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编者小注：
本套专辑专为上海市2021学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分制），分 ( http: / / www.21cnjy.com )基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。21cnjy.com
9年级（满分150分制），分满 ( http: / / www.21cnjy.com )分卷、学霸卷、冲刺卷，适合初三学生一模备考使用，难度适宜，其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。21·cn·jy·com
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（学霸卷）2021-2022学年沪教版九年级数学一模（期末）考试卷
（学生版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题4分，共24分)
1．小冬站在镜子前，在镜子中看到身后的电子屏内显示的时间是“”请问，此时时间应该是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的分式方程的解是非负数，关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，则所有满足条件的整数m的值之和为（ ）www.21-cn-jy.com
A．3 B．4 C．11 D．12
3．伟城、尚谦两人以相同路线前往 ( http: / / www.21cnjy.com )距离学校10km的科技中心参观学习．图中y1与y2分别表示伟城、尚谦两人前往目的地所走的路程y（km）随时间x（分）变化的函数图象．以下说法不正确的是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．伟城的平均速度为0.2千米/分钟 B．尚谦的平均速度为1千米/分钟
C．尚谦比伟城提前22分钟到达 D．尚谦走了5km后遇到伟城
4．截至年月日，个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次，其中89277万剂次用科学记数法表示为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．剂次 B．剂次
C．剂次 D．剂次
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③；④正确的有（ ）个．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为⊙O上一动点．若D为AP的中点，则线段CD的最小值为（ ）21·世纪*教育网
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A．－1 B．2 C．＋1 D．4
二、填空题(每小题4分，共48分)
7．不等式的解集是______．
8．若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相等，则的值为______．
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9．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，且、两点间的距离为4，则点表示的数是___________．www-2-1-cnjy-com
10．已知实数满足方程，则____________．
11．若一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0没有实数根，则直线y＝（a＋1）x＋a﹣1一定不经过的象限是____．
12．若直线与双曲线相交于点、，若点的坐标为，则点的坐标为____．
13．如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，如果设道路的宽为x m，则根据题意可列出方程____________________________．2-1-c-n-j-y
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14．规定，则的值是_________．
15．如图，在等腰直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；则在运动过程中△DEF面积的最小值为___．
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16．两个角和的两边互相平行，且角比角的2倍少30°，则这个角是____________度．
17．已知是一个给定的正整数，记，若，则的值为__________．
18．如图，正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点P为边AB上一个动点，连接PE，以PE为对称轴折叠得到，点B的对应点为点F，若，当射线EF经过正方形ABCD边的中点（不包括点E）时，BP的长为_______．21世纪教育网版权所有
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三、解答题(19-22题，每题10分；23、24题，每小题12分，25题14分，共78分)
19．(本题10分)解方程组： ．
20．(本题10分)已知关于的一元二次方程．
（1）求的值；
（2）解这个一元二次方程．
21．(本题10分)在图1至图3中，的直径，切于点，，连接交于点，连接，是线段上一点，连接．2·1·c·n·j·y
（1）如图1，当点，的距离最小时，求的长；
（2）如图2，若射线过圆心，交于点，，求的值；
（3）如图3，作于点，连接，直接写出的最小值．
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22．(本题10分)如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据小颗的测量数据，求建筑物BC的高度（参考数据：）21教育网
