11.1 与三角形有关的线段 同步培优习题2021-2022学年人教版 八年级数学上册（word版 含解析）

人教版 八年级数学上册 11.1 与三角形有关的线段 同步培优
一、选择题
1. 如图，D，E，F是△ABC的边BC上的点，且BD＝DE＝EF＝FC，那么△ABE的中线是(　　)
　
A．线段AD B．线段AE
C．线段AF D．线段DF
2. 已知在△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值 (　　)
A. 11 B. 5 C. 2 D. 1
3. 若三角形的两边长分别为3和6，则它的第三边长可以为(　　)
A．3 B．4
C．9 D．10
4. 如图，小明做了一个长方形框架,发现它很容易变形,请你帮他选择一个最好的加固方案 (　　)
5. 试通过画图来判断，下列说法正确的是(　　)
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
6. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有(　　)
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
二、填空题
7. 如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝8，DE＝3，则BD＝________．
　　
8. 如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是________________．
9. 已知三角形的三边长分别为3，8，x，若x为偶数，则x＝____________．
10. 如图所示是一幅电动伸缩门的图片，则电动门能伸缩的几何原理是__________________________．
11. 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是____________．
12. 如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为________.
13. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为　　　　cm.
14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是D，E，F.若AC＝4，AD＝3，BE＝2，则BC＝________．
三、解答题
15. 已知等腰三角形的一边长为18，腰长是底边长的，试求此三角形的周长．
16. 规律探究根据三角形的稳定性，想稳定一个四边形木框至少要钉1根木条(如图①)，五边形木框至少要钉2根木条才能稳定(如图②)，六边形木框呢？现有一个n(n为大于3的整数)边形木框，则至少要钉几根木条才能稳定？
17. 如图，用钉子把木棒AB，BC和CD分别在端点B，C处连接起来，AB，CD可以转动，用橡皮筋把AD连接起来，橡皮筋始终绷直，设橡皮筋AD的长是x cm.
(1)若AB=5 cm，CD=3 cm，BC=11 cm，求x的最大值和最小值;
(2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗
18. 观察探究观察并探求下列各问题．
(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC________AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，如图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；
(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，如图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
19. 已知△ABC的周长是20，三边分别为a，b，c.
(1)若b是最大边，求b的取值范围;
(2)若△ABC是三边均不相等的三角形，b是最大边，c是最小边，且b=3c，a，b，c均为整数，求
△ABC的三边长.
20. 已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN.
(1)若多边形为四边形ABCD.
①如图 (a)，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；
②如图(b)，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．
(2)如图(c)，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．
人教版 八年级数学上册 11.1 与三角形有关的线段 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】A　
2. 【答案】 B　
3. 【答案】B
4. 【答案】B　[解析] 三角形具有稳定性,选项B通过添加木条,把长方形框架变成两个三角形,从而具有稳定性.
5. 【答案】D　[解析] 等腰直角三角形既是直角三角形，也是等腰三角形，故选项A错误；
等边三角形既是等腰三角形，也是锐角三角形，故选项B错误；
顶角是120°的等腰三角形，既是钝角三角形，也是等腰三角形，故选项C错误；
因为一个等边三角形的三个角都是60°，所以等边三角形是锐角三角形．故选项D正确．
6. 【答案】C
二、填空题
7. 【答案】5　[解析] ∵AE是△ABC的中线，EC＝8，
∴BE＝EC＝8.
∵DE＝3，
∴BD＝BE－DE＝8－3＝5.
8. 【答案】三角形具有稳定性
9. 【答案】6或8或10　[解析] 由三角形三边关系可知510. 【答案】四边形具有不稳定性
11. 【答案】1.5＜AD＜6.5　[解析] 如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB(SAS)．
∴AC＝EB.
∵AB－EB＜AE＜AB＋EB，
∴AB－AC＜2AD＜AB＋AC.
∵AB＝8，AC＝5，
∴1.5＜AD＜6.5.
12. 【答案】1 cm2　[解析] 因为E为AD的中点，所以S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD.所以S△BCE＝S△ABC.又因为F为EC的中点，所以S△BFE＝S△BCE.所以S△BFE＝××4＝1(cm2)．
13. 【答案】19　[解析] ∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
∴△ABD的周长-△ACD的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.
∵△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，
∴△ACD的周长为25-6=19(cm).
14. 【答案】　[解析] ∵S△ABC＝AC·BE＝BC·AD，∴BC＝＝＝.
三、解答题
15. 【答案】
解：当底边长是18时，则腰长为18×＝，此时能构成三角形，且周长为2×＋18＝45；
当腰长是18时，则底边长为18×＝24，此时能构成三角形，且周长为2×18＋24＝60.
综上可知，此三角形的周长为45或60.
16. 【答案】
解：
n边形(边数) 4 5 6 7 … n
木条根数 1 2 3 4 … n－3
实际上，所钉木条的最少根数就是从多边形的一个顶点出发连接与其不相邻的各顶点的线段的条数．
故六边形木框至少要钉3根木条才能稳定，n(n为大于3的整数)边形木框至少要钉(n－3)根木条才能稳定．
17. 【答案】
解:(1)x的最大值是5+3+11=19，最小值是11-3-5=3.
(2)由(1)得x的取值范围为318. 【答案】
解：(1)＜
(2)△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：
如图①，延长BP交AC于点M.
在△ABM中，BP＋PM＜AB＋AM.
在△PMC中，PC＜PM＋MC.
两式相加，得BP＋PC＜AB＋AC，
∴△BPC的周长＜△ABC的周长．
(3)四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．
理由：如图②，分别延长BP1，CP2交于点M.
由(2)知，BM＋CM＜AB＋AC.
又∵P1P2＜P1M＋P2M，
∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC.
∴四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．
19. 【答案】
解:(1)依题意有b≥a，b≥c.
又∵a+c>b，
∴a+b+c≤3b且a+b+c>2b，
则2b<20≤3b，
解得≤b<10.
(2)∵≤b<10，b为整数，
∴b=7，8，9.
∵b=3c，且c为整数，
∴b=9，c=3.
∴a=20-b-c=8.
故△ABC的三边长分别为8，9，3.
20. 【答案】
解：(1)①∵∠A＝50°，∠C＝100°，
∴在四边形ABCD中，
∠ABC＋∠ADC＝360°－∠A－∠C＝210°.
∴∠CBE＋∠CDF＝150°.
∵外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN，
∴∠PBC＋∠PDC＝∠CBE＋∠CDF＝75°.
∴∠BPD＝360°－50°－210°－75°＝25°.
②当∠A＝∠C时，BM∥DN.
证明：如图(a)，连接BD.
∵BM∥DN，∴∠BDN＋∠DBM＝180°.
∴∠FDN＋∠ADB＋∠ABD＋∠MBE＝360°－180°＝180°，
即(∠FDC＋∠CBE)＋(∠ADB＋∠ABD)＝180°.
∴(360°－∠ADC－∠CBA)＋(180°－∠A)＝180°.
∴(360°－360°＋∠A＋∠C)＋(180°－∠A)＝180°.
∴∠A＝∠C.
(2)∵∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，
∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDG＋∠G＝540°，
∴∠ABC＋∠CDG＝180°.
∴∠CBE＋∠CDF＝180°.
∵BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，
∴∠CBP＋∠CDP＝(∠CBE＋∠CDF)＝90°.
如图(b)，延长DC交BP于点Q.
∵∠BCD＝∠CBP＋∠CQB，∠CQB＝∠QDP＋∠BPD，
∴∠BCD＝∠CBP＋∠QDP＋∠BPD.
∴∠BPD＝120°－90°＝30°.