2021-2022学年北师大版九年级数学上册第四章图形的相似培优试题二（Word版，附答案解析）

2021北师大版九上数学第四章图形的相似培优试题二
一、单选题
1.（2021八下·岱岳期末）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2∶1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1）
2.（2021八下·泰山期末）如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 （ ）
A. 3 B. 3或 C. 3或 D.
3.（2021·玉林模拟）如图，在菱形 中， ，点E，F分别在 ， 上，沿 折叠菱形，使点A落在 边上的点G处，且 于点M，若 （取 ， ），则 等于（ ）
A. B. C. D.
4.（2021·安徽模拟）如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F ， 则AF：FB等于（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 3：4
5.（2021·海曙模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90° ， 以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连结KN交AG于点M，若S1-S2=2，AC=4，则AB的长为 （ ）
A. 2 B. C. D.
6.（2021·杭州）如图，在 中， ，CD是 的角平分线，过点D作 交BC于点E. 和 的面积分别为 和 ，若 ，则 的值为（ ）.
A. 3 B. C. D.
7.（2021·石家庄月考）如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A. y＝﹣ B. y＝﹣ C. y＝﹣ D. y＝﹣
8.（2021·渌口模拟）将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D. 3
9.（2021九上·萧山期末）如图， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.（2021九上·犍为期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连 接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
11.（2020九上·江阴期中）如图，点 ， ， ， 在射线 上，点 ， ， 在射线 上，且 ， .若 ， 的面积分别为 ，8，则图中三个阴影三角形面积之和为（ ）
A. B. C. D.
12.（2020八下·渭滨期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E.若AD＝1，则图中阴影部分面积为（ ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
13.（2020·涪城模拟）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，E、F是BC、CD边上点，且 ， ，AE 、AF分别交BD于点M ， N ， 则MN的长度是（ ）
A. B. C. D.
14.（2020·杭州模拟）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH长为（　　）
A. 1 B. 1.2 C. 2 D. 2.5
15.（2020九下·双鸭山期中）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠MPN为直角，使点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论：①EF＝ OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝ OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝ ；⑤OG BD＝AE2+CF2 ． 其中结论正确的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题
16.（2021·汇川模拟）如图， 是等边 边 上的一点，且 ，现将 折叠，使点 与 重合，折痕为 ，点 ， 分别在 和 上，则 .
17.（2021·金州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且 ，连接CE交BD于点F ， 交AB于点G ， 则 的值是 ．
18.（2021·甘井子模拟）如图，正方形 中， ，点E在边 上，点F在边 上， ， 的延长线与射线 相交于点G，设 ，则 的长为 ．
19.（2021·越城模拟）如图，在 中， 是 边上的动点，设 .若能在 边上找到一点Q，使 ，则x的取值范围是 .
20.（2021·河南模拟）已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为 .
21.（2021九下·金牛月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP ， BP ， AP+ ＝BP的最小值为 ．
22.（2020九上·吉水期末）如图示意图，A点的坐标为（2，2），点C在线段OA上运动（点C不与O、A重合），过点C作CD⊥x轴于D，再以CD为一边在CD右侧画正方形CDEF．连接AF并延长交x轴于B，连接OF．若△BEF与△OEF相似，则点B的坐标是 ．
23.（2020·武汉模拟）如图，四边形 ABCD 为矩形，点 E 为 BC 上的一点，满足 AB × CF = BE × CE ，连接 DE ，延长 EF交 AD 于 M 点，若 AE2+ FD2 = AF2 ， ∠DEF = 15°,则∠M 的度数为________.
24.（2020九下·碑林月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，F为线段DE的中点，连接CF，在点D运动过程中，线段CF长的最小值为________.
25.（2019九上·卫辉期中）将三角形纸片（ ）按如图所示的方式折叠，使点 落在边 上，记为点 ，折痕为 ，已知 ， ，若以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，那么 的长是________.
