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编者小注：
本套专辑专为上海市2021学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分 ( http: / / www.21cnjy.com )制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。【来源：21·世纪·教育·网】
9年级（满分150分制），分满分卷、学 ( http: / / www.21cnjy.com )霸卷、冲刺卷，适合初三学生一模备考使用，难度适宜，其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（满分卷）2021-2022学年沪教版八年级数学上学期期末考试卷
（详解版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题3分，共18分)
1．若点D为等边内一点，且，，，则此等边三角形ABC的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路点拨】
将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，利用旋转的性质得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理推出，在中，由勾股定理，即可求等边的面积．【出处：21教育名师】
【精准解析】
解：如图，将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，如下图：
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由旋转的性质知，，，，
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，由勾股定理得，，
，
又等边的面积，
等边的面积，
故选：A．
【名师指导】
本题考查了旋转的性质，等边三角形、勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质，及作出适当的辅助线进行求解．
2．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）
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A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
【标准答案】C
【思路点拨】
①设∠GCD＝x，∠DAC＝y，则： ，故．
②根据三线合一，延长GD与AC相交于点P，则CG＝CP，AP＝AF；
③证△ACD与△AED全等即可，同时可得出三角形CDE是等腰直角三角形；
④在DF上截取DM＝CD，证即可．
【精准解析】
解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：
，
∴，故①正确；
延长GD与AC相交于点P，
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∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDP＝90°，
∵CF平分∠GCP，
∴∠GCD＝∠PCD，
在△GCD和△PCD中，
，
∴△GCD≌△PCD（ASA），
∴CG＝CP，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADP＝∠ADF，
在△AFD和△APD中，
，
∴△AFD≌△APD（ASA），
∴AF＝AP，
∴AF﹣CG＝CA，故②正确；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正确；
在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CP，CP＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴（SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正确；
故选：C．
【名师指导】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．如图，…是分别以…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点…均在反比例函数（x＞0）的图象上，则的值为（ ）21教育名师原创作品
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A． B．20 C． D．
【标准答案】B
【思路点拨】
作辅助线如图，根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点依次求出点的纵坐标，找到规律，再求和即可．21*cnjy*com
【精准解析】
解：过分别作x轴的垂线，垂足分别为
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其斜边的中点在反比例函数上，
∴，即，
∴，
设，则，此时，带入，
解得：，，
同理，
，
……
，
故选：B．
【名师指导】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相关知识、找到规律是解题的关键．
4．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1
【标准答案】D
【思路点拨】
根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【精准解析】
解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2 4a（b＋1）＝0，即：4a( a b 1)＝0，
又∵ab≠0，
∴a b 1＝0，
即a＝b＋1，
∴ax2＋2ax＋a＝0，
解得：x1＝x2＝ 1，
∴k＝ 1，
∵＝，
∴当 1＜a＜0时，a 1＜0，a（a 1）＞0，
此时＞0，即；
当0＜a＜1时，a 1＜0，a（a 1）＜0，
此时＜0，即；
故A、C错误；
当时，即＞0，
＞0，
解得：a＞1或a＜0，
故B错误；
当时，即＜0，
＜0，
解得：0＜a＜1，
故D正确
故选：D．
【名师指导】
本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．
5．抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】A
【思路点拨】
根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可．
【精准解析】
解：抛物线开口向下
把，代入得
①，故①正确；
②，故②正确；
③，故③正确；；
④若方程有两个不相等的实数根，
即
，故④正确，即正确结论的个数是4，
故选：A．
【名师指导】
本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
6．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路点拨】
根据公式解答即可．
【精准解析】
根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则
其面积为
故选：A．
【名师指导】
本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题(每小题3分，共36分)
7．小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以∠B＜90°．
（3）假设∠B≥90°．
（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
请你写出这四个步骤正确的顺序______．
【标准答案】（3）（4）（1）（2）
【思路点拨】
