2021-2022学年北师大版九年级数学上册第四章图形的相似期末综合复习知识点分类训练（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》期末综合复习
知识点分类训练（附答案）
一．比例的性质
1．已知（a≠0，b≠0），则下列变形正确的有（　　）个．
（1）（2）2a＝3b（3）（4）3a＝2b
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若，则＝　 　．
3．已知＝＝，则＝　 　．
4．已知＝＝＝2，且b+d+f≠0，若a+c+e＝12，则b+d+f＝　 　．
5．若＝，则的值为　 　．
6．若＝＝＝，（a+c+e≠0），则＝　 　．
二．比例线段
7．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，3，6，9
8．一幅地图的比例尺为1：6000000，若两地画在图上的距离是5cm，则两地的实际距离是 　 　km．
三．平行线分线段成比例
9．如图，两条直线被三条平行线所截，若DE＝3，EF＝6，BC＝8，则AC＝（　　）
A．4 B．8 C．12 D．9
10．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
11．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝2，CE＝3，AF＝4，那么DF的长为 　 　．
13．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝　 　．
14．已知，如图在△ABC中，AE＝ED＝DC，FE∥MD∥BC，FD的延长线交BC的延长线于N，则为　 　．
15．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，＝，BC＝25，求：FC的长．
四．相似图形
16．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对
五．相似多边形的性质
17．如图，把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形，如果每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为（　　）
A．：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
18．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，四边形ABEF是正方形，矩形ABCD∽矩形ECDF，则DF：AD的值为（　　）
A． B． C． D．
19．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD，现将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，则四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为（　　）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
20．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为　 　m．
六．相似三角形的性质
21．若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．1：
22．如果两个相似三角形的对应中线的比为1：2，且它们的面积之和为30，则其中较小三角形的面积为（　　）
A．6 B．10 C．24 D．20
23．已知两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形的腰长和底边长分别为8 cm和6 cm，若另一个等腰三角形的底边长为4 cm，则它的腰长为　 　cm．
七．相似三角形的判定
24．如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
25．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
26．如图，在△ABC中，点D在AB上一点，下列条件中，能使△ABC与△BDC相似的是（　　）
A．∠B＝∠ACD B．∠ACB＝∠ADC C．AC2＝AD AB D．BC2＝BD AB
27．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：
①∠AFC＝∠C；②DE＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF．
其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．①④ C．③④ D．①③④
八．相似三角形的判定与性质
29．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC＝（　　）
A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：2
31．如图在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：3：6，则S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB＝（　　）
A．1：8：27 B．1：4：9 C．1：8：36 D．1：9：36
32．如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中：①OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HE HB．正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
33．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H，则线段FH的长为　 　．
34．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB交AC于点D，EF∥AC交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记做S1，取BE边中点E1，作E1D1∥FB交EF于点D1，E1F1∥EF交AB于点F1，得到四边形E1D1FF1，它的面积记做S2．照此规律作下去，则S2021＝　 　．
35．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，EF⊥AE交CD于点F
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB＝3，BC＝8，求EF的长．
36．如图，在 ABCD中，O为对角线BD的中点，BE平分∠ABC且交AD于点P，交CD的延长线于点E；作EO交AD于点F，交BC于点G．
（1）求证：DF＝BG；
（2）若AB＝6，AD＝9，求DF的长．
37．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，已知PE⊥EC．
（1）求证：△AEP∽△DEC；
（2）若AB＝3，BC＝5，求AP的长．
38．如图，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4．
（1）证明：△APN∽△ABC；
（2）求矩形PQMN的面积．
39．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
