2022年新教材高中数学第三章函数1.1函数及其表示方法课件新人教B版必修第一册(共34张PPT)

(共34张PPT)
3.1　函数的概念与性质
3.1.1　函数及其表示方法
1.理解函数的概念,了解函数构成的三要素.
2.会求一些简单函数的定义域、值域.
3.会用列表法、图像法、解析法来表示一个函数.


函数的概念 一般地,给定两个①　非空实数集A与B ,以及
对应关系f,如果对于集合A中的②　每一个实数x
,在集合B中都有③　唯一确定 的实数y与x
对应,则称④ f 为定义在集合A上的一个函数
函数的记法 记作⑤ y=f(x),x∈A
定义域 x称为自变量,自变量取值的⑥　范围 (即数
集A)称为这个函数的定义域
值域 所有函数值组成的集合⑦　{y∈B|y=f(x),x∈A}
称为函数的值域
函数的概念
　　特别提醒:对于函数的概念,需注意以下几点:
①集合A,B都是非空实数集;②集合A中元素的无剩余性;③集合B中元素的可剩余
性,即集合B不一定是函数的值域,函数的值域一定是B的子集.
同一个函数
　　一般地,函数有三个要素:定义域,对应关系与值域.如果两个函数表达式表示
的函数⑧　定义域 相同,⑨　对应关系 也相同(即对自变量的每一个值,两个
函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一个函
数.
特别提醒:两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相
同.
函数的表示方法
表示方法 定义
解析法 用⑩　代数式或解析式 来表示函数的方法
列表法 用 　列表 的形式给出函数的对应关系的方
法
图像法 用 　函数的图像 表示函数的方法
分段函数
(1)概念
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的
　对应方式 ,则称其为分段函数.
(2)三要素
①定义域:每一段上自变量的取值范围的并集.
②值域:所有函数值组成的集合.
③对应关系:在每一段上的对应关系不同.
取整函数与常数函数
函数 代表形式 定义域 值域
(高斯)取整函数 f(x)=[x] R Z
常数函数 f(x)=C R C(常数)
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. (　√　)
2.对于函数f(x),x1,x2∈A,当x1>x2时,可能有f(x1)=f(x2). (　√　)
3.函数的定义域和值域一定是无限集. ( 　)
定义域和值域可以是有限集也可以是无限集.
4.根据函数的概念,定义域中的一个自变量x可以对应着不同的函数值y. (
　)
根据函数的概念可知,对于定义域中的一个x值在值域中只有唯一的y值和它对应.
5.f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量. (　√　)
6.y= 是函数. ( 　)
因为x的取值范围为空集,所以不是函数.
7.利用解析法可以表示任意的函数. ( 　)
8.函数的图像一定是定义域上一条连续不断的曲线. ( 　)
9.分段函数就是多个函数. ( 　)
10.任何一个函数都能用列表法表示. ( 　)


如何求函数的定义域
已知函数解析式求定义域
(1)如果函数式是整式,那么在设有指明它的定义域的情况下,函数的定义域是实
数集R.
(2)如果函数式是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果函数式是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零
的实数的集合.
(4)如果函数式是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分
式子都有意义的实数的集合(即求各部分范围的交集).
(5)对于由实际背景确定的函数,其定义域要受实际问题的制约.
求抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域,要明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3)f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的
取值范围.
(5)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为B,
求φ(x)的取值范围,此范围就是f(x)的定义域.
(6)已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围
为C,求出φ(x)的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就
是f(g(x))的定义域.
破疑典例
1.( )求下列函数的定义域:
(1)f(x)= + ;
(2)f(x)= ;
(3)y= ;
(4)y= - + .
思路点拨:
求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围,可考虑列不等
式或不等式组.
解析　(1)要使函数有意义,只需 解得 ≤x≤ ,则函数的定义域为 x
≤x≤ .
(2)要使函数有意义,只需 解得-2≤x≤2,且x≠1.则函数的定义域为{x|-2
≤x≤2且x≠1}.
(3)依题意得 解得x>-2,且x≠-1,
所以函数y= 的定义域为{x|x>-2且x≠-1}.
(4)依题意得
解得- ≤x<2,且x≠0,
所以函数y= - + 的定义域为 x - ≤x<2且x≠0 .
2.( )(1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域;
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域;
(3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(3x)的定义域;
(4)若函数f(x)的定义域为[0,1],求函数g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定义域.
思路点拨:
根据抽象函数定义域的实质列出不等式(组)求解,对于含参数的抽象函数注意分
类讨论.
解析　(1)由题意知函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同,∵1≤x≤
3,∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1],∴f(2x+1)的定义域为[0,1].
(2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
∴f(x)的定义域为[3,7].
(3)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
∴3x∈[3,7],即x∈ ,
∴f(3x)的定义域为 .
(4)依题意有

