第四章 数列
4.2.3等差数列的前n项和(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．等于
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A 63 B. 45 C. 36 D. 27
5．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A. B. C. D.
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（ ）
A．若S5＝S9，则必有S14＝0
B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项
C．若S6＞S7，则必有S7＞S8
D．若S6＞S7，则必有S5＞S6
8．等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. 当或10时，取最大值
C. D.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在等差数列中，表示的前项和，若，则的值为 ．
10．在等差数列中，公差，，，则数列的前9项之和等于 ．
11．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
13．记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值及对应的大小．
14．①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．
问题：等差数列前项和为，，若 ____，是否存在，使得且？第四章 数列
4.2.3等差数列的前n项和(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由已知，得，故选：C.
2．等于
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，记等差数列的通项公式，
则
， 故选：C．
3．已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，. 故选：D.
4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A 63 B. 45 C. 36 D. 27
【答案】B
【解析】由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45
∴a7+a8+a9=45故选：B．
5．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，，，
，解得，，
，，可得是单调递增数列，
所以在，，，中，最大的为．故选：D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】设等差数列的公差为，则，解得，
，.
故选：AC.
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（ ）
A．若S5＝S9，则必有S14＝0
B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项
C．若S6＞S7，则必有S7＞S8
D．若S6＞S7，则必有S5＞S6
【答案】ABC．
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，则a7+a8＝0，S140，A正确；
对于B，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，又由a1＞0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；
对于C，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，则a8＝S8﹣S7＜0，必有S7＞S8，C正确；
对于D，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误；
故选：ABC.
8．等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. 当或10时，取最大值
C. D.
【答案】AD
【解析】，，故正确A.
由，当时，，有最小值，故B错误.
，所以，故C错误.
，
，故D正确. 故选：AD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在等差数列中，表示的前项和，若，则的值为 ．
【答案】12
【解析】由等差数列的性质可得：，
则．
故答案为：12．
10．在等差数列中，公差，，，则数列的前9项之和等于 ．
【答案】90
【解析】由公差，，，
，，
联立解得：，，
故．
故答案为：90．
11．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.
【答案】1.5
【解析】设此等差数列的公差为，
由题意即解得
所以夏至的日影子长为， 故答案为：1.5
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
【答案】（1）an＝3－2n ；（2）7．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.由a1＝1，a3＝－3，得1＋2d＝－3，解得d＝－2，
所以an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n
(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.由Sk＝－35，得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，所以k＝7
13．记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值及对应的大小．
【答案】（1）（2）当或时，有最大值为20．
【解析】（1）设的公差为，且．
由，得，由，得，
于是，．所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
因为，所以当或时，有最大值为20．
14．①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．
问题：等差数列前项和为，，若 ____，是否存在，使得且？
【答案】答案见解析
【解析】若存在，使得且，则，，
设等差数列首项为，公差为，
若选择条件①：由，可得，解得，
所以，，
由，可得，
所以当时，满足，．
若选择条件②：由，可得，解得，
所以，，
由，可得，
所以当时，满足，．
若选择条件③：由，可得，可得，
所以，，
易知恒成立，
所以不存在满足条件的．
