2022年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语2.1_2.2命题与量词全称量词命题与存在量词命题的否定课件新人教B版必修第一册（共19张PPT)

(共19张PPT)
1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命题与量词
1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
1.了解命题的概念,会判断一个命题的真假.
2.理解全称量词、全称量词命题以及存在量词、存在量词命题的概念.
3.能对全称量词命题与存在量词命题进行否定.



命题

全称量词和全称量词命题
全称量词 所有、任意、一切、每一个
符号 ④
全称量 词命题 含有⑤　全称量词 的命题
形式 “对集合M中的所有元素x,r(x)”,可简记为⑥
x∈M,r(x)
存在量词和存在量词命题
存在量词 存在、至少有一个、有
符号 ⑦
存在量 词命题 含有⑧　存在量词 的命题
形式 “存在集合M中的元素x,s(x)”,可简记为⑨
x∈M,s(x)
命题的否定
　　1.定义:一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“ p”,读作
“⑩　非p ”或“p的否定”.
2.命题p与 p的真假判断
　3.特别注意:一个命题的否定只否定其结论,条件不变.
p p
真 　假
假 　真
　
全称量词命题与存在量词命题的否定
1.全称量词命题的否定
原命题 全称量词命题 x∈M,q(x)
原命题的否定 存在量词命题 x∈M, q(x)　
2.存在量词命题的否定
原命题 存在量词命题 x∈M,p(x)
原命题的否定 全称量词命题 x∈M, p(x)
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.“小明真聪明”是命题. ( 　)
2.“3∈N”是真命题. (　√　)
3.“正方形是菱形”不是全称量词命题. ( 　)
4.命题“ x∈[0,+∞),x2≥1”是真命题. ( 　)
5.命题“等边三角形的三条边相等”的否定是“等边三角形的三条边不相等”.
( 　)
6.命题p和 p只能是一真一假. (　√　)
7.命题“ x∈[1,+∞),x2≥1”的否定是“ x∈[1,+∞),x2<1”. ( 　)
8.命题“存在四边形没有外接圆”的否定是“任意四边形都有外接圆”. (　√
　)
哥德巴赫猜想是世界三大数学难题之一,是在1742年,由德国中学教师哥德巴赫
在教学中首先发现的. 1742年6月7日,哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式
提出了以下的猜想:
(1)任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个质数之和;
(2)任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和.
全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断
这就是哥德巴赫猜想.
欧拉在回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明.从此,这道数学难题引
起了几乎所有数学家的注意.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望而不可
即的“明珠”.
中国数学家陈景润于1966年证明:“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数
的乘积的和”,通常这个结果表示为 “1+2”,即陈氏定理,这是目前这个问题的最佳结果.
科学猜想也是命题.哥德巴赫猜想是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有
被推翻的命题.
问题
1.哥德巴赫猜想是全称量词命题吗 为什么
提示:是;因为含有全称量词“任何”.
2.如何写出哥德巴赫猜想的否定形式
提示:全称量词命题的否定是存在量词命题.

