盐山县中学2021-2022学年高二上学期期中考试
数学
一、单选题（每小题5分，共40分)
1．直线的倾斜角为（ ）.
A． B． C． D．
2．以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线标准方程为
A． B． C． D．
3．已知直线，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．2或
4．如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，直线绕它与轴的交点按逆时针方向旋转所得的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆：的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．设双曲线的右焦点为，圆与双曲线的两条渐近线相切于，两点，，其中为坐标原点，延长交双曲线的另一条渐近线于点，过点作圆的另一条切线，设切点为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，多个选项正确.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分.）
9．以下说法正确的是（ ）
A．若向量可是空间的一个基底，则也是空间的一个基底.
B．空间的任意两个向量都是共面向量.
C．若两条不同方向向量分别是，，则.
D．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则
10．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1
11．已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为1
C．椭圆的右焦点为，则的最大值为 D．的最小值为2
12．已知是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A．
B．E的离心率等于
C．的内切圆半径
D．若为E上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2
卷Ⅱ（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知，，且与垂直，则___________.
14．唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为________．
15．已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于___________.
16．已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．
（1）的值为________；
（2）若，且的面积为，求b的值为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17（10分）．已知直线l过点.
（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
（2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值.
18（12分）．已知圆及直线：.
（1）证明：不论取什么实数，直线与圆C总相交；
（2）求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.
19（12分）．如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是，的中点.
（1）记平面与平面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并加以证明；
（2）设，求二面角大小的取值范围.
20（12分）．已知：双曲线（，）的离心率为且点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值；
（3）若M是双曲线左支上任意一点，为左焦点，写出的最小值.
21（12分）．如图，在三棱柱中，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？
22（12分）．已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页盐山县中学2021-2022学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．C 8．A
9．ABC 10．ABD 11．A C 12．ABD
如上图所示，因为分别是的中点，所以中，，所以轴
A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确
B选项中，中，，
所以，得：，故B正确
C选项中，的周长为，设内切圆为，根据三角形的等面积法，有，得：，是与有关的式子，所以C错误
D选项中，关于原点对称，可设，，根据得： ，所以当斜率存在时，
，，，因为在双曲线上，所以，即，得： ，
所以，故D正确
故选：ABD
13． 14． 15． 16．20 8
17．（1）或；（2）
解：（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零，
所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为，
所以直线在坐标轴上截距分别为，，
所以，整理得，解得或
所以直线l方程为或.
（2）由（1）知，
因为，
所以面积为，
当且仅当，即时等号成立，所以面积最小值
18（1）证明：把直线l的方程改写成：，
由方程组，解得：，所以直线l总过定点(3，4).
圆C的方程可写成，所以圆C的圆心为(1，2)，半径为5.
因为定点(3，4)到圆心(1，2)的距离为，即点(3，4)在圆内，
所以过点(3，4)的直线l总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交
（2）设直线l与圆交于A、B两点.
当直线l过定点M(3，4)且垂直于过点M的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短.
因为，
此时，
所以直线AB的方程为，即.
故直线l被圆C截得的弦长最小值为，此时直线l的方程为.
19证明如下：∵，平面，平面，
∴平面.
又平面，平面与平面的交线为l，
∴.而平面，平面，
∴平面.
（2）解法一：设直线l与圆O的另一个交点为D，连结，.
由（1）知，，而，∴.
∵平面，∴.
而，∴平面，
又∵平面，∴，
∴是二面角的平面角.
.
注意到，∴，∴.
∵，∴，
即二面角的取值范围是.
解法二：由题意，，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
设，，则，，，
，.
设平面的法向量为，
则由得，取得.
易知平面的法向量，
设二面角的大小为，易知为锐角.
，
∴，即二面角的取值范围是.
20．（1）；（2）-4；（3）.
（1）由题意有，解得，，
故双曲线的标准方程为；
（2）由已知得，，设，则，，
所以，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为-4.
（3）设为双曲线左支上任意一点，
因为左焦点 ，
所以，
由，对称轴为知，
当时，，所以.
21．（1）证明见解析；（2）存在，的值为.
（1）在三棱柱中，平面ABC，，.
∴，，，
∵，∴平面，∵平面，
∴，∵，∴平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
所以，，
设平面的法向量，则，
取，得，
点M在线段上，且，点N在线段上，设，，
设，则，，，
即，
解得，，
，
∵，
∴，解得.∴的值为.
22．（1）（2）存在， 或．
解：设，
由， ，
可得，即为，
由，可得的轨迹是以为焦点，且的椭圆，
由，可得，可得曲线的方程为；
假设存在过点的直线l符合题意．
当直线的斜率不存在，设方程为，可得为短轴的两个端点，
不成立；
当直线的斜率存在时，设方程为，
由，可得，即，
可得，化为，
由可得，
由在椭圆内，可得直线与椭圆相交，
，
则
化为，即为，解得，
所以存在直线符合题意，且方程为或．
答案第1页，共2页
