数学试卷
腾·云联盟2021—-2022学年度上学期高三12月联考
数学试卷
命题学校:洪山高中命题教师:徐敏夏小静
考试时间:2021年12月16日8:00-10:00试卷满分:150分
★祝考试顺利★
注意事项
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条开
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。每小题四个选项中只有一项符合
题目要求。
设全集U={x|-5
则(6A)∩B=
A.[4,5)
(-5,2
(-5,-2)
2.复数z的虚部为
√3
模为2,复数z对应的点位于复平面第二象限,则复数z对
应的点位于复平面内
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
3.已知p:a∈R且-1个大于零,另一个小于零,则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
4.若1a+ba-b人23
a|,则向量a+b与a的夹角为
T
2丌
5兀
a
B
5.某圆锥的底面半径为2,母线与轴所成角为一,该圆锥的表面积为
A.10兀
B.12
C.14兀
D.16兀
高三数学试卷第1页共6页
cos 26
7
6.已知
则sin26=
SInai
A
24
25
25
25
25
7.2021年春节期间电影《你妤,李焕英》因“搞笑幽默不庸俗,真心实意不煽情”深
受热捧,某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷,每个工作人员从编号为1,2,3,4
的4个影厅选一个,可以多个工作人员进入同一个影厅,若所有5名工作人员的影厅编
号之和恰为10,则不同的指派方法种数为
A.91
D.121
8.设F,F2是双曲线C:xp
=1的两个焦点,O为坐标原点,P是C的左支上一点,
OF· OP E P OP
且
23,则△PFF的面积为
OPI OP
B.4
83
、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,每小题四个选项中有多项符合题
目要求。全选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的0分
9.下列说法正确的是
A.设离散型随机变量X等可能取1,23,n,若P(X<4)=0.3,则n=10
B.设随机变量X服从二项分布B(6,),则P(X=2)=
15
32
C.设离散型随机变量m服从两点分布,若P(7=1)=2P(m=0),则P(7=0)=
D.设随机变量服从正态分布N(2,2)且P(X<4)=09,则P(010.已知函数y=f(x-1)的图象关于直线x=-1对称,且对∨x∈R有
f(x)+f(-x)=4.当x∈(Q,2]时,f(x)=x+2.则下列说法正确的是
A.f(x)的最小正周期是8
B.f(x)的最大值为5
C.f(2022=0
D.f(x+2)为偶函数
高三数学试卷第2页共6页2021-2022学年度上学期高三 12月联考
数学试卷参考答案及评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A A B C B C AC ACD ABD BC
填空题：
1
13. 14. 480 15. 3 5 16.（1） ±1 ；（2） ①②
2
解答题：
17．(10 分）
2
（1）由已知 a = a a ，又 =13 故(13 3 )22 1 6 5 =(13 4 )(13 + )
解得d = 0（舍去）或d = 3 …………………1 分
∴ an = a3 + (n 3)d = 3n 2 …………………2 分
1 2 3 n n
∵ + + + = ①
log2 b1 log2 b2 log2 b3 log2 bn 2
1 1
故当n =1时，可知 = log2 b1 = 2∴b = 4
log2 b1 2
1
1 2 3 n 1 n 1
当n 2时，可知 + + + = ②
log2 b1 log2 b2 log2 b3 log2 bn 1 2
n 1
① ②得 = log2 bn = 2n …………………4 分
log2 bn 2
∴b nn 4 又b1也满足bn 4
n ，故当n N *时，都有bn 4
n ； ……………5 分
（2）由（1）知 cn = anbn = (3n 2) 4
n
故 sn =1 4
1 + 4 42 + + (3n 5) 4n 1 + (3n 2) 4n③
∴ 4sn =1 4
2 + + (3n 5) 4n + (3n 2) 4n+1④由③—④得 ……………6 分
3Sn = 4+ 3(4
2 + 43 + + 4n ) (3n 2) 4n+1 …………………8 分
解得 S = (n 1) 4n+1n + 4 . ………………10 分
18．（12 分）
（1）因为 3 (a bcosC ) = c sin B ，所以 3a csin B = 3bcosC ，由正弦定理得
3sin A sinCsinB = 3sinBcosC ， ……………………1 分
