北师大版九年级数学下册第3章圆解答题专题提升训练（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
2．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．
（1）当点P在线段AB上时（如图）．求证：PA PB＝PE PF；
（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若，，求⊙O的半径．
3．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7．
（1）求sinA和sinC的值；
（2）若⊙D的圆心D在边AC上，且⊙D与边AB、BC都相切，求⊙D的半径．
4．如图，已知∠ABC＝90°，AB＝BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D．
（1）如果BE＝15，CE＝9，求EF的长；
（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD＝CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC＝CD，请说明你的理由．
5．已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、O、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P．设⊙O的半径为r．
（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE OP＝r2；
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以图2点E的位置为例，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
6．已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE＝3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．
8．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．
（1）求证：△ABC∽△OFB；
（2）当△ABD与△BFO面积相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．
9．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长AB等于　 　（结果保留根号）；
（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
10．如图，在圆O中AB是直径，AT是经过点A的切线，弦CD垂直AB于P点，线段CP的中点为Q，连接BQ并延长交切线AT于T点，连接OT．
（1）求证：BC∥OT；
（2）若⊙O直径为10，CD＝8，求AT的长；
（3）延长TO交直线CD于R，若⊙O直径为10，CD＝8，求TR的长．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若CF＝CD＝2，求⊙O的半径和sin∠CAB的值；
（3）若CF＝k CD（k＞0），直接写出sin∠CAB的值（用含k的代数式表示）．
12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC＝2，P是线段OA上一动点，连接PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，连接DF交AB于点G．
（1）当P是OA的中点时，求PE的长；
（2）若∠PDF＝∠E，求△PDF的面积．
13．如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）
14．已知：如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是上的一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连接AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，求证：S△DAF＞S△BAE．
15．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E，F是边AB上一点，以BF为直径的⊙O经过点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC＝4，cosC＝，求⊙O的半径．
16．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC，垂足为D，交⊙O于E，连接AC、BC、EC．
（1）求证：BC2＝BD BA；
（2）若AC＝6，DE＝4，求PC的长．
17．已知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）若⊙O的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．
18．如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线．