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23．(本题12分)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．21*cnjy*com
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
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24．(本题12分)已知，抛物线交轴正半轴于两点，交轴正半轴于，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，为抛物线的顶点，为对称轴左侧抛物线上一点，射线交直线于，连．是否存在点，使 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图2，将抛物线向上平移个单位，交于点，若，求的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
25．(本题14分)在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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本套专辑专为上海市2021学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分制），分 ( http: / / www.21cnjy.com )基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。21教育名师原创作品
9年级（满分150分制），分满分卷、 ( http: / / www.21cnjy.com )学霸卷、冲刺卷，适合初三学生一模备考使用，难度适宜，其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。
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（学霸卷）2021-2022学年沪教版九年级数学一模（期末）考试卷
（详解版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题4分，共24分)
1．小冬站在镜子前，在镜子中看到身后的电子屏内显示的时间是“”请问，此时时间应该是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路点拨】
根据镜子中看到身后的电子屏内显示的时间与真实的时间是成轴对称的判断即可；
【精准解析】
在镜子中看到身后的电子屏内显示的时间是，那么真实时间是；
故选C．
【名师指导】
本题主要考查了轴对称图形的判断，准确分析是解题的关键．
2．若关于x的分式方程的解是非负数，关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，则所有满足条件的整数m的值之和为（ ）
A．3 B．4 C．11 D．12
【标准答案】C
【思路点拨】
先解分式方程，再解一元一次不等式组，从而确定m的值，进而解决此题．
【精准解析】
解：∵，
∴3（x﹣1）+1＝m．
∴3x﹣3+1＝m．
∴x＝．
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴x＝≥0且≠1．
∴m≥﹣2且m≠1．
∵，
∴3y﹣6≤y+2．
∴2y≤8．
∴y≤4．
∵4y+1﹣m≥0，
∴y≥．
∵关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，
∴﹣1＜≤1．
∴﹣3＜m≤5．
又∵m≥﹣2且m≠1，m为整数，
∴m＝﹣2或﹣1或0或2或3或4或5．
∴所有满足条件的整数m的值之和为﹣2+（﹣1）+0+2+3+4+5＝11．
故选：C．
【名师指导】
本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键．21世纪教育网版权所有
3．伟城、尚谦两人以相同路线前往距离学校10 ( http: / / www.21cnjy.com )km的科技中心参观学习．图中y1与y2分别表示伟城、尚谦两人前往目的地所走的路程y（km）随时间x（分）变化的函数图象．以下说法不正确的是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．伟城的平均速度为0.2千米/分钟 B．尚谦的平均速度为1千米/分钟
C．尚谦比伟城提前22分钟到达 D．尚谦走了5km后遇到伟城
【标准答案】D
【思路点拨】
观察函数图象，计算得到伟城的速度是，尚谦的平均速度继而得到伟城到达科技中心的时间为，再根据图象可求得尚谦比伟城提前22分钟到达，接着利用待定系数法，分别解出，，当时，即时，解出，最后代入解得km即可．
【精准解析】
解：由图可知，伟城的速度是，伟城到达科技中心的时间为，
尚谦全程使用28-18=10min,他的速度为，
尚谦比伟城提前50-18-10=22分钟到达
即选项A、B、C正确，不符合题意，
由图象可知，
设代入得
当时，
解得
此时
即尚谦走了km后遇到伟城，
选项D不正确，符合题意，
故选：D．
【名师指导】
本题考查一次函数的应用，从一次函数图象中得到实际问题中的数量关系，是解题的关键．
4．截至年月日，个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次，其中89277万剂次用科学记数法表示为（ ）
A．剂次 B．剂次
C．剂次 D．剂次
【标准答案】B
【思路点拨】
科学记数法的表示形式为a ( http: / / www.21cnjy.com )×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【精准解析】
89277万=892770000=8.9277×108，
故选：B．
【名师指导】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记 ( http: / / www.21cnjy.com )数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③；④正确的有（ ）个．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路点拨】