故 3sin BcosC + 3sinCcos B sinCsin B = 3sin BcosC，
所以 3sinCcos B sinCsin B = 0， ……………3 分
因为 sinC 0，所以sin B = 3cos B，即 tan B = 3 ， …………5 分
因为 B (0, )，所以 B = ； …………………6 分
3
1 1 5
（2）因为 a = 3，CD = DB ，所以CD = ，DB = ，△ABD中，由余弦定理得，
5 2 2
2
2 5 5 1 21 21AD = 22 + 2 2 = ，所以 AD = ， ……………8 分
2 2 2 4 2
AD AB 2 7
由正弦定理得 = ，∴ sin BDA = ， ……………10 分
sin B sin BDA 7
1
故cos 2 ∠ == cos(2 2 BDA) = cos 2 BDA =1 2sin
2 BDA = ． ……………12 分
7
19．（12 分）
（1）取 AD中点 O，连接 BD，BO .在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2
的菱形，且 ABC =120 ， ABD是边长为 2 的等边三角形，又△PAD是等边
三角形， PAB是等腰三角形. …………1 分
10
E为 PB的中点， AE ⊥ PE ，又PA= 2， AE = ， 由勾股定理得
2
6
PE = PA2 AE2 = ， PB = 2PE = 6 ， ………3 分
2
又由△PAD，△ABD都是边长为 2 的等边三角形，可知 PO = BO = 3，
PO2 +BO2 = PB2， PO⊥ BO， ……………4 分
由△PAD为等边三角形，O为 AD的中点，可知PO⊥ AD . …………5 分
又 BO AD =O，BO 平面 ABCD， AD 平面 ABCD . PO ⊥平面 ABCD .
又 PO 面 PAD ， ∴ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD. ……………6 分
（2）以 O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为 x、y、z轴建立空
间直角坐标系.
则 A(1,0,0)，B(0，3,0)，C( 2，3，0)，D( 1，0,0)，P(0，0，3) .………8 分
AP = ( 1，0, 3)， AB = ( 1，3，0)， DP = (1，0，3)，DC = ( 1，3，0) .
设平面 APB的法向量为m = ( x1, y1, z1 )，
AP m = 0 x1 + 3z1 = 0
则{ ，即 .令 x = 3，则 y =1 z =11 1 ， 1 ， m = ( 3，1，1) . ………9 分
AB m = 0 x1 + 3y1 = 0
DP n = 0 x2 + 3z2 = 0
设平面PDC 的法向量为 n = ( x2 , y2 , z2 )，则{ ，即 .
DC n = 0 x2 + 3y2 = 0
令 x = 3 ，则 y2 =1， z = 1， n = ( 3，1， 12 2 ) . ………………10 分
设平面 APB与平面PDC 所成锐角为 ，
m n 3+1 1 3 4 4
则 cos = = = ， sin = ， tan = ， ………………11 分
m n 5 5 5 5 3
4
平面 APB与平面PDC 所成锐角的正切值为 . ………………12 分
3
20．（12 分）
（1）由题意得： 2a = BC = 4，解得a = 2 . ……………1 分
c 3
又因为 e = = ，所以 c = 3， ……………2 分
a 2
则b2 = a2 c2 =1. ……………3 分
x2
所求 的标准方程为 + y2 =1. ……………4 分
4
1
（2）可得 A(0,1),B( 2,0),C(2,0)，则 k = ，直线 AB的方程为： x 2y 2 0AC ，
2
1
设直线 l的方程为 y = x + . ……………5 分
2
1
y = x + 2 2 1 2
联立方程组 ，消 y ，得 x + 4( x + ) = 4，
x
2 2
+ y2 =1
4
整理得： x2 2 x+2 2 2 = 0① ……………6 分
由 l与线段 AB 有公共点，得 1 1， ……………7 分
1
y = x + +1
联立方程组 2 ，解得D的坐标为 1, ，
2
x 2y + 2 = 0
x1 + x2 = 2
设P(x1, y1)，Q(x2 , y2)，由①知 2 ② ……………9 分
x1x2 = 2 2
5 5
又 | PD |= | x ( 1) |，1 | QD |= x ( 1) 2
2 2
5
所以 | PD | | QD |= x1x2 ( 1)(x1 + x2 )+ ( 1)
2
③
4
5
②代入③，得 | PD | | QD |=
2 1 ， ( 1,1) ………………11 分
4
5
所以当 = 0时， | PD | | QD |有最大值 . ………………12 分
4
