2022年新教材高中数学第二章等式与不等式1.1_1.2等式的性质与方程的解集一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件新人教B版必修第一册 课件（(共21张PPT)

(共21张PPT)
　2.1　等式
2.1.1　等式的性质与方程的解集
2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
1.掌握等式的性质,能够对二次三项式实施因式分解,会通过因式分解解一元
二次方程.
2.理解一元二次方程根与系数的关系.



等式的性质
(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式,等式仍成立.
如果a=b,那么a±c=① b±c .
(2)等式的两边同时乘(或除以)同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.
如果a=b,那么ac=② bc ;
如果a=b,c≠0,那么 =③ .
因式分解
1.恒等式
平方差公式:a2-b2=④　(a+b)(a-b) .
两数和(差)的平方公式:
(a±b)2=⑤ a2±2ab+b2 .
立方差与立方和公式:
a3±b3=⑥　(a±b)(a2 ab+b2) .
关于x的二次三项式x2+(a+b)x+ab可分解为(x+a)(x+b).

十字左边相乘等于x2,是二次项;
十字右边相乘等于ab,是常数项.
交叉相乘为bx和ax,再相加就是ax+bx=(a+b)x,是一次项.
助记法则:竖分常数交叉验,横写因式不能乱.
图示解读:

2.十字相乘法
配方法 解法步骤:(1)化二次项系数为⑦　1 ;(2)移项:把
⑧　常数 项移到方程的右边,二次项和一次项
移到方程的左边;(3)配方:方程两边都加上⑨
一次项系数一半的平方 ,使左边配成一个式子
平方的形式;(4)解方程:若方程右边是非负数,通
过直接开平方法求方程的根
公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,x
=⑩
一元二次方程的解法
因式分 解法 一元二次方程化为一般形式后,如果左边能分解
因式,即产生A·B=0的形式,则可将原方程化为两
个 　一元一次 方程,即A=0或B=0,从而得方
程的两根
一元二次方程根与系数的关系
　　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是 b2-4ac ,通常用符号
Δ 来表示.利用根的判别式,不解方程就可以判断方程根的情况:当 Δ>0
时,方程有两个不相等的实数根;当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根;当
Δ<0 时,方程没有实数根.
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,设这个方程的两根为x1,x2,
则x1+x2= 　- ,x1x2= .

判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.将方程2(x-1)=3(x-1)的两边同除以(x-1),得2=3,其错误的原因是不能确定x-1的
值是不是0. (　√　)
方程两边不能同时除以(x-1),因为不能确定x-1的值是不是0.
2.利用平方差公式计算(2x-5)(-2x-5)的结果是4x2-25. ( 　)
(2x-5)(-2x-5)=-(2x-5)(2x+5)=-(4x2-25)=25-4x2.
3.y2+7y-18=(y-9)(y+2). ( 　)
y2+7y-18=(y+9)(y-2).
4.若方程25x2-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则k的值为11. (
　)
根据题意知-(k-1)=±2×5×1,∴1-k=±10,即1-k=10或1-k=-10,得k=-9或k=11.
5.若k>1,则关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0有两个正根. (　√　)
Δ=[-(4k+1)]2-4×2(2k2-1)=8k+9,∵k>1,∴Δ>17,∴方程有两个不相等的实数根,设为
x1,x2,∴x1+x2= > >0,x1·x2= > >0,∴x1>0,x2>0,∴方程有两个正根.
将多项式乘法公式:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab从右到左使用,即可得到“十字相乘
法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
示例:
分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).
已知关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.
问题
1.方程是否总有两个实数根
提示:利用判别式Δ的值与零的大小关系来判断,因为Δ=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=(k-
1)2≥0,所以方程总有两个实数根.
因式分解与解方程
2.x2-(k+3)x+2k+2能用“十字相乘法”进行因式分解吗
提示:能,x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1).
3.若上述方程有一个根小于1,如何求k的取值范围
提示:∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,
∴x1=2,x2=k+1.
∵方程有一个根小于1,∴k+1<1,解得k<0,
∴k的取值范围为k<0.

