2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册（期末复习教学质量检测【4】）word版含答案
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册（期末复习教学质量检测【4】）word版含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 807.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-23 12:02:08 | ||
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文档简介
【学生版】
高一数学第一学期期末教学质量检测【4】
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，
否则一律得零分.
1、函数的定义域是
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
2、不等式＜的解集是
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
3、已知正实数满足，则的值为_____________.
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
4、已知集合，，若，则实数的取值集合是
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
5、关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是
6、关于x的不等式的解集是或，则二次函数的表达式是
7、设，若不等式的解集是，则关于的不等式的解集为
8、已知正实数，满足，的最小值为
9、已知函数的定义域是，满足且对于定义域内任意，都有
10、若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是
_
11、已知函数，则关于的不等式的解集为____
12、若函数，且满足对任意的实数，
都有成立，则实数a的取值范围 （ ）
二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13、“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
14、已知函数可表示为
1 2 3 4
则下列结论正确的是
A． B．的值域是，2，3，
C．的值域是， D．在区间，上单调递增
15、设是函数的零点，则所在的区间为
A． B． C． D．
16、当一个非空数集满足：如果，则，且时，时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数，其中正确的选项是（ ）
A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、（本小题满分8分）
已知集合，；
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，没有元素使与同时成立，求实数的取值范围。
18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知关于的方程有两个不等实根；
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实根为，，且，求实数的值；
19、（本小题满分10分）
某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，
已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：．
（1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入总成本）
（2）若称为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？
20、（本小题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分8分）
设函数；
（1）若，解不等式；
（2）若，解关于的不等式；
21、（本小题满分14分，第1小题满,4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
设函数的定义域为．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质．记为满足性质厂的所有函数的集合．
（1）判断函数和是否属于集合？（结论不要求证明）
（2）若函数，证明：；
（3）记二次函数的全体为集合，证明：．
【教师版】
高一数学第一学期期末教学质量检测【4】
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，
否则一律得零分.
1、函数的定义域是
【提示】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可;
【答案】；
【解析】要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为；
【说明】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本
题的关键；
2、不等式＜的解集是
【提示】注意：先保证有意义，然后依据不等式性质解不等式；
【答案】(－7，3)∪(3，+∞)
【解析】原不等式可化为，解得且；
【说明】本题考查了依据不等式性质解不等式；
3、已知正实数满足，则的值为_____________.
【提示】注意：指数与对数的互化；
【答案】；
【解析】，，
因为，所以，，所以，
，故答案为:；
【说明】本题综合考查了指数与对数的互化、换底公式；
4、已知集合，，若，则实数的取值集合是
【提示】注意：结合数轴；
【答案】；
【解析】因为集合，，，所以，所以实数的
取值集合是；
【说明】本题考查了利用数轴判断集合间的关系，建立有关参数的不等式解之；
5、关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是
【提示】等价转化；
【答案】a＜0；
【解析】由题意知恒成立．因为，所以 a＜0.故答案为：a＜0
【说明】本题结合绝对值的性质考查了不等式解的定义；
6、关于x的不等式的解集是或，则二次函数的表达式是
【提示】注意：四个“二次”之间的关联；
【答案】
【解析】由题意知，－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，
得，；所以，，，
所以，二次函数的表达式是；
【说明】本题考查了：一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式、二次三项式之间
的相互关联与沟通；
7、设，若不等式的解集是，则关于的不等式的解集为
【提示】注意：一元二次方程与一元二次不等式的关联；
【答案】；
【解析】因为不等式的解集是，则，即，
所以，即为，
所以，，解得，即不等式的解集为；
【说明】本题考查了：一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式、二次三项式之间
的相互关联与沟通；
8、已知正实数，满足，的最小值为
【提示】注意：设当变形；
【答案】；
【解析】因为，，，由得，即，
，
当且仅当时取等号；
【说明】本题主要通过代数变形，创设利用基本不等式的条件；
9、已知函数的定义域是，满足且对于定义域内任意，都有成立，那么的值为
【提示】由，可得，从而得到所求；
【答案】3；
【解析】因为，（2）（2）（2），所以，，
所以，；
【说明】赋值法是解答抽象函数的一种基本方法；
10、若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是
_
【提示】注意：“幂函数”；确定解析式，结合单调性进行转化；
【答案】
【解析】由题意，不妨设，因为幂函数过点，
则，解得，故为定义在上的奇函数，且为严格增函数，因为，则，
故，解得，从而实数的取值范围是；故答案为：；
【说明】本题考查了依据幂函数定义利用待定系数法求解析式；然后再通过判断奇偶性与
单调性进行转化；
11、已知函数，则关于的不等式的解集为____
【提示】利用初等函数结合函数运算，判别奇偶性与单调性；
【答案】；
【解析】函数的定义域为，，即函数为上的奇函数，因为函数、、均为上的增函数，故函数为上的增函数，由得，可得，解得.故原不等式的解集为.故答案为：.
