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编者小注：
本套专辑专为上海市2021学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分制），分基础 ( http: / / www.21cnjy.com )卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。21·cn·jy·com
9年级（满分150分制） ( http: / / www.21cnjy.com )，分满分卷、学霸卷、冲刺卷，适合初三学生一模备考使用，难度适宜，其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。2-1-c-n-j-y
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（提升卷）2021-2022学年沪教版八年级数学上学期期末考试卷
（学生版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题3分，共18分)
1．如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，则a，b，c三个正方形的面积和为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．18 B．26 C．28 D．34
2．如图，在中，是延长线上一点，是边上一动点， 连结，作与关于对称 (点与点对应)，连结，则长的最小值是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同 ( http: / / www.21cnjy.com )终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．规定：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程是倍根方程；②若关于x的方程是倍根方程，则；③若是倍根方程，则或：④若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．①④ B．①③ C．②③④ D．②④
5．已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A． B． C． D．
6．比较大小错误的是（ ）
A．＜ B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6 D．|1－|＞－1
二、填空题(每小题3分，共36分)
7．如图，在中，∠B＝90°，，点D在边AB上，沿CD将折叠，使边BC与AC重合，点B落在了点处；沿将折叠，点A落在了点处看，则＝______．
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8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 ___．21世纪教育网版权所有
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9．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝8，BC＝9，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，则△APC的周长的最小值为________．21cnjy.com
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10．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号）
11．若点M是反比例函数图象上任意一点，轴于，点在轴上，的面积为，则的值为_________21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )．
12．两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点，，，…，在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是，，，…，，纵坐标分别是1，3，5，…，共2021个连续奇数，过点，，，…，分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是， ，，…，，则的长为______．www-2-1-cnjy-com
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13．甲、乙两人在笔直的人行道上同 ( http: / / www.21cnjy.com )起点、同终点、同方向匀速步行1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发后步行的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了22.5分钟；
③乙用9分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有270米．
其中正确的结论有____________．（写出所有正确结论的序号）
14．新冠病毒传染性很强，如不注重个人防疫 ( http: / / www.21cnjy.com )，有一个人感染，经过两轮传染后共有144人会被感染．若设平均每轮传染x人，则可列方程为______．【版权所有：21教育】
15．若，且是整数，则的取值为__________.
16．将一元二次方程x2＝1﹣3x化为一般形式是___．
17．已知a﹣b＝，b﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为 ___．
18．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝．根据这个规则，则方程2*x＝12的解为_________．21教育名师原创作品
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．2·1·c·n·j·y
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EFCD（已知）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．www.21-cn-jy.com
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
20．(本题6分)计算（1）；
（2）．
21．(本题6分)（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：，其中x满足方程：．
22．(本题6分)如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、 AC于E、D．
（1） 若△BCD的周长为8，求BC的长；
（2）若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
23．(本题6分)如图，已知反比例函数经过中、两点，直线交轴、轴于、两点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若、两点坐标分别为，，则__________，__________；
（2）若是中点且，求的面积．
（3）若，是否存在菱形，其中、两点横纵坐标均为正整数，如果存在，直接写出此时点坐标，如果不存在，简要说明一下理由．21教育网
24．(本题8分)（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．21*cnjy*com
小王同学探究此问题的方法是延长 ( http: / / www.21cnjy.com )FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，等腰直角三角形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝12，CN＝16，则MN的长为______ ．