利用矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质即可完成．
【精准解析】
①∵四边形ABCD是矩形
∴,∠DAB=∠ABE=90°，DC=AB
∴
∵E为BC的中点
∴
∴
∵∠DAB=∠ABE=90°
∴△ABE∽△DAB
∴∠BAE=∠ADB
∵∠BAE+∠FAD=90°
∴∠ADB+∠FAD=90°
∴∠AFD=90°
即AE⊥BD
故①正确
②由勾股定理得：
∵AE⊥BD
∴∠AFB=∠BAD=90°
∵∠BAE=∠ADB
∴△ABF∽△DBA
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵点E为BC的中点
∴
∵
∴
即
故②错误
③由②知
∴
∵四边形ABCD是矩形
∴
∴
故③错误
④过点F作FG⊥BC于点G
∴FG∥DC
∴
∴，
∴
在Rt△FGC中，由勾股定理得：
∵
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：
∴
故④正确
( http: / / www.21cnjy.com / )
故正确的有2个
故选：B
【名师指导】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判断与性质，等高的两个三角形面积比等于底边比等知识，关键是把其它的线段用矩形的宽的代数式表示出来．21·世纪*教育网
6．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为⊙O上一动点．若D为AP的中点，则线段CD的最小值为（ ）【版权所有：21教育】
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A．－1 B．2 C．＋1 D．4
【标准答案】A
【思路点拨】
连接OD，以AO为直径作圆G，过G作G ( http: / / www.21cnjy.com )F⊥OC于F，求出OC＝OA＝2，求出OG、OF、CF长，根据勾股定理求出CG，再根据两点之间线段最短得出CD≥CG-GD，再求出答案即可．
【精准解析】
解：∵直径AB＝4，
∴CO＝AO＝2，
连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵D为AP的中点，OD过O，
∴OD⊥AP，
即点D在⊙G上，GD＝OA＝1，
∴OG＝1，
∵点C为半圆O的三等分点（更靠近A点），
∴∠AOC＝60°，
∴∠FGO＝30°，
∴OF＝OG＝，GF＝＝，
∴CF＝OC﹣OF＝2﹣＝，
由勾股定理得：CG＝＝＝，
∵CD≥CG-GD，
∴CD≥-1，
∴CD的最小值是-1，
故选：A．
【名师指导】
本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，三角形的三边关系定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．2·1·c·n·j·y
二、填空题(每小题4分，共48分)
7．不等式的解集是______．
【标准答案】x>-5
【思路点拨】
根据不等式的性质求解即可．
【精准解析】
解：，
3x>-15，
解得x>-5，
故答案为：x>-5．
【名师指导】
此题考查求不等式的解集，正确掌握解不等式的步骤及方法是解题的关键．
8．若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相等，则的值为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】12
【思路点拨】
利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之和相等，列出方程求出a、b、c的值，从而得到a+b+c的值．【来源：21·世纪·教育·网】
【精准解析】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，可知a与b相对，c与一2相对，3与2相对，
∵相对面上两个数之和相等，
∴a+b=c-2=3+2，
∴a+b=5，c=7，
∴a+b+c=12．
故答案为：12．
【名师指导】
本题考查了正方体相对两个面．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
9．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，且、两点间的距离为4，则点表示的数是___________．【来源：21cnj*y.co*m】
【标准答案】5或
【思路点拨】
分点A在点B的左边和点A在点B的右边两种情况考虑，再由数轴上两点间的距离等于两个数的差（大数减小数），即可求得m的值，从而得点A表示的数．
【精准解析】
当点A在点B的左边时，则有5-m-(2m-3)=4，解得：，所以，此时点A表示数为；
当点A在点B的右边时，则有2m-3-(5-m)=4，解得：m=4，所以2m-3=2×4-3=5，此时点A表示的数为5；
即点A表示的数为5或．
故答案为：5或
【名师指导】
本题考查了数轴上两点间的距离，解一元一次方程，涉及分类讨论的思想．
10．已知实数满足方程，则____________．
【标准答案】
【思路点拨】
设，将原式整理为含的方程即可得出答案
【精准解析】
解：设，
则原方程为：，
则：，
解得：，
当时，无实数解，故舍去，
经检验是的解，
故答案为：．
【名师指导】
本题考查了换元法解方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解本题的关键．
11．若一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0没有实数根，则直线y＝（a＋1）x＋a﹣1一定不经过的象限是____．
【标准答案】一象限
【思路点拨】
首先由一元二次方程x2 2x a＝0无实数根求出a的取值范围，然后判断一次函数y＝（a＋1）x＋a 1的图象一定不经过第几象限．
【精准解析】