26.如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，将 沿 折叠，使点 落在矩形内点 处，连接 ，则 的长为 ．
27.如图，已知等边△ABC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D1；过D1作D1E1∥AB于E1 ， 连接BE1交AD于D2；过D2作D2E2∥AB于E2 ， …，如此继续，若记S△BDE为S1 ， 记 为S2 ， 记 为S3…，若S△ABC面积为Scm ，则Sn= cm （用含n与S的代数式表示）
28.（2019九上·贵阳期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，AD⊥BC于点D，P是线段AD上的一个动点，以点P为直角的顶点，向上作等腰直角三角形PBE，连接DE，若在点P的运动过程中，DE的最小值为3，则AD的长为________．
三、解答题
29.（2021九上·城阳期中）如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE交DB于点F ， BD平分∠ABC ， ∠ADB＝90°．
求证：
（1）△BFC∽△DFE；
（2）AB＝8，BC＝3，求 的值．
30.（2021九上·铁东月考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为边BC上一点，连接AE交BD于点F．
（1）求证：BE AF＝BC EF；
（2）若AC⊥AB，AE⊥BC，BE＝3，AB＝4，求 的值．
31.（2021八下·泰山期末）如图，在 中，点 、 分刷在边 、 上，连接 、 ．且 ．
（1）证明： ；
（2）若 ， ，当点 在 上运动时（点 不与 、 重合）．且 是等腰三角形，求此时 的长．
32.（2021·韩城模拟）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋.一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）.小明在F处竖立了一根标杆 ，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米.已知 米， 米， 米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在 上， ， ， ， .根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树 的高度.
33.（2021九下·樊城期中）在矩形 中，点 是对角线 、 的交点，直角 的顶点 与 重合， 、 分别与 、 边相交于 、 ，连接 ， （ 为常数）.
（1）发现问题：如图1，若 ，猜想： ________；
（2）类比探究：如图2， ，探究线段 ， 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若 ， ， ，求 的长.
34.（2021·东河模拟）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边 中，点P是边 上任意一点（不含端点B和C），连接 ，以 为边作等边 ，连接 ．求证： ；
（2）变式探究：如图2，在等腰 中， ，点P是边 上任意一点（不含端点B和C），连接 以 为腰作等腰 ，使 ，连接 ．判断 和 的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形 中，点P是边 上一点，以 为边作正方形 ，Q是正方形 的中心，连接 ．若正方形 的边长为8， ，求正方形 的边长．
35.（2021·岱岳模拟）如图
（1）如图①， ，求证： ．
（2）（尝试应用）
如图②，在菱形 中， ，点E ， F分别为边 上两点，将菱形 沿 翻折，点A恰好落在对角线 上的点P处，若 ，求 的值．
（3）（拓展提高）
如图③，在矩形 中，点P是 边上一点，连接 ，若 ，求 的长．
36.（2021·亭湖模拟）如图，已知 和 均为等腰三角形， ， ，将这两个三角形放置在一起.
（1）问题发现：
如图①，当 时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则线段BD、CE之间的数量关系是________， ________ ；
（2）拓展探究：
如图②，当 时，点B、D、E不在同一直线上，连接CE，求出线段BD、CE之间的数量关系及BD、CE所在直线相交所成的锐角的大小（都用含 的式子表示），并说明理由：
（3）解决问题：
如图③， ， ， ，连接CE、BD，在 绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．
故答案为：D
【分析】根据位似的性质和点的坐标求解即可。
2.【答案】 B
【解析】【解答】 , ，AQ= ，
, ，AQ=3.
故答案为：B.
【分析】分类讨论，结合图形，利用相似三角形的性质求解即可。
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，
∵∠A=60°，
∴∠BAO=30°，
∴AO=AB cos30°= ，
∴AC= ，
∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，
∴EG=AE，
∵EG⊥BD，AC⊥BD，
∴EG∥AC，
∴ ，
又∵EG=AE，
∴ ，
解得AE= ，
∴AE的长为 .