25．(本题8分)如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）运动几秒时的面积为？
（2）的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
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编者小注：
本套专辑专为上海市2021学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分制）， ( http: / / www.21cnjy.com )分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。21·cn·jy·com
9年级（满分150分制），分满分卷、学霸 ( http: / / www.21cnjy.com )卷、冲刺卷，适合初三学生一模备考使用，难度适宜，其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（提升卷）2021-2022学年沪教版八年级数学上学期期末考试卷
（详解版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题3分，共18分)
1．如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，则a，b，c三个正方形的面积和为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．18 B．26 C．28 D．34
【标准答案】B
【思路点拨】
由图可以得到a、b、c三个正方形的面积与1号 ( http: / / www.21cnjy.com )、2号、3号、4号正方形的面积之间的关系，再根据1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，可以求得a，b，c三个正方形的面积的和．21*cnjy*com
【精准解析】
解：解：如下图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可证，，，
∴，
∵，，
∴，
故选B．
【名师指导】
本题考查了学生对勾股定理的理解，解题的关键是把握图形面积之间的关系．
2．如图，在中，是延长线上一点，是边上一动点， 连结，作与关于对称 (点与点对应)，连结，则长的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路点拨】
如图，过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，根据勾股定理依次求出AE，CE，AM，DM的长，即可解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】
【精准解析】
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，连结MA，
∵AD≥MD-AM
当点A在DM上时AD的值最小，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CM=2，BC=3，
∴BM=BC+CM=5，
由折叠得：DM=BM=5，
∵∠B=60°，
∴∠，
又∵，
∴，
在中中，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴最小=．
故选C．
【名师指导】
本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理， ( http: / / www.21cnjy.com )最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系．
3．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同 ( http: / / www.21cnjy.com )终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】A
【思路点拨】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确即可．
【精准解析】
解：由题意可得：甲步行速度＝＝60（米/分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：16×60＝（16﹣4）x，
解得x＝80
∴乙的速度为80米/分；
∴乙走完全程的时间＝＝30（分），
故②结论不正确；
由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4＝12（分）；
故③结论不正确；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360（米），
故④结论不正确；
故正确的结论有①共1个．
故选：A．
【名师指导】
本题考查利用函数图像解决问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
4．规定：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程是倍根方程；②若关于x的方程是倍根方程，则；③若是倍根方程，则或：④若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）
A．①④ B．①③ C．②③④ D．②④
【标准答案】D
【思路点拨】
①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1，得到x1 x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数的图象上，得到mn=2，然后解方程mx2-3x+n=0即可得到正确的结论；
【精准解析】
解：①∵方程x2+2x-8=0的两个根是x1=-4，x2=2，则2×2≠-4，
∴方程x2+2x-8=0不是倍根方程，故①错误；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则2x1=x2，
∵x1+x2=-a，x1 x2=2，
∴2x12=2，解得x1=±1，
∴x2=±2，
∴a=±3，故②正确；
③解方程（x-3）（mx-n）=0得，x1=3，x2=，
若（x-3）（mx-n）=0是倍根方程，则=6或2×=3，
∴n=6m或3m=2n，故③错误；
④∵点（m，n）在反比例函数的图象上，
∴mn=2，即n=，
∴关于x的方程为mx2-3x+=0，
解方程得x1=，x2=，
∴x2=2x1，
∴关于x的方程mx2-3x+n=0是倍根方程，故④正确；
故选：D．
【名师指导】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．
5．已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路点拨】
由题意得，从而可得，则，再由根与系数的关系可得a+b= 1，即可求得结果的值．
【精准解析】
∵，是方程的两个实数根
∴，
∴
故选：A
【名师指导】
本题主要考查了一元二次方程的解的含义、一元二次方程根与系数的关系及求代数式的值，掌握这些知识点是解题的关键．
6．比较大小错误的是（ ）
A．＜ B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6 D．|1－|＞－1
【标准答案】D
【思路点拨】
利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
【精准解析】
A、由于5<7，则＜，故正确；
B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；
C、由于，则，故正确；
D、由于，故错误．
故选：D
【名师指导】
本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．
二、填空题(每小题3分，共36分)