40．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．
41．如图，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，AB＝3，CD＝2，求EF的长．
九．相似三角形的应用
42．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为　 　m．
43．如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边BC＝6cm，高AD＝4cm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC 上，这个正方形零件PQMN的边长是　 　cm．
44．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
十．作图-相似变换
45．材料阅读：
如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．
解决问题：
（1）图①中，若∠A＝∠B＝∠DEC＝40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点（无需写解答过程）；
（3）如图③所示的矩形ABCD，将矩形ABCD沿CM折叠后，点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究点E的位置．
46．已知△ABC，D是AC上的一点，在AB上作一点E，使△ADF∽△ABC．
十一．位似变换
47．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　）
A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）
48．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
49．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（　　）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
50．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于OABC的面积的，则点B的对应点B′的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（2，1）或（﹣2，﹣1）
C．（1，2） D．（1，2）或（﹣1，﹣2）
51．如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（　　）
A．（4，2） B．（2，4）
C．（3，3） D．（4，2）或（﹣4，2）
52．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是　 　．
53．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB＝　 　．
54．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnO nBn的对角线交点的坐标为　 　．
十二．作图-位似变换
55．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在第一象限画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标．
56．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2），以原点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2，在y轴的左侧，请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1．
参考答案
一．比例的性质
1．解：由（a≠0，b≠0）得，3a＝2b，
（1）、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
（2）、由等式性质可得2a＝3b，错误；
（3）、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
（4）、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
故选：C．
2．解：∵，
∴设x＝2a，则y＝3a，
则＝＝．
故答案为：．
3．解：设＝＝＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝＝，
故答案为．
4．解：∵＝＝＝2，
∴a＝2b，c＝2d，e＝2f，
∵a+c+e＝12，
∴2b+2d+2f＝12，
等式两边都除以2，得b+d+f＝6，
故答案为：6．
5．解：∵＝，
∴3a＝a+b，
故2a＝b，
则＝＝2．
故答案为：2．
6．解：由＝＝＝，得
＝，
由反比性质，得
＝2，
故答案为：2．
二．比例线段
7．解：A、∵1×3≠1×2，∴四条线段不成比例；
B、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；
C、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例；
D、∵2×9＝3×6，∴四条线段成比例．
故选：D．
8．解：∵比例尺＝，
∴实际距离＝＝＝30000000（cm）＝300km，
故答案为：300．
三．平行线分线段成比例
9．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵DE＝3，EF＝6，BC＝8，
∴＝，
解得：AC＝12，
故选：C．
10．解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴＝，＝，
∴＝．
故选：D．
11．解：方法1，如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG＝1，BG＝EF＝CF+CE＝7
∴AB＝＝5，
∵l2∥l3，
∴＝
∴DG＝CE＝，
∴BD＝BG﹣DG＝7﹣＝，
∴＝．
方法2、
过点A作AE⊥l3于E，交l2于G，
∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴CD＝3AD，
设AD＝a，则CD＝3a，AC＝CD+AD＝4a，
∵BC＝AC，
∴BC＝4a，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝5a，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝4a，
∴，
故选：A．
12．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝，
故答案为：．
13．解：作DF∥AE交BC于F，如图，
∵OE∥DF，
∴＝＝1，
即BE＝EF，
∵DF∥AE，
∴＝＝，
∴CF＝2EF，
∴BE：EC＝BE：3BE＝1：3．
故答案为1：3．
14．解：∵EF∥BC，
∴＝＝，
∵EF∥CN，
∴＝＝1，
∴EF＝CN，
∴＝，
∴＝，
即＝．
故答案为．
15．解：∵DE∥BC，
∴EC：AE＝BD：AD，
∵EF∥AB，
∴EC：AE＝FC：BF
∴FC：BF＝BD：AD，
∵AD：DB＝3：2，
∴BD：AD＝2：3，
∴FC：BF＝2：3，
∴FC：BC＝2：5，
即FC：25＝2：5
∴FC＝10．
四．相似图形