∵m>0,∴-m<0,1-m<1+m,但m与1-m的大小不确定,∴对m与1-m的大小讨论.
①若m=1-m,即m= ,则x=m= ;
②若m<1-m,即m< ,则m≤x≤1-m;
③若m>1-m,即m> ,则x∈ ,与题意不符.
综上,0　　已知函数y=x2+2x,x∈[2,5].
问题
1.如何求此函数的值域
提示:利用配方法或图像法.
2.若y=x+2 ,x∈[2,5],如何求函数的值域
提示:利用换元法.

如何求函数的值域
求函数值域的方法
1.观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函
数的值域.
2.图像法:通过画出函数的图像,由图形的直观地获得函数的值域.
3.配方法:若函数是二次函数形式,可通过配方再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最大(小)值的求法.
4.换元法:通过适当换元,可将复杂的函数化为(几个)简单的函数,从而利用基本函
数自变量的取值范围求函数的值域.
5.分离常数法:此方法主要是针对解析式是有理分式的函数,即将有理分式转化为
“反比例函数”的形式,便于求值域.
拔高问题
3.形如y= 的函数如何求其值域呢
提示:①利用配方法;②将原函数化为yx2+yx+y-1=0的形式,利用方程思想求y的范围.
4.如果函数变为y= ,那么应该如何求其值域呢
提示:利用方程思想求解.
破疑典例
1.( )求下列函数的值域:
(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y= +1.
思路点拨:
(1)代入求值;(2)观察法.
解析　(1)因为y=2x+1,且x∈{1,2,3,4,5},所以y∈{3,5,7,9,11}.所以函数的值域为
{3,5,7,9,11}.
(2)因为 ≥0,所以 +1≥1,所以函数的值域为[1,+∞).
2.( )求下列函数的值域:
(1)y= ;
(2)y= (1≤x≤2);
(3)y=2x- .
思路点拨:
(1)分离常数法;(2)结合二次函数和分式分析求解;(3)换元,转化成二次函数求值域.
解析　(1)y= = =3+ ≠3,所以函数的值域为{y|y≠3}.
(2)因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以 ≤ ≤1,所以2≤ ≤8,所以函数的值域为
[2,8].
(3)设t= ,则t≥0且x=t2+1,所以y=2(t2+1)-t=2· + ,由t≥0,再结合函数的
图像(如图),可得函数的值域为 .