根据反证法的一般步骤解答即可．
【精准解析】
证明：假设，
那么，由，得，即，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
【名师指导】
本题考查的是反证法，解题的关键是掌握 ( http: / / www.21cnjy.com )反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
8．体育训练课上，小健同学与小宇同学在AB之间进行往返蛙跳训练．小健先出发10s，小宇随后出发．当小宇恰好追上小健时，王老师立即飞奔3秒到小宇身边对他进行指导，一分钟后小宇继续前行，但速度减为原来的，小健和小宇相距的路程y（米）与小健出发时间t（秒）的关系如图所示，则当小宇再次出发时，两人还有__________秒二次相遇．
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【标准答案】
【思路点拨】
如图，由 可得小健的速度由 可得小宇的速度 再判断当时，小健从到达点，返回点，计算此时小宇与点的距离为： 再计算路程除以二人的速度和，从而可得答案．
【精准解析】
解：如图，标注字母，
由 可得小健的速度
由 可得小宇的速度
由函数图像段，段的含义可得：当时，
小健从到达点，返回点，
小宇跳了：
此时小宇距点：
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当小宇再次出发到相遇，还需要
故答案为：
【名师指导】
本题考查的是函数图像及从函数图像中获取信息，掌握函数图像上点的横纵坐标的含义是解题的关键．
9．如图中，，点D在AB上，，，延长CB至点E，使，过点E作于点F，交AB于点G，若，则DF=______．
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【标准答案】
【思路点拨】
过点C作CH⊥AB交AB于点 ( http: / / www.21cnjy.com )H，证明△AHC≌△CFE，得到AH=CF，设DF=x，利用30 度的直角三角形性质和AH=CF建立方程求解即可；
【精准解析】
解：如图，过点C作CH⊥AB交AB于点H，
∵，
，
∴，
又∵，,
∴△AHC≌△CFE,
∴AH=CF，
设DF=x，
∵，
∴
∴DG=2x， ,
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即
故答案为：
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【名师指导】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，的直角三角形的性质及方程的思想，解题的关键是证明△AHC≌△CFE．
10．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，AD＝AF，AB和FE交于点M，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，则下列结论：①△AFB≌△ADC；②BE2＋DC2＝DE2；③AB﹣AD＝ED﹣BE；④只有当∠AME＝90°时，BF＝BE，其中正确的有____．
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【标准答案】①②④
【思路点拨】
利用SAS即可证明△AFB≌△ADC即可判断①；根据全等三角的性质可得AF=AD，BF=CD，∠C=∠ABF=45°，即可得到∠FBE=90°然后证明△AFE≌△ADE得到DE=FE，由，可得即可判断②；过点A作AH⊥BC于H，设AH=BH=x，则，可以假设当BE=CD时，即BE=BF，求出AB，AD，BE，DE的长，验证可以发现不满足AB-AD=ED-BE，即可判断③；由三线合一定理即可判断④．
【精准解析】
解：∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠CAD+∠BAD=∠FAB+∠BAD=90°，
∴∠FAB=∠DAC，
又∵AB=AC，AF=AD，
∴△AFB≌△ADC（SAS），∠C=∠ABC=45°，故①说法正确
∴AF=AD，BF=CD，∠C=∠ABF=45°，
∴∠FBE=90°
∵∠EAD=45°，∠FAD=90°，
∴∠FAE=∠DAE=45°
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ADE（SAS），
∴DE=FE，
∵，
∴，故②说法正确；
如图所示，过点A作AH⊥BC于H，设AH=BH=x，则，
当BE=CD时，即BE=BF，
∴，
∵AB=AC，∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACD，
∴AD=AE，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴此时，故③错误；
当∠AME＝90°时，
∴∠BMF=∠BME=90°，
又∵∠FBM=∠MBE=45°，
∴BF=BE，故④正确，
故答案为：①②④．
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【名师指导】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定．
11．如图，已知等腰三角形的底边落在轴上，延长到点，使得，延长交轴于点，连接，点落在反比例函数的图像上．若的面积等于，则_______．
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【标准答案】
【思路点拨】
连接，根据已知条件可得，进而可得，再证明，则可得，根据反比例函数的几何意义，即可求得；
【精准解析】
连接，
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，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
故答案为：．
【名师指导】
本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的几何意义，掌握以上知识点是解题的关键．
12．如图，直线与坐标轴分别交于两点，于点C，是线段上一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转45°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____________
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【标准答案】2
【思路点拨】
由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．
【精准解析】
解：由已知可得，
∴三角形是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
又∵是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转45°，
∵在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，
当在点时和在C点时分别确定的起点与终点，
∴的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，
∴当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴
∴，
故答案为：．
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【名师指导】
本题考查了垂线段最短及平面直角坐标系动点问题，找到最小值是解决问题的关键．
13．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女生，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇报演出时男生挥舞彩旗，女生摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过，那么场地的面积为___________．
