6.2.1向量的加法运算
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)
一、教学目标
1. 培养学生数学抽象的能力：能利用位移和力的合成将平面向量具体化
2. 通过探究活动培养学生的逻辑推理的能力
3. 培养学生数学建模的能力：掌握平面向量加法运算法则，利用加法法则解决问题
二、教学重难点
1. 重点：向量加法的运算法则及其几何意义；
理解向量的平行四边形法则及三角形法则；
2. 难点：对向量加法运算法则的理解；
三、教学过程
1.向量加法法则概念的形成
1.1背景引入，引发思考
【物理背景】在物理学中，我们知道一个质点从点移动到点，再从点移动到点，与从点直接到点的位移结果相同.这说明位移这一矢量是可以合成的，即矢量是可以做加法运算的.
问题1：(1) 物理中的矢量与我们所学的向量有什么区别和联系？(2) 我们能不能把物理中位移的合成的有关方法和经验用于向量的合成？
【预设的答案】 联系：矢量和向量都是既有大小又有方向的量；区别：物理学中矢量通常是有作用点的，如：力、位移等，但是数学中向量是自由向量，可以任意平移的.即向量的应用范围是更广的. 能
【设计意图】对向量的加法运算这一概念并不是凭空产生的，在物理的学习中，其实学生已经认识到位移、力等矢量是可以进行合成的.同时我们可以将物理中矢量的合成的有关经验和方法用于数学中向量的合成.
1.2探究典例，形成概念
【数学情境】假设在平面内任取一点，做，，那么你能说出的和向量是什么吗？
【设计意图】创设数学实例，让学生借助位移的合成的有关经验，得出向量合成的一种方式——三角形法则.
问题2：求上面两个向量的和向量时 ，你发现了什么特征吗？
【活动预设】看这两个向量(有向线段)以及和向量(有向线段)的书写方式，探究出向量加法的三角形法则运算规律.
【设计意图】引导学生归纳概括出三角形法则的有关特征：首尾相连的两个向量.
活动：如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力和的作用，你能作出这个物体所受的合外力吗？
【活动预设】感受在力的合成过程中，三角形法则就不太方便了，需要探究新的向量加法的运算方法.
【设计意图】为引入平行四边形法则做铺垫.
问题3：现在这两个向量具有什么特征？能否用三角形法则来对其求和？如果不行，有没有什么处理方法？
【活动预设】
(1) 根据图象，这两个向量并不是首尾相连的，而是具有公共起点的两个向量，因而不能直接使用三角形法则；
(2) 三角形法则适用于首尾相连的两个向量，故考虑将其中一个向量的起点平行移动到另一个向量的终点处.在利用三角形法则进行求和.
【设计意图】解决实际问题出发，灵活应用向量加法的三角形法则，从中得出平行四边形法则的概念.
问题4：观察下图，将平移到处，根据三角形法则可知：即为与的和向量.那你发现四边形是什么四边形了吗？
【活动预设】
(1) 借助三角形法则画出图像，找到和向量；
(2) 进一步分析共起点的两个向量的和向量的平行四边形法则.
教师讲授：四边形是一个平行四边形.因此，以同一点为起点的两个向量与，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量就是向量与的和向量.我们把这样的方法称为向量的平行四边法则.
【设计意图】归纳特征，总结平行四边形法则的概念.
问题5：你能分析一下平行四边形法则和三角形法则的区别与联系吗？
【预设的答案】此处通过列表呈现三角形法则、平行四边形法则之间的关系。
三角形法则 平行四边形法则
适用条件 首尾相连的两个向量 有公共起点的两个向量
作法 在平面内任取一点，作，，则 作，，以为邻边作平行四边形，连接，则
结论 是与的和向量 对角线是与的和向量
图形
联系 平行四边形法则与三角形法则是可以相互转化的
【设计意图】对向量加法法则的理解和归纳总结；
1.3 初步应用，理解概念
例1 在下列各小题中，已知向量,，作出向量，并说明与之间的联系.