故答案为：D.
【分析】连接AC，交BD于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2AO，求出∠BAO的度数，表示出AO、AC，由折叠的性质可得：EG=AE，然后根据平行线分线段成比例的性质以及EG=AE可表示出AE.
4.【答案】 A
【解析】【解答】 MN是△ABC的中位线
, ,
G是MN的中点
即
又
即：AF：FB ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线的性质得到 ， 再利用相似三角形的性质和三角形的中位线求出 ， 最后整体代入计算即可。
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵∠ACB+∠CAN=90°，∠FCN+∠CAN=90°，
∴∠ACB=∠FCN，
在△ABC和△FCN中，
，
∴ ≌ ，
∴AB=FN；
∵∠BAC=∠KBC=90°，
∴△BCK∽△ACB，
∴ ，
∴ ；
设五边形ACFNM的面积为S，
∵S1-S2=2，
∴（S1+S）-（S2+S）=2，
设AB=x，BC=y，
由勾股定理可得， ，
∵S1+S2=S正方形ACFG=AC2=16， S2+S= S梯形CFNK= ，S1-S2=2，
∴（S1+S）-（S2+S）=16- =16- =2，
∴ ，
解得， ， ， ， ，
∵x、y都为正数，
∴ ，
即AB=2，BC= .
故答案为：A.
【分析】利用余角的性质可证得∠ACB=∠FCN，利用ASA证明△ABC≌△FCN，利用全等三角形的性质可证得AB=FN；再证明△BCK∽△ACB，利用相似三角形的对应边成比例，可证得；设五边形ACFNM的面积为S，利用已知条件可得到（S1+S）-（S2+S）=2，设AB=x，BC=y，利用勾股定理可得到x，y的方程，利用S1+S2=S正方形ACFG=AC2=16，S1-S2=2，建立关于x，y的方程组，解方程求出符合题意的x，y的值；可得到AB，BC的长.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，如图所示：
∵ ，CD是 的角平分线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△AND∽△DMB，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，根据角平分线的性质、正方形的性质及等腰直角三角形的性质证DM=MC=EM=DN=CN，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AND∽△DMB，可得比例式= ， 设DM=MC=EM=DN=CN=m，则BM=3m，于是结合比例式可将AN、BM用含m的代数式表示出来，由线段的构成BE=BM-EM、AC=AN+CN可将BE、AC用含m的代数式表示出来，根据S1=AC·DN、S2=BE·DM可求解.
7.【答案】 A
【解析】【解答】作点F作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△FGC∽△ABC，
∴CG：BC＝FG：AB，
即 ＝ ，
∴y＝﹣ ．
故答案为：A．
【分析】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图
对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知5：10＝x：5，
解得x＝2.5，
即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5.
再根据相似的性质可知2：5＝y：2.5，
解得：y＝1，
所以梯形的下底就是3﹣1＝2，
所以阴影梯形的高是（2+0.5）×3÷2＝3.75＝ .
故答案为：C.
【分析】由正方形的对边平行得出对角线所分得的三个三角形相似，然后根据相似形的性质，列比例式分别求出两个小直角三角形的竖直边的长度，则可求出梯形的上下底的长度，然后求面积即可.
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：过点G作 交BC于F，如图，
， ，
，
， ，
，
，
，
.
故答案为：D.

【分析】过点D作DF∥CA交BE于F , 利用平行线分线段成比例定理得到 ， ，结合已知条件把CF、BD和DF均用含CD的代数式表示，则BG和GE的比值可求.

10.【答案】 B
【解析】【解答】解：记AC与PQ的交点为O.
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= =5.
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO，
∴PQ最短也就是PO最短.
过O作BC的垂线OP′.
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴ ，
∴OP′= ，
∴则PQ的最小值为2OP′= ，
故答案为 .
