2021-2022学年北师大版八年级数学上册7.5三角形的内角和同步达标训练（word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《7.5三角形的内角和》同步达标训练（附答案）
1．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（　　）
A．一定是直角三角形 B．一定是钝角三角形
C．一定有一个内角为45° D．一定有一个内角为60°
2．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是（　　）
A．10° B．12° C．15° D．18°
3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，在三角形纸片ABC中，∠B＝32°，点D在BC上，沿AD将该纸片折叠，使点C落在AB边上的点E处，若∠EAC＝76°，则∠AED＝（　　）
A．64° B．72° C．76° D．78°
5．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（　　）
A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2
6．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
7．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数是 　 　°．
8．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是　 　．
9．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　 　度．
10．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）图1中的∠ABC的度数为　 　．
（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为　 　．
11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为　 　度．
12．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BO1、BO2是∠ABC的三等分线，CO1、CO2是∠ACB的三等分线，则∠BO2C＝　 　°．
13．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）DE与AC平行吗？请说明理由；
（2）若∠BAC＝105°，∠B＝35°，求∠DEF的度数．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝50°，求∠BAD和∠AEC的度数．
15．图1所示的图形中，有像我们常见的学习用品﹣﹣圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”．观察“规形图”．
（1）如图1，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由．
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
如图2，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．
16．在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．
（1）如图，点D在线段BC上．
①若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠DAE＝　 　；
②若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝　 　．（用含α、β的代数式表示）
（2）如图2，若点D在边CB的延长线上时，若∠ABC＝α，∠C＝β，写出∠DAE与α、β满足的数量关系式，并说明理由．
17．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．
（1）求证：∠ABC＝∠EDF；
（2）若∠ABC＝45°，∠DFE＝50°，求∠BAC的度数．
18．在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，将∠α的顶点P放在边BC上，使得∠α的两边分别与边AB和AC交于点E、F（点E不与点B重合，点F不与点C重合）．设∠BEP＝∠β，∠CFP＝∠θ．
（1）若∠α＝30°，试回答下列问题：
①如图1，当点F与点A重合，∠β＝70°时，∠θ＝　 　°；
②如图2，当点E，F均不与点A重合，求∠β+∠θ的度数；
（2）试探究∠α与∠β、∠θ三者之间满足怎样的等量关系？并写出你的理由．
19．已知△ABC．（1）如图①，若D是△ABC内任一点，求证：∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）若D是△ABC外一点，位置如图②，则∠D，∠A，∠ABD，∠ACD之间有怎样的关系？
（3）若D是△ABC外一点，位置如图③，猜想∠D，∠A，∠ABD，∠ACD之间的关系，并证明你的结论．
20．已知：AB∥CD，∠AEB＝∠BFC．
（1）图1，求证：∠AEB＝∠ABE+∠DCF；
（2）图2，当三角形CEF旋转到图2位置时，请直接写出∠AEB、∠ABE、∠DCF的数量关系；
（3）图3，连接BC，∠BCF＝2∠ABE，点P在射线AB上，且∠BCD＝2∠BCP，射线CP交EF于点M，当∠F＝50°，∠FCD＝30°时，补全图后，求∠EMC的度数．
21．已知AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，且AE与CE相交于点E．请你利用所学知识完成下列问题：
（1）如图①，若∠D＝40°，∠B＝30°，求∠E的大小；
（2）如图②，求证：∠E＝（∠B﹣∠D）；
（3）如图③，请直接写出∠E与∠D、∠B之间等量关系．
22．将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．
（1）如图1，点D在△ABC内：
①小明同学不断改变∠A的度数，探究的结果如下：
若∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝60°；若∠A＝50°，则∠ABD+∠ACD＝40°；
②若∠A＝70°，则∠ABD+∠ACD＝　 　°．
③请判断∠ABD、∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图2，使点D在△ABC外，且在AC边的右侧，请直接写出∠ABD、∠ACD与∠A之间的数量关系．
参考答案
1．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°
又∵∠B+∠C＝3∠A，
