2022年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数1.2指数函数的性质与图像课件新人教B版必修第二册(共21张PPT)

(共21张PPT)
4.1.2　指数函数的性质与图像
1.理解指数函数的概念.
2.能用描点法或借助画图工具作出指数函数的图像.
3.探索并理解指数函数的单调性与图像的特点,并掌握指数函数图像的性质.
4.体会直观想象的过程,加强数学抽象、数学运算素养的培养.
1 |指数函数
一般地,函数① y=ax 称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
指数函数的表达式中,指数x是自变量,定义域是② R .
2 |指数函数的图像和性质
函数 y=ax(a>0且a≠1)
a>1 0图像
定义域 R
值域 (0,+∞)
过定点 过定点③　(0,1) ,即x=0时,y=1
函数值 的变化 当x>0时,y>1; 当x<0时,④　00时,0当x<0时,y>1
单调性 在R上是增函数 在R上是⑤　减函数
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.函数y=2x+1是指数函数. ( 　)
提示:因为指数x+1不是自变量,所以函数y=2x+1不是指数函数.
2.若指数函数f(x)=(2a+1)x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为(0,+∞).
(　√　)
提示:由题意可知2a+1>1,解得a>0.
3.若f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=10x,则当x<0时,f(x)= . (　√　)
4.y=3x与y=3-x的图像关于y轴对称. (　√　)
5.函数y=(sin 30°)x在定义域上是增函数.( 　)
提示:sin 30°= ,故函数y=(sin 30°)x在定义域上是减函数.
6.函数y=2x+1的图像可以由y=2x的图像向右平移1个单位长度得到. ( 　)
提示:应该是向左平移1个单位长度.
1 |与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
大家对“水痘”应该并不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时
间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的
一种.我们来看某种球菌的分裂过程:由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8
个,……
问题
1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的函数关系式是什
么
提示:y=2x+1.
2.上述求出的函数关系式中,x的范围是什么 值域是什么
提示:x∈N*;值域是{22,23,24,…}.
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0且a≠1):
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同;
(2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函
数y=af(x)的值域;
(3)求函数y=f(ax)的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即u=ax的值
域,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,得到y=f(ax)的定义域;
(4)求函数y=f(ax)的值域,需先利用函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围,
再确定函数y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.
拔高问题
3.求与指数函数有关的复合函数的值域时要注意什么
提示:要注意与求其他函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合,同时注意
指数函数的值域为(0,+∞),求解时要准确运用指数函数的单调性.
1.(★★☆)(1)函数f(x)= + 的定义域为 (　A　)
A.(-3,0]　
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]　
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
(2)函数y=4x+2x+1+1的值域为　(1,+∞) .
思路点拨:
(1)由函数式有意义,列出不等式组,不等式组的解集即为所求.
(2)利用换元法,设2x=t(t>0),则y=t2+2t+1(t>0),求出y=t2+2t+1(t>0)的值域即可.
解析　(1)由题意得自变量x应满足
解得-3故选A.
(2)设2x=t,t>0,则y=t2+2t+1(t>0).因为y=t2+2t+1=(t+1)2(t>0),所以y>1,即y=4x+2x+1+1的
值域为(1,+∞).
2.(★★☆)求函数y= 的定义域和值域.
思路点拨:
根据指数函数的性质进行求解.
解析 由x-4≠0,得x≠4,所以函数的定义域为{x|x∈R,且x≠4}.
因为 ≠0,
所以 ≠1,故函数的值域为{y|y>0,且y≠1}.
延伸探究:
1.(★★☆)将原函数改为y= ,如何求函数的定义域和值域
提示:由x-2≥0,得x≥2,所以函数的定义域为{x|x≥2}.
当x≥2时, ≥0,又0< <1,所以y= 的值域为{y|02.(★★☆)将原函数改为y= ,如何求函数的定义域和值域
提示:∵1- ≥0,
∴ ≤1,解得x≥0,
∴函数的定义域为[0,+∞).
令t=1- (x≥0),则0≤t<1,∴0≤ <1,∴函数的值域为[0,1).
2|与指数函数有关的复合函数的单调性
1.形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的单调性的判断方法:当a>1时,函数u=f(x)的单调
增(减)区间即函数y=af(x)的单调增(减)区间;当0间即函数y=af(x)的单调增(减)区间.
2.形如y=f(ax)(a>0且a≠1)的函数的单调性的判断方法:通过内层函数u=ax的取值
范围确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的单调区间,再根
据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调区间.
破疑典例
(★★☆)函数y= 的单调增区间为　(-∞,2] ,单调减区间为　[2,+∞) .
思路点拨:
令u(x)=x2-4x,先确定u(x)=x2-4x的单调性,再确定y= 的单调性,即可确定函数y=
的单调区间.
解析　令u(x)=x2-4x,则y= ,
∵u(x)=x2-4x在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,
y= 在R上单调递减,
∴y= 在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.
3|比较指数幂的大小
指数幂的大小比较问题的类型及解法
指数幂的大小比较可以归纳为以下两类:
(1)底数相同:利用指数函数的单调性解决.
(2)底数不同:采用中间量法.一般取中间量1,其中一个大于1,另一个小于1;或者以
其中一个指数幂的底数为底数,以另一个指数幂的指数为指数,例如,要比较ac与bd
的大小,可取ad为中间量,ac与ad利用指数函数y=ax(a>0且a≠1)的单调性比较大小,
bd与ad利用函数的图像比较大小.
破疑典例
(★★☆) (1)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是 ( C　)
A.aC.b(2)下列大小关系正确的是 ( B　)
A.0.43<30.4<π0　 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0　 D.π0<30.4<0.43
解析　(1)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,∴1.50.6>0.60.6,又函数y=0.6x在(-∞,+∞)上是减函
数,且1.5>0.6,∴0.61.5<0.60.6,∴0.61.5<0.60.6<1.50.6,即b(2)0.43<0.40=1=π0=30<30.4,故选B.
4|指数方程与不等式的解法
1.指数方程的解法:
(1)对于af(x)=b型的指数方程,通常将方程两边化为同底指数幂的形式,利用指数函
数的单调性求解.
(2)解复杂的指数方程时常用换元法,转化为解二次方程.用换元法时要特别注意
“元”的范围,用二次方程求解时,要注意对二次方程的根进行取舍.
2.解指数不等式的基本方法:
先化为同底指数式,再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来解,注意底数
对不等号方向的影响.
1.(★★☆)解下列方程.
(1)81×32x= ;(2)22x+2+3×2x-1=0.
解析　(1)∵81×32x= ,∴32x+4=3-2(x+2),∴2x+4=-2(x+2),解得x=-2.
(2)∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x(t>0),则原方程可化为4t2+3t-1=0,解得t= 或t=-1(舍去),
∴2x= ,解得x=-2.
2.(★★☆)解下列不等式.
(1) ≤2;
(2) < (a>0,且a≠1).
解析　(1)∵2= ,∴原不等式可以化为 3x-1≤ -1.
∵y= 在R上是减函数,
∴3x-1≥-1,解得x≥0,
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)分情况讨论:
①当0x2+6,
∴-3x>5,解得x<- ;
②当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,∴x2-3x+1∴-3x<5,解得x>- .
综上所述,当0当a>1时,原不等式的解集为 .