7．如图，在中，∠B＝90°，，点D在边AB上，沿CD将折叠，使边BC与AC重合，点B落在了点处；沿将折叠，点A落在了点处看，则＝______．
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【标准答案】
【思路点拨】
先由∠B=90°，AB=BC，可得，∠A=∠ACB=45°，再由折叠的性质可得,，，，则可得到，则，从而得到，再由即可求得，则．
【精准解析】
解：∵∠B=90°，AB=BC，
∴，∠A=∠ACB=45°，
由折叠的性质得,，，，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
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【名师指导】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，分母有理化，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 ___．
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【标准答案】
【思路点拨】
先作⊥交于点，交于点，过点作⊥交于点，再根据角平分线的性质得出，从而得出，再求出的长即可．
【精准解析】
解：如图所示，过点作⊥交于点，交于点，过点作⊥交于点
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∵平分，⊥，⊥
∴
∴
∵，，，
∴
∴
∴
∴
【名师指导】
本题主要考查了最短路径问题，以及角平分线的性质，解决此题的关键是找到最小时动点，的位置．
9．如图，在△ABC中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )8，BC＝9，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，则△APC的周长的最小值为________．21·世纪*教育网
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【标准答案】13
【思路点拨】
首先连接PC，由中垂线的性质可得 ( http: / / www.21cnjy.com )PB=PC，由于△APC的周长为AC+PA+PC，AC长度固定，则只要PA+PB最小即可，此时可推出P、A、B三点共线，即PA+PB=AB，由此计算即可．
【精准解析】
解：如图，连接PC，则由中垂线的性质可得PB=PC，
∵△APC的周长=AC+PA+PC，
∴△APC的周长=AC+PA+PB，
∵AC=5，
∴要使得△APC的周长最小，使得PA+PB最小即可，
显然，根据两点之间线段最短，可知当P、A、B三点共线时，PA+PB最小
此时，P点即在AB边上，PA+PB=AB，
∴PA+PB最小值为8，
∴△APC的周长最小为：8+5=13，
故答案为：13．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指导】
本题考查最短路径问题，以及中垂线的性质，理解并掌握中垂线的性质，以及最短路径问题的基本处理方式是解题关键．21教育网
10．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号）
【标准答案】①②⑤ ②⑤
【思路点拨】
判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，根据定义依次分析解答．
【精准解析】
解：①同旁内角相等是命题，是假命题；
②如果，那么是命题，是真命题；
③对顶角相等吗？不是命题；
④画线段不是命题；
⑤两点确定一条直线是命题，是真命题．
故答案为：①②⑤，②⑤．
【名师指导】
此题考查命题的定义，真命题的定义，熟记定义是解题的关键．
11．若点M是反比例函数图象上任意一点，轴于，点在轴上，的面积为，则的值为_________
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【标准答案】4
【思路点拨】
连接OA，由于AB⊥y轴，根据三角形面积公式得到S△OMN＝S△PMN＝2，再根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△OMN|k|，所以|k|＝2，然后解方程即可．
【精准解析】
解：连接OM，如图，
∵MN⊥y轴，即MN∥x轴，
∴S△OMN＝S△PMN＝2，
∵S△OMN|k|，
∴|k|＝2，
而k＞0，
∴k＝4．
故答案为：4．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指导】
本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
12．两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点，，，…，在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是，，，…，，纵坐标分别是1，3，5，…，共2021个连续奇数，过点，，，…，分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是， ，，…，，则的长为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路点拨】
先得到第2021个奇数为4041，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得P2021的坐标为（，4021），由于P2021Q20121平行y轴，所以Q2021的横坐标为，然后再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定Q2021的纵坐标即可求解．
【精准解析】
解：∵第2021个奇数为2×2021-1=4041，
∴P2021的坐标为（，4041），
∵P2021Q2021平行y轴，
∴Q2021的横坐标为，
∴Q2013的纵坐标为
∴．
故答案为．
【名师指导】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
13．甲、乙两人在笔直的人 ( http: / / www.21cnjy.com )行道上同起点、同终点、同方向匀速步行1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发后步行的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了22.5分钟；
③乙用9分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有270米．
其中正确的结论有____________．（写出所有正确结论的序号）
【标准答案】①②③④
【思路点拨】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【精准解析】
解：由图可得，
甲步行的速 ( http: / / www.21cnjy.com )度为：180÷3＝60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：1800÷（12×60÷9）＝22.5（分钟），故②正确，
乙追上甲用的时间为：12 3＝9（分钟），故③正确，
乙到达终点时，甲离终点距离是：1800 （3＋22.5）×60＝270米，故④正确，
故答案为：①②③④．【版权所有：21教育】
【名师指导】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．新冠病毒传染性很强 ( http: / / www.21cnjy.com )，如不注重个人防疫，有一个人感染，经过两轮传染后共有144人会被感染．若设平均每轮传染x人，则可列方程为______．
【标准答案】
【思路点拨】
计算两轮被感染的人数，根据题意即可列出方程．
【精准解析】
第一轮后共有（1+x）人被感染，第二轮后每个人传染x人，则有(1+x)x人被感染
由题意得：
故答案为：
【名师指导】
本题考查了一元二次方程的应用，关键是找到等量关系，并列出方程．
15．若，且是整数，则的取值为__________.
