2022年新教材高中数学第三章函数3_4函数的应用一数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点课件新人教B版必修第一册 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
3.3　函数的应用(一)
3.4　数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
1.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.
2.了解如何从现实生活中发现问题,并通过数学建模解决实际问题.



常见的函数模型
(1)①　直线　 型:即一次函数模型;
(2)②　抛物线　 型:即二次函数模型,二次函数的最值问题是高考中的永恒话题,
现实生活中的最优、最省等问题也离不开二次函数;
(3)③　分段函数 型:由于实际问题在不同的范围内有不同的理解和意义,因此
这种模型的应用也比较广泛.
函数应用问题的解法流程

数学建模活动流程

判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若一辆汽车匀速行驶2 h,路程为140 km,则该汽车0.5 h行驶了35 km. (　√　)
2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则:

(1)甲比乙先出发. ( 　)
(2)乙比甲跑的路程多. ( 　)
(3)甲、乙两人的速度相同. ( 　)
(4)甲先到达终点. (　√　)
商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x
(单位:元/千克)满足关系式y= +10(6-x),其中3问题
1.若a>0,能否判断函数y= +10(6-x)的单调性
提示:能.当a>0时,y= 与y=10(6-x)在(3,6)上均为减函数,从而y= +10(6-x)在
(3,6)上为减函数.
2.当销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.如何确定函数的解析式
提示:依题意得x=5时,y=11,即 +10=11,解得a=2,所以函数的解析式为y= +10
(6-x)(3-x<6).

如何解决已知函数模型的实际应用问题
在实际问题中,涉及的两个变量之间的关系大多符合已知函数模型,如一次函
数、二次函数、反比例函数等,解决这种函数应用问题的常见步骤如下:
1.利用待定系数法求出函数解析式;
2.根据函数解析式,结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题.
在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.在根据实际问题得到二次函数的
解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最
值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
例如　某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销
量m(件)与每件商品的售价x(元)满足一次函数m=162-3x.若要每天获得最大的销
售利润,则每件商品的售价应定为 (　　)
A.30元　 B.42元
C.54元　 D.越高越好
解析　设日销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x),30≤x≤54,将上式配方得y=-3(x-4
2)2+432,所以当x=42时,利润最大.
答案 B
破疑典例
　( )某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利
润列成下表:
投资A种商
品金额(万
元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万
元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商
品金额(万
元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万
元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,请你帮助制订一个资金投入方
案,使该经营者获得最大纯利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大
纯利润(结果保留两位有效数字).
思路点拨:
先利用已知数据画出散点图,然后根据散点图的形状选择函数模型,结合条件求
出函数的解析式及定义域,最后由函数的解析式解决相关问题.
解析　以投资金额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,
如图所示.
由散点图可以看出A种商品所获纯利润y1(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用二次函数模型拟合.
取最高点(4,2),设y1=a(x-4)2+2(a≠0),把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.
15,所以y1=-0.15(x-4)2+2(0B种商品所获纯利润y2(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用一次函数
模型拟合.
设y2=kx+b(k≠0),将点(1,0.25)和(4,1)代入,
得 解得
所以y2=0.25x(0设下个月投入A、B两种商品的资金分别为xA、xB(万元),获得的纯利润分别为
yA、yB(万元),总利润为W(万元),
则xA+xB=12,
W=yA+yB
=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,
所以W=- + (08.8,
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投入A种商品,8.8万元投入B种商品,可获得
最大纯利润,最大纯利润约为4.1万元.