【标准答案】33或50
【思路点拨】
先设出相应未知数，再根据题意列出方程，利用实际问题的限制要求，得到a和b的取值范围，在范围内判断求解即可．
【精准解析】
解：设长方形地块的长为am，宽为bm，彩旗的单价为x元/个；
由题意可知女生占地的长为（a-2）m，宽为（b-2）m，
由间隔均为1m，可得女生人数为（a-2+1）(b-2+1)，即为（ab-a-b+1）人，
由于男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女 ( http: / / www.21cnjy.com )生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置，所以男生人数为2（a+1）+2(b-1)，即为（2a+2b）人；
∵采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍，
∴4.8（2a+2b）x=4（ab-a-b+1）x；
化简得：，
∵长方形地块学生横纵间距都是1m，且刚好站满，
∴a和b都是正整数，且
∴且为5的整数倍，
∴或，
∴或；
故答案为：33或50．
【名师指导】
本题考查了列代数式和方程在实际问题中的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出代数式，建立方程，通过限定条件，求出未知数的值．
14．如图1，在矩形中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为______．
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【标准答案】
【思路点拨】
设AD=a，AB=b，则a【精准解析】
设AD=a，AB=b，则a由题意及图象知：当x=b时，y的值最大，且，即ab=5
由图象知：a+b=6
消去b，得：
解得a=1或a=5
所以b=5或b=1
a=5，b=1不符合题意
故a=1，b=5
∵图象过点(3，m)，且1<3<5
∴
当n>5时，如图
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∵，DE=n-1，BF=n-5，EC=FC=6-n
∴
即
解得，（舍去）
∴
故答案为：
【名师指导】
本题考查了函数与图象，解一元二次方程，关键是数形结合．
15．已知是方程的一个根，则____．
【标准答案】
【思路点拨】
由方程根的定义可得，变形为．再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可．
【精准解析】
∵是方程的一个根．
∴，即．
将等号两边同时乘得：
，即．
∴．
故答案为：-2021．
【名师指导】
本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
16．读取表格中的信息，解决下列问题
… … … …
已知，求__________．
【标准答案】7
【思路点拨】
先分别求出，，的值，再归纳类推出一般规律即可得．
【精准解析】
解：由题意得：，
，
，
归纳类推得：，其中为正整数，
当时，
则，即，
解得，
故答案为：7．
【名师指导】
本题考查了二次根式运算的规律问题等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
17．已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子______．
【标准答案】
【精准解析】
∵第1个数：
第2个数：
第3个数：
第4个数：
∴第n个数
当n=2021时，
故答案为.
【名师指导】
本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键.
18．如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是________（填序号）
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①；②；③若，则；④．
【标准答案】②③④
【思路点拨】
通过延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质依次分析，可得出正确的结论是②③④．21·世纪*教育网
【精准解析】
解：如图，延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接；
∵∠ABC=90°，
∴AB垂直平分EE＇，
∴AE=AE＇,
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠1=，
∴∠E＇AE=2∠1=∠CAD，
∴∠E＇AC=∠EAD,
又∵AD=AC，
∴，
∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确），
∴∠3=∠4；
当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，
此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°，
当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，
此时，∠AME≠90°，
∴①不正确；
若CD∥AB，
则∠7=∠BAC，
∵AD=AC，
∴∠7=∠ADC，
∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°，
∴，
∴∠1+∠7=90°，
∴∠2+∠7=90°，
∴∠2+∠BAC=90°，
即∠E＇AC=90°，
由，
∴∠EAD=∠CAE＇=90°，E＇C=DE，
∴AE⊥AD（即③正确），DE=E＇B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）；
故答案为：②③④．
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【名师指导】
本题综合考查了线段的垂直平分线的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等内容；要求学生能够根据已知条件通过作辅助线构造出全等三角形以及能正确运用全等三角形的性质得到角或线段之间的关系，能进行不同的边或角之间的转换，考查了学生的综合分析和数形结合的能力．www-2-1-cnjy-com
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)解下列方程：
（1）4x2﹣25＝0
（2）2x2-4x+3＝0
（3）x(x-5)+3x-15＝0
【标准答案】（1），；（2）原方程无解；（3），．
【思路点拨】
（1）利用直接开平方法解一元二次方程，先移项得4x2=25，直接开平方得2x=±5，再解一元一次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程，先确定，然后求判别式，可得原方程无解；
（3）利用因式分解法解一元二次方程，提 ( http: / / www.21cnjy.com )公因式得x(x-5)+3（x-5）＝0，再提公因式 (x-5)（x+3）＝0，转化为x-5 =0,x+3＝0解一元一次方程即可．
【精准解析】
解：（1）4x2﹣25＝0，
4x2=25，
2x=±5，
，
，；
（2）2x2-4x+3＝0，
，
＜0，
∴原方程无解；
（3）x(x-5)+3x-15＝0，
x(x-5)+3（x-5）＝0，
(x-5)（x+3）＝0，
∴x-5 =0,x+3＝0，
，．
【名师指导】
本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的各种解法的步骤与要求是解题关键．
20．(本题6分)已知：，．
求：（1）a﹣c的值；（2）的值．
【标准答案】（1）4；（2）7
【思路点拨】
（1）把，两式相加，即可得到答案；
（2）由分子 把分母再整体代入求值即可.
