6.1平面向量的实际背景与基本概念
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)
一、教学目标
1.能够通过力、位移、速度等物理量了解平面向量的实际背景；
2.能够理解平面向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；
3.能够在熟悉的实际问题情境中，理解平面向量的几何表示和基本要素.
二、教学重难点
1.平面向量的概念及几何表示；
2.平行向量、相等向量、共线向量的概念.
三、教学过程
1.平面向量的实际背景与概念
1.1向量的实际背景与概念
问题1：今天老师想做个调查，你们每个人距离学校有多远？老师每天下班开车28公里回到家，那请大家猜猜我家住哪里？
【设计意图】通过学生熟悉的身边环境，引发学生思考，只有大小，没有方向的距离，并不能确定具体的位置，从而引出物理意义上的位移是一个既有大小又有方向的量.
问题2：那如何才能猜出老师住在哪里？如果给你一副深圳市区地图，你能如何定位你家的具体位置吗？
【实际情境】在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量、年龄等.还有一些量则不是，例如老师家到学校的位移，老师每天开车上班的车速，书桌上水杯受到的支撑力等等.
问题3：给出下列量:
面积;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功;⑨温度;⑩角度.
用你所学的知识请你将它们分成两类，并指出它们有什么不同.
【设计意图】通过物理量中的矢量和标量的对比，凸显向量的方向和大小这两大要素.
【教学过程】引导学生回顾已学过的数的概念，从“一支笔”、“一棵树”、“一本书”……中抽象出只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对力、位移、速度……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量.进一步引导学生认识到把这种既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量.向量在物理中常称为矢量，数量在物理中常称为标量.
1.2向量的几何表示
问题4：实数在数轴上是如何表示出来的？
【设计意图】类比数量用实数表示，实数与数轴上的点一一对应，寻求平面向量的几何表示.用“带箭头的线段”表示浮力，是初中物理已经学习过的内容，根据“最近发展区”理论，将这一内容再次进行条理化、系统化，让旧知自然地迁移出新知；类比实数绝对值的几何意义，寻求向量模的表示及几何意义.
【教学过程】在学生回答问题4之后追问：数量可以用数轴上的点表示，那么向量呢？我们能不能找到一种几何图形来表示平面向量呢？引导学生回顾物理学科中力和位移的表示方式，回顾实数中绝对值符号的使用，让学生探究平面向量的几何表示和字母表示，探究向量的大小的表示方式，即向量的模的概念.
通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.
向量也可以用字母、、……表示
问题5：在数轴上，哪些实数比较特殊？那在你画的有向线段中，哪些有向线段比较特殊呢？
【设计意图】引导学生类比实数集，挖掘向量集中的特殊元素.通过0、1这两个特殊实数类比出零向量和单位向量的概念.
【教学过程】在学生找出0、1这两个特殊实数之后，引导学生类比发现向量集合中两个特殊的向量，一个是长度为零的向量，叫做零向量.一个是长度为1个单位的向量，叫做单位向量.明确向量是既有大小又有方向的量.研究向量需要将代数形式和几何形式相结合.
1.3相等向量与共线向量
问题6：如图，分别指出方格纸（由边长为1的正方形格拼成）上向量、、的方向和大小，并说明这三个向量的方向和大小的关系.
【教学过程】通过探索我们发现：向量与具有大小相等、方向相反的特征，从而总结得出长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.与方向相同，线段所在的直线相互平行，得出平行向量的概念：方向相同或相反的向量.记作∥.规定：零向量与任意向量平行.
、、是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，在上分别作出=, =, =，这组平行向量可以平移到一条直线上，因此，平行向量也叫共线向量.
2.平面向量基本概念的应用
典型题型一 向量的基本概念
【例1】 (1)下列说法中正确的个数是 ( )
①身高是一个向量;②∠AOB的两条边都是向量;
③温度有零上和零下温度,所以温度是向量;
④物理学中的摩擦力是向量.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)给出下列说法:①零向量没有方向;②若|a|=|b|,则a=b;③单位向量都相等;④若两相等向量的起点相同,则其终点也相同;⑤若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是 .
【设计意图】本节基本概念比较多，学生容易混淆，通过辨析，加强学生对平面向量基本概念的理解与记忆.
典型题型二 向量的几何表示
【例2】某船从A点出发向西航行了150 km到达B点,然后改变方向向北偏西30°方向 航行了200 km到达C点,最后又改变方向向东航行了150 km到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求||.
【跟踪训练】
在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,
解答下列问题.
(1)画出向量,||=3,点A在点O的正西方向;
(2)画出向量,||=3,点B在点O的北偏西45°方向;
(3)求出||的值.
【设计意图】明确向量用有向线段表示的要素是：起点、方向、大小.
典型题型三 相等向量及平行向量
【例3】下列说法中正确的是( )
A.已知a,b,c为非零向量,若a与b是共线向量,b与c是平行向量,则a与c是方向相同的向量
B.任意两个相等的非零向量的起点与终点总是一平行四边形的四个顶点
C.相等的非零向量必是共线向量
D.有相同起点的两个非零向量一定不是平行向量如图，
【跟踪训练】
设是正六边形的中心.
