2022年人教B版（2019）必修一高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其表示方法 课件(25张PPT)

(共25张PPT)
1.1　集合
1.1.1　集合及其表示方法
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的关系.
2.针对不同的具体问题,能够在自然语言和图形语言的基础上用符号语言表示集
合.
3.会用区间来表示数集.



集合
　　1.集合的含义:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象
组成一个集合(有时简称为集).一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记
作 .
2.元素:组成集合的每个对象都是这个集合的元素.
3.集合中元素的特点:①　确定性 ,②　互异性 和无序性.若两个集合中的元
素完全相同,则称它们相等.
4.元素与集合的关系:a属于集合A,用符号表示为a③　∈ A;a不属于集合A,用符
号表示为a④ A.
几种常见的数集
集合的表示方法
　　1.列举法:把集合中的元素 　一一列举出来 (相邻元素之间用逗号分隔),
并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
2.描述法:一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合
A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时,集合A可
以用它的特征性质p(x)表示为 　{x|p(x)} .这种表示集合的方法,称为特征性
质描述法,简称为描述法.
常见的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号表示 ⑤ N ⑥ N+或N* ⑦ Z ⑧ Q ⑨ R
区间及其表示
　　设a,b是两个实数,而且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 　[a,b]
{x|a≤x{x|a{x|a{x|x≥a} 半开半闭区间 　[a,+∞)
{x|x>a} 开区间 　(a,+∞)
{x|x≤a} 半开半闭区间 　(-∞,a]
{x|x 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.某班个子很高的女生虽然不多,但仍然可以组成一个集合. ( 　)
2.集合{x∈N*|x<5}是用描述法表示的一个集合. (　√　)
3. {x||x|<2}. ( 　)
4.{x|x2-5x+6=0}={2,3}. (　√　)
5.任何集合都可以用区间来表示. ( 　)
6.由1,1,2,2,3,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,2,3,3}. ( 　)



如何理解集合中元素的特点
集合中元素的特点
(1)确定性——作为一个集合中的元素,必须是确定的,也就是说,给定一个集合,这
个集合的元素也就确定了.
(2)无序性——对于一个给定的集合,集合中的元素并无先后顺序,即任何两个元
素都是可以交换顺序的.
(3)互异性——对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.这就是说,集合
中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合
中的一个元素.
破疑典例
　( )已知集合A中含且仅含有三个元素a+1,3a,a2+1,若1∈A,求实数a的值.
解析　当a+1=1时,a=0,3a=0,a2+1=1,不满足集合中元素的互异性,舍去.
当3a=1时,a= ,a+1= ,a2+1= ,符合题意.
当a2+1=1时,a=0,a+1=1,3a=0,不满足集合中元素的互异性,舍去.
综上可知,实数a的值为 .
易错警示　1.解题时易忽视集合中元素的互异性,认为a=0也符合题意,导致解题
错误.
2.解与集合相关的问题时,还要注意集合中元素的无序性,列出所有方程,防止漏
列方程导致错误.
某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以出水点为原点,建立平面直角坐标系,水
在空中形成的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分.

集合表示方法的合理选择

问题
1.此抛物线上所有点构成的集合是有限集还是无限集
提示:抛物线上有无数个点,构成的集合是无限集.
2.宜用什么方法表示此抛物线上所有点构成的集合
提示:无限集宜用描述法表示.
3.水喷出的最大高度构成的集合宜用什么方法表示
提示:宜用列举法表示.