【预设的答案】
(1) (2) (3) (4)
【设计意图】
(1) 让学生学会用向量的加法法则进行作图运算
(2) 根据三角形两边之和大于第三边得出向量加法的三角不等式
例2 如图所示，为正六边形的中心，化简下列各式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ；
【预设的答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6)
【设计意图】
(1) 进行三角形法则，平行四边形法则的简单应用，熟悉向量加法的运算法则.
(2) 认识到用有向线段表示向量时，向量加法的一些常用结论:
运用三角形法则时，和向量就是起点指向终点的向量.
多个首尾相连的向量相加等于第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量.
例3 化简或计算：
(1) ；
(2) ；
【预设的答案】(1) ；(2) ；
【设计意图】例2给了图形，可以借助图形进行观察，例3没有给出图形就要求学生必须理解三角形法则的计算原理直接进行逻辑推理.
例4 在静水中船的速度大小为，水流的速度大小为，如果船从岸边出发沿着垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
【预设的答案】
如图所示，船行进的方向与水流方向成.
【设计意图】
在解决应用题时，结合有关数学知识现将其抽象成一个数学模型进行解决.
2.归纳小结，文化渗透
【设计意图】
(1) 梳理本节课对于向量加法的认知；
(2) 进行数学文化渗透，进一步体会学习中类比的思想.
四、课外作业
5(共16张PPT)
6.2.1 向量的加法运算
创设情境，提出问题
在物理学中，我们知道一个质点从点移动到点，再从点移动到点，与从点直接到点的位移结果相同.这说明位移这一矢量是可以合成的，即矢量是可以做加法运算的.
想一想
结合所学知识，物理中的矢量与数学中的向量有什么区别和联系？
发现问题，深入探究
矢量与向量都是既有大小又有方向的量.
在物理中，矢量通常是有作用点的(如：力)，作用点的变化会使得效果发生改变；
在数学中，向量是可以任意平移的，我们也称之自由向量.
启示
我们可以把物理中位移的合成有关方法和经验用于向量的合成！
发现问题，深入探究
假设在平面内有任意两个非零向量, ，如何作出这两个向量的和向量呢？
在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和.
归纳特征，形成概念
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和.我们将这种方法称为向量加法的三角形法则.
注意
向量加法的三角形法则适用于首尾相连的两个向量.
发现问题，深入探究
如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力和的作用，你能作出这个物体所受的合外力吗？
想一想
现在这两个向量有什么特征？能否直接用三角形法则对其求和？
发现问题，深入探究
这两个向量，是有公共起点的两个向量，而非首尾相连的两个向量.
想一想
观察四边形，这是一个什么四边形？
以同一点为起点的两个向量与，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量就是向量与的和向量.我们把这样的方法称为向量加法的平行四边法则.
归纳特征，形成概念
归纳特征，形成概念
三角形法则 平行四边形法则
适用条件 首尾相连的两个向量 有公共起点的两个向量
作法
结论
图形
联系 平行四边形法则与三角形法则是可以相互转化的
例 1
在下列个各个小题中，已知向量,，作出向量，并说明与之间的联系.
典型例题，提升能力
步骤1：平移向量，使得这两个向量首尾相连
步骤2：利用三角形法则求和向量
例 1
在下列个各个小题中，已知向量,，作出向量，并说明与之间的联系.
典型例题，提升能力
例 1
在下列个各个小题中，已知向量,，作出向量，并说明与之间的联系.
典型例题，提升能力
向量的三角不等式
当且仅当，与同向时，等号成立.
例 2
如图所示，为正六边形的中心，化简下列各式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ；
典型例题，提升能力
【解析】
(1) ；
启示
对于用有向线段表示的向量，注意它们的三角形法则的巧妙用法！
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6)
例 3
化简或计算：
(1) ；
(2) ；
典型例题，提升能力
【解析】
(1) ；(2) ；
启示
多个首尾相连的向量相加等于第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量.
例 4
在静水中船的速度大小为，水流的速度大小为，如果船从岸边出发沿着垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
典型例题，提升能力
解：如图所示，设船速与岸边所成的锐角为
由图可知
故四边形ABCD为平行四边形.
在直角三角形ACD中，，
所以
则°
所以船行进的方向与水流方向所成的角为
归纳总结，形成框架
向量加法的运算法则
平行四边形法则，三角形法则
几何意义