写出图中的共线向量；
（2）分别写出途中与 ，，相等的向量.
【设计意图】让学生在寻找相等向量的过程中，进一步体会相等向量的概念.
3.归纳小结，强化认知
问题5：本节课你学到了哪些有关向量的概念？
问题6：通过本节课的学习，你觉得向量问题是代数问题还是几何问题？
【设计意图】
（1）梳理本节课学生对于平面向量的认知；
（2）通过平面向量的数和形的表示，让学生体会到向量既是代数研究对象，也是集合研究对象.
四、课外作业
课本P5习题6.1复习巩固及综合运用
2(共18张PPT)
6.1平面向量的实际背景及基本概念
问题1：老师每天下班开车行驶34公里才能回到家，那请大家猜猜我家住哪里？
问题2：你能如何定位老师家的具体位置？
问题3：给出下列量:
① 面积；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧角度.
用你所学的知识请将它们分成两类，并指出它们有什么不同.
知识点一 向量的概念
1.向量:既有 ，又有 的量叫作向量.
2.数量:只有 ，没有 的量称为数量.
大小
方向
大小
方向
问题4：类比实数与数轴上的点一一对应的关系，思考如何表示向量.
知识点二 向量的几何表示
1.有向线段
(1)有向线段:具有 的线段叫作有向线段.
(2)表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作,
如图所示.
(3)有向线段的长度:线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作||.
(4)有向线段包含三个要素: .
方向
起点、方向、长度
知识点二 向量的几何表示
2.向量的表示方法
(1)向量的几何表示:向量可以用有向线段来表示, 有向线段的 表示向量的大小,叫做向量的模,记作||.有向线段的 表示向量的方向.如,.
(2)向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母a,b,c,…表示,书写时,用带箭头的小写字母,,,…表示向量.
长度
方向
3.特殊的向量
(1)零向量:长度为 的向量叫作零向量,记作 .
零向量的方向为 .
(2)单位向量:长度等于 的向量叫作单位向量.
知识点二 向量的几何表示
0
0
1个单位长度
任意的
问题5：如图，分别指出方格纸（由边长为1的正方形格拼成）上向量 、 、 的方向和大小，并说明这三个向量的方向和大小的关系.
知识点四 相等向量与共线向量
1.平行向量:方向 的 叫作平行向量.如向量a与b平行,记作 .规定:零向量与任意向量平行.
2.相等向量:长度 且方向 的向量叫作相等向量,如向量a与b相等,记作a=b.
3.共线向量:任一组 都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫作 .
相同或相反
非零向量
a∥b
相等
相同
平行向量
共线向量
典型题型一 向量的基本概念
例1 (1)下列说法中正确的个数是 ( )
①身高是一个向量;②∠AOB的两条边都是向量;
③温度有零上和零下温度,所以温度是向量;
④物理学中的摩擦力是向量.
A.0 B.1 C.2 D.3
B
(2)给出下列说法:①零向量没有方向;②若|a|=|b|,则a=b;③单位向量都相等;④若两相等向量的起点相同,则其终点也相同;⑤若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是 .
④⑤
典型题型二 向量的几何表示
例2 某船从A点出发向西航行了150 km到达B点,然后改变方向向北偏西30°方向航行了200 km到达C点,最后又改变方向向东航行了150 km到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求||.
典型题型二 向量的几何表示
变式 在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,
解答下列问题.
(1)画出向量,||=3,点A在点O的正西方向;
(2)画出向量,||=3,点B在点O的北偏西45°方向;
(3)求出||的值.
解:依题意,结合向量的几何表示可知,(1)(2)中要画出
的向量如图所示.
(3)由图可知,△AOB是等腰直角三角形,所以||=||=3.
例3 下列说法中正确的是( )
A.已知a,b,c为非零向量,若a与b是共线向量,b与c是平行向量,则a与c是方向相同的向量
B.任意两个相等的非零向量的起点与终点总是一平行四边形的四个顶点
C.相等的非零向量必是共线向量
D.有相同起点的两个非零向量一定不是平行向量
典型题型三 相等向量和平行向量
C
典型题型三 相等向量和平行向量
变式 如图所示,点O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中:
如图，设 是正六边形 的中心.
（1） 写出图中的共线向量；
（2） 分别写出图中与 ， ， 相等的向量.
归纳小结 强化认识
1.向量的概念:既有大小，又有方向的量叫作向量.
2.向量的几何表示:用有向线段来表示.
向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母a,b,c,…表示,书写时,用带箭头的小写字母,,,…表示向量.
3.向量的模：有向线段的长度表示向量的大小,叫做向量的模,记作||.长度为零的向量叫作零向量，长度为1的向量叫作单位向量.
归纳小结 强化认识
4.平行向量:方向相同或相反的向量叫作平行向量. 规定:零向量与任意向量平行.
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫作相等向量,如向量a与b相等,记作a=b.
6.共线向量:任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫作共线向量.
