2022年新教材高中数学第三章函数1.2函数的单调性课件新人教B版必修第一册(共21张PPT)

(共19张PPT)
3.1.2　函数的单调性
1.理解单调函数的定义,理解增函数、减函数的定义.
2.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率.
3.能用定义或应用平均变化率判断函数的单调性.
4.理解函数的单调性并能进行简单应用.

函数的最值
　　一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对任意x∈D,都有f(x)≤f(x0),
则称f(x)的最④　大 值为f(x0);如果对任意x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称f(x)的最⑤
　小 值为f(x0).
增、减函数的概念
函数的平均变化率与函数单调性的关系
　　一般地,若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=
f(x2), = ,则:
(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是 ⑥　> 0在I上恒成立;
(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是 ⑦　< 0在I上恒成立.
一般地,当x1≠x2时,称 = 为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x11>x2时)上的平均变化率.

判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.增、减函数概念中的“任意x1,x2”可以改为“存在x1,x2”. ( 　)
2.x1,x2为f(x)的定义域内任意两个不相等的实数,且函数f(x)满足 >0,则f
(x)在定义域内为增函数. (　√　)
3.x1,x2是f(x)定义域内的任意两个实数,x1≠x2且[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,则f(x)在定义域
内为减函数. (　√　)
4.求平均变化率时,Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),Δx,Δy的值可正可负也可以为零. (
　)
5.若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y=f(x)的最大值是f(1). ( 　)
函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,只说明[1,3]是函数y=f(x)的单调递减区间,但是
函数y=f(x)在整个定义域上的最大值不一定是 f(1).
6.若函数y=f(x)在定义域上有f(1)根据函数单调性的定义,函数y=f(x)定义域中的任意两个值x1,x2,Δx=x2-x1>0,都有Δy
=y2-y1>0,才能确定函数y=f(x)是定义域上的增函数,不能由两个特殊的量来确定.
7.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.
( 　)
反例:f(x)=
8.函数f(x)= 在定义域上是减函数. ( 　)
函数f(x)= 为非连续函数,定义域不连续,在整个定义域上不单调,所以错误.

函数单调性的判定与证明
判断函数单调性的常用方法
1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下
结论”进行判断.
单调性判断的等价结论:
当x∈D时,f(x)是增函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 >0.
当x∈D时,f(x)是减函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 <0.
2.图像法.根据函数图像的升降情况进行判断.
3.直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比
例函数的单调性均可直接得出.
4.复合函数单调性的判断如下:
(1)若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f(g(x))为增函
数;
(2)若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f(g(x))为
减函数.
列表如下:
　　复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时递增,
相异时递减.
u=g(x) y=f(u) y=f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
破疑典例
1.( )利用定义证明下列函数的单调性:
(1)f(x)=x3在R上是增函数;
(2)f(x)= 在[0,+∞)上是增函数.
思路点拨:
利用定义证明函数的单调性,可通过作差、变形、判断符号来解决.
证明　(1)任取R上的两个实数x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)= - =(x1-x2)·( +x1x2+ )=(x1-x2) ,
∵x1又∵ ≥0, ≥0,
且x1=x2=0时等号同时成立,
∴ + >0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)∴f(x)=x3在R上是增函数.
(2)任取[0,+∞)上的两个实数x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)= -
=
= .
∵0≤x1∴x1-x2<0, + >0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)= 在[0,+∞)上是增函数.
2.( )设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒
成立,已知f(2)=1,且当x>1时, f(x)>0.
(1)求f 的值;
(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明.
思路点拨:
抽象函数问题解题的关键是根据结论对x,y进行赋值,通过赋值解决.
解析　(1)对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,
∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.
当x=2,y= 时,有f =f(2)+f ,即f(2)+f =0,又f(2)=1,∴f =-1.
(2)y=f(x)在(0,+∞)上为增函数.证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1∵ >1,∴f >0,即f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
　　已知函数f(x)为定义在R上的增函数.
问题
1.如何解不等式f(x)提示:f(x)2.如何解不等式f(1-x)提示:f(1-x)3.若函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,如何解不等式f(x)提示:原不等式等价于
利用函数的单调性解不等式

1.利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱
掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.
2.解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤:
(1)将不等式化为f(x1)(2)若函数f(x)是定义域D上的增函数,则x1,x2∈D,且x1的减函数,则x1,x2∈D,且x1>x2.
破疑典例
1.( )已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)值范围是 (　　)
A. 　　 B.
C.(0,2)　 D.(0,+∞)
思路点拨:
利用单调性结合定义域去掉“f ”,进而求解不等式组.
B　函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
则有 解得 2.( )在疑难1破疑典例2的条件下解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.
思路点拨:
利用单调性解不等式.
解析　∵f =-1,
∴f(8x-6)-1=f(8x-6)+f =f =f(4x-3),
∴f(2x)>f(4x-3),
∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,
∴ 解得 ∴不等式的解集为 x

(1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1
0)恒成立求参数的取值范围.
(2)利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图像被对称轴一分为二,可根
据对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)
求参数的取值范围.
注意:若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是
单调的.
对于分段函数单调性求参问题,一般从两方面考虑:一方面每个分段区间上函数
具有相同的单调性,由此列出相关式子; 另一方面要考虑分界点处函数值之间的
大小关系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围.
利用单调性求参数的取值范围
根据函数的单调性求参数的取值范围的方法
破疑典例
1.( )若函数f(x)= 是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值
范围是 (　　)
A.(-2,0)　　 B.[-2,0)
C.(-∞,1]　 D.(-∞,0)
思路点拨:
结合分段函数的单调性,讨论每段函数满足减函数时的条件以及两段函数分界点
处函数值的关系列出不等式组求解.
B f(x)=
是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则
解得-2≤a<0.
2.( )(1)已知f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)已知f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数,求实数a的取值范围.
解析　(1)要使f(x)在(-∞,4]上是减函数,
需满足x=- ≥4,
解得a≤-3.
(2)任取x1,x2∈(0,1),且x1则f(x1)-f(x2)=(- +ax1)-(- +ax2)=( - )+a(x1-x2)=(x2-x1)( +x1x2+ -a).
∵f(x)在(0,1)上是增函数,
∴f(x1)-f(x2)<0.
∵0∴x2-x1>0, +x1x2+ <3,
∴ +x1x2+ -a<0,
∴a> +x1x2+ ,∴a≥3.