第四章 数列
4.2.3等差数列的前n项和(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知等差数列，且，则数列的前13项之和为（ ）
A. 24 B. 39 C. 104 D. 52
2．已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
3．在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述:今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则二马相逢时，良马比驽马多走了多少路程（ ）
A 440里 B. 540里 C. 630里 D. 690里
4．已知等差数列的前项和为，，，，则等于
A．12 B．14 C．16 D．18
5．已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有( )
A. B. C. D.
8．已知等差数列的前n项和为且则（ ）
A. B. 当且仅当n= 7时，取得最大值
C. D. 满足的n的最大值为12
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于 ．
10．设等差数列满足，，的前项和的最大值为，则 ．
11．设数列的前项和为，且是等差数列，若，则 ．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知数列的前项和为，已知， .①；②；③；请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值并指明相应的值.
13．在①，；②；③，.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.
已知数列是等差数列其前项和为，，若_________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)求数列的通项公式；
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝15，S5＝65.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn.第四章 数列
4.2.3等差数列的前n项和(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知等差数列，且，则数列的前13项之和为（ ）
A. 24 B. 39 C. 104 D. 52
【答案】D
【解析】由题意，
，∴．故选：D．
2．已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设公差为，依题意得
解得
所以，故选：B
3．在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述:今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则二马相逢时，良马比驽马多走了多少路程（ ）
A 440里 B. 540里 C. 630里 D. 690里
【答案】B
【解析】设良马每天所行路程为，则是以103为首项，以13为公差的等差数列，
其前项为，
驽马每天所行路程为，则是以97为首项，以为公差的等差数列，其前项为，
设共用天二马相逢，则,
所以，
化简得，解得，
，，
所以. 故选：B.
4．已知等差数列的前项和为，，，，则等于
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由题意可得，
，
，
，
解得， 故选：B.
5．已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意可得
．
设，，
因为函数是增函数，
所以当时，函数取最小值，
所以．
故实数的最大值为．故选：B
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，故选：AC.
7．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值. 故选：BC.
8．已知等差数列的前n项和为且则（ ）
A. B. 当且仅当n= 7时，取得最大值
C. D. 满足的n的最大值为12
【答案】ACD
【解析】设等差数列的公差为，则，解得，
，，且，
对于A，，故A正确；
对于B，的对称轴为，开口向下，故或7时，取得最大值，故B错误；
对于C，，，故，故C正确；
对于D，令，解得，故n的最大值为12，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于 ．
【答案】13
【解析】在等差数列中若，则，
因为，所以，
所以．
所以．
故答案为：13．
10．设等差数列满足，，的前项和的最大值为，则 ．
【答案】2
【解析】设等差数列的公差为，，，
，，．
，
令，
解得，
因此当时，的前项和取得最大值，
．
故答案为：2．
11．设数列的前项和为，且是等差数列，若，则 ．
【答案】
【解析】因为是等差数列，设的公差为，，
即，
所以，
即
所以是等差数列，
， 故答案为：。
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知数列的前项和为，已知， .①；②；③；请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值并指明相应的值.
【答案】（1）；（2），或时，-30.
【解析】（1）由题意，数列满足，可得，
即，即，即数列为公差为2的等差数列，
若选①：由，可得，解得，
可得，
所以数列的通项公式为.
若选②：由，可得，解得，
可得，
所以数列的通项公式为.
若选③：，即，解得，
可得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
令，即，解得，
可得当时，；
当时，；
当时，，
所以或时，取得最小值，
其中最小值为.
13．在①，；②；③，.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.
已知数列是等差数列其前项和为，，若_________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)求数列的通项公式；
【答案】条件选择见解析；（1）；（2），.
【解析】若选择条件①，设的公差为，
∵，∵，
∵，
∴，
∴，，.
若选择条件②，
∵，∴，
两式相减得，
又∵是等差数列，∴，
∴，
∴.
∵，∴，
∴，∴，∴.
若选择条件③，
∵时，，
当时，，
又，两式相减得，
又∵，∴，∴，
∴通项公式为.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝15，S5＝65.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn.
【答案】（1）an＝－2n＋1；（2）Rn＝
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.由题意得解得所以an＝－2n＋1 (2)由(1)得Sn＝－n2＋18n，所以Tn＝－n2＋18n－10.当n＝1时，b1＝T1＝7；当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋19.所以bn＝
易知当1≤n≤9时，bn＞0；当n≥10时，bn＜0.
所以当1≤n≤9时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝－n2＋18n－10；
当n≥10时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|
＝b1＋b2＋…＋b9－(b10＋b11＋…＋bn)
＝－Tn＋2T9＝n2－18n＋152.
故Rn＝