【说明】本题通过依据初等函数的性质与图像，判别复合函数的奇偶性与单调性，进行等
价转化；
12、若函数，且满足对任意的实数，
都有成立，则实数a的取值范围 （ ）
【提示】注意：结合题设判断函数的单调性；特别注意分段函数的定义域；
【答案】；
【解析】因为对任意的实数，都有成立，所以函数在上单调递增，
所以，解得，所以实数a的取值范围为；
【说明】本题考查了函数单调性的等价表达形式；通过分段函数以及结合点，进行等价转
化；
二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13、“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【提示】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；
【答案】A
【解析】当时，成立，即充分性成立；
当时，满足，但不成立，即必要性不成立；
则““是““的充分不必要条件，故选：A；
【说明】本题考查依据不等式性质判断命题；与举反例否定命题；
14、已知函数可表示为
1 2 3 4
则下列结论正确的是
A． B．的值域是，2，3，
C．的值域是， D．在区间，上单调递增
【提示】根据表格，结合函数定义域和值域的性质分别进行判断即可；
【答案】B；
【解析】由题意知（4），得（4）（3），故错误，
函数的值域为，2，3，，故正确，错误，
在定义域上不单调，故错误，故选：B；
【说明】本题主要考查函数定义域和值域的判断，结合函数定义域和值域的关系是解决本
题的关键；
15、设是函数的零点，则所在的区间为
A． B． C． D．
【提示】由函数的解析式可得（2），（3），再根据函数的零点的判定定理
求得函数的零点所在的区间；
【答案】C；
【解析】因为，是函数的零点，（2），（3），
所以，函数的零点所在的区间为，故选：C；
【说明】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用；
16、当一个非空数集满足：如果，则，且时，时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数，其中正确的选项是（ ）
A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
【提示】理解新定义；
【答案】D；
【解析】对于①，当且时，由数域定义知：，是任何数域的元素，①正确；
对于②，当且时，由数域定义知：，，，，…，，②正确；
对于③，当，时，，③错误；
对于④，若，则，且当时，，则有理数集是一个数域，④正确；
对于⑤，，若且，则，则这个数不为则必成对出现，所以，数域的元素个数必为奇数，⑤正确；
故选：D；
【说明】本题主要在理解新定义的基础上，利用新定义进行判断；
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、（本小题满分8分）
已知集合，；
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，没有元素使与同时成立，求实数的取值范围。
【提示】注意：在集合化简与运算中进行等价转化；
【答案】（1），；（2）；
【解析】（1）因为，集合，，
，所以，；
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，实数的取值范围是，；
（2）当时，没有元素使与同时成立，
所以，，当时，，解得，
当时，或，解得，
综上，实数的取值范围是，；
【说明】本题主要考查数的集合的化简、运算进行等价转化；注意：分类讨论与“空集是
任何集合的子集”这一集合“考点”；
18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知关于的方程有两个不等实根；
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实根为，，且，求实数的值；
【提示】注意：一元二次方程的判别式和根与系数的关系；
【解析】（1）由题意得：△，解得，
故的取值范围是；
（2）由题意：，故，
即，解得或，
由（1）得：，故；
【说明】本题考查了二次函数的性质，考查根与系数的关系以及转化思想；
19、（本小题满分10分）
某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，
已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：．
（1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入总成本）
（2）若称为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？
【提示】（1）利用利润公式直接解出；（2）将表示出来，利用基本不等式，即可求解．
【解析】（1）当时，；
当时，；所以，
；
（2）由（1）知，，
当时，，
当且仅当，即时取等号；
当时，，此时无最值；
故取200时，公司所获月平均单件利润最大，最大为100元．
【说明】本题考查了函数的应用，基本不等式的应用；
20、（本小题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分8分）
设函数；
（1）若，解不等式；
（2）若，解关于的不等式；
【提示】注意：审题“函数”，结合分类讨论；
【解析】（1）解：当时，由，可得，解得，
故当时，不等式的解集为.
