2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册（期末复习教学质量检测【3】）word版含答案

【学生版】
高一数学第一学期期末教学质量检测【3】
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，
否则一律得零分.
1、用反证法证明“若，则或”时，应假设
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
2、设且，则
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
3、设集合，，若，且，则的值为
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
4、已知集合，，且，则实数的取值集合为
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
5、关于的一元二次方程有实数根，则的范围
6、设，则“”是“” ______的条件；
（选填：“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要”）
7、如果，那么“”是“”成立的 条件；
（选填：“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要”）
8、若幂函数的图像过点，则函数的最大值为___________.
9、已知点（n，8）在幂函数的图象上，则函数的值域为
10、已知，，且，则下列结论中正确的序号是
①； ②的最小值为16 ； ③的最小值为9； ④的最小值为3；
11、设幂函数的图象过点，则：①的定义域为R；②是奇函数；③是减函数；④当时，，正确的有_______个
12、下列四个命题：①在同一坐标系中，函数与的图像关于原点对称；②函数无最大值；③若函数为偶函数，则函数关于直线对称；④函数的图像可由向右平移个单位得到.其中正确命题的序号是 _________；
二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13、已知集合，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14、函数且在上严格单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15、已知函数，下列区间中含有的零点的是（ ）
A． B． C． D．
16、若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．（a） B． C．（a） D．
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、（本小题满分8分）
已知函数；
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
（2）求解关于的不等式；
18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知集合，集合，
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围；
19、（本小题满分10分）
中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为的水在室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
从下降到所用时间 1分58秒
从下降到所用时间 3分24秒
从下降到所用时间 4分57秒
（1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却后水温（单位：的函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到．
（2）“碧螺春”用左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（Ⅰ）的条件下，水煮沸后在室温下为获得最佳口感大约冷却　　 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．
（A）5（B）7（C）10
（参考数据：，，，，
20、（本小题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分6分）
函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质
：
（1）判断下列函数是否具有性质（1），并说明理由：①； ②；
（2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质．求证：是偶函数；
（3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围；
21、（本小题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何，（其中为函
数的定义域），均有成立．
（1）已知函数，判断与集合的关系，并说明理由；
（2）是否存在实数，使得，，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）对于实数，，用表示集合中定义域为区间，的函数的集合，定义：已知是定义在，上的函数，如果存在常数，对区间，的任意划分：，和式恒成立，则称为，上的“绝对差有界函数”，其中常数称为的“绝对差上界”， 的最小值称为的“绝对差上确界”，符号．求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”．
【教师版】
高一数学第一学期期末教学质量检测【3】
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，
否则一律得零分.
1、用反证法证明“若，则或”时，应假设
【提示】理解反证法；
【答案】且
【解析】根据即可；
【说明】本题主要考查了反证法；解题的依据是集合运算性质：；
2、设且，则
【提示】注意：题设中“连等”及指数与对数的互化；
【答案】；
【解析】因为（），所以，，，
又因为，所以，，即，所以，，则，
即；
【说明】本题考查了指数与对数的互化，依据对数的和、差运算注意“同底”；
3、设集合，，若，且，则的值为
【提示】理解、等价题设；
【答案】5；
【解析】因为，，，且，所以；
【说明】对于有限集，“枚举法”有时也非常有效；
4、已知集合，，且，则实数的取值集合为
【提示】注意：先化简集合与分类讨论；
【答案】；
【解析】由题可知，当时，无解，解得：；当时，若，则，若，则，综上所述，的值为或0或1，即实数的取值集合为；
【说明】本题主要考查分类讨论思想；注意：化简集合与题设“”都隐含了分类
讨论“点”；
5、关于的一元二次方程有实数根，则的范围
【提示】注意：审题“一元二次方程”；
【答案】且
【解析】由题意，由于方程为关于x的一元二次方程，故，一元二次方程有实数根，
故，即，解得且；
【说明】本题最主要考查一元二次方程根的判别式、一元二次不等式的解法；
6、设，则“”是“” ______的条件；
（选填：“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要”）
【提示】先解两不等式，再判断；
【答案】必要不充分；
【解析】由，得，由，得，解得，
所以，所以“”“”，反之不成立.所以“”是“”的必要不充分条件；故答案为：必要不充分；
【说明】本题是充要条件的判别与解不等式与数轴的交汇；
7、如果，那么“”是“”成立的 条件；
（选填：“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要”）
【提示】注意：利用实数性质化简“”；
【答案】充分非必要；
【解析】由已知；所以，
若“”，则“”成立，即“”是“”成立的充分条件；
但“”成立时， “”，“”不一定成立；
即“”是“”成立的不必要条件；
即“”是“”成立的充分非必要条件，故答案为：充分非必要；
【说明】本题是充要条件的判别与绝对值等式化简的交汇；
8、若幂函数的图像过点，则函数的最大值为___________.