解：∵一元二次方程x2 2x a＝0无实 ( http: / / www.21cnjy.com )数根，
∴4＋4a＜0，
解得a＜ 1，
故a＋1＜0，a 1＜0，
故一次函数y＝（a＋1）x＋a 1的图象一定不经过第一象限，
故答案为：一．
【名师指导】
本题主要考查根的判别式Δ＝b2 4ac的情况，当Δ＝b2 4ac＜0，方程没有实数根，知道直线的斜率k和b就能判断直线不经过哪些象限．
12．若直线与双曲线相交于点、，若点的坐标为，则点的坐标为____．
【标准答案】
【思路点拨】
根据两函数图象均关于原点对称解答即可．
【精准解析】
∵直线与双曲线的图象均关于原点对称，
∴点Q的坐标与点P的坐标关于原点对称，
∵点P的坐标为(－3，4)，
∴点Q的坐标为(3，－4)．
故答案为：(3，－4)．
【名师指导】
本题考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关于原点对称的点的特征，熟练掌握函数的图象性质是解题的关键．21·cn·jy·com
13．如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，如果设道路的宽为x m，则根据题意可列出方程____________________________．www-2-1-cnjy-com
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【标准答案】（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
【思路点拨】
利用平移可把草坪把为一个长为(20-x)m，宽为(12-x)m的矩形，从而根据题中的等量关系：草坪面积=整个矩形面积×，即可得出方程．
【精准解析】
如图，把水平方向的道路向上平移，竖直方向的道路向右平移，得到如图所示的图形，则
草坪变为一个的长为(20-x)m，宽为(12-x)m的矩形
由题意得：（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
故答案为：（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
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【名师指导】
本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
14．规定，则的值是_________．
【标准答案】
【思路点拨】
根据规定列出算式，再分母有理化，利用乘法公式计算．
【精准解析】
解：根据题意得： ．
故答案为：．
【名师指导】
此题属于新定义运算，考查了二次根式的运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
15．如图，在等腰直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；则在运动过程中△DEF面积的最小值为___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路点拨】
连结DC，过D作DH⊥AC于H，DG⊥BC与G，连结HG，根据△ABC为等腰直角三角形，可得AC=BC，∠A=∠B=，由点D是AB的中点，AC=BC，根据等腰三角形三线合一性质可得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=，可得CD=BD，利用等线段之差可得CE=AC-AE=CB-CF=BF，可证△CED≌△BFD（SAS），得出△EDF为等腰直角三角形，S△EDF=，在运动过程中要使△DEF面积的最小必需满足ED最短，求出最短距离HD=AH=3即可．21cnjy.com
【精准解析】
解：连结DC，过D作DH⊥AC于H，DG⊥BC与G，连结HG，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∴∠A=∠B=，
∵点D是AB的中点，AC=BC，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=，
∴∠DCB=∠DBC=45°=∠ACD，
∴CD=BD，
∵AC=BC，AE=CF，
∴CE=AC-AE=CB-CF=BF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（SAS），
∴ED=FD，
∵∠CDF+∠FDB=∠CDF+∠EDC=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形，
∴S△EDF=，
在运动过程中要使△DEF面积的最小必需满足ED最短，
∵点E在射线AC上，DE是直线上的点E与直线外一点D连线，点D到直线AC的距离最短，
∵∠A=∠ACD=45°，
∴AD=CD,
∴DH平分∠ADC，AH=CH=3，
∴∠ADH=∠CDH=45°=∠A，
∴HD=AH=3，
∴．
故答案为．
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【名师指导】
本题考查等腰直角三角形性质与判定，三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形全等判定与性质，点到直线的最短距离，三角形面积，掌握等腰直角三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，点到直线的最短距离，三角形面积是解题关键．【出处：21教育名师】
16．两个角和的两边互相平行，且角比角的2倍少30°，则这个角是____________度．
【标准答案】或
【思路点拨】
设为∠1和为∠2，根据图形可证得两角相等或互补，再利用方程建立等量关系求解即可．
【精准解析】
解：设的度数为，则的度数为，
如图1，和互相平行，可得：∠2＝∠3，
同理：∠1＝∠3，
∴∠2＝∠1，
∴当两角相等时：，
解得：，
如图2，和互相平行，可得：∠2＋∠3＝，
而和互相平行，得∠1＝∠3，
∴∠2＋∠1＝，
∴当两角互补时：，
解得：，
，
故填：或．
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【名师指导】
本题考查平行线的性质和方程的应用，分类讨论思想是关键.