【精准解析】
解：（1）∵a﹣b＝2＋，b﹣c＝2﹣．
∴a﹣b＋b﹣c＝
∴a﹣c＝4
（2）原式＝
＝
【名师指导】
本题考查的是代数式的求值，因式分解的应用，完全平方公式的应用，掌握“利用因式分解与完全平方公式的运用求解代数式的值”是解题的关键.21cnjy.com
21．(本题6分)（情景呈现）
画，并画的平分线．
（1）把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边垂直，垂足为（如图1）．则．（选填：“<”、“>”或“=”）
（2）把三角尺绕点旋转（如图2），与相等吗？猜想的大小关系，并说明理由．
（理解应用）
（3）在（2）的条件下，过点作直线，分别交于点，如图3．
①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线）
②猜想之间的关系为___________．
（拓展延伸）
（4）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与相交于两点，与相等吗？请说明理由．21·cn·jy·com
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【标准答案】（1）=；（2））PE=PF，理由见解析；（3）①3对；②GE2+FH2=EF2；（4）PE=PF，理由见解析．
【思路点拨】
（1）由全等三角形的判定和性质证明PE=PF；
（2）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；
（3）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；
②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；
（4）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．
【精准解析】
解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PE⊥OA，
∴∠OEP=90°，
∵∠AOB=90°，∠EPF=90°
∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，
∴∠OEP=∠OFP
又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP
∴△OEP≌△OFP（AAS），
∴PE=PF，
故答案为：=；
（2）PE=PF，
理由是：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
与（1）同理可证PM=PN，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PE=PF；
（3）①∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵GH⊥OC，
∴∠OGH=∠OHG=45°，
∴OP=PG=PH，
∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，
∴∠GPE=∠OPF，
在△GPE和△OPF中，
，
∴△GPE≌△OPF（ASA），
同理可证明△EPO≌△FPH，
∵
∴△GPO≌△OPH（SAS），
∴全等三角形有3对，
故答案为：3；
②GE2+FH2=EF2，
理由如下：∵△GPE≌△OPF，
∴GE=OF，
∵△EPO≌△FPH，
∴FH=OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，
∴GE2+FH2=EF2，
故答案为：GE2+FH2=EF2；
（4）PE=PF；
理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
在△OPG和△OPH中，
，
∴△OPG≌△OPH，
∴PG=PH，
∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，
∴∠GPH=120°，
∵∠EPF=120°，
∴∠GPH=∠EPF，
∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，
∴△PGE≌△PHF，
∴PE=PF．
【名师指导】
本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题．
22．(本题6分)正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点A的坐标；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
【标准答案】（1）；（2）9；（3）存在，，
【思路点拨】
（1）根据二次根式和绝对值的非负性可求出AE，DE的值，即可得出结果；
（2）如图1，过点做轴的垂线，交和的延长线于点和点，利用长方形DCFG即可得解；
（3）通过可知，分别讨论M点在四条边上时是否存在即可．
【精准解析】
（1），，且，
，．
，．
，
．
（2）如图1，过点做轴的垂线，交和的延长线于点和点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
．
，
，．
，
．
长方形DCFG，
，
，
．
长方形DCFG．
（3）正方形的边上存在点，使，
，
，
如图2，当点在线段AD上时，
当点在线段BC上时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当点在线段CD上时，
此时不存在；
当点在线段AB上时，
可知当点在点A的位置时到CE的距离最近，
此时不存在，
，．
【名师指导】
本题主要考查平面直角坐标系中点的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标，面积以及动点问题，有一定综合性，也有一定难度，需要利用数形结合的思想解题，熟练掌握平面直角坐标系中面积的求解方法是解题的关键．
23．(本题8分)在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______．
②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．
（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长．【版权所有：21教育】
【标准答案】（1）6；（2）；（3）BQ的长为4或16
【思路点拨】
（1）①由翻折的性质和勾股定理求出DE＝6 ( http: / / www.21cnjy.com )即可；②由翻折得：BP＝EP，AE＝AB＝10，设BP＝EP＝x，则PC＝8 x，再证△GEF≌△PCF（ASA），得GF＝PF，GE＝PC＝8 x，则GC＝EP＝x，DG＝CD GC＝10 x，AG＝AE GE＝x＋2，然后在Rt△ADG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①点Q在线段AB上时 ( http: / / www.21cnjy.com )，证QD＝CD＝10，再由勾股定理得DB'＝6，则BQ＝B'Q＝QD DB'＝4；②点Q在BA延长线上时，由勾股定理得DB'＝6，设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x 6，AQ＝x 10，然后在Rt△ADQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【精准解析】
（1）①如图1 由作图得：AE＝AB＝10，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝，
故答案为：6；
②如图2，由翻折的性质得：BP＝EP，AE＝AB＝10，∠E＝∠B＝90°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠E＝∠C，
设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x，
∵∠EFG＝∠CFP，FE＝FC，
∴△GEF≌△PCF（ASA），
∴GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x，