【分析】记AC与PQ的交点为O，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短；过O作BC的垂线P′O，则PO最短为P′O；
接下来可证明△P′OC和△ABC相似，进而利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值.
11.【答案】 C
【解析】【解答】解： ，
，
∽
又∵ ， 的面积分别为 ，
同理可得：
∴ 与 是等高不等底的三角形
，
又∵ 的面积是 ，
的面积为
同理可得： 的面积
的面积
三个阴影面积之和
故答案为： .
【分析】由平行线的性质可得∠OB2A2=∠OB3A3 ， ∠A2B1B2=∠A3B2B3 ， 证明△B1B2A2∽
△B2B3A3 ， 结合已知条件可得相似比为1:2，同理可得△A2A3B2与△A3A4B3的相似比为1:2，根据三角形的面积公式可得 ， 根据△A3B2B3的面积可得△A2B2A3的面积，同理求出△A3B3A4、△A1B1A2的面积，据此求解.
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：作DH⊥BC于H，
∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=45°，
∴△DEB是等腰直角三角形，
设DH=BH=EH=a，
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CAB，
∴ ，
∵AD=1，
∴AC=4，
∴ ，
∴AB= ，CE=2a，
∵ ,
∴ ，
∴ =1，
∴ ,
∴图中阴影部分的面积=
=
=
=
故答案为：B.
【分析】作DH⊥BC于H，得到△DEB是等腰直角三角形，设DH=BH=EH=a，证明△CDH∽△CAB，得到 ，求得AB= ，CE=2a，根据 得到 ，利用阴影面积= 求出答案.
13.【答案】 B
【解析】【解答】过点B作BH⊥DA，交DA延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAH= ，
∵AB=4，
∴AH= ， ，
∴DH=6+2=8，
∴BD= ，
∵AD∥BC，
∴△BEM∽△DAM，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴△DFN∽△BAN，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴MN=BD-BM-DN= ，
故答案为：B.
【分析】过点B作BH⊥DA，交DA延长线于点H，利用平行四边形的性质求出DH=8，由勾股定理求出BD= ，由△BEM∽△DAM求出 ，
由△DFN∽△BAN求出 ，再根据MN=BD-BM-DN即可求出答案.
14.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵AB∥GH，
∴ ，即 ①，
∵GH∥CD，
∴ ，即 ②，
①+②，得 ，
解得GH＝1.2.故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例，可得 ，即 ①， ，即 ②，利用等式性质将①+②可得 ， 从而求出GH的长.
15.【答案】 C
【解析】【解答】① 四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
（ASA），
， ，
，故符合题意；
② ，
，故符合题意；
③ ，故符合题意；
④过点 作 ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
当 时， 最大；
即在旋转过程中，当 与 的面积之和最大时， ，故不符合题意；
⑤ ， ，
，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，
，故符合题意.
故答案为： .
【分析】①由四边形 是正方形，直角 ，易证得 （ASA），则可证得结论；
②由①易证得 ，则可证得结论；
③ ，故可得结论；
④首先设 ，则 ， ，继而表示出 与 的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；
⑤易证得 ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 ，再利用 与 的关系， 与 的关系，即可证得结论.
二、填空题
16.【答案】 7:8
【解析】【解答】解：设AD=2k，则DB=3k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=5k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，
∴∠EDA+∠FDB=120°，
又∵∠EDA+∠AED=120°，
∴∠FDB=∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由折叠得CE=DE，CF=DF，
∴△AED的周长为7k，△BDF的周长为8k，
∴△AED与△BDF的相似比为7:8，
∴CE：CF=DE：DF=7:8.
故答案为：7:8.
【分析】设AD=2k，则DB=3k，由等边三角形的性质可得AB=AC=5k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，推出∠FDB=∠AED，证明△AED∽△BDF，由折叠的性质可得CE=DE，CF=DF，然后表示出△AED、△BDF的周长，求出周长比，利用相似三角形的周长比等于相似比可得CE:CF的值.
