2022年人教B版（2019）必修一高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算 课件（31张PPT）

(共31张PPT)
1.1.3　集合的基本运算
1.理解两个集合交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集和并集.
2.能用维恩图表达集合的关系及运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
3.理解全集、补集的概念,会用文字语言,符号语言及图形语言来描述全集、补
集.
4.了解补集的一些简单性质,会求给定集合的补集.

交集

并集


交集与并集的运算性质
全集
定义:如果所要研究的集合都是某一给定集合的⑤　子集 ,那么称这个给定的
集合为全集.符号表示:全集通常用⑥ U 表示.
交集的运算性质 并集的运算性质
A∩B=B∩A A∪B=B∪A
A∩A=A A∪A=A
A∩ = A∪ =A
A③ B A∩B=A A④ B A∪B=B
　　

补集
文字 语言 如果集合A是全集U的一个⑦　子集 ,则由U中
⑧　不属于A 的所有元素组成的集合,称为A在
U中的补集,记作 UA
符号 语言 UA=⑨　{x|x∈U且x A}
图形 语言
运算 性质 UA U, UU=⑩ , U = U , U(
UA)= A ,A∪( UA)= U ,A∩( UA)=

判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.集合A={1,2,3,4},集合B={0,2,3},则A∪B={1,2,3,4,0,2,3}. ( 　)
2.若A∩B=C∩B,则A=C. ( 　)
设A={0,1},B={1},C={1,2},则A∩B=C∩B,但A≠C.
3.两个集合并集中元素的个数一定大于这两个集合交集中元素的个数. (
　)
如A∪A=A∩A,两者元素个数相同.
4.若A∪B=A(B≠ ),则B中的每个元素都在集合A中. (　√　)
5.无理数集就是有理数集的补集. ( 　)
6.全集是由任何元素组成的集合. ( 　)
7.不同的集合在同一个全集中的补集也不同.(　√　)
8.研究A在U中的补集时,A中可以有不属于U的元素.( 　)
某校国际班有50名学生,会讲英语的有36人,会讲日语的有20人,既会讲英语又会
讲日语的有14人.
问题
1.如何求既不会讲英语又不会讲日语的人数
提示:设U={该班50名学生},
A={该班会讲英语的学生},
B={该班会讲日语的学生},
利用维恩图求 U(A∪B).
集合的交集、并集、补集的综合运算
2.求集合的交集、并集、补集的一般方法是什么 有哪些注意点
提示:求集合的交集、并集、补集的一般方法是定义法.注意以下两点:①当集合
用列举法表示时,可借助维恩图求解;②当集合是用描述法表示的连续数集时,可
借助数轴求解.
3.集合的交集、并集、补集混合运算的运算顺序是怎样的
提示:集合的交集、并集、补集运算是同级运算.

1.在进行集合交集、并集、补集的混合运算时,有括号的先运算括号内的,然后按
照从左到右的顺序进行计算.如求( UA)∩B,先求 UA再求交集;求 U(A∪B),先
求A∪B再求其补集.
2.解决集合的交集、并集、补集运算有以下两个技巧:
(1)若所给集合是有限集,一般先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、
并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助维恩图来求解.
(2)若所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然
后进行交集、并集、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
3.集合的交集、并集、补集运算口诀如下:
交集元素仔细找,属于A且属于B;
并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;
全集U是大范围,去掉U中A元素,剩余元素成补集.
破疑典例
1.( )若U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩( UB)= (　　)
A.{x|0≤x<1}　　　 B.{x|0C.{x|x<0}　 D.{x|x>1}
思路点拨:
求出 UB 画出数轴 求得A∩( UB).
B　由题意,得 UB={x|x≤1},画出数轴,如图所示,则A∩( UB)={x|0

2.( )设全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={1,3,4,5},B={3,5,7,8}.求 UA, UB,( UA)∩( UB),( UA)∪( UB), U(A∩B).
思路点拨:
　　分析集合中元素的特征 根据集合运算的概念分别得到所求的集合.
解析　因为U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,3,4,5},B={3,5,7,8},
所以 UA={0,2,6,7,8,9}; UB={0,1,2,4,6,9};( UA)∩( UB)={0,2,6,9};( UA)∪(
UB)={0,1,2,4,6,7,8,9}.因为A∩B={3,5},所以 U(A∩B)={0,1,2,4,6,7,8,9}.
问题
1.A∪B=A的含义是什么 由A∪B=A可以得出集合A与B有怎样的关系
提示:集合B中的元素都是集合A中的元素;B A.
2.A∩B=A的含义是什么 由A∩B=A可以得出集合A与B有怎样的关系
提示:集合A中的元素都是集合B中的元素;A B.
3.借助维恩图,你能确定A∪( UA)与A∩( UA)的结果吗
提示:A∪( UA)=U,A∩( UA)= .