1.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键是看命题中含有的量词
是全称量词还是存在量词.需要注意的是有些全称量词命题的全称量词可以省略
不写.
2.要判断全称量词命题“对任意x∈M,p(x)成立”是真命题,需要对集合M中每个
元素x,验证p(x)成立;但要判断该命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,
使p(x0)不成立即可.要判断存在量词命题“存在x∈M,使p(x)成立”是真命题,只
要在集合M中能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一命题就是假命题.
3.全称(存在)量词命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量
词),并把结论否定.
拔高问题
3.你能举例验证陈氏定理的否定是假命题吗
提示:不能.
破疑典例
1.( )指出下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)对任意实数x,都有x2+3>0;
(2)存在一个自然数小于1;
(3)菱形的对角线相等.
思路点拨:
　　先根据定义判断命题是全称量词命题,还是存在量词命题,再判断真假.
解析　(1)全称量词命题.由x2≥0,知x2+3>0恒成立,所以命题(1)是真命题.
(2)存在量词命题.因为0∈N,且0<1,所以命题(2)是真命题.
(3)全称量词命题.有一个角为60°的菱形的对角线不相等,所以命题(3)是假命题.
易错警示　命题(3)省略了全称量词,不要错误地认为是存在量词命题.
2.( )写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)对任意实数x,都有x3>x2;
(2)至少有一个二次函数的图像与x轴没有交点;
(3)所有的矩形都是正方形;
(4)存在x∈R,使x2+2x+5≤0.
思路点拨:
　　替换量词,否定结论.
解析　(1)命题的否定为:存在一个实数x,使x3≤x2.为真命题.
(2)命题的否定为:所有的二次函数的图像都与x轴有交点.为假命题.
(3)命题的否定为:至少存在一个矩形不是正方形.为真命题.
(4)命题的否定为:对任意x∈R,都有x2+2x+5>0.为真命题.
3.( )写出下列命题的否定:
(1)有些素数是奇数;
(2) a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(3)四边形的四个顶点共圆;
(4)若m≥0,则x2+x-m=0有实数根.
思路点拨:
　　写含有量词的命题的否定时,首先要找出量词和结论,特别要注意量词省略
时要先补充量词;然后要改变量词:全称量词与存在量词互改;最后要否定结论.
解析　(1)所有的素数都不是奇数.
(2) a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
(3)四边形的四个顶点共圆的含义是:任意四边形的四个顶点都共圆,它的否定是:
存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(4)“若m≥0,则x2+x-m=0有实数根”的含义是:对任意实数m≥0,x2+x-m=0都有实
数根.它的否定是:存在实数m≥0,使x2+x-m=0无实数根.
解题模板　先判断命题是全称量词命题,还是存在量词命题,再进行否定.


在含量词的命题的综合问题中,经常遇到这样两类问题:
(1)由“恒成立”求参数的取值范围;
(2)求“是否存在”的探究题.
以上问题究其实质,就是全称量词命题和存在量词命题,应按全称量词命题和存
在量词命题的真假进行讨论.
常见结论:
1. x∈R,y=0,等价于方程y=0有实数根;
2. x∈R,y>0,就是不等式y>0恒成立,等价于ymin>0;
3. x∈R,y>0,就是不等式y>0有解,等价于ymax>0;
4. x∈R,y<0,就是不等式y<0恒成立,等价于ymax<0;
5. x∈R,y<0,就是不等式y<0有解,等价于ymin<0.
含量词的命题及其否定的应用

对于命题p的有些问题正面解决时很难或者很复杂,这时我们可以考虑它的反面,
即把命题p的问题转化成命题 p的问题,从而把问题简化得以解决,即“正难则
反”的方法,也就是“补集思想”的应用.
对于命题的否定,要注意一些常见否定词语的使用,下面是常用的正面叙述词语
和它的否定词语.
原词语 等于(=) 小于(<) 有 是 都是
否定词语 不等于(≠) 不小于(≥) 没有 不是 不都是
原词语 至少一个 至多一个 至多有n个
否定词语 一个也没有 至少两个 至少有
(n+1)个
破疑典例
1.( )已知函数y=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立 并说明理由;
(2)若存在实数x,使不等式m-y>0成立,求实数m的取值范围.
思路点拨:
　　先分离变量:(1)m>-y,(2)m>y,再利用函数知识求解.
解析　(1)存在.不等式m+y>0可化为m>-y,即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(x-1)2-4
对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.故存在实数m使不等式m+y>0对于任意x∈R
恒成立,此时m>-4.
(2)不等式m-y>0可化为m>y.
若存在实数x使不等式m>y成立,只需m>ymin.
又y=(x-1)2+4,
∴ymin=4,
∴m>4.
故所求实数m的取值范围是{m|m>4}.
陷阱分析 m取不到端点值4,故实数m的取值范围是m>4,而不是m≥4.
2.( )若方程ax2+3x+2=0至多有一个根,求实数a的取值范围.
思路点拨:
　　本题若从正面考虑采取分类讨论的策略,所分情况较多,求解比较复杂,可考
虑其反面,即方程有两个根的情况,然后求其补集.
解析　假设方程ax2+3x+2=0有两个实数根,
则
解得a≤ 且a≠0.
在全集R中,
的补集是 ,
∴满足题意的实数a的取值范围是 .