17．已知是一个给定的正整数，记，若，则的值为__________．
【标准答案】
【思路点拨】
根据 的意义，用含 和绝对值的式子表示出方程，根据是正整数，可以依次试验，确定 的值．
【精准解析】
，
，
若 ，
则 ，
不成立；
若 ，
则 ，
不成立；
若 ，
则 ，
不成立；
以此类推，
若 ，
等式，
恰好成立．
．
【名师指导】
本题考查了绝对值和新定义运算，明白新定义并运用新定义是解本题的关键．
18．如图，正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点P为边AB上一个动点，连接PE，以PE为对称轴折叠得到，点B的对应点为点F，若，当射线EF经过正方形ABCD边的中点（不包括点E）时，BP的长为_______．
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【标准答案】2或
【思路点拨】
分EF经过正方形ABCD另外三边三种情况求解即可．
【精准解析】
解：①EF经过CD边中点O时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵点O是CD的中点，点E是BC的中点，
∴
∵CE=CO=2
∴
由折叠得：
∴
∴
作FG⊥AB于点G，作EH⊥FG于点H,如图，,
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设，则，
∵∠BPF=45
∴PG=FG=x+2，
∴
∴由勾股定理得，
由折叠得，PB=PF
∴
解得，x=
∴
∴点P在AB外，不符合题意；
②EF经过AD边中点，如图，
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此时，
∴；
③EF经过AB边中点，如图，
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∵
∴
由折叠得
设，则，PB=x
∴
∴，即
综上，BP的长为2或
故答案为：2或
【名师指导】
本题主要考查了折叠的性质和正方形的性质，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．
三、解答题(19-22题，每题10分；23、24题，每小题12分，25题14分，共78分)
19．(本题10分)解方程组： ．
【标准答案】
【思路点拨】
将原方程组转换成整式方程组，设，求出u、v的值，然后再求x、y的值，同时解分式方程一定注意要验根．
【精准解析】
解：设，则原方程组可化为．
解这个方程组，得 ．
于是，得，即．
解方程组得 ．
经检验是原方程组的解．
所以，原方程组的解是．
【名师指导】
本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解是解决本题的关键．
20．(本题10分)已知关于的一元二次方程．
（1）求的值；
（2）解这个一元二次方程．
【标准答案】（1）3；（2），
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程的定义（含有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可；
（2）利用公式法求解即可．
【精准解析】
解：（1）依题意，得解得．
∴a的值为3．
（2）把代入原方程，得
∴，．
【名师指导】
本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．
21．(本题10分)在图1至图3中，的直径，切于点，，连接交于点，连接，是线段上一点，连接．
（1）如图1，当点，的距离最小时，求的长；
（2）如图2，若射线过圆心，交于点，，求的值；
（3）如图3，作于点，连接，直接写出的最小值．
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【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路点拨】
（1）根据切线的性质，可得是，勾股定理求得，根据直径所对的圆周角是直角，根据等面积法求得的长度，根据点到直线的距离垂线段最短，即可知当时，点，的距离最小，根据垂径定理可知；
（2）先根据勾股定理求得，证明，根据即可求得的值；
（3）以为直径作，则为的中点，当三点共线时，最小，在中，勾股定理求得，进而求得的值．
【精准解析】
（1）如图，
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的直径，切于点，，
在中，
是直径
根据点到直线的距离垂线段最短，即可知当时，点，的距离最小，
；
（2）如图，连接，
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是的直径，
，
，
解得（负值舍去）
，
又
，
即
（3）如图，以为直径作，则为的中点，
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中
点在上，
，
当三点共线时，最小
此时，在中，
．
的最小值为．
【名师指导】
本题考查了勾股定理，圆的切线的性质，圆的性质，点到圆的距离，三角形相似的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．21教育网
22．(本题10分)如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据小颗的测量数据，求建筑物BC的高度（参考数据：）2-1-c-n-j-y
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【标准答案】米．
【思路点拨】
作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形DHBF是矩形，在Rt△ADH中求出DH，再在Rt△EFB中求出EF，在Rt△EFC中求出CF即可解决问题．
【精准解析】
解：如图作于H，延长DE交BC于F，
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在中，米，，
∴（米），
∵四边形DHBF是矩形，
∴（米），
在中，，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴（米）．
【名师指导】
本题考查了解直角三角形，坡度，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．(本题12分)如图，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
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【标准答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为或．
【思路点拨】
（1）AD＝AC，∠AD ( http: / / www.21cnjy.com )C＝60°，可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，可得∠HAD=∠B=60°=∠GCD，由∠GDH=∠CDA=60°，可证∠HAD =∠CDG，即可证△ADH≌△CDG（ASA）；21*cnjy*com
（2）①根据AD＝AC，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ADC＝α，可得∠ACD=∠ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，由∠GDH=α=∠ADC，可得∠ADH =∠CDG即可；
②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE∽△CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GM∥CN，再证△AMG∽△ANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，由AE∥CD，△GAE∽△GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证△GMA∽△CNA，可得，，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=．
【精准解析】
（1）证明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，
∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD，
∵∠GDH=∠CDA=60°，
∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°，
∴∠HDA =∠CDG，
在△ADH和△CDG中
△ADH≌△CDG（ASA）；
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（2）①证明：∵AD＝AC，∠ADC＝α，
∴∠ACD=∠ADC＝α，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，
∵∠GDH=α=∠ADC，
∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α，
∴∠ADH =∠CDG，
∴△ADH∽△CDG；
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②解：当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，
∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG，
∴△AGE∽△CGD，
∴，
∴，
∵AD=AC=12，
∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12，
∴AG=3，
∴CG=AC-AG=12-3=9，
∵AC=AD=BC，CN⊥AB，
∴AN=BN=，
在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=，
∴GM∥CN，
∴△AMG∽△ANC，
∴，
∴,，
∴EM=AE-AM=，
在Rt△MGE中，根据勾股定理EG=，
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当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，
∵AE∥CD，
∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC，
∴△GAE∽△GCD，
∴，
∴，
∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,
∴GA=6，
∵AC=AD=BC，CN⊥AB，
∴AN=BN=，
在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=，
∵CN⊥AB， GM⊥AE，
∴GM∥CN，
∴△GMA∽△CNA，
∴，
∴，，
∴EM=AE-AM=3-，
在Rt△GME中，根据勾股定理EG=，
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∴综合EG的长为或．
【名师指导】
本题考查图形旋转性质，平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键．
24．(本题12分)已知，抛物线交轴正半轴于两点，交轴正半轴于，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，为抛物线的顶点，为对称轴左侧抛物线上一点，射线交直线于，连．是否存在点，使 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
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（3）如图2，将抛物线向上平移个单位，交于点，若，求的值．
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【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路点拨】
（1）由题意可得，，将点代入解析式，求解即可；
（2）连接，对称轴与轴交点，将绕点逆时针旋转得到，则点在线段上，求得直线解析式，再联立抛物线，求解即可；
（3）将绕点顺时针旋转得到，利用旋转的性质和一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【精准解析】
解：（1）由题意可得：
∵
∴
将代入解析式得：，解得
抛物线解析式为
（2）如下图：连接，对称轴与轴交点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
对称轴，
由题意可得：
∴，
∴
将绕点逆时针旋转得到，则点在线段上，
∵
∴
∵
∴为等腰直角三角形
∴
直线与抛物线的交点即为点
设直线的解析式为，将点代入得：
解得
∵
∴直线斜率为
∴直线的解析式为
联立直线和抛物线
，解得或
∵在对称轴的左侧，
∴点坐标为
（3）将绕点顺时针旋转得到，如下图：
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则
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴，即
根据，可得直线的解析式为
设，，
则
设平移之后的抛物线解析式为
由消去解得
∴
∴，
∴关于对称
∴
由勾股定理可得
设，则
可得
解得（负值舍去）
∴
由得
解得
【名师指导】
此题考查了二次函数与几何图形的综合应用，涉及 ( http: / / www.21cnjy.com )了全等三角形的判定，一元二次方程求解和根与系数的关系，图形的旋转等，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．21*cnjy*com
25．(本题14分)在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
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（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为1
【思路点拨】
（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知，最后由等腰三角形的性质即可求出的长．
（2）作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，．由三角形面积公式可求出．再利用勾股定理即可求出，进而求出．最后利用平行线分线段成比例即可求出的长．
（3）作且交延长线于点P，连接．由题意易证明，
，，即得出．再由平行线性质可知，即得出，即可证明，由此即易证，得出，即点D为中点．从而证明DE为的中位线，即．即要使DE最小，最小即可．根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小，且最小值即为，由此即可求出DE的最小值．
【精准解析】
（1）在中，．
根据旋转性质可知，即为等腰三角形．
∵，即，
∴，
∴．
（2）如图，作交于点D，作交于点E．
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由旋转可得，．
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵，即，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∵，
∴，即，
∴．
（3）如图，作且交延长线于点P，连接．
∵，
∴，
∵，即，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴在和中 ，
∴，
∴，即点D为中点．
∵点E为AC中点，
∴DE为的中位线，
∴，
即要使DE最小，最小即可．
根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小值为．
∴此时，即DE最小值为1．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指导】
本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com )，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．www.21-cn-jy.com
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