2022年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1实数指数幂及其运算课件新人教B版必修第二册 课件 (共14张PPT)

(共14张PPT)
4.1　指数与指数函数
4.1.1　实数指数幂及其运算
1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质.
2.根据具体实例,了解实数指数幂的拓展过程.
3.掌握实数指数幂的运算性质.
1 |根式
1.a的n次方根的定义
一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得① xn=a ,则x称为a
的n次方根.
2.a的n次方根的表示(n>1,且n∈N*)
n的奇偶性 a的n次方根的符号表示 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ② ± [0,+∞)
3.根式的定义
当 有意义的时候, 称为根式,n称为③　根指数 ,a称为被开方数.
4.根式的性质(其中n>1,且n∈N*)
(1)( )n=a.
(2)当n为奇数时, =a;当n为偶数时, =④　|a| .
2 |分数指数幂
正分数 指数幂 规定: =( )m= (a>0,m,n∈
N*,n>1)
负分数 指数幂 规定: = =⑤　 　(a>0,
0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,
0的负分数指数幂没有意义
(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q);
(2)(as)t=⑥ ast (a>0,s,t∈Q);
(3)(ab)s=⑦ asbs (a>0,b>0,s∈Q).
3 |有理指数幂的运算法则
4 |实数指数幂
一般地,当a>0且t是无理数时,at都是一个确定的⑧　实数 .因此,当a>0,t为
任意实数时,可以认为实数指数幂at都有意义.
可以证明,有理指数幂的运算法则同样适用于无理指数幂.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.实数a的奇次方根只有一个. (　√　)
2.任意实数都有两个偶次方根,它们互为相反数. ( 　)
提示:负数没有偶次方根.
3.当n∈N*时,( )n=-2. ( 　)
提示:当n为偶数时, 没有意义.
4.0的任意次方根都为0. (　√　)
5.( )n中实数a的取值范围是任意实数. ( 　)
提示:当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a≥0.
6.分数指数幂与根式可以相互转化,如 = . ( 　)
提示: =
7. ∈R. (　√　)
提示:底数a=2>0,α为无理数 ,由无理数指数幂的含义得, 是一个确定的实数,
故结论正确.
1 |利用根式的性质化简与求值
利用根式的性质进行化简与求值的思路及注意点:
1.思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简
或求值.
2.注意点:正确区分( )n与 两式,( )n已暗含了 有意义,根据n的奇偶性不
同可知a的取值范围; 中的a可以是全体实数,当a<0时, 的正负取决于n的奇
偶性.
(★★☆)(1)已知 有意义,化简 (n∈N*);
(2)化简 (a≤1).
思路点拨:
根指数是奇数的,直接求出结果,根指数是偶数的,先判断被开方数的底数的符号,
如果不能唯一确定,那么可分类表示.
解析　(1)∵ 有意义,∴π-x>0,∴x-π<0.
当n为偶数时,
=|x-π|=π-x;
当n为奇数时, =x-π.
综上可知,
=
(2)∵a≤1,
∴ =|3a-3|
=3|a-1|=3-3a.
2|指数幂的化简与计算
1.指数幂运算的原则与技巧:
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,要先化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂
的形式表示,便于利用指数幂的运算法则.
2.解决条件求值问题的一般方法——整体代入法:
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取
值未知或不易求出,这时可将所求代数式进行恰当的变形,构造出与已知条件相
同的结构,从而通过“整体代入法”求出代数式的值.利用“整体代入法”求值
时常用的变形公式:(1)a±2 +b=( ± )2;(2)( + )( - )=a-b;(3) + =( +
)(a- +b);(4) - =( - )(a+ +b).
1.(★★☆)将下列根式化成分数指数幂的形式.
(1)b3· ;(2) .
思路点拨:
首先把根式转化为分数指数幂,然后利用指数幂的运算法则进行化简计算.
解析　(1)b3· =b3· = .
(2) =
= = =
= = .
2.(★★☆)计算: × (a>0,b>0).
解析　原式= · · · · = a0b0= .
导师点睛　进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数
为分数,化带分数为假分数进行运算,便于进行乘、除、乘方、开方运算,以达到
化繁为简的目的.
3.(★★★)已知 + = ,求下列各式的值.
(1)a2+a-2;(2) .
解析　(1)将 + = 两边平方,得a+a-1+2=7,∴a+a-1=5,
再将a+a-1=5两边平方,得a2+a-2+2=25,故a2+a-2=23.
(2)由(1)得a+a-1=5,由于 - =( )3-( )3,所以原式
=
=a+a-1+1=5+1=6.
解题模板 解决条件求值问题的基本步骤:(1)找条件式和所求式之间的关系;(2)
化简;(3)代值运算.求值过程中要注意平方差公式、立方差公式以及一元二次方
程中根与系数的关系的灵活应用.