（2）当AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．
19．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．
（1）求证：D是的中点；
（2）求证：∠DAO＝∠B+∠BAD；
（3）若，且AC＝4，求CF的长．
20．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O切CD于点E．
（1）若设AD＝x，BC＝y，试求出y与x之间的函数关系式；
（2）如图2，BE的延长线交AD的延长线于点F．求证：AD＝AF；
（3）如图3，若AD＝2，BC＝8．动点P以每秒1个单位长的速度，从点B沿线段BC向点C运动；同时点Q以相同的速度，从点D沿折线D﹣A﹣B向点B运动．当点P到达点C时，两点同时停止运动．过点P作直线PM⊥BC与折线B﹣D﹣C的交点为M．点P运动的时间为t（秒）．点P在线段BC上运动时，是否可以使得以D、M、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请求出t的值；若不可以，请说明理由．
参考答案
1．（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝6，
设AD＝x，则OF＝CD＝6﹣x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF＝OC＝5，
∴AF＝5﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，
化简得x2﹣11x+18＝0，
解得x1＝2，x2＝9．
∵CD＝6﹣x大于0，故x＝9舍去，
∴x＝2，
从而AD＝2，AF＝5﹣2＝3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝6．
2．（1）证明：∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA＝∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFP＝∠C，
∠AFP＝∠EBP，
∵∠APF＝∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴，
∴PA PB＝PE PF；
（2）解：当P为BA延长线上一点时，第（1）题的结论仍成立（如图）
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA＝∠C，
∵EF∥BC，
∴∠PFA＝∠C，
∠PFA＝∠PBE，
又∵∠APF＝∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴，
∴PA PB＝PE PF；
（3）解法一：作直径AH，连接BH
∴∠ABH＝90°，
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA＝∠AHB
∵cos∠EBA＝，
∴cos∠AHB＝，
∵sin2∠AHB+cos2∠AHB＝1，又∠AHB为锐角，
∴sin∠AHB＝．
在Rt△ABH中，
∵sin∠AHB＝，AB＝4，
∴AH＝＝6，
∴⊙O半径为3；
解法二：作直径BH，连接AH（如图）．
∴∠BAH＝90°，
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBH＝90°，
∵cos∠EBA＝，
∴sin∠ABH＝＝，
设AH＝x，则BH＝3x，
在Rt△ABH中，AB＝4，
由勾股定理，AB2+AH2＝BH2，
∴（4）2+x2＝（3x）2
解得x1＝2，x2＝﹣2（负值舍去）
∴BH＝6，
∴⊙O半径为3．
3．解：（1）作BH⊥AC于H，如图，
设AH＝x，则CH＝6﹣x，
在Rt△ABH中，BH2+x2＝52，
在Rt△CBH中，BH2+（6﹣x）2＝72，
解得x＝1，BH＝2，
在Rt△ABH中，sinA＝＝；
在Rt△CBH中，sinC＝＝；
即sinA＝，sinC＝；
（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图，设⊙D的半径为r，
∵⊙D与边AB、BC都相切，
∴DE＝DF＝r，
在Rt△ADE中，sinA＝＝，
∴DA＝r，
在Rt△CDF中，sinC＝＝，
∴DC＝r，
∵DA+DC＝AC，
∴r+r＝6，
解得r＝，
即⊙D的半径为．
4．（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．
∴∠BCE＝90°，
又∵BC为直径，
∴∠BFC＝∠CFE＝90°，
∵∠FEC＝∠CEB，
∴△CEF∽△BEC，
∴，
∵BE＝15，CE＝9，
即：，
解得：EF＝；
（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，
∴∠ABF＝∠FCD，
同理：∠AFB＝∠CFD，
∴△CDF∽△BAF；
②∵△CDF∽△BAF，
∴，
又∵∠FCE＝∠CBF，∠BFC＝∠CFE＝90°，
∴△CEF∽△BCF，
∴，
∴，
又∵AB＝BC，
∴CE＝CD；
（3）解：∵CE＝CD，
∴BC＝CD＝CE，
在Rt△BCE中，tan∠CBE＝，
∴∠CBE＝30°，
故为60°，
∴F在直径BC下方的圆弧上，且＝．