∴GC＝EP＝x，
∴DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝10﹣（8﹣x）＝x+2，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
即BP＝．
（2）分两种情况：
①点Q在线段AB上时，如图3所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由翻折的性质得：∠CQB＝∠CQB'，B'C＝BC＝8，BQ＝B'Q，∠CB'Q＝∠B＝90°，
∴∠CB'D＝90°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴CDAB，
∴∠DCQ＝∠CQB，
∴∠DCQ＝∠CQD，
∴QD＝CD＝10，
∴DB'＝＝6，
∴BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝10﹣6＝4；
②点Q在BA延长线上时，如图4所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由翻折的性质得：BQ＝B'Q，B'C＝BC＝8，∠B'＝∠B＝90°，
∴DB'＝＝6，
设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x﹣6，AQ＝x﹣10，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAQ＝90°，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：82+（x﹣10）2＝（x﹣6）2，
解得：x＝16，
即BQ＝16；
综上所述，BQ的长为4或16．
【名师指导】
本题主要考查了翻折变换的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定和性质、翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型．2·1·c·n·j·y
24．(本题8分)在平面直角坐标系中，直线l过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接、、，若的面积为的面积的3倍，求点E的坐标；
（3）当时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
【标准答案】（1）2；（2）或；（3）或或，过程见解析
【思路点拨】
（1）首先根据题意确定点P的坐标，若点E与点P重合，即点E与点P的坐标相同，因此直接代入解析式求解即可；
（2）当E在P右边时，作轴于M，设，则，然后分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；当E在P左边时，作轴于M，设，则，分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质进行分类讨论求解即可．
【精准解析】
解：（1）如图1中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意，
∵点E与点P重合，
∴把代入得到，
∴k的值为2．
（2）①如图2中，当E在P右边时，作轴于M．
设，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵E在P右边，
∴，
∴此时；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②如图3中，当E在P左边时，作轴于M．
设，则，
同理可得，
解得：或，
∵E在P左边，
∴，
∴此时；
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上所述，当或时，的面积为面积的2倍．
（3）∵，
∴，
设，，
①如图，当，时，
作于S点，
∴∠GSF=∠FPE=90°，
∴∠SGF+∠SFG=90°，
∵∠SFG+∠PFE=90°，
∴∠SGF=∠PFE，
∴△SGF≌△PFE（AAS），
∴PF=GS，PE=SF，
即：2-2m=1，
解得：，
∴PE=SF=，
∴，
∴，
∴；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②如图，当，时，
作FT⊥y轴于T点，则同①可证得△FTG≌△GBE，
∴BG=FT=1，
∴OG=OB-BG=2-1=1，
∴；
( http: / / www.21cnjy.com / )
③如图6，当点E在P点左边时，∠FEG=90°，EG=EF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠FEG=90°，
∴∠BEG+∠PEF=90°，
又∵∠BEG+∠BGE=90°，
∴∠PEF=∠BEG，
又∵EG=EF，∠GBE=∠EPF=90°，
∴△EFP≌△GEB（ASA），
∴EB=PF，BG=PE，
∴m=2-2m，
解得www.21-cn-jy.com
∴BG=PE=OG=2-BG=
∴此时
综上，或或．
【名师指导】
本题考查反比例函数与几何综合运用，理解反比例函数的基本性质，以及反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
25．(本题6分)由于医疗物资 ( http: / / www.21cnjy.com )极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同．请解答下列问题．
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【标准答案】（1）每天增长的百分率是20%；（2）①应该增加4条生产线；②不能，见解析
【思路点拨】
（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论；
②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大 ( http: / / www.21cnjy.com )产能为（900-30a）万个/天，根据每天生产口罩9000万个，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【精准解析】
解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：300（1+x）2=432，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30m）万个/天，
依题意，得：（1+m）（900-30m）=3900，
解得：m1=4，m2=25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该增加4条生产线；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30a）万个/天，
依题意，得：（1+a）（900-30a）=9000，
化简得：a2-29a+270=0，
∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解．
∴不能增加生产线，使得每天生产口罩9000万个．
【名师指导】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者小注：
本套专辑专为上海市2021学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分 ( http: / / www.21cnjy.com )制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。21世纪教育网版权所有
9年级（满分150分制），分满分卷 ( http: / / www.21cnjy.com )、学霸卷、冲刺卷，适合初三学生一模备考使用，难度适宜，其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。21教育网
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（满分卷）2021-2022学年沪教版八年级数学上学期期末考试卷