（2）解：由可得.
①当时，原不等式即为，解得；
②当时，方程的两根分别为，.
当时，，解原不等式可得或；
当时，，解原不等式可得；
当时，原不等式即为，该不等式的解集为；
当时，，解原不等式可得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【说明】本题主要通过规范解题，明确、完整、全面地分类讨论；
21、（本小题满分14分，第1小题满,4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
设函数的定义域为．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质．记为满足性质厂的所有函数的集合．
（1）判断函数和是否属于集合？（结论不要求证明）
（2）若函数，证明：；
（3）记二次函数的全体为集合，证明：．
【提示】（1）根据性质的定义判断与是否具有性质，由此判断出函数
和是否属于集合；（2）先根据定义证明函数具有性质，然后即可证
明；（3）将问转化为证明二次函数不具备性质，利用反证法进行证明即可；
【解析】（1）解：函数不属于集合，属于集合；
（2）证明：因为，不妨令，所以，
所以，关于的方程有解，，所以函数具有性质，
则；
（3）证明：根据题意可知，等价于二次函数不具备性质，
假设存在二次函数具备性质，
所以存在常数对于任意都有成立，
即成立，
即成立，
所以，解得，，，
这与假设中的矛盾，所以假设不成立，
故二次函数不具备性质，所以．
【说明】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．
【沪教版2020】 高一上（期末） 班级 姓名
高一数学试卷 第11页 共4页
高一数学第一学期期末教学质量检测【4】
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，
否则一律得零分.
1、函数的定义域是
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
2、不等式＜的解集是
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
3、已知正实数满足，则的值为_____________.
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
4、已知集合，，若，则实数的取值集合是
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
5、关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是
6、关于x的不等式的解集是或，则二次函数的表达式是
7、设，若不等式的解集是，则关于的不等式的解集为
8、已知正实数，满足，的最小值为
9、已知函数的定义域是，满足且对于定义域内任意，都有
10、若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是
_
11、已知函数，则关于的不等式的解集为____
12、若函数，且满足对任意的实数，
都有成立，则实数a的取值范围 （ ）
二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13、“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
14、已知函数可表示为
1 2 3 4
则下列结论正确的是
A． B．的值域是，2，3，
C．的值域是， D．在区间，上单调递增
15、设是函数的零点，则所在的区间为
A． B． C． D．
16、当一个非空数集满足：如果，则，且时，时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数，其中正确的选项是（ ）
A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、（本小题满分8分）
已知集合，；
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，没有元素使与同时成立，求实数的取值范围。
18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知关于的方程有两个不等实根；
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实根为，，且，求实数的值；
19、（本小题满分10分）
某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，
已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：．
（1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入总成本）
（2）若称为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？
20、（本小题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分8分）
设函数；
（1）若，解不等式；
（2）若，解关于的不等式；
21、（本小题满分14分，第1小题满,4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
设函数的定义域为．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质．记为满足性质厂的所有函数的集合．
（1）判断函数和是否属于集合？（结论不要求证明）
（2）若函数，证明：；
（3）记二次函数的全体为集合，证明：．
【教师版】
高一数学第一学期期末教学质量检测【4】
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，
否则一律得零分.