5．（1）证明：如图1，连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ．
∵FQ是⊙O直径，
∴∠FDQ＝90°．
∴∠QFD+∠Q＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠C＝90°．
∵∠Q＝∠C，
∴∠QFD＝∠P．
∵∠FOE＝∠POF，
∴△FOE∽△POF．
∴，
∴OE OP＝OF2＝r2．
（2）解：（1）中的结论成立．
理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM．
∵FM是⊙O直径，
∴∠FCM＝90°，
∴∠M+∠CFM＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠E+∠D＝90°．
∵∠M＝∠D，
∴∠CFM＝∠E．
∵∠POF＝∠FOE，
∴△POF∽△FOE．
∴，
∴OE OP＝OF2＝r2．
6．（1）证明：连接OE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°；
在△BOE中，OB＝OE，∠B＝60°，
∴∠B＝∠OEB＝∠BOE＝60°，
∴∠BOE＝∠A＝60°，
∴OE∥AC（同位角相等，两直线平行）；
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DF．
∵DF与⊙O相切，
∴∠ADF＝90°．
设⊙O的半径是r，则EB＝r，EC＝4﹣r，AD＝4﹣2r．
在Rt△ADF中，∠A＝60°，
∴AF＝2AD＝8﹣4r．
∴FC＝4r﹣4；
在Rt△CEF中，∵∠C＝60°，∴EC＝2FC，
∴4﹣r＝2（4r﹣4），
解得，r＝；
∴⊙O的半径是．
7．（1）解：连接OE．
∵DE垂直平分半径OA，
∴OC＝OA
∵OA＝OE，
∴OC＝OE，CE＝DE＝，
∴∠OEC＝30°，
∴OE＝＝；
（2）证明：由（1）知：∠AOE＝60°，，
∴∠B＝∠AOE＝30°，
∴∠BDE＝60°
∵BD∥ME，
∴∠MED＝∠BDE＝60°，
∴∠MEO＝∠MED+∠OEC＝60°+30°＝90°，
∴OE⊥EM，
∴EM是⊙O的切线；
（3）解：连接OF．
∵∠DPA＝45°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠EOF＝2∠EDF＝90°，
∴S阴影＝S扇形EOF﹣S△EOF＝＝π﹣．
8．（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即：AC⊥BC，
又OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC＝∠FOB，
∵BN是半圆的切线，
∴∠BCA＝∠FBO＝90°，
∴△ABC∽△OFB．
（2）解：连接OP，
由△ACB∽△OBF得，∠OFB＝∠DBA，∠BCA＝∠FBO＝90°，
∵AM、BN是⊙O的切线，
∴∠DAB＝∠OBF＝90°，
∴△ABD∽△BFO，
∴当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，
∴AD＝OB＝1，
∵DP切圆O，DA切圆O，
∴DP＝DA，
∵△ABD≌△BFO，
∴DA＝BO＝PO＝DP，
又∵∠DAO＝∠DPO＝90°，
∴四边形AOPD是正方形，
∴DQ∥AB，
∴四边形ABQD是矩形，
∴BQ＝AD＝1；
（3）证明：由（2）知，△ABD∽△BFO，
∴＝，
∴BF＝＝＝，
∵DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线，
∴AD＝DP，QB＝QP，
过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，
DQ2＝QK2+DK2，
∴（AD+BQ）2＝（AD﹣BQ）2+22．
∴BQ＝，
∴BF＝2BQ，
∴Q为BF的中点．
9．解：（1）过点O作OE⊥AB于E，
则AE＝BE＝AB，∠OEB＝90°，
∵OB＝2，∠B＝30°，
∴BE＝OB cos∠B＝2×＝，
∴AB＝2；
故答案为：2；
（2）连接OA，
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，
∴∠DAB＝∠BAO+∠DAO＝∠B+∠D，
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠DAB＝50°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝100°；
（3）∵∠BCO＝∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，
此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，
∴∠DAC＝60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO＝90°，
即OC⊥AB，
∴AC＝AB＝．
∴当AC的长度为时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似．
10．解：（1）取BP的中点E，连接QE；
∵Q是PC的中点，E是PB的中点，
∴QE为△PBC的中位线，QE∥BC；
∵AT为经过A点的切线，AB为直径，