∴4∠A＝∠180°，
∴∠A＝45°，
∴△ABC一定有一个内角是45°，
故选：C．
2．解：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠CAB＝×76°＝38°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣64°＝26°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝38°﹣26°＝12°，
故选：B．
3．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠CAB＝90°，故①正确，
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠DAE＝∠CAE，∠BAD＝∠C，
∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BEA，故③正确，
∵EF∥AC，
∴∠AEF＝∠CAE，
∵∠CAD＝2∠CAE，
∴∠CAD＝2∠AEF，
∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，故④正确，
无法判定EA＝EC，故②错误．
故选：B．
4．解：根据折叠可知：
∠EAD＝∠CAD＝EAC＝38°，
∵∠B＝32°，
∴∠ADC＝∠EAD+∠B＝70°，
∴∠ADE＝∠ADC＝70°，
∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠ADE＝180°﹣38°﹣70°＝72°．
故选：B．
5．解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′＝∠A，
又∵∠ADA′＝180°﹣∠1，∠3＝∠A′+∠2，
∴∠A+∠ADA′+∠3＝180°，
即∠A+180°﹣∠1+∠A′+∠2＝180°，
整理得，2∠A＝∠1﹣∠2．
∴∠A＝（∠1﹣∠2），即2∠A＝∠1﹣∠2．
故选：A．
6．解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，
故选：A．
7．解：∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ECB＝90°﹣40°＝50°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+30°＝80°，
故答案为80．
8．解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故正确；
④无法证明CA平分∠BCG，故错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故正确；
②∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，
∴∠CGE＝2∠DFB，
∴∠DFB＝∠CGE，故正确．
故答案为：①②③
9．解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60或10；
10．解：（1）∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，
∴∠ABF＝∠EAC﹣∠F＝45°﹣30°＝15°，
∵∠FBC＝90°，
∴∠ABC＝∠FBC﹣∠ABF＝90°﹣15°＝75°；
（2）∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠C＝30°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠CAE+∠E＝30°+45°＝75°．
故答案为：75°，75°．
11．解：如图．
∵∠3＝60°，∠4＝45°，
∴∠1＝∠5＝180°﹣∠3﹣∠4＝75°．
故答案为：75．
12．解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵BO1、BO2是∠ABC的三等分线，CO1、CO2是∠ACB的三等分线，
∴∠O2BC+∠O2CB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝80°，
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝180°﹣80°＝100°．
故答案是：100．
13．解：（1）DE∥AC．
理由如下：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠C＝180°﹣105°﹣35°＝40°，
∵DE∥AC，
∴∠EDF＝∠C＝40°，
∵EF⊥BD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣40°＝50°．
14．解：在△ABC中，
∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝40°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝40°；
在△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝40°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝25°，
在△DAE中，
∵∠ADE＝90°，∠DAE＝25°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝65°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣65°＝115°．
15．解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
理由如下：
连接AD并延长到E点
∵∠BDE＝∠BAE+∠B
∠EDC＝∠EAC+∠C
∴∠BDE+∠EDC＝∠BAE+∠EAC+∠B+∠C
∵∠BDC＝∠BDE+∠EDC
∠BAC＝∠BAE+∠EAC
∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）由（1）可知，
∵∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝80°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠CDB＝∠ADB，∠CEB＝∠AEB，
∴∠CDB+∠CEB＝（∠ADB+∠AEB）＝40°，
又∵∠DBE＝∠DCE+∠CDB+∠CEB，
∴∠DCE＝∠DBE﹣（∠CDB+∠CEB）＝130°﹣40°＝90°．
16．解：（1）①∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝70°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝20°．
②∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝90°﹣α﹣β，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣（∠C+∠EAC）＝＝．
故答案为：①20°，②；
（2）∠DAE＝．
理由：∵∠DAB+∠D＝∠ABC，
∴∠DAB＝∠ABC﹣∠D＝α﹣90°，
∵AE平分∠BAC，
∴＝＝＝，
∵∠DAE＝∠DAB+∠BAE，
∴＝．
17．（1）证明：∵∠EDF是△ABD的一个外角，
∴∠EDF＝∠1+∠ABD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EDF＝∠2+∠ABD＝∠ABC，
即∠ABC＝∠EDF；
（2）解：∵∠DEF是△ACE的一个外角，
∴∠DEF＝∠3+∠CAE，
∵∠1＝∠3，
∴∠DEF＝∠1+∠CAE＝∠BAC，
由（1）得∠EDF＝∠ABC＝45°，
∵∠DFE＝50°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠DFE＝85°，
即∠BAC＝85°．
18．解：（1）①∵∠BEP＝70°，∠α＝30°，
∴∠EAP＝70°﹣30°＝40°，
∵∠BAC＝60°，
∴θ＝∠BAC﹣∠EAP＝60°﹣40°＝20°；
故答案为：20；
②如图2，∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
△BEP中，∠B+∠BEP+∠BPE＝180°①，
△PFC中，∠C+∠CFP+∠CPF＝180°②，
∵∠α＝30°，
∴∠CPF+∠BPE＝150°，
①+②得：∠B+∠C+∠CPF+∠BPE+BEP+∠CFP＝360°，
∵∠BEP＝β，∠CFP＝θ，
∴β+θ＝360°﹣150°﹣120°＝90°；
（2）β+θ＝60°+∠α，理由是：
△BEP中，∠B+∠BEP+∠BPE＝180°①，
△PFC中，∠C+∠CFP+∠CPF＝180°②，
①+②得：∠B+∠C+∠CPF+∠BPE+BEP+∠CFP＝360°，
120°+180°﹣∠α+β+θ＝360°
∴β+θ＝60°+∠α．
19．解：（1）证明：延长BD交AC于点E．
∵∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BDC＝∠2+∠CED，
∵∠CED是△ABE的外角，
∴∠CED＝∠A+∠1．
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．即∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+∠DCB，
即∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝180°+180°＝360°，
∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝360°．
（3）证明：令BD、AC交于点E，
∵∠AED是△ABE的外角，
∴∠AED＝∠1+∠A，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠D+∠2．
∴∠A+∠1＝∠D+∠2即∠D+∠ACD＝∠A+∠ABD．
20．（1）作MF平行CD，
∵AB∥CD，
∴FG∥AB，
∴∠MBF＝∠BFG，∠FCD＝∠GFC，
∴∠BFC＝∠GFC+∠BFG
＝∠FCD+∠MBF
＝∠FCD+∠ABE，
∴∠AEB＝∠BFC，
∴∠AEB＝∠FCD+∠ABE；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CGE，
∵∠F+∠DCF＝∠CGE，
∴∠F+∠DCF＝∠ABE，
∵∠F＝∠AEB，
∴∠AEB+∠DCF＝∠ABE；
（3）由（1）可知，∠PBF+∠FCD＝∠BFC，
∴∠PBF＝50°﹣30°＝20°，
∴∠ABE＝20°，
∵∠BCF＝2∠ABE，
∴∠BCF＝40°，
∵∠AEB＝∠BFC＝50°，
∴∠ECF＝80°，
∴∠ECB＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD，
∴∠BCD＝40°+30°＝70°，
∴∠BCD＝2∠BCP，
∴，
①当P在AB之间时，如图2，
∵∠ECM＝∠ECB﹣∠PCB＝5°
∴∠EMC＝180°﹣50°﹣5°＝125°
②当P在AB延长线上时，如图3，
∵∠PCF＝∠PCD﹣∠FCD＝5°，
∴∠EMC＝∠F+∠PCF＝50°+5°＝55°，
综上所述∠EMC＝125°或55°．
21．解：（1）∵AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，
∴∠DCE＝∠BCE＝∠DCB，
∠BAE＝∠DAE＝∠BAD．
∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAB，
∠B+∠BAE＝∠E+∠ECB，
∴∠D+∠DCE+∠B+∠BAE＝∠E+∠DAE+∠E+∠ECB．
即∠D+∠B＝2∠E．
∴∠E＝（∠D+∠B）＝35°．
（2）证明：延长EC交AD于点F．
∵∠DCE＝∠EFD+∠D，
∠EFD＝∠DAE+∠E，
∴∠DCE＝∠D+∠DAE+∠E．
即∠DCB＝∠DAB+∠D+∠E①．
∵∠ECB+∠E＝∠B+∠BAE，
即∠DCB+∠E＝∠DAB+∠B②．
把①代入②，得∠DAB+∠D+∠E+∠E＝∠DAB+∠B，
∴2∠E＝∠B﹣∠D．
即∠E＝（∠B﹣∠D）．
（3）∠E与∠D、∠B之间等量关系：∠E＝（∠D﹣∠B）．
延长EC交AB于点F．
∵∠BCE＝∠EFB+∠B，
∠EFB＝∠BAE+∠E，
∴∠BCE＝∠B+∠BAE+∠E．
即∠DCB＝∠DAB+∠B+∠E①．
∵∠ECD+∠E＝∠D+∠DAE，
即∠DCB+∠E＝∠DAB+∠D②．
把①代入②，得∠DAB+∠B+∠E+∠E＝∠DAB+∠D，
∴2∠E＝∠D﹣∠B．
即∠E＝（∠D﹣∠B）．
22．解：（1）②在△ABC中，∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
在△DBC中，∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝110°﹣90°＝20°；
故答案为：20．
③∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°＝90°﹣∠A．
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
（2）∠ABD﹣∠ACD＝90°﹣∠A，
△ABH中，∠A+∠ABD+∠AHB＝180°，
△CDH中，∠ACD+∠DHC+∠D＝180°，
∵∠AHB＝∠DHC，∠D＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°+∠ACD，
即∠ABD﹣∠ACD＝90°﹣∠A．