求函数解析式
函数解析式的求法
1.待定系数法
(1)设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0).
反比例函数解析式设为f(x)= (k≠0).二次函数解析式可根据条件设为①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);③交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程组.
(3)解方程或方程组,得到待定系数的值.
(4)将所求待定系数的值代回原式.
2.换元法
已知f [g(x)]是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e
(t)代入f[g(x)]中,求得f(t)的解析式,再用x替换t,便得f(x)的解析式.
3.配凑法
此法是把所给函数的解析式,通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”
的表示式,然后以x代替“自变量”,即得所求函数解析式.
4.消元法(方程组法)
已知f(x)与f 或f(-x)的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,组成方
程组,通过解方程组求出f(x).
5.赋值法
依题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的
一般规律求出函数解析式.
破疑典例
1.( )(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x)的解析式;
(2)已知f = + ,求f(x)的解析式;
(3)已知函数y=f(x)是一次函数,且[f(x)]2-3f(x)=4x2-10x+4,求f(x)的解析式.
思路点拨:
(1)用换元法求解;(2)用换元法或配凑法求解;(3)用待定系数法求解.
解析　(1)设x+1=t,则x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.
(2)解法一(换元法):令t= = +1,则x= (t≠1),
把x= 代入f = + ,得
f(t)= + =(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1.
∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x≠1).
解法二(配凑法):∵f = +
= -
= - +1,
∴f(x)=x2-x+1.
又∵ = +1≠1,
∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x≠1).
(3)设f(x)=kx+b(k≠0),
则[f(x)]2-3f(x)=(kx+b)2-3·(kx+b)
=k2x2+(2kb-3k)x+b2-3b
=4x2-10x+4,
所以
解得 或
故f(x)=-2x+4或f(x)=2x-1.
2.( )(1)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x)的解析式;
(2)设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x、y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),
求f(x)的解析式.
(思路点拨:
(1)用方程组法求解;(2)用赋值法求解.
解析　(1)在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x,
联立可得

消去f(-x)可得f(x)= x-1.
2)解法一:令x=y,则由f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
又f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1,
即f(x)=x2+x+1.
解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),
即f(-y)=1-y(-y+1).
令-y=x,代入f(-y)=1-y(-y+1)得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x·(x+1)=x2+x+1.

　　已知函数f(x)=
问题
1.求f(f(f(-3)))的值时要注意什么
提示:注意自变量的取值范围.
2.如何画出函数f(x)的图像
提示:分段画出其图像.
3.如何求函数f(x)的值域
提示:根据图像得值域或根据解析式直接求解.

分段函数问题
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.
(2)处理分段函数的求值问题时,一定要明确自变量的取值属于哪一个区间.
(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.
(4)分段函数的图像应分段来作,特别注意各段在区间端点处的取值情况.
分段函数的求值策略
(1)已知自变量求函数值:先看自变量的取值范围,再代入相应解析式求值.
(2)已知函数值求自变量:注意分类讨论思想的运用,关注变量的取值范围.
拔高问题
4.若情境探究中题目的条件不变,当f(a)=4时,怎样求a的值
提示:分类讨论.
5.若情境探究中题目的条件不变,当f(x)=a有四个不同的实根时,求实数a的取值范
围,如何解决
提示:通过图像求解.
正确理解分段函数
破疑典例
1.( )设函数f(x)= 若f(x)>x,求实数x的取值范围.
思路点拨:
根据y=f(x)与y=x的图像求解.
解析　由题意,只需y=f(x)的图像在y=x图像的上方即可.易知y=x与y=f(x)图像的交
点坐标为(-1,-1),则只有当x<-1时,才有f(x)>x.
2.( )已知a≠0,f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),求a的值.
思路点拨:
分a>0和a<0两种情况建立方程求解.
解析　当a>0时,1-a<1,1+a>1,
∵f(1-a)=f(1+a),∴2(1-a)+a=-1-a-2a,解得a=- (舍去);
当a<0时,1-a>1,1+a<1,
∵f(1-a)=f(1+a),∴-1+a-2a=2+2a+a,解得a=- .
综上,a=- .
3.( )已知f(x)= 若f(x)≥ ,求x的取值范围.
解析　当-1≤x≤1时,f(x)=x≥ ,即 ≤x≤1;
当x>1或x<-1时,f(x)=1-x≥ ,则x<-1.
故x的取值范围是(-∞,-1)∪ .
易错警示　解决分段函数问题时,要防止选错解析式导致解题错误,对含参数的
问题要进行适当的分类讨论.