【标准答案】-2或-1或0或2
【思路点拨】
分别讨论当指数，底数，以及底数的情形，进行求解即可．
【精准解析】
解：∵，
∴当即时，，
∴是方程的解；
当时，即且的值为偶数，
∴或（舍去），
∴是方程的解；
当时，即时，
解得或，
∴或是方程的解，
故答案为：-2或-1或0或2．
【名师指导】
本题主要考查了零指数幂，解一元二次方程，有理数的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握零指数幂，解一元二次方程和有理数的乘方的计算方法．
16．将一元二次方程x2＝1﹣3x化为一般形式是___．
【标准答案】
【思路点拨】
通过移项变号化简即可；
【精准解析】
原方程化简为；
故答案是：．
【名师指导】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，准确化简是解题的关键．
17．已知a﹣b＝，b﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为 ___．
【标准答案】11
【思路点拨】
由a﹣b＝，b﹣c＝，两式相加可得 a﹣c＝2，全部代入到2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ ca）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2即可得．21*cnjy*com
【精准解析】
解：∵a﹣b＝，b﹣c＝，
∴a﹣c＝2．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
=×2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）
＝(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca)
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝[（）2+（2）2+（ ）2]
＝×22
=11．
故答案为：11
【名师指导】
本题主要考查二次根式的混合运算，由a﹣b、b﹣c得出a﹣c及根据完全平方公式对原式变形是解题的关键．
18．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝．根据这个规则，则方程2*x＝12的解为_________．
【标准答案】
【思路点拨】
分两种情况讨论：当时，当＜时，再根据自定义的提示公式列方程，解方程可得答案.
【精准解析】
解：当时，
但是＞，不合题意，舍去，
当＜时，
但是＜
综上： 或
故答案为：
【名师指导】
本题考查的是利用平方根解方程，弄懂自定义的含义，分情况列方程是解题的关键.
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．【出处：21教育名师】
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EFCD（已知）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．2-1-c-n-j-y
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
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【标准答案】（1）∠BCD；两直 ( http: / / www.21cnjy.com )线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；（2）①DG∥BC，∠B＝∠BCD，DG平分∠ADC，②证明见解析
【思路点拨】
（1）根据平行线的判定定理和性质定 ( http: / / www.21cnjy.com )理解答；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．
【精准解析】
（1）证明：∵EF∥CD（已知），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B+∠BDG＝180°（已知），
∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；
（2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD，
结论：DG平分∠ADC，
②证明：∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；
【名师指导】
本题考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．(本题6分)计算（1）；
（2）．
【标准答案】（1）；（2）
【思路点拨】
（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式，零指数幂以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【精准解析】
解：（1）
．
（2）
．
【名师指导】
本题考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．
21．(本题6分)（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：，其中x满足方程：．
【标准答案】（1），；（2）
【思路点拨】
（1）将方程左边去括号华为一元二次方程，利用因式分解法求解即可；
（2）用平方差公式和完全平方差公式将原式化简，然后利用因式分解法将得的解，将满足条件的解代入求值即可．www-2-1-cnjy-com
【精准解析】
（1）解：去括号得：
即
∴ ，
（2）解：
∵x满足方程
∴，
解得：，，
当时，原式的分母为0，故舍去；
当时，原式
【名师指导】
本题考查分式的化简求值，解一元二次方程等知识点，准确运算是解此类题的关键．
22．(本题6分)如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、 AC于E、D．
（1） 若△BCD的周长为8，求BC的长；
（2）若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）3；（2）72°
【思路点拨】
（1）根据线段的垂直平分线的性质求出AD＝BD，求出BD＋DC＋BC＝BC＋AC＝8，即可得出答案；21世纪教育网版权所有
（2）设∠A＝a°，根据等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质求出∠A＝∠ABD＝a°，∠ABC＝∠ACB＝2a°，根据三角形内角和定理得出方程5a＝180，求出后根据三角形的外角性质求出即可．
【精准解析】
解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BCD的周长为8，
∴BD＋DC＋BC＝BC＋AD＋DC＝BC＋AC＝8，
∵AB＝AC＝5，
∴BC＝3；
（2）设∠A＝a°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝a°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝a°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2a°，