某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台,现销售给A地10台,B
地8台.已知从甲地调运一台机器至A地、B地的费用分别为400元和800元,从乙地
调运一台机器至A地、B地的费用分别为300元和500元.
问题
1.设从甲地调运x台机器至A地,能否确定这种机器的调配情况
提示:能.甲地调运x台机器至A地,调运(12-x)台机器至B地,乙地调运(10-x)台机器
至A地,乙地调运(x-4)台机器至B地.
2.若从甲地调运x台机器至A地,能否确定x的取值范围
提示:能.根据实际意义得,x≥0,12-x≥0,10-x≥0,x-4≥0,x∈N,解得4≤x≤10且x∈N.
3.设从甲地调运x台至A地,如何确定总费用y(元)关于台数x的函数解析式
提示:依题意有y=400x+800(12-x)+300(10-x)+500(x-4)=-200x+10 600(4≤x≤10,且x∈N).
如何解决未知函数模型的实际应用问题

1.解决未知函数模型的实际问题时,主要抓住四点:求什么,设什么,列什么,限制什
么.
(1)“求什么”就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务,通常表示为函数值.
(2)“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素,找出变化的根源,通常设
变化的根源为自变量.
(3)“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式,将函数值表示为自变量与已知
量,直至求出函数解析式.
(4)“限制什么”就是指自变量应满足的限制条件,不仅要考虑自变量是否有意
义,还要考虑用自变量表示的其他量是否有意义,另外还要考虑变量的实际含义,
如整数解等.
2.建立函数模型解决实际问题的步骤:
(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,可用
x,y分别表示问题中的变量;
(2)建立函数模型:将变量y表示成x的函数,注意函数的定义域;
(3)求解函数模型;
(4)给出实际问题的解.
拔高问题
4.若总运费不超过9 000元,如何确定有几种调运方案
提示:令y≤9 000,可得x≥8,
∵x∈[4,10],x∈N,
∴x=8或9或10.故有3种方案使得总运费不超过9 000元.
5.如何确定总运费最低的调运方案及最低的总运费
提示:y=-200x+10 600是减函数,且x∈[4,10],由此可知当x=10时,总运费最低,最低
的总运费为8 600元.调运方案:甲地调运10台至A地,调运2台至B地;乙地6台全调
运至B地.
破疑典例
1.( )要在墙上开一个上部分为半圆,下部分为矩形的窗户(如图),在窗框为定
长l的条件下,要使窗户的透光面积S最大,窗户应具有怎样的尺寸

思路点拨:
选择适当的自变量与函数值,利用各量之间的关系求出函数的解析式与定义域,
从而解决问题.
解析　由题意得窗框总长l= x+x+2y,
∴y= ,
∴S= x2+xy= x2+x· =- + .
由
可得x∈ .
所以当x= 时,S最大,且Smax= ,此时y= .
所以当x= ,y= 时,窗户的透光面积最大.
易错警示　解题时要注意求定义域,不仅要使得自变量表示的量有意义,如本题
中x>0,还要使得自变量表示的其他量也有意义,如 >0等,防止出现定义
域求错导致解题错误.
2.( )商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价
越高,购买人数越少.把购买人数为零时的标价称为无效价格,已知无效价格为每
件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以高于成本价的价格(标价)
出售.
(1)若商场要获得最大利润,则羊毛衫的标价应定为每件多少元
(2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润
的75%,那么羊毛衫的标价应为每件多少元
思路点拨:
选择自变量与函数值 求出解析式与定义域 利用函数知识解决实际问题.
解析　(1)设购买人数为n,羊毛衫的标价为每件x元,利润为y元,
则x∈(100,300],可设n=kx+b,易知k<0,由题意知0=300k+b,即b=-300k,∴n=k(x-300),
∴y=k(x-300)(x-100)=k(x-200)2-10 000k(x∈(100,300]).
∵k<0,∴当x=200时,y最大,ymax=-10 000k,即若商场要获得最大利润,则羊毛衫的标
价应定为每件200元.
(2)由题意及(1),知k(x-100)·(x-300)=-10 000k·75%,
化简得x2-400x+37 500=0,解得x=250或x=150,
所以商场要获得最大利润的75%,羊毛衫每件的标价应为250元或150元.
如何利用分段函数模型解决实际应用问题
学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,在40
min的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:min)之间的关系满足如图所示的
图像.当x∈(0,12]时,图像是二次函数图像的一部分,其中顶点A的坐标为(10,80),
图像过点B(12,78);当x∈[12,40]时,图像是线段BC,其中点C的坐标为(40,50).
问题
1.由图像确定注意力指数y与听课时间x之间的变化情况.
提示:由题中图像知,当x∈(0,10]时,y随x的增加而增大;当x∈(10,40]时,y随x的增加
而减小.
2.如何确定当x∈(0,12]时,函数f(x)的解析式
提示:当x∈(0,12]时,依题意可设f(x)=a(x-10)2+80(a≠0).因为该部分图像过点B(12,
78),将点B的坐标代入上式,解得a=- ,所以f(x)=- (x-10)2+80(03.如何确定当x∈(12,40]时,函数f(x)的解析式
提示:当x∈(12,40]时,设f(x)=kx+b(k≠0).因为线段BC过点B(12,78),C(40,50),将它
们的坐标分别代入上式,得方程组 解得 所以f(x)=-x+90(1240).