如何利用集合的运算性质求参数的值或取值范围
由集合的运算性质求参数的值或取值范围的思路
1.将集合的运算结果转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则
可用观察法得到不同集合之间的关系;若集合与不等式有关,则可利用数轴得到
不同集合之间的关系.
2.将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解,或解满足某些条件的
形式.
3.利用解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或取值范围时,需注意以下两
点:
(1)由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参
数的问题时,要注意这一隐含的条件.
(2)对于涉及A∪B=A或A∩B=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合
之间的关系求解,注意空集的特殊性.
破疑典例
1.( )设集合M={x|-2范围为　　　 .
思路点拨:
　　由M∪N=M知N M,再利用数轴求解.
答案　{t|t≤2}
解析　由M∪N=M得N M.
当N= 时,2t+1≤2-t,即t≤ ,此时M∪N=M成立;
当N≠ 时,由图可得
解得 综上可知,实数t的取值范围是{t|t≤2}.

2.( )设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},求使A (A∩B)成立的实
数a的取值范围.
思路点拨:
　　由A (A∩B)的含义得出A,B之间的关系,再求a的取值范围.
解析　由A (A∩B),得A B.
当A= 时,2a+1>3a-5,解得a<6,符合题意.
当A≠ 时, 解得6≤a≤9.
综上,使A (A∩B)成立的a的取值范围为{a|a≤9}.
3.( )已知全集U=R,集合A={x|x≤-a-1},B={x|x>a+2},C={x|x<0或x≥4}都是U
的子集.若 U(A∪B) C,问这样的实数a是否存在 若存在,求出a的取值范围;若
不存在,请说明理由.
思路点拨:
　　分 U(A∪B)= 和 U(A∪B)≠ 两种情况求解.
解析　存在.
①若 U(A∪B)= ,则A∪B=R,
因此a+2≤-a-1,
即a≤- ,符合题意.
②若 U(A∪B)≠ ,则a+2>-a-1,即a>- .
又因为A∪B={x|x≤-a-1或x>a+2},所以 U(A∪B)={x|-a-1又因为 U(A∪B) C,
所以a+2<0或-a-1≥4,
解得a<-2或a≤-5,即a<-2.
又因为a>- ,
所以此时a不存在.
综上,存在这样的实数a,且a的取值范围是 .

新学期开学啦!大家都高高兴兴地来到了新的学校,进入了高中的学习.你的数学
老师想了解一下同学们中考的数学成绩,让你帮忙统计一下中考数学成绩在110
分以下(少于110分)的人数.
问题
1.你打算怎么办 运用了什么数学方法
提示:110分以下的同学应该占大多数,直接统计110分以下的人数较麻烦,可先统
计110分以上(含110分)的人数,再用全班人数减去这个数就是110分以下的人数.
运用了补集的思想方法.
2.“补集思想”的原理是什么
提示: U( UA)=A,即对A的补集再求补集就是集合A.

“补集思想”的应用
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难以从正面入手
的数学问题,在解题时,可以调整思路,从问题的对立面入手,探求已知和未知的关
系,这时能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将问题解决.这就是“正难则
反”的解题策略,也是处理问题的间接化原则的体现.这种“正难则反”的策略
运用的是“补集思想”,即已知全集U,求子集A时,若直接求A较困难,则可先求
UA,再由 U( UA)=A求A.
1.运用“补集思想”解题的方法一般适用于正面考虑情况较多、问题较复杂的
时候,即至多、至少、存在唯一、不存在等的问题中.
2.用“补集思想”解含参问题的步骤:
(1)否定已知条件,考虑反面问题;
(2)求反面问题对应的参数的集合;
(3)求反面问题对应的参数的集合的补集,注意全集的范围.
拔高问题
3.已知集合A={23a或x(1)若A∩B= ,如何求出实数a的取值范围
(2)若A∩B≠ ,如何求出实数a的取值范围
提示:(1)利用数轴表示出集合A,B.
(2)利用“补集思想”.
破疑典例
1.( )已知集合A={x|x2+ x+1=0},若A∩R≠ ,则实数m的取值范围是 ( 　)
A.m<0　　　　 B.m≥4
C.0≤m<4　 D.m<0或m≥4
思路点拨:
　　求出A∩R= 时m的取值范围 求其对立面 得出A∩R≠ 时的m的
取值范围.
B　∵A={x|x2+ x+1=0},
∴集合A表示方程x2+ x+1=0的根构成的集合,假设A∩R= ,
则方程x2+ x+1=0无实数解,
∴Δ=m-4<0,
∴m<4,
又m≥0,∴0≤m<4.
∵A∩R≠ ,m≥0,
∴m≥4.
2.( )已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若三个
集合中至少有一个集合不是空集,求实数a的取值范围.
思路点拨:
　　假设三个集合均为空集,求得a的取值集合 其补集满足题目要求.
解析　假设三个集合都是空集,即三个方程均无实根,则有
即
解得- ∴当a≤- 或a≥-1时,三个方程中至少有一个方程有实根,即三个集合中至少有
一个集合不是空集.
∴a的取值范围为{a|a≤- 或a≥-1}.

