2022年新教材高中数学第二章等式与不等式2.3一元二次不等式的解法课件新人教B版必修第一册 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
2.2.3　一元二次不等式的解法
1.会用因式分解法或配方法解一元二次不等式.
2.会解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.
3.能将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解.



实数符号之间的关系
　 ab①　> 0 或
ab②　< 0 或
一元二次不等式及其解集
　　1.一元二次不等式:一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其
中a,b,c是常数,而且a≠0,式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
2.一元二次不等式所有解组成的集合为一元二次不等式的解集.
一元二次不等式的解法
　　1.因式分解法:一般地,如果x1不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是④　(-∞,x1)∪(x2,+∞) .
2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方可变为(x-h)2>k或(x-h)2形式.
当k>0时,(x-h)2>k的解集为⑤　(-∞,h- )∪(h+ ,+∞) ,
(x-h)2当k<0时,(x-h)2>k的解集为⑦ R ,
(x-h)2当k=0时,(x-h)2>k的解集为⑨　{x|x≠h} .(x-h)2 分式不等式的解法
　　其中f(x)、g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0.
分式不等式 同解不等式
>0 或
f(x)g(x)>0
<0 或
f(x)g(x)<0
>a(a≠0) >0
g(x)[f(x)-ag(x)]>0
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.不等式x2-x>x2-1是一元二次不等式. ( 　)
2.不等式x2+x-2<0与2-x-x2>0的解集相同. (　√　)
3.不等式x2-2x-3>0可化为(x-1)2>4. (　√　)
4.不等式x(1-x)≤0的解集为[0,1]. ( 　)
5.不等式 <1的解集为{x|x<1或x>2}. (　√　)
原不等式可化为 >0,同解于(x-1)·(x-2)>0,解集为{x|x<1或x>2}.


已知2x2+(2-m)x-m>0.
问题
1.若m=1,如何求该不等式的解集
提示:当m=1时,原不等式为2x2+x-1>0,解得x<-1或x> ,所以原不等式的解集为 x
x<-1或x> .
含参数的一元二次不等式的解法
2.当m>0时,如何求出关于x的不等式的解集
提示:因为2x2+(2-m)x-m=(x+1)(2x-m),
所以原不等式等价于(x+1)(2x-m)>0.
因为m>0,所以-1< .
所以原不等式的解集为 .
3.若m∈R,如何求出关于x的不等式的解集
提示:原不等式等价于(x+1)(2x-m)>0,对m分类讨论求解.

熟练掌握一元二次不等式的解法是解决此类不等式问题的基础,所以应当熟记形
如ax2+bx+c>0(a>0)的不等式在各种情况下的解集的形式.

含参数的一元二次不等式的解题步骤:①将二次项系数化为正数;②判断相应的
方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);③根据根的情况写出相应的
解集,若方程有两个相异实根,还要比较两根的大小.

根据上面的步骤可能产生的讨论形式:①若二次项系数含有参数,则应讨论其与0
的关系,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式;②判断方程
的根的个数,讨论方程的判别式与0的关系;③确定方程无根时可直接写出解集,确
定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式.
破疑典例
1.( )解下列关于x的不等式(a∈R).
(1)x2-(a2+a)x+a3>0;
(2)2x2+ax+2>0.
思路点拨:
(1)根据根的大小关系进行分类讨论求解.
(2)根据判别式与0的关系进行分类讨论求解.
解析　(1)原不等式x2-(a2+a)x+a3>0可化为(x-a)(x-a2)>0.
当a<0时,aa2};
当a=0时,a=a2=0,所以原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a2,所以原不等式的解集为{x|xa};
当a=1时,a=a2=1,所以原不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
(2)2x2+ax+2=0的判别式为Δ=a2-16.
当a2-16>0,即a>4或a<-4时,解得x> (-a+ )或x< (-a- ).
当a2-16=0时,a=4或a=-4.
当a=4时,解得x≠-1;
当a=-4时,解得x≠1.
当a2-16<0,即-4综上,当a<-4或a>4时,原不等式的解集为
或x<
;
当-4当a=-4时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a=4时,原不等式的解集为{x|x≠-1}.
2.( )解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.
思路点拨:
因为二次项的系数a不确定,所以需要根据a的取值进行分类讨论.
解析　(1)当a=0时,原不等式为-2x+4>0,所以x<2,不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a<0时,方程ax2-2(a+1)·x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2≥0,其两根分别为x1=2,x2= ,
且 <2,所以不等式的解集为 .
(3)当a>0时,方程ax2-2(a+1)·x+4=0的根为x1=2,x2= .
①当 <2,即a>1时,不等式的解集为 ;
②当 >2,即0③当 =2,即a=1时,不等式的解集为{x|x≠2}.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x<2};当a<0时,不等式的解集为
;当a>1时,不等式的解集为 ;当0为 ;当a=1时,不等式的解集为{x|x≠2}.

已知不等式x2+x+k>0.
问题
1.若不等式对任意x∈R恒成立,如何求k的取值范围
提示:可利用对应方程的根的判别式求解.
2.若不等式对任意x∈{x|1≤x≤2}恒成立,如何求k的取值范围
提示:分离参数.
3.若不等式对任意x∈{x|-1≤x≤2}恒成立,如何求k的取值范围
提示:分离参数(注意对应的二次函数图像对称轴的位置).