∴AT⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AT∥CD，∠TAO＝∠QPE＝90°，
∴△BPQ∽△BAT，
∴；
∵PB＝2PE，AB＝2AO，
∴，
∴△TAO∽△QPE，
∴∠AOT＝∠PEQ，
∴OT∥QE；
∵QE∥BC，
∴BC∥OT．
（2）∠AOT＝∠CBP；
∵CD⊥AB，AB为直径CD＝8，
∴CP＝PD＝4；
连接OC，在Rt△OCP中，
∵PC＝4，OC＝AB＝5，
∴OP＝3，
∴PB＝OB﹣OP＝2，
∴△ATO∽△CPB，
∴；
∵AO＝AB＝5，
∴AT＝10．
（3）在Rt△OAT中，OT＝＝5，
∵AT∥CR，
∴△AOT∽△POR，
∴，
OR＝，
∴TR＝OT+OR＝8．
11．证明：（1）连接DE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE＝90°，即DE⊥AC，
又∵D是AC的中点，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE；
（2）在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE＝∠AEF＝90°，∠DAE＝∠EAF，
∴△ADE∽△AEF，
∴＝，即＝，
解得：AE＝2cm；
即⊙O的直径为2cm，
∴⊙O的半径为cm；
∵∠ADE＝∠FDE＝∠AEF＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝∠FED+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠DEF，
∴△ADE∽△EDF，
∴＝，
∴DE2＝AD DF＝2×4＝8，
∴DE＝2，
在Rt△CDE中，CE＝＝2，
∴sin∠CED＝，
∵∠CAB＝∠CED，
∴sin∠CAB＝；
（3）∵AE＝CE，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠CAB+∠ACB＝90°，∠DEA+∠DAE＝90°，
∴∠CAB＝∠DEA，
∵CF＝k CD，点D是AC中点，
∴DF＝（k+1）CD，
∵△ADE∽△EDF，
∴＝，
∴DE2＝AD DF＝（k+1）CD2，
∴DE＝CD，
在Rt△CDE中，CE＝＝CD，
∴sin∠CED＝＝＝，
∵∠CAB＝∠CED，
∴sin∠CAB＝．
12．解：（1）当P是OA的中点时，PB＝3，
∵CE是⊙O的切线，
∴AB⊥CE，
又∵CP⊥PE，∠CPB＝∠E，
∴△CBP∽△PBE，
∴＝，
∴BE＝，
∴在Rt△PBE中，PE＝＝＝；
（2）在Rt△PDG中，由∠PDF＝∠E＝∠CPB，可知∠GPF＝∠GFP
于是GD＝GP＝GF，
直径AB平分弦DF，有两种可能：
（ⅰ）弦DF不是直径，如图1，则AB⊥DF，于是PD＝PF，∠GPD＝∠GDP＝45°
∴BP＝BC＝2＝BO，点P与点O重合．S△PDF＝×2×2＝2；
（ⅱ）弦DF恰为直径，如图2，
则点P即为点A．而BC＝2，BP＝4，
∴BE＝8，
S△PCE＝×10×4＝20，
∴S△PDF＝（）2×20＝．
13．（1）证明：连接CB，AB，CE，
∵点C为劣弧AB上的中点，
∴CB＝CA，
又∵CD＝CA，
∴AC＝CD＝BC，
∴∠D＝∠CBD，∠CAB＝∠CBA，
∴2∠CBD+2∠CBA＝180°，
∴∠CBD+∠CBA＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABE＝90°，
即弧AE的度数是180°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵AE＝10，AC＝4，
∴根据勾股定理得：CE＝2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ACE＝12.5π﹣×4×2＝12.5π﹣4．
14．证明：（1）连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE∥BC，
∴OD⊥BC，
∴弧BD＝弧CD，
∴∠BAD＝∠EAD
∵∠BDA＝∠BCA，DE∥BC，
∴∠BDA＝∠DEA，
∵∠BAD＝∠EAD，
∴△ABD∽△ADE；
（2）由（1）得，
即AD2＝AB AE，
设在△ABE中，AE边上的高为h，则S△ABE＝h AE，
∵△ABC为锐角三角形，
∴h＜AB，
由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形，
∴S△ADF＝×AD×AF＝AD2
∴AD2＝AE×AB．
∵h＜AB．
∴S△DAF＞S△BAE．
15．（1）证明：连接OE，如图所示：
则OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠0BE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠ADB，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AD，
∴AD与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝BC，∠ABC＝∠C，
∵BC＝4，cosC＝，
∴BD＝2，cos∠ABC＝，
在Rt△ABD中，AB＝＝6，
设⊙O的半径为r，则OA＝6﹣r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABD，