【提示】注意：审题“幂函数”与抽象、复合函数的转化；
【答案】
【解析】设幂函数，因为幂函数的图象经过点，所以，因此,
所以，所以，
令，则，，所以，时，；故答案为：；
【说明】本题考查了利用“待定系数法”求幂函数的解析式，然后，通过“换元法”转化
为一元二次函数在给定区间上求最值；
9、已知点（n，8）在幂函数的图象上，则函数的值域为
【提示】注意：利用幂函数的定义与图像，求出参数；
【答案】
【解析】由题可得，解得，所以，则，
因此，定义域为，
因为函数和函数在上严格单调递减，
所以函数在上严格单调递减，而，，所以的值域为；
【说明】本题考查了幂函数的定义与解析式的求法，以及利用函数单调性求值域的方法；
10、已知，，且，则下列结论中正确的序号是
①； ②的最小值为16 ； ③的最小值为9； ④的最小值为3；
【提示】注意：用好不等式性质与基本不等式；
【答案】①②③；
【解析】①因为，且，所以，则，故正确；
②因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确；
③因为，且，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故正确；
④因为，且，所以
当且仅当，即 时，等号成立，故错误；
【说明】本题综合考查了不等式性质与基本不等式及其变形；
11、设幂函数的图象过点，则：①的定义域为R；②是奇函数；③是减函数；④当时，，正确的有_______个
【提示】注意数形结合
【答案】2；
【解析】设幂函数且过点，即 ，所以，幂函数为，
其函数图像如下图所示：
由图象可知函数的定义域为，故①错误、②正确；
函数分别在单调递减，但在整个定义域上不是减函数，故③错误；
对于④设点，，点为线段的中点，点，由图可知，点在点的下方，所以．
故④正确.即正确的序号为②④，故答案为：2；
【说明】本题考查了幂函数的定义与解析式的求法，以及利用函数图像进行判断的数形结
合之思想；
12、下列四个命题：①在同一坐标系中，函数与的图像关于原点对称；②函数无最大值；③若函数为偶函数，则函数关于直线对称；④函数的图像可由向右平移个单位得到.其中正确命题的序号是 _________；
【提示】注意：函数性质及其图像特征；
【答案】①③④；
【解析】①设上任意一点满足，点关于原点对称的点的坐标为，即，即，所以点在上，因此在同一坐标系中，函数与的图像关于原点对称，故①正确；
②令，则，显然在上单调递增，在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减，因此在处取得最大值，故②错误；
③因为函数为偶函数，即函数为关于直线对称，而将函数的图像向右平移2个单位即可得到函数的图像，因此对称轴也向右平移两个单位，所以函数关于直线对称，故③正确；
④函数的图像可由向右平移个单位得到，故④正确；
故答案为：①③④；
【说明】本题综合考查了教材研究函数性质、图像的方法、过程；
二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13、已知集合，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【提示】注意：检验集合元素的“互异性”；
【答案】A；
【解析】由题意，集合，即，
（1）若，则，此时，成立；故；
（2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立；
（3）若，即或，
当时，，此时两个集合不可能相等，不成立；
当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立；
综上：，，，故选：A
【说明】本题考查了集合相等、集合元素“互异性”与分类讨论思想；
14、函数且在上严格单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提示】根据分段函数的单调性建立不等式关系进行求解即可；
【答案】D；
【解析】若函数在上为严格单调递减函数，则满足，即，得，故选：D；
【说明】本题主要考查函数单调性的应用，结合分段函数的单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键；
15、已知函数，下列区间中含有的零点的是（ ）
A． B． C． D．
【提示】利用函数的解析式，求出，的值，再利用函数零点的判定定理分析即可得到答案；
【答案】C；
【解析】因为函数，所以，，
所以，根据函数零点的判定定理可得，函数在区间上有零点；故选：C；
【说明】本题考查了函数零点的判定定理的应用，解题的关键是求出区间端点的函数值，判断函数值的乘积是否异
号；
16、若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．（a） B． C．（a） D．
【提示】可取，从而可判断出选项，都错误；可得出，根据是上的减函数可得出（a），
从而判断错误，这样只能选；
【答案】D；
【解析】时，，所以， ，，都错误；
因为，，，是上的减函数，所以，，即错误；
，所以，，且是上的减函数，
所以，，即正确．故选：；
【说明】本题考查了举反例说明不等式不成立的方法，减函数的定义，配方法的运用，考查了计算能力；
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、（本小题满分8分）
已知函数；
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
（2）求解关于的不等式；
【提示】（1）根据题意，由函数的解析式可得，解可得函数的定义域，由奇偶性的定义可得结论，
（2）根据题意，原不等式变形可得，则有，解可得的取值范围，即可得答案；
【解析】（1）根据题意，函数，则有，解可得，
则函数的定义域为，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）由，得，
因为在是减函数，所以有，解得，
因此不等式的解集为；
