平面向量基本定理及坐标表示
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课件29张PPT。第二节 平面向量基本定理及坐标表示分析 不易直接用c，d表示 ，所以可以先由 联合表示 ，再进行向量的线性运算，从方程中解出解 ①
②
将②代入①，得
∴ ③
将③代入②，得
规律总结 根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．变式训练1解析 方法一：平面几何法．如图，过C点作CE∥AD交OB于E，方法二：待定系数法
已知A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且向量加、减、数乘的坐标运算 分析 由向量坐标的意义及运算规则，分别求点的坐标和向量的坐标 . 解 规律总结 向量的坐标运算是向量代数运算的基础，要求准确熟练的掌握，为应用向量解决问题奠定基础． 变式训练２ 已知△ABC中A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N分别是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，如图所示，求 . 【解析】 平面内给定三个向量：a＝(3,2)，
b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)设d＝(x，y)满足(a＋b)∥(d－c)且|d－c|＝1，求d. 向量平行的坐标运算及应用分析 由两向量平行的坐标形式的等价条件列方程组，解方程组得未知数或向量． 解 (1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－ .
(2)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
(a＋b)∥(d－c)且|d－c|＝1， 规律总结 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式．其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性． 变式训练３ 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？【解析】 ∵ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
∴ka＋b与a－3b平行等价于(k－3)(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－，故k＝－时，ka＋b与a－3b平行，此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，所以ka＋b与a－3b反向．向量坐标运算的综合应用(12分) 在?ABCD中，A(1,1)， ，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于P.
(1)若 ，求点C的坐标；
(2)当 时，求点P的轨迹． 分析 (1)据平行四边形法则 ，可求得点C的坐标；
(2)由条件知?ABCD为菱形，则 ，即
＝0， 可得点P的轨迹方程．解 (1)设点C的坐标为 ，
又 ＝(6,0)＋(3,5)＝(9,5)， ………………. 2分
即 ＝(9,5)，
即点C的坐标为
(10,6) ……………….4分
∴?ABCD为菱形， 规律总结 欲求点P的轨迹，首先分析点P满足的条件 ；然后用坐标表示该数量积，得到P点坐标的轨迹方程．另外还要注意y≠1的限制．事实上，若y＝1，则点P为(7,1)或(3,1)，在AB上，与题设CM与BD交于P矛盾． 【解析】 (1) ＝(1＋3t,2＋3t)，
若P在x轴上，只需2＋3t＝0，∴ ；
若P在y轴上，只需1＋3t＝0，∴ ； ．1．向量的分解与向量的合成(加减运算)是
相对的两种运算方式，有合成就有分解，
正交分解及坐标表示就是分解的一种形式．
2．正确区别点的坐标与向量的坐标相等的
向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标
可以不同．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只
与其相对位置有关．也不能认为向量的坐
标就是终点的坐标，只在以原点为起点时
，向量的坐标与终点的坐标相同．
3．关于基底
如果以 为基底，那么对于任意向量
a，有且只有一对实数 ，使
(1)我们把不共线向量 叫做表示这一
平面内所有向量的一组基底．(2)基底不唯一，关键是不共线．
(3)根据平面向量基本定理，可将任一向量
a在给定基底 的条件下进行分解．
(4)基底给定时，分解形式唯一． 是由
a， 唯一确定的有序实数对．
4．平面向量共线的坐标表示
对于向量 ，a∥b?
. 与a＝(3，－4)平行的单位向量是________． 错解 因为a的模等于 ，所以与a平行的单位向量就是 a，即 .错解分析 没有考虑到方向相反，也是平行的情况，
漏掉一解． 正解 因为a的模等于5，所以与a 平行的单位向量是± a，即 或
②
将②代入①，得
∴ ③
将③代入②，得
规律总结 根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．变式训练1解析 方法一：平面几何法．如图，过C点作CE∥AD交OB于E，方法二：待定系数法
已知A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且向量加、减、数乘的坐标运算 分析 由向量坐标的意义及运算规则，分别求点的坐标和向量的坐标 . 解 规律总结 向量的坐标运算是向量代数运算的基础，要求准确熟练的掌握，为应用向量解决问题奠定基础． 变式训练２ 已知△ABC中A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N分别是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，如图所示，求 . 【解析】 平面内给定三个向量：a＝(3,2)，
b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)设d＝(x，y)满足(a＋b)∥(d－c)且|d－c|＝1，求d. 向量平行的坐标运算及应用分析 由两向量平行的坐标形式的等价条件列方程组，解方程组得未知数或向量． 解 (1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－ .
(2)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
(a＋b)∥(d－c)且|d－c|＝1， 规律总结 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式．其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性． 变式训练３ 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？【解析】 ∵ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
∴ka＋b与a－3b平行等价于(k－3)(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－，故k＝－时，ka＋b与a－3b平行，此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，所以ka＋b与a－3b反向．向量坐标运算的综合应用(12分) 在?ABCD中，A(1,1)， ，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于P.
(1)若 ，求点C的坐标；
(2)当 时，求点P的轨迹． 分析 (1)据平行四边形法则 ，可求得点C的坐标；
(2)由条件知?ABCD为菱形，则 ，即
＝0， 可得点P的轨迹方程．解 (1)设点C的坐标为 ，
又 ＝(6,0)＋(3,5)＝(9,5)， ………………. 2分
即 ＝(9,5)，
即点C的坐标为
(10,6) ……………….4分
∴?ABCD为菱形， 规律总结 欲求点P的轨迹，首先分析点P满足的条件 ；然后用坐标表示该数量积，得到P点坐标的轨迹方程．另外还要注意y≠1的限制．事实上，若y＝1，则点P为(7,1)或(3,1)，在AB上，与题设CM与BD交于P矛盾． 【解析】 (1) ＝(1＋3t,2＋3t)，
若P在x轴上，只需2＋3t＝0，∴ ；
若P在y轴上，只需1＋3t＝0，∴ ； ．1．向量的分解与向量的合成(加减运算)是
相对的两种运算方式，有合成就有分解，
正交分解及坐标表示就是分解的一种形式．
2．正确区别点的坐标与向量的坐标相等的
向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标
可以不同．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只
与其相对位置有关．也不能认为向量的坐
标就是终点的坐标，只在以原点为起点时
，向量的坐标与终点的坐标相同．
3．关于基底
如果以 为基底，那么对于任意向量
a，有且只有一对实数 ，使
(1)我们把不共线向量 叫做表示这一
平面内所有向量的一组基底．(2)基底不唯一，关键是不共线．
(3)根据平面向量基本定理，可将任一向量
a在给定基底 的条件下进行分解．
(4)基底给定时，分解形式唯一． 是由
a， 唯一确定的有序实数对．
4．平面向量共线的坐标表示
对于向量 ，a∥b?
. 与a＝(3，－4)平行的单位向量是________． 错解 因为a的模等于 ，所以与a平行的单位向量就是 a，即 .错解分析 没有考虑到方向相反，也是平行的情况，
漏掉一解． 正解 因为a的模等于5，所以与a 平行的单位向量是± a，即 或