第四章 数列
4.2.1等差数列的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．下面数列中，是等差数列的有( )
①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④，，，，…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于( )
A．1 B．0或32
C．32 D．log25
3．在等差数列中，若=4，=2，则= （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．6
4． 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 020这2 020个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10的值为( )
A. 190 B. 211 C. 232 D. 253
5．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，成等差数列，则，，成等差数列
B．若，，成等差数列，则，，成等差数列
C．若，，成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列
D．若，，成等差数列，则，，成等差数列
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下面数列中，是等差数列的为( )
A.4,5,6,7,8… B.3,0，－3,0，－6，…
C.0,0,0,0… D.，，，，…
7．设等差数列中首项为，公差为d，且从第5项开始是正数，则公差d的可能取值是
A．1 B． C．0 D．2
8．已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．（d为常数） B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．是与的等差中项
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于____________．
10．若数列{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝________.
11．在等差数列中，若=4，=2，则=________
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是等差数列吗？若是，请证明．
13．四个数成递增等差数列，四个数之和等于，中间两个数之积为，求这四个数．
14．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N)．证明：数列是等差数列；第四章 数列
4.2.1等差数列的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．下面数列中，是等差数列的有( )
①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④，，，，…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①是以4为首项，以1为公差的等差数列；②后一项减前一项不是常数，所以不是等差数列；③是常数列，所以是等差数列；④是以为首项，以为公差的等差数列.
故选：C.
2．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于( )
A．1 B．0或32
C．32 D．log25
【答案】D
【解析】因为lg2＋lg(2x＋3)＝2lg(2x－1)，即2(2x＋3)＝(2x－1)2，(2x)2－4·2x－5＝0，所以2x＝5，解得x＝log25， 故选：D.
3．在等差数列中，若=4，=2，则= （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．6
【答案】B
【解析】在等差数列中，若，则，解得，故选：B.
4． 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 020这2 020个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10的值为( )
A. 190 B. 211 C. 232 D. 253
【答案】A
【解析】由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，则an－1是21的倍数，即an－1＝21(n－1)，即an＝21n－20，所以a10＝21×10－20＝190. 故选：A
5．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，成等差数列，则，，成等差数列
B．若，，成等差数列，则，，成等差数列
C．若，，成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列
D．若，，成等差数列，则，，成等差数列
【答案】C
【解析】若，，成等差数列，则，
，所以A不正确；
，所以B不正确；
是成等差数列，所以C正确；
，所以D不正确； 故选：C．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下面数列中，是等差数列的为( )
A.4,5,6,7,8… B.3,0，－3,0，－6，…
C.0,0,0,0… D.，，，，…
【答案】ACD
【解析】A是以4为首项，以1为公差的等差数列；B后一项减前一项不是常数，所以不是等差数列；C是常数列，所以是等差数列；D是以为首项，以为公差的等差数列.
故选：ACD.
7．设等差数列中首项为，公差为d，且从第5项开始是正数，则公差d的可能取值是
A．1 B． C．0 D．2
【答案】AB
【解析】设等差数列的公差为d，
由题意可得，
解不等式组可得． 故选：AB．
8．已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．（d为常数） B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．是与的等差中项
【答案】ABD
【解析】A．因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；
B． 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；
C．，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；
D．根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确．故选：ABD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于____________．
【答案】
【解析】∴a＝，b＝x.∴＝. 故答案为：
10．若数列{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝________.
【答案】33
【解析】由2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，得a3＋a6＋a9＝33，故答案为：33
11．在等差数列中，若=4，=2，则=________
【答案】0
【解析】在等差数列中，若，则，解得，故答案为：0
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是等差数列吗？若是，请证明．
【答案】（1）；（2）数列是首项为3公差的等差数列．
【解析】（1）由，得当时，；
当时，，．
检验当时，；
所以数列的通项公式；
（2），
．
数列是首项为3公差的等差数列．
13．四个数成递增等差数列，四个数之和等于，中间两个数之积为，求这四个数．
【答案】，，，．
【解析】设四个数为，，，，其中，
，解得，
四个数为，，，．
14．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N)．证明：数列是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】因为an＋1＝，a1＝3，所以＝＝1，
＝＝＝＝＝＋，
即－＝，n∈N?，故数列是首项为1，公差为的等差数列．