21．（12 分）
1 5 1 5 1
（1）根据题意，P=5Y, P([85,90))= , P([90,95) )= , P([95,100) )= 5
3 3 3 2 3
7 19 1 1 3
由 + +1 5k + +1 =1，解得 k = . ………………4 分
30 60 3 2 50
（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.由（1）知，学生 A的分数属于区间[75,80)，[80,85)，
7 19 14 11 2
[85,90)，[90,95)，[95,100)的概率分别是： ， ， ， ， . …………………6 分
30 60 60 60 60
2 11 1 1
故学生 A最终获得一等奖的概率是P = + = …………………8 分
60 60 11 20
②我们用符号 Aij（或 Bij ）表示学生 A（或 B）在第一轮获奖等级为 i，通过附加赛最终获奖等级为
j 的概率，其中 j i(i, j =1,2,3)记“学生 A 最终获奖等级不低于学生 B 的最终获奖等级”为事件 W，
由事件的互斥性和独立性，可得：
P（W） = P(A1 + A21 + A22B22 + A32B22) = P(A1)+P(A21) + P(A22)P(B22) + P(A32)P(B22)
2 11 1 11 10 10 14 1 10 51
= + + + = . ……………12 分
60 60 11 60 11 11 60 7 11 220
22．（12 分）
x
（1）∵函数 y＝(x +1)ex，∴ f '(x)＝e + (x +1)e
x＝(x + 2)ex， ……………1分
由 f '(x) 0
x
得 ( x + 2)e 0，即 x+ 2 0，得 x 2，即函数的单调增区间为 ( 2，+ ) ．由 f '(x) 0得 x 2，
1
即函数的单调递减区间为 ( ， 2)． f (x)极小值为 f ( 2) = 2 ； ………………3分 e
2 a
g '(x)＝ex (x 1) + ex (2x 2)＝(x 1)(xex x（2） + e﹣a)＝(x 1)( f (x) a)， ………4分
2
当 x 1时， f (x)＝(x+1)ex 0，又 f (1) = 2e .①当0＜a＜2e时，由(1)得 f (x)在 ( 1，+ )上单调递增，且
f (﹣1)﹣2a＜0， f (1)﹣a＝2e﹣a＞0，则存在唯一 x (﹣1，1)，使 f (x ) a＝0，当 x ( ，x0 )时， f (x) a＜00 0 ，
故 g (x) 0，当 x (x ，1)时， f (x) a＞0，故 g (x) 00 ，当 x (1，+ )时， f (x) a 0，故 g (x) 0，故当 x＝x0
时，函数 g(x)取得极大值，当 x＝1时，函数 g(x)取得极小值． ………5分
②当 a＝2e时，由（1）得 f (x)在 ( 1,+ )上单调递增，且 f (1) a＝0，当 x ( ，1)时，f (x)-a 0，故 g (x) 0，
当 x (1，+ )时， f (x)-a 0，故 g (x) 0，此时函数 g(x)无极值． ………6分
③当 a 2e时，由（1）得 f (x)在 ( 1,+ )上单调递增，且 f (1) a＝2e a 0，
f (lna) a＝a(lna+1) a＝alna 0，则存在唯一 x0 (1，lna)，使 f (x0) a = 0，
当 x ( ，1)时， f (x)-a 0，故 g (x) 0，当 x (1，x )时， f (x)-a 0，故 g (x) 00 ，
当 x (x0，+ )时， f (x)-a 0，故 g (x) 0，故当 x＝x0时，函数 g(x)取得极小值，当 x＝1时，函数 g(x)取
得极大值． ………7分
综上：当a (0，2e) (2e，+ )时， g(x)有两个极值点，当a＝2e时， g(x)无极值点． ………8分
a2
（3）由（2）知当a 2e时， g(x1) g(1) = 0 ，不存在符合题意的 a， ………9分
2
a2 a a2
当0 a 2e时， g(1) = 0 ,所以 xg(x ) = (e 0 )(x 1) 2= ①由 g '(x0) = 0 得 f (x0) a = 00 0 即
2 2 2
x
a = (x +1)e 00 ②
x 2x
(x +1)e 0 (x +1) 2e 0 3 2 x
把②代入①得 x[e 0 0 ](x 1) 2= 0 ，整理得 (1 x0 ) (1+ x ) e 0 = 00 0 . ………10 分
2 2
记 h(x) = (1 x) 3 (1+ x) 2e x , x ( 1,1) ，h / (x) = 3(1 x) 2 (1+ x)(x+3)e x ，
由 x
2
( 1,1)知 h '(x) = 3(1 x) (1+ x)(x + 3)e
x 0，所以h(x)在区间 ( 1,1)单调递减，又因为h(0) = 0所
以 x0 = 0
x
，此时 a = (x +1)e 00 =1 (0, 2e)符合题意.
a2
综上可知当 a =1时存在极值等于 . ………………12分
2