【说明】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数不等式的解法；
18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知集合，集合，
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围；
【提示】注意：利用数轴直观表示“数的集合”；
【答案】（1），；（2）；
【解析】（1）当时，，，所以，
所以，；
（2）因为，，所以，，
①若时，，解得，符合题意；
②若时，，解得.综上可得；
【说明】在判断集合的关系与进行集合的运算时，分类讨论不要遗漏“”；
19、（本小题满分10分）
中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为的水在室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
从下降到所用时间 1分58秒
从下降到所用时间 3分24秒
从下降到所用时间 4分57秒
（1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却后水温（单位：的函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到．
（2）“碧螺春”用左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（Ⅰ）的条件下，水煮沸后在室温下为获得最佳口感大约冷却　　 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．
（A）5（B）7（C）10
（参考数据：，，，，
【提示】（1）把已知等式变形，化为，分别把三组数据代入，即可求得值；
（2）由（1）得，取求得值即可；
【解析】（1）由，得，即，；
在环境温度为，
选取从下降到所用时间约为2分钟这组数据，
有，即；
选取从下降到所用时间约为3.4分钟这组数据，
有，即；
选取从下降到所用时间约为5分钟这组数据，
有，即．
故；
（2）水煮沸后在室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择．
理由如下：
由（1）得，
当时，有．
所以水煮沸后在室温下大约冷却7分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．
故选：；
【说明】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力；
20、（本小题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分6分）
函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质
：
（1）判断下列函数是否具有性质（1），并说明理由：①； ②；
（2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质．求证：是偶函数；
（3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围；
【提示】（1）直接利用新定义进行分析判断即可；（2）利用反证法，假设二次函数满足性
质，然后经过推理证明，得出矛盾，即可证明；（3）利用新定义，对进行分类讨论，分别研究，，
三种情况，利用恒成立问题的解法进行分析求解即可；
【解析】（1）解：对于①，对于任意实数，可得，
所以具有性质（1）；
对于②，对于任意实，可得．
易知，只需取，则可得（1），所以不具有性质（1）．
（2）证明：设二次函数满足性质．
则对于任意实数，满足．
若，则可取，有，矛盾．
所以，此时即为偶函数．
（3）解：由于，函数的定义域为．
易知．
若函数具有性质，则对于任意实数，
有．
即，即．
由于函数在上单调递增，可得，
即．
当时，得，对任意实数恒成立．
当时，易知，
由，得，得，
得．
依题意，对任意实数恒成立，
所以即．
当时，易知，
由，得，得，
得．
依题意，对任意实数恒成立，
所以，即．
综上所述，的取值范围为，．
【说明】本题考查了新定义的理解和应用，考查了对数函数的性质和对数的运算性质，试
题以函数的有关知识为背景设计问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本
质；
21、（本小题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何，（其中为函
数的定义域），均有成立．
（1）已知函数，判断与集合的关系，并说明理由；
（2）是否存在实数，使得，，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）对于实数，，用表示集合中定义域为区间，的函数的集合，定义：已知是定义在，上的函数，如果存在常数，对区间，的任意划分：，和式恒成立，则称为，上的“绝对差有界函数”，其中常数称为的“绝对差上界”， 的最小值称为的“绝对差上确界”，符号．求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”．
【提示】（1）利用已知条件，通过任取，，，证明
成立，说明属于集合．
（2）若，则有，然后可求出当，时，．
（3）直接利用新定义加以证明，并求出的“绝对差上确界”的值；
【解析】（1）设，，，则，
因为，，所以，
所以，所以函数属于集合；
（2）若函数，，属于集合，
则当，，时，恒成立，
即，对，，恒成立，
所以，对，，恒成立，
因为，，，所以，所以，即，
所以的取值范围为，；
（3）取，，
则对区间，的任意划分，
和式
，
所以集合中的函数是“绝对差有界函数”，
且的“绝对差上确界” ；
【说明】本题考查函数的新定义，解题中需要一定的阅读理解能力；
【沪教版2020】 高一上（期末） 班级 姓名
高一数学试卷 第15页 共4页