17.【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD ， AB=CD
∴△AEG∽△DEC ，
∴
∴
设平行四边形ABCD的AB和CD边上的高为h ， 则：
故答案为：
【分析】由平行线的性质得出AB//CD，AB=CD，可证△AEG∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例，可得CD=4AG，设平行四边形ABCD的AB和CD边上的高为h，可得 ， 据此计算即可.
18.【答案】
【解析】【解答】解：设BF=x ， 则CF=4-x ，
∵ABCD为正方形，
∴DA=AB=4，
在Rt△ADE中，DE2=DA2+AE2=42+12=17，
在Rt△EFB中，EF2=EB2+BF2=（4-1）2+x2=9+x2 ，
在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2=42+（4-x）2=x2-8x+32，
在Rt△DEF中，DF2=DE2+EF2 ，
即x2-8x+32=17+9+x2 ，
∴ ，
，
∵∠BFG=∠CFD ， ∠DCF=∠GBF=90°，
∴△FBG∽△FCD ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】设BF=x，则CF=4-x，由正方形的性质得出DA=AB=4，利用勾股定理先分别求出DE2、EF2 ， DF2 ， 在Rt△DEF中，利用DF2=DE2+EF2 ， 建立方程，求出x值即得BF、CF的长，证明△FBG∽△FCD，利用相似三角形对应边成比例即可求出结论.
19.【答案】 0≤x≤1
【解析】【解答】解：过BP中点O，以BP为直径作圆，
连接QO，当QO⊥AC时，QO最短，即BP最短，CP最长，
∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△OQC，
∴ ，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵PC=x，
∴PB=4-x，
∴QO= （4-x），CO= （4-x）+x= x+2，
∴ ，
解得：x=1，
当P与C重合时，CP=0，
∴x的取值范围是：0≤x≤1，
故答案为：0≤x≤1.
【分析】根据已知首先找出CP取最大值时QO⊥AC，进而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，进而求出PC的取值范围即可.
20.【答案】 或
【解析】【解答】解：
设AN=PN=x，则CN=5=x
①当∠NPC=90°时，如图1，
∵∠NPC=∠B=90°，∠C=∠C，
∴△NPC∽△ABC，
即
②当∠PNC=90°时，如图2，
∵∠PNC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NPC∽△ABC，
即
综上，PN的长为 或 .
故答案为 ： 或 .
【分析】首先由勾股定理结合已知条件可得AC的值，设AN=PN=x，则CN=5=x，①当∠NPC=90°时，易证△NPC∽△ABC，然后由相似三角形对应边成比例求解即可；②当∠PNC=90°时，同理可证△NPC∽△ABC，求出PN的值.
21.【答案】
【解析】【解答】解：连接CB，取BC的中点D，连接DP，AD，
∵圆的半径为2
∴CD=1，CP=2
∴
∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴ ，
∴PD＝BP，
∴AP＋BP＝AP＋PD．
要使AP＋BP最小，只要AP＋PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP＋PD最小，
∴AP＋BP最小值为AD的长，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴ ，
AP＋BP的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接CB，取BC的中点D，连接DP，AD，可证得CD，CP，CP，CB四条线段成比例，再由∠PCD＝∠BCP，可证得△PCD∽△BCP，利用相似三角形的对应边成比例可证得PD＝BP，可推出AP＋BP＝AP＋PD；要使AP＋BP最小，只要AP＋PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP＋PD最小，最小值就是线段AD的长；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD的长.
22.【答案】 （1，0）（3，0）（6，0）
【解析】【解答】设
∵A(2,2)，
∴
∴CD=OD=DE=EF=t ，
∵CF∥OB ，
∴△ACF∽△AOB，
∴
∴
要使△BEF与△OFE相似，
∵
∴只要 或
即：BE=2t或 ，
①当BE=2t时，BO=4t ，
∴
∴t1=0(舍去)或 ，
∴B(6,0).