16．解：由题意可得新矩形边长为：7和10，
≠，
故两矩形不相似，
当新三角形的对应边间距离均为1时，则两三角形的对应边平行，且对应点连线相交于一点，故两三角形位似，即相似，
故选：D．
五．相似多边形的性质
17．解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，
∴＝
∴x：y＝2：1
故选：B．
18．解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，
∴＝，
设正方形ABEF的边长为x，EC＝y，
则＝，
∴x2﹣yx﹣y2＝0，
∴x＝，
∵x＞0，y＞0，
∴x＝y，
∴DF：AD＝＝＝，
故选：D．
19．解：∵四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD，相似比为2：1，
∴四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为4：1．
故选：C．
20．解：设每条纵向小路的宽为xm．
∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，
∴，
解得，x＝1.8，
或，
解得x＝25.8（不符合实际意义）
故答案为：1.8．
六．相似三角形的性质
21．解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9．
故选：B．
22．解：∵两个相似三角形的对应中线的比为1：2，
∴两个相似三角形的相似比比为1：2，
∴两个相似三角形的面积比为1：4，
设较小三角形的面积为x，则较大三角形的面积为4x，
由题意得，x+4x＝30，
解得，x＝6，
故选：A．
23．解：
设另一等腰三角形的腰为xcm，
∵这两个等腰三角形相似，
∴＝，解得x＝，
∴另一等腰三角形的腰长为cm，
故答案为：．
七．相似三角形的判定
24．解：观察图象可知，图中有3个直角三角形，一个锐角三角形，其中左边的两个直角三角形的直角边的比都是1：2，所以这两个直角三角形相似．
故选：A．
25．解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
26．解：选项A、B、C的条件无法判断△ABC与△BDC相似．
正确答案是D．理由如下：
∵BC2＝BD BA，
∴＝，∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD（两边成比例夹角相等的两个三角形相似）．
故选：D．
27．解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形、菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．
故选：C．
28．解：在△AEF和△ABC中
∵，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C，∴①正确；
DE＝CF不正确，理由是：假设DE＝CF，
∵EF＝BC，
∴DF＝BF，
∴∠B＝∠BDF＝∠EDA＝∠E，
∴AE＝AD＝AB，
∴AD＝AB不正确，∴②错误；
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，∴③正确；
∵△AEF≌△ABC，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠CAF，
∵△ADE∽△FBD，
∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，∴④正确；
故选：D．
八．相似三角形的判定与性质
29．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，
故①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP，
故②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF，
故③正确，
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴＝，
∴BE＝，
∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴＝，
∴OE＝，
故④正确，
故选：C．
30．解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE，
∴，
∵O为对角线的交点，
∴DO＝BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE＝DB，
则DE：EB＝1：3，
∴DF：AB＝1：3，
∵DC＝AB，
∴DF：DC＝1：3，
∴DF：FC＝1：2．
故选：D．
31．解：∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴AD：AF：AB＝1：3：6，
∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：9：36，
设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是9a，36a，
则S四边形DFGE＝S△AFG﹣S△ADE＝8a，S四边形FBCG＝S△ABC﹣S△AFG＝27a，
∴S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG＝1：8：27．
故选：A．
32．解：①∵BD＝BF，BE平分∠DBC，
∴DH＝HF，BH⊥DF，
∵OD＝OB，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH∥BF；故①正确；
②③∵点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BD＝BF，
∴BD＝BF＝．
由三角形中位线定理知，OG＝BC＝，GH＝CF＝（﹣1），
∴OG：GH＝1：（﹣1），
故②错误，③正确；
④∵∠BCE＝∠BHD＝90°，∠BEC＝∠DEH，
∴∠EBC＝∠EDH，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥BF，
∴DH＝CH，
∴∠CDH＝∠DCH，
∴∠CHF＝∠DCH+∠CDH＝2∠EBC．
故④正确；
⑤∵∠ECH＝∠CBH，∠CHE＝CHB，
∴△HEC∽△HCB，
∴CH：HB＝HE：CH，即CH2＝HE HB，
故⑤正确．
故选：D．
33．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝3，
设DF＝FG＝x，
在Rt△EFC中，∵EF＝1+x，EC＝3﹣1＝2，FC＝3﹣x，
∴（x+1）2＝22+（3﹣x）2，
解得x＝
∴AF＝＝＝，AE＝＝＝，
由翻折的性质可知，∠DAF＝∠GAF，∠EAB＝∠EAG，
∴∠EAH＝45°，
∵EH⊥EA，
∴∠AEH＝90°，
∴AE＝EH＝，AH＝AE＝2，
∴FH＝AH﹣AF＝2﹣＝，
故答案为．
34．解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高＝AB sinA＝1×＝，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴AF＝，
∴S1＝××＝；
同理可得，S2＝×；
…
∴Sn＝×（）n﹣1；
∴S2021＝×（）2020＝．
故答案为：．
35．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：∵E是BC的中点，BC＝8，
