冀教版八年级数学上册16-2线段的垂直平分线 同步达标训练 (word版含解析）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.2线段的垂直平分线》同步达标训练（附答案）
1．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？（　　）
A．24° B．30° C．32° D．36°
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．13
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．2
4．如图在△ABC中，BC＝8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F两点，则△AEF的周长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．不能确定
5．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（　　）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
6．如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
7．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝6cm，AB＝8cm，则△EBC的周长为（　　）
A．14cm B．18cm C．20cm D．22cm
8．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC等于（　　）
A．8° B．9° C．10° D．11°
9．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结论：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠FDE＝90°；（4）∠B＝∠CAE．恒成立的结论有（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3）（4）
C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
10．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：①∠FCD＝45°，②AE＝EC，③S△ABF：S△AFC＝BD：CD，④若BF＝2EC，则△FDC周长等于AB的长．正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（　　）
A．8cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE的延长线于点E，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
13．如图地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（　　）
A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点
14．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG周长为16，且GE＝1，则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
15．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　 　．
17．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　．
18．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　 　．
19．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为　 　．
20．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为　 　．
21．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝　 　．
22．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝　 　．
23．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
25．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．
求证：∠BAF＝∠ACF．
26．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．
（1）若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
（2）若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式．
参考答案
1．解：∵直线M为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠CBP．
∵直线L为BC的中垂线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP＝180°，
即3∠ABP+60°+24°＝180°，
解得∠ABP＝32°．
故选：C．
2．解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
3．解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
根据勾股定理得：AB＝5，
而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，
∴∠BDE＝90°，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△EDB，
∴BC：BD＝AB：（BC+CE），
又∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∴3：2.5＝5：（3+CE），
从而得到CE＝．
解法二：连接AE．
∵DE垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则EC＝x﹣3，
在Rt△ACE中，∵AE2＝AC2+EC2，
∴x2＝42+（x﹣3）2，
解得x＝，
∴EC＝﹣3＝．
故选：B．
4．解：∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
则△AEF的周长＝AE+EF+AF＝BE+EF+FC＝BC＝8，
故选：C．
5．解：∵DG是AB的垂直平分线，
∴GA＝GB，
∵△AGC的周长为31cm，
∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，
故选：C．
6．解：连接OA、OB，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝70°，
∴∠OBC+∠OCB＝110°﹣70°＝40°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝20°，
故选：C．
7．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴CE+BE＝AB＝8cm．
∵BC＝6cm，
∴△EBC的周长＝BC+CE+BE＝BC+AB＝6+8＝14（cm）．
故选：A．
8．解：连接OA，
∵∠BAC＝82°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣82°＝98°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB＝OA，OC＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠OBC+∠OCB＝98°﹣（∠OBA+∠OCA）＝16°，
∴∠OBC＝8°，
故选：A．
9．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，FA＝FD，
又∵EF＝EF，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠AEF＝∠DEF，
又∵AD⊥EF，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）∵FD与BE不一定互相垂直，
∴∠FDE＝90°不成立；
（4）由（1）（2）得：∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠CAD，
又∵∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，
∴∠B＝∠CAE．
故选：C．
10．解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，
∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，
∴S△ABF：S△AFC＝BD：CD，
∴③正确；
∵∠ABC＝45°，
∴AD＝BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴△BDF≌△ADC，
∴FD＝CD，
∴∠FCD＝∠CFD＝45°，
∴①正确；
若AE＝EC，BE⊥AC，可得AB＝BC，与题意不符合，
故②错误．
若BF＝2EC，根据①得BF＝AC，
∴AC＝2EC，
即E为AC的中点，
∴BE为线段AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，BA＝BC，
∴AB＝BD+CD＝AD+CD＝AF+DF+CD＝CF+DF+CD，
即△FDC周长等于AB的长，
∴④正确．
故选：D．
11．解：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，
∴AD＝DC，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC，
∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，
∴BC＝11cm，
故选：D．
12．解：设CE＝x，连接AE．
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝BC+CE＝3+x，
∴在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即（3+x）2＝42+x2，
解得x＝．
在Rt△ABC中，AB＝＝5，
∴BD＝AD＝，
在Rt△BDE中，DE＝＝，
故选：B．
13．解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选：A．
14．解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
15．解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（AC PN）：（AB PM）＝AC：AB；故②正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．
故选：D．
16．解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，
∴∠ACE＝∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF＝CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF＝BG，
设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，
∴12﹣x＝8+x，
解得x＝2，
∴AF＝12﹣2＝10．
故答案为：10．
17．解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
18．解：解法一：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；
解法二：
连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，
∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；
故答案为：78°．
19．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，
∵AD的垂直平分线交AB于点F，
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠EAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴AC∥DE，
∴∠BDE＝∠C＝90°，
∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，
设DE＝x，则EF＝BE＝x，BD＝DF＝2﹣x，
在Rt△BED中，DE2+BE2＝BD2，
∴x2+x2＝（2﹣x）2，
解得x1＝﹣2﹣2（负值舍去），x2＝﹣2+2，
∴△DEF的面积为（﹣2+2）×（﹣2+2）÷2＝6﹣4．
故答案为：6﹣4．
20．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵∠ACF＝48°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠ABC＝2∠FCE，
∴3∠FCE＝120°﹣48°＝72°，
∴∠FCE＝24°，
∴∠ABC＝48°，
故答案为：48°
21．解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝85°，
∴∠BDC＝∠EDF＝95°，
故答案为：95°．
22．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF
∴AC＝AF+CF＝BF+CF＝12+3＝15．
23．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝16cm，
∴OA＝0B＝OC＝5cm；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．
24．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
25．证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵FE是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠FAD＝∠FDA（等边对等角），
∵∠BAF＝∠FAD+∠1，∠ACF＝∠FDA+∠2，
∴∠BAF＝∠ACF．
26．解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，
∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，
∴3∠ABP＝120°﹣24°，
∴∠ABP＝32°；
（2）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP＝n°，
∵∠A＝60°，∠ACP＝m°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣m°，
∴3∠ABP＝120°﹣m°，
∴3n°+m°＝120°，
故答案为：m+3n＝120．