∴，
即，
解得：r＝，
∴⊙O的半径为．
16．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵BD⊥PD，
∴∠BDP＝∠BCA＝90，
∴Rt△BDC∽Rt△BCA，
∴，
∴BC2＝BD BA．
（2）解：∵Rt△BDC∽Rt△BCA，
∴∠DBC＝∠CBA，
∴EC＝AC，
∴EC＝AC＝6，
∵∠DBC＝∠CBA，
∴∠DCE＝∠CBA，
∴Rt△CED∽Rt△BAC，
∴，
∴AB＝9，
由勾股定理得，
∵∠PCA＝∠PBC，∠P＝∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴，
设PA＝6m，则PC＝m，
由切割线定理得PC2＝PA PB，
∴45m2＝6m（6m+9），
解得m＝6，
∴PC＝．
17．（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，
∴PD＝PA，
∵∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°，
∴∠PDF＝∠PFD，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，
即：P是AF的中点；
（3）解：∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴＝，
由题意可知圆的半径为5，
∴AB＝10，
∴＝＝＝，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，
即：tan∠ABF＝．
18．（1）证明：如图，连接OE，
∵DE∥OA，
∴∠COA＝∠ODE，∠EOA＝∠OED，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠COA＝∠EOA，
又∵OC＝OE，OA＝OA，
∴△OAC≌△OAE（SAS），
∴∠OEA＝∠OCA＝90°，
∴OE⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知△OAC≌△OAE，
∴AE＝AC＝1，AB＝1+2＝3，
在直角△ABC中，，
∵∠B＝∠B，∠BCA＝∠BEO，
∴△BOE∽△BAC，
∴，
∴在直角△AOC中，tan∠OAC＝．
19．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC，
∴AE⊥OD，
∴D是的中点；
（2）证明：
方法一：
如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC，
∴∠AGD＝∠B，
∵∠ADO＝∠BAD+∠AGD，
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠DAO＝∠B+∠BAD；
方法二：
如图，延长AD交BC于H，
则∠ADO＝∠AHC，
∵∠AHC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADO＝∠B+∠BAD，
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠B+∠BAD；
（3）解：∵AO＝OC，
∴S△OCD＝S△ACD，
∵，
∴，
∵∠ACD＝∠FCE，∠ADC＝∠FEC＝90°，
∴△ACD∽△FCE，
∴，
即：，
∴CF＝2．
20．（1）解：过D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴AD和BC为⊙O的切线，
而CD为⊙O的切线，
∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，
而DF＝AB＝8，FC＝y﹣x，
∴（x+y）2＝82+（x﹣y）2，
∴y＝；
（2）证明：连AE，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
而DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
而∠DAE+∠F＝∠DEA+∠DEF＝90°，
∴∠F＝∠DEF，
∴DE＝DF，
∴AD＝AF；
（3）解：当0＜t≤2，
∵DQ＝t，BP＝t，
∴当AQ＝BP时，∠MQD＝90°，
∴t+t＝2，
∴t＝1；
当2＜t≤8，
若∠QDM＝90°，如图，
∴∠AQD＝∠C，
∴Rt△AQD∽Rt△PCM，
∴AD：PM＝AQ：PC，即AD：AQ＝PM：PC，
而PM：PC＝DF：FC＝8：6＝4：3，
∵AQ＝t﹣2，
∴2：（t﹣2）＝4：3，
∴t＝；
若∠QMD＝90°，如图，
过M作MH⊥AB，
∴∠HQM＝∠C，
∴Rt△HQM∽Rt△PCM，
∴MH：MP＝HQ：PC，即HM：HQ＝MP：PC，
∴HM：HQ＝MP：PC＝DF：FC＝4：3，
PC＝8﹣t，PM＝（8﹣t），
而MH＝t，QH＝BH﹣BQ＝（8﹣t）﹣（10﹣t）＝﹣t，
∴t：（﹣t）＝4：3，
∴t＝＜2，舍去．
当∠DQM＝90°，如图，
过M作MH⊥AB于H点，则PM＝（8﹣t），MN＝t，AQ＝t﹣2，
∴QH＝8﹣（t﹣2）﹣（8﹣t）＝t﹣，
∴Rt△AQD∽Rt△HMQ，
∴AD：QH＝AQ：HM，即2：（t﹣）＝（t﹣2）：t，
∴t2﹣10t+4＝0，t＝5±，
∴t＝5+＞8（舍）．