②当 时，
(ⅰ)当B在E的左侧时，

∴
∴t1=0(舍去)或
∴B(1,0).
(ⅱ)当B在E的右侧时,
∴
∴t1=0(舍去)或
∴B(3,0).
综上,B(1,0)(3,0)(6,0).
故答案为(1,0)(3,0)(6,0).
【分析】先证明△ACF∽△AOB，再求出最后分类讨论计算求解即可。
23.【答案】 60°
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 为矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD∥BC
∴∠EFC＋∠FEC=90°
∵AB × CF = BE × CE ，
∴
∴△ABE∽△ECF
∴∠AEB=∠EFC
∴∠AEB＋∠FEC=90°
∴∠AEF=180°－（∠AEB＋∠FEC）=90°
在Rt△AEF中，AE2+ EF2 = AF2 ，
∵AE2+ FD2= AF2 ，
∴EF=FD
∴∠DEF=∠EDF=15°
∴∠EFC=∠DEF＋∠EDF=30°
∴∠FEC=90°－∠EFC=60°
∵AD∥BC
∴∠M=∠FEC=60°
故答案为：60°.
【分析】根据矩形的性质可得∠B=∠C=90°，AD∥BC，然后根据相似三角形的判定定理即可证出△ABE∽△ECF，从而得出∠AEB=∠EFC，然后求出∠AEF，结合勾股定理和已知条件即可证出EF=FD，根据等边对等角可得∠DEF=∠EDF=15°，然后根据三角形外角的性质、平行线的性质即可求出结论.
24.【答案】 2
【解析】【解答】解：连接CE，如图所示：
BC＝ ＝ ＝5，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，∠ACD＝∠AEG，
∵∠AGE＝∠DGC，
∴△AGE∽△DGC，
∴ ＝ ，
∵∠AGD＝∠EGC，
∴△AGD∽△EGC，
∴∠ADG＝∠ECG，
∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，
∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，
∵F是DE的中点，
∴CF＝ DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，
当AD⊥BC时，△ABC的面积＝ AD BC＝ AB AC，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ，即 ＝ ，
解得：DE＝4，
∴CF＝ ×4＝2，
故答案为：2.
【分析】连接CE，如图所示：首先根据勾股定理算出BC的长，再判断出△ABC∽△ADE，得出 ＝ ，判断出△AGE∽△DGC，得出 ＝ ，接着判断出△AGD∽△EGC，得出∠ADG＝∠ECG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF＝DE，再根据当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得DE的最小值，即可得出CF的最小值．

25.【答案】 或
【解析】【解答】解：由折叠得： ，
∵ ，
∴△ABC是等腰三角形，
∵以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
∴△ 是等腰三角形，
当 时，即
得 ，
∴CF= ;
当 时，
∵ ∽△BCA，
∴ ，即 ,
得CF= = ,
故答案为： 或 .
【分析】分两种情况 时， 时，根据等腰三角形的性质求线段CF的长.