∴BE＝EC＝BC＝4，
∵∠B＝90°，AB＝3，
∴AE＝＝＝5，
∵△ABE∽△ECF，
∴，
即
∴EF＝．
36．（1）证明：连接FB、DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，又BO＝OD，
∴GO＝OF，
∴四边形FBGD是平行四边形，
∴DF＝BG；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠APB，
∴AP＝AB＝6，
∴PD＝9﹣6＝3，
∵AD∥BC，PD＝3，BC＝9，
∴＝，又BG＝DF，
∴PF＝DF，又PD＝3，
∴DF＝．
37．（1）证明：∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC；
（2）解：在Rt△ADE和Rt△BAE中，
∠AEB＝∠AED＝90°，
又∵∠DAE+∠BAE＝90°，
∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∴△AEB∽△DEA，
∴，
由（1）知，△AEP∽△DEC，
∴，
即，
∴AP＝．
38．（1）证明：∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥QM，
∴△APN∽△ABC；
（2）解：∵PQ：PN＝3：4，
∴设PQ＝3x，则PN＝4x，
∵四边形PQMN为矩形，
∴ED＝PQ＝3x，AE＝AD﹣DE＝10﹣3x，
又PN∥BC，
∵△APN∽△ABC，
∴＝，
即，
解得x＝2，
∴PQ＝6，PN＝8，
∴S矩形PQMN＝PQ PN＝6×8＝48．
39．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴，
∵DF＝DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF＝DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10．
40．解：（1）相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC＝＝a，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠ACF＝∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；
（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAF，
∵∠CAF+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°．
41．解：∵AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，
∴∠ABD＝∠CDF＝∠EFG＝90°，
∵∠AFD＝∠CFD，
∴△ABF∽△CDF，
∴，
∵AB＝3，CD＝2，
∴，即DF＝BF，
∴BD＝BF，则，
∵∠CBD＝∠EBF，
∴△BCD∽△BEF，
∴，
即EF＝3CD＝6．
九．相似三角形的应用
42．解：作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，
则EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，
所以AG＝AB﹣GB＝2.5﹣1.6＝0.9（m），
∵AG∥CH，
∴△EAG∽△EHC，
∴＝，即＝，
解得：CH＝3，
∴CD＝CH+DH＝4.6（m）．
故答案为：4.6．
43．解：设这个正方形零件的边长是xcm，则PN＝ED＝xcm，
∵矩形为正方形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，
则＝，
解得：x＝2.4
答：这个正方形零件的边长是2.4cm．
故答案为：2.4．
44．解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
十．作图-相似变换
45．解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，理由是：
∵∠A＝40°，
∴∠ADE+∠DEA＝140°，
∵∠DEC＝40°，
∴∠BEC+∠DEA＝140°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；
（2）作图如下：
（3）若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
则△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，
由折叠得：∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠BCD＝30°，
∴BE＝CE＝AB，
即E为AB的中点．
46．解：如图，作∠ADF＝∠B，即可．
△ADF即为所求．
十一．位似变换
47．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BG＝12，
∴AD＝BC＝4，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝2，
∴OB＝6，
∴C点坐标为：（6，4），
故选：A．
48．解：∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，
∴点E的对应点E′的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选：C．
49．解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2＝，
故选：A．
50．解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于OABC的面积的，
∴两矩形的相似比为1：2，
∵B点的坐标为（4，2），
∴点B′的坐标是（2，1）或（﹣2，﹣1）．
故选：B．
51．解：线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，4），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
则点B与点D是对应点，
则点D的坐标为（8×，4×），即（4，2），
故选：A．
52．解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是[﹣2×（﹣），4×（﹣）]，
即点A′的坐标为：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
53．解：由位似变换的性质可知，△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∵A′B′∥AB
＝＝，
故答案为2：3；
54．解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA＝2，OC＝1．
∵点B的坐标为（﹣2，1），
∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2（﹣2××，1××），
∴Bn（﹣2×，1×），
∵矩形AnO nBn的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
十二．作图-位似变换
55．解：△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为（10，8）．
56．解：如图所示，△A1B1C1即为所求．