如何解决集合中与交集、并集运算结合的新定义问题
利用集合的运算给出新定义,是集合中新定义问题的常见形式,如:设A,B是非空集
合,定义A*B={x|x∈(A∪B)且x (A∩B)}.
问题
1.已知A={1,2,3},B={1,3,5},如何确定A*B
提示:依题意得A∪B={1,2,3,5},A∩B={1,3},因此A*B中的元素是2,5,即A*B={2,5}.
2.已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},如何确定A*B
提示:由题意知,A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},
故A*B={x|0≤x<1或x>3}.
3.集合A*B中的元素是如何确定的
提示:集合A*B={x|x∈(A∪B)且x (A∩B)}是由并集(A∪B)和交集(A∩B)两种运
算来确定的,新定义A*B中的元素在A∪B中,但不在A∩B中,由此确定A*B中的元
素为A∪B中的元素除去A∩B中的元素后剩余的元素.

1.利用新定义将问题转化为集合的交集、并集问题.
2.进行集合的交集、并集运算时的注意事项:
(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的交集、并集的定义求解,但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合,进行交集、并集运算时,可借助数轴求解,但要注意
端点值的取到与否.
拔高问题
4.已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},计算(A*B)*B,(A*B)*A,由此能推测出什么性质
提示:由问题2知A*B={x|0≤x<1或x>3},因此(A*B)∪B={x|x≥0},(A*B)∩B={x|x>3},
∴(A*B)*B={x|0≤x≤3}.
又(A*B)∪A={x|x≥0},(A*B)∩A={x|0≤x<1},
∴(A*B)*A={x|x≥1}.
由此推测出:(A*B)*B=A,(A*B)*A=B.
5.怎样说明问题4中的结论
提示:利用维恩图说明.
破疑典例
1.( )(1)定义集合的商集运算为 = .已知集合A={2,4,6},
B= ,则集合 ∪B中的元素个数为 (　　)
A.6　　 B.7　　 C.8　　 D.9
(2)如果集合A满足若x∈A,则-x∈A,那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A=
{2x,0,x2+x},且A是对称集合,集合B是自然数集,则A∩B=　　　 .
思路点拨:
　　(1)根据题目给出的新运算求出 ,然后求 ∪B.
(2)根据新定义确定集合A,然后求A∩B.
答案　(1)B　(2){0,6}
解析 (1)由题意知,B={0,1,2}, = ,
则 ∪B= 0, , , ,1, ,2 ,
共有7个元素,故选B.
(2)由题意可知-2x=x2+x,所以x=0或x=-3.而当x=0时,不满足集合中元素的互异性,
所以舍去.当x=-3时,A={-6,0,6},所以A∩B={0,6}.
方法指导　解决集合中新定义问题的方法:
(1)要分析新定义的特点和本质,认清新定义对集合中元素的要求,结合题目要求
进行转化,并将其运用到具体的解题过程中.
(2)要充分利用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合
法等),将新定义问题转化到已学的知识中进行求解.
2.( )数集M= ,N= ,且M、N都是集合{x|0≤x≤
1}的子集,如果b-a叫做集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”,求集合M∩N的“长
度”的最小值.
思路点拨:
　　理解新定义的实质,运用集合知识结合新定义进行求解.
解析　由已知可得

解得0≤m≤ , ≤n≤1.
由题意知,当集合M∩N的“长度”最小时,集合M与N的重合部分最少,因此m=0
且n=1或n- =0且m+ =1.
当m=0且n=1时,
可得M= ,
N= ,
所以M∩N= x ≤x≤ ,
此时集合M∩N的“长度”为 - = .
当n- =0且m+ =1时,可得M= ,N= 0≤x≤ ,所以M∩N= x ≤x≤
,此时集合M∩N的“长度”为 - = .
综上,M∩N的“长度”的最小值为 .
陷阱分析　解决集合中的新定义问题的关键是对新定义的准确理解,在准确理解
的基础上与集合的相关运算相结合,从而解决问题.解题时防止对新定义理解错
误导致解题错误