13.3等腰三角形同步培优2021－2022学年人教版八年级数学上册(word版 含解析)

人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形 同步培优
一、选择题
1. 如图，等腰三角形的对称轴是(　　)
A．直线l1 B．直线l2
C．直线l3 D．直线l4
2. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD的度数为(　　)
A．60° B．50° C．40° D．30°
3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
4. （2020·天门仙桃潜江）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC∠DAE90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BDCE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE45°．其中正确结论的个数有
　 A．1 B．2个 C．3个 D．4个
5. (2020自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
6. （2020·玉林）如图，A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（　　）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
7. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为 (　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是 (　　)
A. AC=AD+BD　　 B. AC=AB+CD
C. AC=AD+CD　　　 D. AC=AB+BD
二、填空题
9. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．
10. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________.
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD＝20°，则∠ABD＝________°.
12. （2020·宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）.测得的相关数据为：∠ABC= 60°，∠ACB= 60°，BC= 48米，则AC= 米．
13. 在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．
14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．
15. 如图所示，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为________．
16. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．
三、解答题
17. 已知：如图，B，E，F，C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C.求证：OA＝OD.
18. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．
19. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.
20. （12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】A　
2. 【答案】D　[解析] ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°.
3. 【答案】C　【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD⊥BC，BD＝CD，在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝3，由勾股定理得BD＝4，∴BC＝2BD＝8.
4. 【答案】C
【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=90°+∠CAD，
∠CAE=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△AEC与△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB(SAS)，
∴BD=CE，故①正确；
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°，
∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90 ，
∴BD⊥CE，故②正确；
∵作AN⊥CE，AM⊥BD
∵△AEC≌△ADB(SAS)，
∴AM=AN，
∵AF是∠BFE的角平分线，
∠BFE=90°，
∴∠AFE=45°，故④正确
，故③正确；
因为QF≠PF，故③错误。
正确的有3个，
故选：C.
5. 【答案】 D．
【解析】本题考查了直角三角形，圆，等腰三角形等知识，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，因此本题选D．
6. 【答案】A
【解析】如图所示：
∵C岛在A岛的北偏东35°方向，∴∠CAD＝35°，
∵B岛在A岛的北偏东80°方向，∴∠BAD＝80°，∴∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝45°，
∵C岛在B岛北偏西55°方向，∴∠CBE＝55°，
又∵DA∥EB，
∴∠ABE＋∠BAD＝180°，∴∠ABE＝100°，
∵∠CBE＝55°，∴∠CBA＝100°－55°＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，∴CA＝CB，
在△ABC中，∴∠C＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：C．
7. 【答案】 B　
8. 【答案】 D　
二、填空题
9. 【答案】5
10. 【答案】2　[解析] 过点P作PE⊥OB于点E.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD.
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°.
∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°.
∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2.
∴PD＝PE＝2.故答案是2.
11. 【答案】50　[解析] ∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴∠BAE＝∠EAD＝20°.∴∠BAD＝40°，
又∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－40°＝50°.
12. 【答案】48
【解析】 ∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠A=180°－60°－60°=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∵BC=48，∴AC=48
13. 【答案】(－2，2)　[解析] ∵点P(4，2)，∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3.∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3.∴点P′的横坐标为1－3＝－2.
∴对称点P′的坐标为(－2，2)．
14. 【答案】30　[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.
∵∠OBM＝∠OBC，
∴∠MOB＝∠OBM.
∴MO＝MB.同理NO＝NC.
∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.
15. 【答案】20°或70°或100°　[解析] 如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ADC＝70°；
②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝100°；
③当AC＝AD″时，∠AD″C＝20°.
16. 【答案】或　[解析] ①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为＝50°，
∴特征值k＝＝.
②当∠A为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°＝20°，
∴特征值k＝＝.
综上所述，特征值k为或.
三、解答题
17. 【答案】
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE.
∴AF＝DE，∠AFB＝∠DEC.
∴OF＝OE.
∴AF－OF＝DE－OE，即OA＝OD.
18. 【答案】
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.
∴∠ACD＝∠B.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB.
∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF.
∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．
19. 【答案】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝2DC.
20. 【答案】
【问题解决】在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；
【类比探究】过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
A
B
C
D
E
F