列举法和描述法各有优缺点,应根据具体问题确定采用哪种表示方法,一般遵循
最简原则.当集合中元素较多或有无限个时,不宜采用列举法.
1.使用列举法表示集合时应注意以下几点:
(1)元素个数少且有限时,要全部列举出来,如{1,2,3,4};
(2)元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从1到1 000的所
有自然数组成的集合”可以表示为{1,2,3,…,1 000};
(3)元素个数无限但有规律时,也可以采用列举法表示,如“自然数集N”可以表
示为{0,1,2,3,…}.
2.使用描述法表示集合时应注意以下几点:
(1)写清楚代表元素的形式,如数或点等;
(2)说明该集合中元素的特征性质;
(3)不能出现未经说明的字母;
(4)所有描述的内容都要写在大括号内,用于描述的内容力求简洁、准确.
拔高问题
4.怎样确定直线y=x+1与抛物线y=-x2+4x的交点有几个
提示:可画图观察(或联立方程,解方程组).
5.怎样用列举法表示直线y=x+1与抛物线y=-x2+4x交点构成的集合
提示:联立方程求解.
破疑典例
1.( )用描述法表示下列各集合:
(1){2,4,6,8,10,12};
(2){2,3,4};
(3) .
解析　(1){x|x=2n,n∈N*且n≤6}.
(2){x|2≤x≤4,x∈N}或{x|(x-2)(x-3)(x-4)=0}.
(3) .
2.( )用适当的方法表示下列集合.
(1)被3除余2的整数组成的集合;
(2)方程(x+1)(x2-2)=0的解组成的集合;
(3)直线y=x-1,y=-x+1的交点组成的集合;
(4)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合.
思路点拨:
　　(1)类比奇数表示为x=2k+1,k∈Z的方法.(2)求出方程的解后用列举法表示.(3)
联立直线的解析式,求出交点后用集合表示.(4)结合平面直角坐标系第二象限内
点的坐标的符号特征表示.
解析　(1)被3除余2的整数可表示为3k+2,k∈Z,用集合表示为{x|x=3k+2,k∈Z}.
(2)解方程(x+1)(x2-2)=0得x=-1或x=± ,用集合表示为{-1,- , }.
(3)由 解得
故两直线的交点为(1,0),用集合表示为{(1,0)}.
(4)代表元素取有序实数对(x,y),用描述法表示为{(x,y)|x<0且y>0}.
3.( )用列举法表示下列集合.
(1)A= ;
(2)B={y|y=-x2+9,x∈Z,y∈N*};
(3)C={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.
思路点拨:
　　根据集合的表示方法,分析集合中元素的特征,用列举法表示集合.
解析　(1)要使x, 是整数,则|3-x|必是6的约数,
当x=-3,0,1,2,4,5,6,9时,
|3-x|是6的约数,
∴A={-3,0,1,2,4,5,6,9}.
(2)由y=-x2+9,x∈Z,y∈N*,可知0≤|x|≤2,且为整数.
当x=0,±1,±2时,y=9,8,5,符合题意,
∴B={9,8,5}.
(3)点(x,y)满足条件y=-x2+6,x∈N,y∈N,
则有
∴C={(0,6),(1,5),(2,2)}.
在含参数的集合中,研究参数的值(取值范围)对集合有何影响,和根据条件确定参
数的值(取值范围)是常见的问题,如何解决此类含参数的问题
问题
1.已知集合A={x|2x+a=0},若2∈A,如何确定参数a的值
提示:由2∈A得2满足限制条件2x+a=0,因此2×2+a=0,解得a=-4,故a的值为-4.
2.已知集合A={x|2x+a>0},若1 A,2∈A,如何确定参数a的取值范围
提示:∵1 A,∴2×1+a≤0,a≤-2.又∵2∈A,∴2×2+a>0,a>-4,∴-43.已知集合A={x|x=m2-n2(m,n∈Z)},如何判断3是不是集合A中的元素
提示:可以取特殊值验证,令m=2∈Z,n=1∈Z,得x=m2-n2=4-1=3,所以3∈A.

集合中含参数问题的解法

求解含参数的集合问题,若参数的取值对解题有影响,常对参数进行分类讨论.
1.对参数进行准确的逻辑划分.如在研究方程ax+b=0时:
(1)方程ax+b=0中,一次项系数a确定方程的类型,当a≠0时是一元一次方程,当a=0
时不是一元一次方程;
(2)当a≠0时,按一元一次方程求解,当a=0时,看b是不是0.
2.求参数值的问题先用条件列出等式,再解方程(组)求值,最后再用互异性检验参
数的值是否符合题意.解题时要注意:
(1)列等式时要考虑到元素的无序性,元素的无序性主要体现在:①给出对象属于
某集合,则它可能等于集合中的任一元素;②给出两集合相等,则其中的元素不一
定按顺序对应相等;
(2)元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不
相等.
破疑典例
1.( )已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围;
(3)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
思路点拨:
　　先定性:确定方程是一元一次方程还是一元二次方程;再定量:计算Δ=4-4a的
值,判断实数根的个数.
解析　(1)当a=0时,原方程为2x+1=0,此时x=- ,与题意相符;
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,由Δ=4-4a=0得a=1,原方程的解为x1=x2
=-1,与题意相符.
故当a=0或a=1时,原方程只有一个解或两个相等的解,此时A中只有一个元素.
(2)A中至多有一个元素,则A中只有一个元素或没有元素.当Δ=4-4a<0,即a>1时,原
方程无实数解.
结合(1)知,当a=0或a≥1时,A中至多有一个元素.
(3)A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素,当有两个元素时,由Δ>0得a<1,
结合(1)可知当a≤1时,A中至少有一个元素.
陷阱分析　当二次项系数含参数时,应分其为0和不为0两种情况来讨论,防止漏
掉二次项系数为0的情况导致解题错误.对含有“至多”“至少”等不确定字眼
的问题,要能准确理解其含义,防止漏解导致错误.
2.( )实数集A满足条件:1 A,若a∈A,则 ∈A.
(1)若2∈A,求A中一定含有的其他元素;
(2)集合A能否为单元素集 若能,求出A;若不能,说明理由;
(3)若a∈A,求证:1- ∈A.
解析　(1)若2∈A,由于2≠1,则 ∈A,即-1∈A.
∵-1∈A,-1≠1,
∴ ∈A,
即 ∈A.
∵ ∈A, ≠1,
∴ ∈A,即2∈A.
由以上可知,若2∈A,则A中一定含有另外两个元素-1和 .
(2)不能.理由如下:
假设A是单元素的实数集,则有a= ,即a2-a+1=0.
∵Δ=(-1)2-4×1×1=-3<0,
∴方程a2-a+1=0没有实数根,
∴A不能为单元素集.
(3)证明:∵若a∈A,a≠1,则 ∈A,
∴ ∈A,即1- ∈A.
　　3.求参数的取值范围时,先用条件列出不等式(组),再解不等式(组)得到参数
的取值范围,最后再用互异性检验参数的取值范围是否符合题意.