如何解决一元二次不等式恒成立问题

1.求一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过分离参
数,再求最值.解决恒成立问题一定要分清自变量和参数,一般地,已知范围的是变
量,求解范围的是参数.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次
函数的图像在给定的定义域内全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图
像在给定的定义域内全部在x轴下方.
2.求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法:
(1)利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.
设y=ax2+bx+c(a≠0),则y>0恒成立 y≥0恒成立 y<0恒成立
y≤0恒成立
(2)分离自变量和参数,利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题.
拔高问题
若二次项系数含有参数,又该如何解决此类问题
4. x∈R,mx2-mx-1<0,如何求m的取值范围
提示:若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0,则
即-4综上,m的取值范围为{m|-4破疑典例
1.( )已知函数y=x2+mx-1,若对于任意x∈{x|m≤x≤m+1},都有y<0成立,则实
数m的取值范围是　　　　　 .
思路点拨:
作出函数y=x2+mx-1的大致图像,观察图像列出不等式组,解不等式组即可.
答案　- 解析　作出二次函数y=x2+mx-1的大致图像(图像略),对于任意x∈{x|m≤x≤m+1},
都有y<0成立,则有

解得- 2.( )若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是 ,求实数a的取值范围.
思路点拨:
ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是 ,即ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立,对a进行分类讨论
求解.
解析　不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是 ,
等价于不等式ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立.
当a=0时,-2≥0,解集为 ,满足题意;
当a≠0时,
a需满足
解得-1综上可知,a的取值范围是{a|-1易错警示　解决含参数的一元二次不等式问题,要关注二次项系数是否含有参
数,若二次项系数含参数,则要对二次项系数是不是0进行讨论.
3.( )若对任意
的m∈{m|1≤m≤3},mx2-mx-6+m<0恒成立,求实数x的取值范围.
思路点拨:
此题是关于m的不等式的恒成立问题,可以分离变量,利用m的范围构建关于x的不
等式求解.
解析 mx2-mx-6+m<0 (x2-x+1)m-6<0.
∵x2-x+1>0,∴m< .
由题意可得 >3,即x2-x-1<0,解得 ∴实数x的取值范围为 .
在一次化学实验中,化学老师要求同学们配制出浓度不超过25%的盐酸溶液.
问题
1.设同学们应当向1毫升水中加入x毫升盐酸,如何列出关于x的不等式
提示: ≤ .
2.在问题1中出现了分母中含有未知数的不等式,称为分式不等式.请归纳如何解
这个不等式.
提示:移项,通分,得 ≤0.
因为x>0,所以x+1>0,
所以3x-1≤0,即0所以该不等式的解集为 .
分式不等式和高次不等式的解法

1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
化分式不等式为“标准形式”的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形
式(f(x),g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0).
2.简单高次不等式的解法
不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.
解高次不等式常用的方法有两种:
(1)将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积.根据实数运算的
符号法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组).于是原不等式的解集就是各不
等式(组)解集的并集.
(2)穿针引线法:
①将不等式化为标准形式,一端为0,另一端为一次因式或二次不可约因式的乘积
(因式中x的系数为正);
　　②求出各因式对应方程的实数根,并在数轴上标出;
③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶
次重根穿而不过(即“奇过偶不过”);
④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.
特别提示
　　(1)形如 >a(a≠0)的分式不等式可同解变形为 >0,故可转化
为解g(x)[f(x)-ag(x)]>0.
(2)解 ≥0(≤0)型的分式不等式,转化为整式不等式后,应注意分子可取0,而分
母不能取0.(f(x),g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0).
破疑典例
1.( )解下列关于x的不等式:
(1) >0;
(2) ≥1.
思路点拨:
(1)化为(4x+2)(3x-1)>0进一步求解.
(2)移项、通分化为 ≤0,再化为 进一步求解.
解析　(1)原不等式等价于(4x+2)(3x-1)>0,所以原不等式的解集为
.
(2)原不等式可化为 ≤0,
所以原不等式等价于
所以原不等式的解集为 .
2.( )解下列关于x的不等式:
(1)-1< <1;
(2) <1-a(a∈R).
思路点拨:
(1)将不等式写成不等式组的形式求解,或分x>0和x<0两种情况分别求解后取并
集.
(2)移项、通分化为 <0(a∈R),再化为(ax+1-a)(x-1)<0.对a进行分类讨论求
解.
解析　(1)解法一:原不等式等价于 即
整理得
此不等式组等价于
即
解得x>1或x<-1,
∴原不等式的解集为{x|x>1或x<-1}.
解法二:当x>0时,由 <1得x>1;
当x<0时,由 >-1得x<-1,
∴原不等式的解集为{x|x>1或x<-1}.
(2)原不等式可化为 -(1-a)<0(a∈R),即 <0(a∈R),进一步化简为(ax+1
-a)(x-1)<0.
①当a>0时,不等式化为 (x-1)<0.
因为 <1,所以不等式的解集为 .
②当a=0时,不等式化为x-1<0,即x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}.
③当a<0时,不等式化为 (x-1)>0.因为 >1,所以不等式的解集为
.
综上,当a>0时,原不等式的解集为 ;当a=0时,原不等式的解集为{x|x<
1};当a<0时,原不等式的解集为 x x> 或x<1 .
3.( )解不等式 >0.
解析　原不等式可以转化为(x-2)3(x-1)(x+3)2>0.各因式对应的根为2(3重根),1,-3(2
重根).
结合图可得,原不等式的解集为{x|x>2或x<1且x≠-3}.