不重合的直线，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．已知双曲线的左 右焦点分别为点在双曲线的右支上，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知正数a，b满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．ab有最大值 B．有最小值8 C．有最小值4 D．有最小值
10．函数的大致图象为（ ）
A．B．C． D．
11．已知为常数，在某个相同的闭区间上，若为单调递增函数，为单调递减函数，则称此区间为函数的“”区间.若函数，则此函数的“”区间为（ ）
A． B．
C． D．
12．设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（ ）
A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C．若ea-2a=eb-3b，则a＞b D．若ea-2a=eb-3b，则a＜b
二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13．已知向量的夹角为120°，，若，则实数λ=________________.
14．正项等比数列的前项和为，若，则____________________.
15．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为__________________.
16．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为______________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤）
17．（本题12分）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18．（本题12分）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
19．（本题12分）如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
20．（本题12分）已知函数，
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：当时，的图象在的图象下方．
21．（本题12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点和右焦点分别为、和，直线与椭圆交于不同的两点、，记直线、，的斜率分别为、、.
（1）求证：为定值；
（2）若，求的周长.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第
一个题目计分．
22．（本题10分）已知曲线的直角坐标方程是，把曲线上的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.
（1）设曲线上任一点为，求的最大值；
（2），为曲线上两点，为坐标原点，若，求的值.
23．（本题10分）已知函数，.
（1）若，且恒成立，求实数的最大值；
（2）若，求的最大值.
大庆市名校2022届高三上学期期中联考
文科数学答案
一、选择题
1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．B 8．A 9．B 10．A 11．C 12．A
二、填空题
13． 14．63 15． 16．
三、解答题
17．解：由题意，数列满足，
当时，可得，
两式相减，可得，所以，
又由当时，，符合上式，所以数列的通项公式为.
（2）解：由，则，所以，
所以.
18．解：（1）在中，由，
利用正弦定理得，
所以，即，
因为，可得，所以，又因为，所以.
（2）由（1）知，可得，可得，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，，且，
所以，，所以
故的取值范围为.
19．（1）证明：在三棱柱中，连接，
，，，
是等边的边的中点，，
平面平面，平面平面，所以平面，
，又平面，.
（2）解：由（1）知平面，
.
20．解：（1）由函数，得，
所以切线的斜率，又因为，切点为，
函数在点处的切线方程为即.
（2）当时，的图象在的图象下方，即证明，
所以需证明
令，则，
令，则．
因为，所以恒成立，所以在上的增函数，
且，所以，即恒成立，
所以在上是增函数，且，
所以，即，
所以当时，的图象在的图象下方.
21．（1）证明：设，易知、，其中，则，
为定值.
（2）解：，即，
设、，而，
联立，
则，
且，，.
所以，
，
，，
所以，，，
故直线恒过椭圆的左焦点，所以，的周长为.
22．解：（1）：，曲线的参数方程(为参数)，
，
当时，的最大值为2.
（2），，代入得：.
故曲线的直角坐标方程为：，
对应的参数方程为：(为参数)，因此曲线上任意一点坐标为： ，对应的极坐标为：，显然有
，所以有，因此，
因为，设，则点的坐标为，
所以
.
23．解：（1）由题意，，
当且仅当时，取等号；所以，
因为恒成立，只需，即，
所以实数的最大值为.
（2）由柯西不等式，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.
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