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴5a＝180，
∴a＝36，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°．
【名师指导】
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出AB＝AE＝EC，AE＝2DE，综合性比较强，难度适中．21教育名师原创作品
23．(本题6分)如图，已知反比例函数经过中、两点，直线交轴、轴于、两点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若、两点坐标分别为，，则__________，__________；
（2）若是中点且，求的面积．
（3）若，是否存在菱形，其中、两点横纵坐标均为正整数，如果存在，直接写出此时点坐标，如果不存在，简要说明一下理由．
【标准答案】（1），；；（3），，
【思路点拨】
（1）使用待定系数法，先求出反比例函数k，再求b，
（2）先利用两点间中点坐标公式，求出对应点坐标，再利用反比例函数k的几何意义，
（3）分别确定两点坐标，再利用坐标系内菱形坐标的特点代入求解．
【精准解析】
解：（1）将A（2，3）代入反比例函数得，
即3＝，
解得：k＝6，
∴y＝，
将B（6，b），代入y＝得，
b＝＝1，
故答案为：6，1．
（2）设B点坐标为（xB，），D点坐标为（0，b），A点坐标（xA，），
∵点A是BD的中点，
∴xA＝，＝，
得xA＝，b＝，
∴S△OAD＝×xA×yD
＝××
＝6，
∵A为线段BD的中点，
∴S△OAD＝S△OAB＝6，
∴S平行四边形OACB＝2×S△OAB＝12．
（3）当k＝12时，且A、B两点横纵坐标均为正整数，
∵12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，
∴有以下可能：
①A（1，12），B（12，1），
此时C点坐标为，即（13，13），
②A（2，6），B（6，2），
此时C点坐标为，即（8，8），
③A（3，4），B（4，3），
此时C点坐标为，即（7，7）．
【名师指导】
本题主要考查反比例函数k的几何意义和坐标系内中点坐标，解题关键是能够数形结合．
24．(本题8分)（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G， ( http: / / www.21cnjy.com )使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；
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（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，等腰直角三角形ABC中，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝12，CN＝16，则MN的长为______ ．
【标准答案】（1）EF=BE+FD；（2）仍然成立，说明见详解；（3）20
【思路点拨】
（1）延长DC作辅助线DG=BE ( http: / / www.21cnjy.com )，再证明△ADG≌△ABE，再由△ADG≌△ABE得到条件AG=AE，∠GAF=∠EAF证明△GAF≌△EAF，进而得出EF=GF=GD+DF=BE+DF．
（2）延长DC作辅助线DH ( http: / / www.21cnjy.com )=BE，再证明△ADH≌△ABE，再由△ADH≌△ABE得到条件AH=AE，∠BAE=∠DAH证明△HAF=△EAF，进而得出EF=HF=HD+DF=BE+DF．
（3）过点C作CE⊥BC，垂足为点C， ( http: / / www.21cnjy.com )截取CE=BM．连接AE、EN．先证明△ABM≌△ACE，再证明△AMN≌△AEN，再根据勾股定理求出NE，再根据全等，MN=NE求出MN．
【精准解析】
解：（1）
( http: / / www.21cnjy.com / )
在△ADG和△ABE中
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴BE=DG
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°
在△AGF和△AEF中
∴△AGF≌△AEF（SAS）
∴GF=EF=GD+DF=BE+DF；
（2）在CD的延长线上取DH=BE，连接AH如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠B+∠ADC=180°；∠ADH+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADH
在△ABE与△ADH中
∴△ADH≌△ABE（SAS）
∴∠HAD=∠BAE，AH=AE
∵∠BAE+∠FAD=∠HAD+∠FAD=∠EAF=∠BAD
在△AHF和△AEF中
∴△AHF和△AEF（SAS）
∴HF=EF=HD+DF=BE+DF
（3）如下图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE=BM．连接AE、EN．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠ACB=45°
∵CE⊥BC
∴∠ACE=∠B=45°
在△ABM和△ACE中
∵
∴ △ABM≌△ACE（SAS）
∴∠MAB=∠EAC；AM=AE
∴∠MAB+∠CAN=∠EAC+∠CAN=45°
∴∠MAN=∠EAN=45°
在△MAN和△EAN中
∵
∴△MAN≌△EAN（SAS）
∴CE=BM=12
又∵NC=16，△NEC为Rt△，
∴MN=NE===20
【名师指导】
本题考查SAS全等三角形的判定与性质利用，同时也考查了勾股定理，熟练掌握这些知识点，并知道正确地添加辅助线是本题解题关键．21cnjy.com
25．(本题8分)如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）运动几秒时的面积为？
（2）的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
【标准答案】（1）P、Q同时出发，2s或4s后可使的面积为；（2）不存在使得的面积等于的面积的一半的时刻，理由见解析2·1·c·n·j·y
【思路点拨】
（1）设后，可使的面积为，分别表示出线段和线段的长，再利用三角形的面积公式列出方程求解；
（2）先求，根据题意建立方程，由根的判别式可得结果．
【精准解析】
（1）设后，可使的面积为．
由题意得，，，，
，
整理得：，
解得：，，
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使的面积为．
（2）由题意得：，
，
，
，该方程无实数解，
所以，不存在使得的面积等于的面积的一半的时刻．
【名师指导】
本题考查解一元二次方程，解本题的关键是审题后，列出相关的一元二次方程，应掌握一元二次方程根的判别式及求解．【来源：21cnj*y.co*m】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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