1、函数的定义域是
【提示】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可;
【答案】；
【解析】要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为；
【说明】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本
题的关键；
2、不等式＜的解集是
【提示】注意：先保证有意义，然后依据不等式性质解不等式；
【答案】(－7，3)∪(3，+∞)
【解析】原不等式可化为，解得且；
【说明】本题考查了依据不等式性质解不等式；
3、已知正实数满足，则的值为_____________.
【提示】注意：指数与对数的互化；
【答案】；
【解析】，，
因为，所以，，所以，
，故答案为:；
【说明】本题综合考查了指数与对数的互化、换底公式；
4、已知集合，，若，则实数的取值集合是
【提示】注意：结合数轴；
【答案】；
【解析】因为集合，，，所以，所以实数的
取值集合是；
【说明】本题考查了利用数轴判断集合间的关系，建立有关参数的不等式解之；
5、关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是
【提示】等价转化；
【答案】a＜0；
【解析】由题意知恒成立．因为，所以 a＜0.故答案为：a＜0
【说明】本题结合绝对值的性质考查了不等式解的定义；
6、关于x的不等式的解集是或，则二次函数的表达式是
【提示】注意：四个“二次”之间的关联；
【答案】
【解析】由题意知，－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，
得，；所以，，，
所以，二次函数的表达式是；
【说明】本题考查了：一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式、二次三项式之间
的相互关联与沟通；
7、设，若不等式的解集是，则关于的不等式的解集为
【提示】注意：一元二次方程与一元二次不等式的关联；
【答案】；
【解析】因为不等式的解集是，则，即，
所以，即为，
所以，，解得，即不等式的解集为；
【说明】本题考查了：一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式、二次三项式之间
的相互关联与沟通；
8、已知正实数，满足，的最小值为
【提示】注意：设当变形；
【答案】；
【解析】因为，，，由得，即，
，
当且仅当时取等号；
【说明】本题主要通过代数变形，创设利用基本不等式的条件；
9、已知函数的定义域是，满足且对于定义域内任意，都有成立，那么的值为
【提示】由，可得，从而得到所求；
【答案】3；
【解析】因为，（2）（2）（2），所以，，
所以，；
【说明】赋值法是解答抽象函数的一种基本方法；
10、若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是
_
【提示】注意：“幂函数”；确定解析式，结合单调性进行转化；
【答案】
【解析】由题意，不妨设，因为幂函数过点，
则，解得，故为定义在上的奇函数，且为严格增函数，因为，则，
故，解得，从而实数的取值范围是；故答案为：；
【说明】本题考查了依据幂函数定义利用待定系数法求解析式；然后再通过判断奇偶性与
单调性进行转化；
11、已知函数，则关于的不等式的解集为____
【提示】利用初等函数结合函数运算，判别奇偶性与单调性；
【答案】；
【解析】函数的定义域为，，即函数为上的奇函数，因为函数、、均为上的增函数，故函数为上的增函数，由得，可得，解得.故原不等式的解集为.故答案为：.
【说明】本题通过依据初等函数的性质与图像，判别复合函数的奇偶性与单调性，进行等
价转化；
12、若函数，且满足对任意的实数，
都有成立，则实数a的取值范围 （ ）
【提示】注意：结合题设判断函数的单调性；特别注意分段函数的定义域；
【答案】；
【解析】因为对任意的实数，都有成立，所以函数在上单调递增，
所以，解得，所以实数a的取值范围为；
【说明】本题考查了函数单调性的等价表达形式；通过分段函数以及结合点，进行等价转
化；
二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13、“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【提示】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；
【答案】A
【解析】当时，成立，即充分性成立；
当时，满足，但不成立，即必要性不成立；
则““是““的充分不必要条件，故选：A；
【说明】本题考查依据不等式性质判断命题；与举反例否定命题；
14、已知函数可表示为
1 2 3 4
则下列结论正确的是
A． B．的值域是，2，3，
C．的值域是， D．在区间，上单调递增
【提示】根据表格，结合函数定义域和值域的性质分别进行判断即可；
【答案】B；
【解析】由题意知（4），得（4）（3），故错误，
函数的值域为，2，3，，故正确，错误，
在定义域上不单调，故错误，故选：B；
【说明】本题主要考查函数定义域和值域的判断，结合函数定义域和值域的关系是解决本
题的关键；
15、设是函数的零点，则所在的区间为
A． B． C． D．
【提示】由函数的解析式可得（2），（3），再根据函数的零点的判定定理
求得函数的零点所在的区间；
【答案】C；
【解析】因为，是函数的零点，（2），（3），
