2021-2022学年冀教版八年级数学上册期末综合复习题 第17章特殊三角形（Word版含解析）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《第17章特殊三角形》期末综合复习题1（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（　　）
A．40° B．36° C．30° D．25°
2．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
3．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
4．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（　　）
A．48° B．40° C．30° D．24°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．75°
6．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1＝3，S3＝9，则S2的值为（　　）
A．12 B．18 C．24 D．48
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（　　）
A．3 B．6 C．3 D．
12．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．12S B．10S C．9S D．8S
13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝，则∠CDE+∠ACD＝（　　）
A．60° B．75° C．90° D．105°
15．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（）2＝（）2＝2，所以，q2＝2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（　　）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为　 　．
17．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A＝　 　度．
18．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 　 　．
19．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是　 　．
20．如图示在△ABC中∠B＝　 　．
21．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为　 　．
22．点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是　 　．
23．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，O是AB上一点，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为　 　．
24．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为　 　．
25．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为 　 　．
26．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线．则CD＝　 　．
27．三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于　 　．
28．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．
29．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
30．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
求证：AD＝BC．
32．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
参考答案
1．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，
则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠B＝36°，
故选：B．
2．解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2＝6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2＝4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选：A．
3．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
故选：C．
4．解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BAE＝48°，
∵∠1＝∠C+∠E，
∵CF＝EF，
∴∠C＝∠E，
∴∠C＝∠1＝×48°＝24°．
故选：D．
5．解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
故选：B．
6．解：如图所示：
当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．
故选：B．
7．解：如图：
故选：D．
8．解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，
故选：B．
9．解：∵S1＝3，S3＝9，
∴AB＝，CD＝3，
过A作AE∥CD交BC于E，
则∠AEB＝∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE＝AD，AE＝CD＝3，
∵∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠AEB+∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝＝2，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2BE＝4，
∴S2＝（4）2＝48，
故选：D．
10．方法一：
解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，
∴BC＝4，
∵FC＝FG，
∴FC＝，
即CE的长为．
故选：A．
方法二：
过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，
∴BC＝4，
∴设FG＝x，则BF＝4﹣x，BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2，
∴FG2+BG2＝BF2，
则x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
即CE的长为．
故选：A．
11．解：∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝＝3，∠CAB＝45°，
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，AB′＝AB＝3，
∴∠CAB′＝90°，
∴B′C＝＝3，
故选：A．
12．解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝2EF，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2＝S，
∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝9b2＝9S，
故选：C．
13．解：如图所示：
∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面积为13，
2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5．
故选：C．
14．解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，
∴BC＝2DE＝，
∵AB＝2，AC＝1，
∴AC2+BC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠A＝＝，
∴∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE＝CE，
∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE+∠ACD＝90°，
故选：C．
15．解：由题意可得：这种证明“是无理数”的方法是反证法．
故选：B．
16．解：∵AB＝AC，
BE＝a，AE＝b，
∴AC＝AB＝a+b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝b，
∴∠ECA＝∠BAC＝36°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝36°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠ECB＝72°，
∴CE＝BC＝b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝2a+3b
故答案为：2a+3b．
17．解：∵OA＝OB，∠AOB＝30°，
∴∠A＝（180°﹣30°）＝75°，
故答案为：75．
18．解：当腰为3时，3+3＝6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6＝9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长＝3+6+6＝15．
故答案为：15．
19．解：∵100°＞90°，
∴100°的角是顶角，
故答案为：100°．
20．解：∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣65°＝25°；
故答案为：25°．
21．解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1，
∴BA1＝OB＝1，OA1＝OB＝；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4，
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8．
∴OAn的长度为（）n．
故答案为：（）n．
22．解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，
∵S△ABC＝3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1＝9﹣1﹣1﹣﹣1＝，AB＝＝，
∴×h＝，
∴h＝．
故答案为：．
23．解：如图1，当∠AMB＝90°时，
∵O是AB的中点，AB＝8，
∴OM＝OB＝4，
又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM＝BO＝4，
∴Rt△ABM中，AM＝＝4；
如图2，当∠AMB＝90°时，
∵O是AB的中点，AB＝8，
∴OM＝OA＝4，
又∵∠AOC＝60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AM＝AO＝4；
如图3，当∠ABM＝90°时，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴MO＝2BO＝2×4＝8，
∴Rt△BOM中，BM＝＝4，
∴Rt△ABM中，AM＝＝4，
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．
故答案为：4或4或4．
24．解：（14×14﹣2×2）÷8
＝（196﹣4）÷8
＝192÷8
＝24，
24×4+2×2
＝96+4
＝100，
＝10．
答：正方形EFGH的边长为10．
故答案为：10．
25．解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2
∴BF＝BG﹣BF＝6，
∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB＝＝＝10．
故答案是：10．
26．解：∵在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝6.5；
故答案为：6.5．
27．解：∵32+42＝25＝52，
∴该三角形是直角三角形，
∴×5＝2.5．
故答案为：2.5．
28．解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．
故答案为：AB＝DC．
29．解：（1）∠ABE＝∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）连接AF．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由（1）可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC，
∵AB＝AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
30．证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
31．证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠C＝72°，
∴∠BDC＝72°，
∴∠C＝∠BDC，
∴BC＝BD，
∴AD＝BC．
32．解：当n＝1，a＝（m2﹣1）①，b＝m②，c＝（m2+1）③，
∵直角三角形有一边长为5，
∴Ⅰ、当a＝5时，（m2﹣1）＝5，解得：m＝（舍去），
Ⅱ、当b＝5时，即m＝5，代入①③得，a＝12，c＝13，
Ⅲ、当c＝5时，（m2+1）＝5，解得：m＝±3，
∵m＞0，
∴m＝3，代入①②得，a＝4，b＝3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．