分段函数的解析式由几个不同的函数解析式组成,根据自变量取值范围的不同,
由题设条件确定出不同的函数解析式.
分段函数模型应用的关键是确定分段的边界点,即明确自变量的取值区间,对每
一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式.需注意分段函数的最值是各区间上
所有最值中的最值.要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图像求解.
应用分段函数时的三个注意点:
1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
3.分段函数值域的求法:逐段求函数值的范围,经过比较后再下结论.
拔高问题
4.如何确定函数f(x)的解析式
提示:将函数用分段形式表示为f(x)=
5.根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.教师在什么时间段安排
核心内容教学,能使得学生学习效果最佳
提示:由题意,得
或
解得4故老师在x∈(4,28)时间段安排核心内容教学,能使得学生学习效果最佳.
破疑典例
1.( )某市居民自来水收费标准如下:当每户每月用水量不超过4立方米时,每
立方米1.8元;当每户每月用水量超过4立方米时,超过部分每立方米3.0元.某月
甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x立方米、3x立方
米.
(1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水
费.
思路点拨:
根据题意确定自变量的分段情况,在每一段范围内求函数的解析式,从而得到分
段函数,利用分段函数解决相关问题.
解析　(1)当甲的用水量不超过4立方米,即5x≤4时,x≤ ,乙的用水量也不超过4
立方米,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;
当甲的用水量超过4立方米,乙的用水量不超过4立方米,即3x≤4,且5x>4时, ,
y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8;
当乙的用水量超过4立方米,即3x>4时,x> ,y=2×4×1.8+(3x-4)×3+(5x-4)×3=24x-9.
6.
所以y=
(2)设y=f(x),
由(1)知y=f(x)在各段区间上均单调递增,
因此,当x∈ 时,y≤f <26.4;当x∈ 时,y≤f <26.4;
当x∈ 时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.
所以甲户该月的用水量为5×1.5=7.5(立方米),水费为4×1.8+3.5×3=17.7(元);
乙户该月的用水量为3×1.5=4.5(立方米),水费为4×1.8+0.5×3=8.7(元).
2.( )提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况
下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上
的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/时;当车流密度不
超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是
车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:
辆/时, f(x)=xv(x))可以达到最大 并求出最大值.(精确到1辆/时)
思路点拨:
自变量取不同值时,函数值有不同的求法 选分段函数模型 利用分段函数
解决问题.
解析　(1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60;
当20设v(x)=ax+b(a≠0),
由已知得
解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)=
(2)由题意及(1)可得
f(x)=
当0≤x≤20时, f(x)为增函数,
故当x=20时, f(x)取得最大值,最大值为60×20=1 200;
当20所以当x=100时, f(x)在区间(20,200]上取得最大值,最大值为 .
综上,当x=100时, f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/时.