26.【答案】 7.2
【解析】【解答】∵ 为 的中点， ，
∴ ，
在 中， ，
又∵翻折前后三角形全等，
∴ ， ，
∴△ 为等腰三角形，
如下图，过 点作 ，交 于点 ，
则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ．
∴ ，
又∵ 为等腰三角形，
∴ ．
【分析】根据中点的定义得出BE=CE=6，然后根据勾股定理算出AE的长，根据翻折的性质得出BE=EF=CE ， ∠BEA=∠FEA ，如下图，过 E 点作 EH⊥FC ，交 CF 于点 H ，根据等腰三角形的三线合一得出∠FEH=∠CEH ，根据等角的余角相等得出∠CEH=∠BAE，进而判断出Rt△ABE∽Rt△EHC ，根据相似三角形对应边成比例建立方程即可求出CH的长，从而得出答案。
27.【答案】
【解析】【解答】解：∵D是边BC的中点，过D作DE∥AB，
∴E为AC的中点，BE⊥AC，
设△ABC的高是h，
过E作EM⊥BC于M，
∵BD=DC，DE∥AB，
∴AE=EC，
∵AD⊥BC，EM⊥BC，
∴AD∥EM，
∴DM=MC，
∴EM= AD= h，∴s1= BC AD= s= ，
∵DE∥AB，D1E1∥AB，
∴ = =2= ，∴s2= AE h﹣ AE h= s= ，同理s3= ，s= ，
…
sn= ，故答案为： ．
【分析】根据D是边BC的中点，过D作DE∥AB，得到E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，根据三角形的面积公式求出s1= BC AD= s= ，根据DE∥AB，D1E1∥AB，得到 = =2= ，求出s2= ，同理s3= ，s= ，进而得出sn= ，即得到答案．
28.【答案】
【解析】【解答】当DE⊥CE时，DE的有最小值．
连接CE．∵△BAC和△EBP是等腰直角三角形，∴∠EBC+∠CBP=∠CBP+∠PBA=45°，BC= BA，BE= BP，∴∠EBC=∠PBA， ，∴△EBC∽△PBA，∴∠ECB=∠PAB．
∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴∠PAB=45°，BD=DC=AD，∴∠ECD=45°．
∵∠DEC=90°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴DC= DE= ，∴AD= ．
故答案为： ．
【分析】当DE⊥CE时，DE的有最小值，连接CE．根据两边成比例且夹角相等，可证△EBC∽△PBA，利用相似三角形的对应角相等可得∠ECB=∠PAB．利用等腰直角三角形的性质可得∠PAB=45°，BD=DC=AD，从而可证△DEC是等腰直角三角形，通过解直角三角形可求出AD=DC= DE= .
三、解答题
29.【答案】 （1）解：∵E为AB的中点，∠ADB=90°，
∴ ，
∴∠EDF=∠EBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠EDF=∠CBF，
又∵∠EFD=∠CFB，
∴△BFC∽△DFE；
（2）∵△BFC∽△DFE，
∴ ，
∵AB=8，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EDF=∠EBF， 再求出 ∠EDF=∠CBF， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
30.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，且 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴BE AF＝BC EF．
（2）解：∵AC⊥AB，四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵AE⊥BC ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BE＝3，AB＝4，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得出 ， 求证出 得出 ， ， 由 ， 即可得出结论；
（2）先证出 ， 在 中，利用勾股定理得出AE的值，代入求出 ， 由四边形ABCD是平行四边形，得出OC的值，在 中， 利用勾股定理得出OD的值，由此得出BD、BC的值，由（1）知， ， 得出BF的值，即可得出答案。


31.【答案】 （1）证明： ，
，
，
，
；
（2）解：当 时，
，
，
，
，
点 与 重合，不合题意舍去；
当 时，如图1，
，
，
，
平分 ，
垂直平分 ，
；
当 时，如图2，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，当 是等腰三角形时， 的长为 或 ．
【解析】【分析】（1）先求出∠BAD=180°-∠ADB-∠ADE，再求出∠BAD=∠CDE，最后证明求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用相似三角形的性质计算求解即可。
32.【答案】 解：过点D作 于点P，交 于点N，过点M作 于点Q，交 于点K，
由题意可得： ， 米， ， 米， 米.
， ， ，
，
， ，
， .
， .
（米）.
答：这棵樱花树 的高度是8.8米.
【解析】【分析】 过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，证得△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB．
33.【答案】 （1）1
（2）解： .
理由：过 作 于 ，作 于 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形.
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在矩形 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
由（2）， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
由题意， ，
由勾股定理得， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知， ，
∴在 中， ，
∴ .