（学生版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题3分，共18分)
1．若点D为等边内一点，且，，，则此等边三角形ABC的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
3．如图，…是分别以…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点…均在反比例函数（x＞0）的图象上，则的值为（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．20 C． D．
4．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1
5．抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）21·世纪*教育网
A．4 B．3 C．2 D．1
6．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分，共36分)
7．小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：【版权所有：21教育】
（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以∠B＜90°．
（3）假设∠B≥90°．
（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
请你写出这四个步骤正确的顺序______．
8．体育训练课上，小健同学与小宇同学在AB之间进行往返蛙跳训练．小健先出发10s，小宇随后出发．当小宇恰好追上小健时，王老师立即飞奔3秒到小宇身边对他进行指导，一分钟后小宇继续前行，但速度减为原来的，小健和小宇相距的路程y（米）与小健出发时间t（秒）的关系如图所示，则当小宇再次出发时，两人还有__________秒二次相遇．【来源：21·世纪·教育·网】
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9．如图中，，点D在AB上，，，延长CB至点E，使，过点E作于点F，交AB于点G，若，则DF=______．
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10．如图，∠BAC＝∠D ( http: / / www.21cnjy.com )AF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，AB和FE交于点M，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，则下列结论：①△AFB≌△ADC；②BE2＋DC2＝DE2；③AB﹣AD＝ED﹣BE；④只有当∠AME＝90°时，BF＝BE，其中正确的有____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．如图，已知等腰三角形的底边落在轴上，延长到点，使得，延长交轴于点，连接，点落在反比例函数的图像上．若的面积等于，则_______．
\ ( http: / / www.21cnjy.com / )
12．如图，直线与坐标轴分别交于两点，于点C，是线段上一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转45°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____________
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女生，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇报演出时男生挥舞彩旗，女生摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过，那么场地的面积为___________．【来源：21cnj*y.co*m】
14．如图1，在矩形中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为______．
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15．已知是方程的一个根，则____．
16．读取表格中的信息，解决下列问题
… … … …
已知，求__________．
17．已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子______．
18．如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是________（填序号）
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①；②；③若，则；④．
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)解下列方程：
（1）4x2﹣25＝0
（2）2x2-4x+3＝0
（3）x(x-5)+3x-15＝0
20．(本题6分)已知：，．
求：（1）a﹣c的值；（2）的值．
21．(本题6分)（情景呈现）
画，并画的平分线．
（1）把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边垂直，垂足为（如图1）．则．（选填：“<”、“>”或“=”）
（2）把三角尺绕点旋转（如图2），与相等吗？猜想的大小关系，并说明理由．
（理解应用）
（3）在（2）的条件下，过点作直线，分别交于点，如图3．
①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线）
②猜想之间的关系为___________．
（拓展延伸）
（4）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与相交于两点，与相等吗？请说明理由．www.21-cn-jy.com
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22．(本题6分)正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．2·1·c·n·j·y
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（1）求点A的坐标；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
23．(本题8分)在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______．
②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．
（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长．21*cnjy*com
24．(本题8分)在平面直角坐标系中，直线l过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F．21教育名师原创作品
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（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接、、，若的面积为的面积的3倍，求点E的坐标；
（3）当时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．21*cnjy*com
25．(本题6分)由于医疗物 ( http: / / www.21cnjy.com )资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同．请解答下列问题．
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．www-2-1-cnjy-com
①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
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