所以，函数的零点所在的区间为，故选：C；
【说明】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用；
16、当一个非空数集满足：如果，则，且时，时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数，其中正确的选项是（ ）
A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
【提示】理解新定义；
【答案】D；
【解析】对于①，当且时，由数域定义知：，是任何数域的元素，①正确；
对于②，当且时，由数域定义知：，，，，…，，②正确；
对于③，当，时，，③错误；
对于④，若，则，且当时，，则有理数集是一个数域，④正确；
对于⑤，，若且，则，则这个数不为则必成对出现，所以，数域的元素个数必为奇数，⑤正确；
故选：D；
【说明】本题主要在理解新定义的基础上，利用新定义进行判断；
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、（本小题满分8分）
已知集合，；
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，没有元素使与同时成立，求实数的取值范围。
【提示】注意：在集合化简与运算中进行等价转化；
【答案】（1），；（2）；
【解析】（1）因为，集合，，
，所以，；
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，实数的取值范围是，；
（2）当时，没有元素使与同时成立，
所以，，当时，，解得，
当时，或，解得，
综上，实数的取值范围是，；
【说明】本题主要考查数的集合的化简、运算进行等价转化；注意：分类讨论与“空集是
任何集合的子集”这一集合“考点”；
18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知关于的方程有两个不等实根；
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实根为，，且，求实数的值；
【提示】注意：一元二次方程的判别式和根与系数的关系；
【解析】（1）由题意得：△，解得，
故的取值范围是；
（2）由题意：，故，
即，解得或，
由（1）得：，故；
【说明】本题考查了二次函数的性质，考查根与系数的关系以及转化思想；
19、（本小题满分10分）
某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，
已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：．
（1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入总成本）
（2）若称为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？
【提示】（1）利用利润公式直接解出；（2）将表示出来，利用基本不等式，即可求解．
【解析】（1）当时，；
当时，；所以，
；
（2）由（1）知，，
当时，，
当且仅当，即时取等号；
当时，，此时无最值；
故取200时，公司所获月平均单件利润最大，最大为100元．
【说明】本题考查了函数的应用，基本不等式的应用；
20、（本小题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分8分）
设函数；
（1）若，解不等式；
（2）若，解关于的不等式；
【提示】注意：审题“函数”，结合分类讨论；
【解析】（1）解：当时，由，可得，解得，
故当时，不等式的解集为.
（2）解：由可得.
①当时，原不等式即为，解得；
②当时，方程的两根分别为，.
当时，，解原不等式可得或；
当时，，解原不等式可得；
当时，原不等式即为，该不等式的解集为；
当时，，解原不等式可得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【说明】本题主要通过规范解题，明确、完整、全面地分类讨论；
21、（本小题满分14分，第1小题满,4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
设函数的定义域为．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质．记为满足性质厂的所有函数的集合．
（1）判断函数和是否属于集合？（结论不要求证明）
（2）若函数，证明：；
（3）记二次函数的全体为集合，证明：．
【提示】（1）根据性质的定义判断与是否具有性质，由此判断出函数
和是否属于集合；（2）先根据定义证明函数具有性质，然后即可证
明；（3）将问转化为证明二次函数不具备性质，利用反证法进行证明即可；
【解析】（1）解：函数不属于集合，属于集合；
（2）证明：因为，不妨令，所以，
所以，关于的方程有解，，所以函数具有性质，
则；
（3）证明：根据题意可知，等价于二次函数不具备性质，
假设存在二次函数具备性质，
所以存在常数对于任意都有成立，
即成立，
即成立，
所以，解得，，，
这与假设中的矛盾，所以假设不成立，
故二次函数不具备性质，所以．
【说明】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．
【沪教版2020】 高一上（期末） 班级 姓名
高一数学试卷 第11页 共4页