【解析】【解答】解：（1）若 ，则 ，即四边形ABCD为正方形，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
∴△OEB≌△OFC，
∴OE=OF，
∴
故答案为：1；
【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC即可得到OE=OF，从而得出结论即可；（2）过 作 于 ，作 于 ，利用相似三角形的判定与性质证明即可；（3）根据题意判定 ，从而得到 ，令 ，则 ，可在Rt△ABC中求出未知数，从而得到BC的长度，最终求得OF和OE的长度，再在Rt△OEF中利用勾股定理求解EF即可.

34.【答案】 （1）证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴BP=CQ；
（2）解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC=∠ACQ；理由如下：
∵在等腰△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC= （180°-∠ABC），
∵在等腰△APQ中，AP=PQ，
∴∠PAQ═ （180°-∠APQ），
∵∠APQ=∠ABC，
∴∠BAC=∠PAQ，
∴△BAC∽△PAQ，
∴ ，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABC=∠ACQ；
（3）解：连接AB、AQ，如图3所示：
∵四边形ADBC是正方形，
∴ ，∠BAC=45°，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴ ，∠PAQ=45°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵ ，
∴△ABP∽△ACQ，
∴ ，
∵CQ= ，
∴BP= CQ=6，
设PC=x，则BC=AC=6+x=8，
解得：x=2，
∴
在 ， ，
答：正方形 的边长为 ．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BAP=∠CAQ， 再利用SAS证明证明三角形全等，最后求解即可；
（2）先证明 △BAC∽△PAQ， 再求出 ∠BAP=∠CAQ， 最后求解即可；
（3）先求出 ∠BAP=∠CAQ， 再证明 △ABP∽△ACQ， 最后利用勾股定理求解即可。
35.【答案】 （1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
由（1）得， ，
∴ ，
设 ，则
∴ ，
可得 ①， ②，
①－②，得 ，
∴ ，
∴ 的值为
（3）解：如图，在 边上取点E，F，使得 ，设AB=CD=m，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
= DF，
，
由（1）可得， ，
∴ ，
∴ ，整理，得 ，
解得 或 （舍去），
∴
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再根据 证明三角形相似即可；
（2）先求出 是等边三角形， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）先求出 ，再利用锐角三角函数和相似三角形的性质计算求解即可。
36.【答案】 （1）；60
（2）解：如图②中， ， 、 所在直线相交所成的锐角的大小为 .
理由：延长 交 的延长线于 ，设 交 于点 .
在等腰三角形 中， ， ，
，
同理， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
.
、 所在直线相交所成的锐角的大小为 .
（3）解：由（2）知， ，
，
在 中， ，
，
①当点 在点 上方时，如图③，
过点 作 交 的延长线于 ，
当 时，可证 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
矩形 是正方形，
，
在 中，根据勾股定理得， ，
.
②当点 在点 下方时，如图④
同①的方法得， ， ，
，
综上所述， 的长为 或 .
【解析】【解答】解：（1）如图①中，

在 为等腰三角形， ， ，
是等边三角形，
， ，
同理： ， ，
，
，
，
， ，
点 、 、 在同一直线上，
，
，
，
故答案为： ，60.
【分析】（1）易得△ABC、△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质可证△ACE≌△ABD，得到CE=BD，∠AEC=∠ADB，根据邻补角的性质可得∠ADB的度数，进而得到∠AEC的度数，最后根据角的和差关系求解即可；
（2）延长BD交CE的延长线于T，设AE交BT于点O，根据三角函数的概念表示出AB、AD，进而证明△ACE∽△ABD，根据相似三角形的性质可表示出BD，接下来根据∠CTO=∠CAB结合三角形内角和定理解答即可；
（3） 由（2）知，△ACE∽△ABD，则BD=CE，然后在Rt△ABC中求出AB的值，①当点E在点D上方时，过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P ， 易得四边形APDE是正方形，然后在Rt△APB中，应用勾股定理求解；②当点E在点D下方时，同①的方法得：AP=DP=AE= ， BP=3 ， 进而可得BD的值