十字相乘法分解因式的基本模型为:ax2+bx+c=(a1x+c1)·(a2x+c2)(a≠0).其实质是二
项式乘法的逆运算,关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积,把常数项c分
解成两个因数c1,c2的积,并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b,即“十字”左边相
乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.务必
注意各项系数的符号.
　　一元二次方程的解法:
方法名称 理论依据 适用范围
直接降 次法 平方根的意义 形如x2=p或(mx+n)2=p(m≠0,p≥
0)的一元二次方程
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程
公式法 求根公式 所有一元二次方程
因式分 解法 若ab=0,则a=0或b=0 一边为0,另一边易于分解成两
个一次因式的积的形式的一元
二次方程
拔高问题
4.应用因式分解法解一元二次方程的关键是什么
提示:正确分解因式,化二次方程为一次方程.
破疑典例
　( )在解方程(x+2)(x-2)=5时,甲同学说:由于5=1×5,可令x+2=1,x-2=5,得方程
的根为x1=-1,x2=7;乙同学说:应把方程右边化为0,得x2-9=0,再分解因式,即(x+3)(x-
3)=0,得方程的根为x1=-3,x2=3.对于甲、乙两名同学的说法,下列判断正确的是( 　)
A.甲错误,乙正确
B.甲正确,乙错误
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都错误
A　原方程整理得x2-9=0,分解因式得(x+3)(x-3)=0,于是有x+3=0或x-3=0,∴x1=-3,x2
=3,∴甲错误,乙正确.故选A.
一元二次方程根与系数的关系

设x1,x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠
0)的根与系数的关系为x1+x2=- ,x1·x2= .运用根与系数的关系需掌握以下变形:
① + =(x1+x2)2-2x1x2;
②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;
③ + = ;
④|x1-x2|= = ,
|x1-x2|=
= = = .

一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系:Δ>0 方程有两个不相等的实数根;Δ=
0 方程有两个相等的实数根;Δ<0 方程没有实数根.
破疑典例
1.( )已知x1,x2是一元二次方程(m-3)·x2+2mx+m=0的两个实数根.
(1)是否存在实数m,使-x1+x1x2=4+x2成立 若存在,求出m的值,若不存在,请说明理
由;
(2)若|x1-x2|= ,求m的值和此时方程的解集.
解析　(1)存在.∵x1,x2是一元二次方程(m-3)x2+2mx+m=0的两个实数根,
∴m-3≠0且Δ=4m2-4m(m-3)≥0,
∴m的取值范围为m≥0且m≠3.
根据根与系数的关系得
x1+x2=- ,x1·x2= ,
∵-x1+x1x2=4+x2,
∴x1x2=4+x1+x2,
∴ =4- ,∴m=12.
(2)∵|x1-x2|= ,
∴(x1-x2)2=3,即(x1+x2)2-4x1x2=3,
∴ -4× =3,解得m1=1,m2=9.
当m=1时,原方程变形为2x2-2x-1=0,解得x1= ,x2= ,此时方程的解集为
;
当m=9时,原方程变形为2x2+6x+3=0,解得x1= ,x2= ,此时方程的解集为
.
方法指导　明确一元二次方程根与系数的关系,结合待求代数式的变形应用,将
求得的两根之和与两根之积整体代入求值.
2.(2019浙江杭州外国语学校期中, )已知3m2-7m-2=0,2n2+7n-3=0且mn≠1,求
的值.
解析　由3m2-7m-2=0及2n2+7n-3=0,可知m≠0,n≠0,
又∵mn≠1,∴m≠ .
2n2+7n-3=0可变形为3 -7 -2=0,
根据3m2-7m-2=0和3 -7 -2=0的特征知,m、 是方程3x2-7x-2=0的两个不相
等的实数根,
根据根与系数的关系可得
m+ = , =- ,
∴ = ,
∴ = ,∴ = .