2021-2022学年青岛版九年级数学下册 5.2反比例函数与三角形面积专题（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年青岛版九年级数学下册 5.2反比例函数与三角形面积专题（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 366.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 青岛版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-23 14:35:18 | ||
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文档简介
九年级数学反比例函数专题
求三角形面积问题
方法：水平宽铅垂高÷2
（）
注：水平宽铅垂高求面积的方法本质上属于分割的方法。
【练习】
1．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝的图象在第一象限内的部分交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，其中OA＝OB＝OD＝2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）若点P在y轴上，且,求点P的坐标。
2．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，直接写出自变量x的取值范围。
（3）若点D与点C关于x轴对称，点P为y轴上一点，且S△ABD＝S△ACP，求点P的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（k＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．
（1）求k的值；（2）根据图象，直接写出当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集；
（3）求△AOD的面积．
4．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3．
（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线y＝﹣x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．
5．如图，已知A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）是一次函数y＝ax+b与反比例函数（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
6．如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．
7．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，E是CD上一点（不与C、D重合），连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F．
（1）若DE＝2，求cos∠ABF的值；
（2）设AE＝x，BF＝y，①求y关于x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围；②问当点E从D运动到C，BF的值在增大还是减小？并说明理由．
（3）当△AEB为等腰三角形时，求BF的长．
8．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；
（3）求△OAP的面积．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且△BOC的面积为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？
12．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求一次函数y＝﹣x+b和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；
（2）求△AOB的面积．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．
14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．
15．如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y＝的解析式；
（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点A（﹣4，0），AB＝2BC．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
18．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接OD，求△BOD的面积．
19．如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．
20．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．
九年级数学反比例函数专题
参考答案与试题解析
1．解：（1）∵OA＝OB＝OD＝2．
∴A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2），
∵OB∥CD，
∴OB：CD＝OA：AD，
∴CD＝＝4，
∴C点坐标为（2，4），
（2）把C（2，4）代入，得m＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为，
把A（﹣2，0），B（0，2）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2．
2．解：（1）∵点B（2，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣1＝，
解得，m＝﹣2，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
∵点A（﹣1，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴n＝﹣＝2，
∴点A的坐标为（﹣1，2），
则，
解得，，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）对于y＝﹣x+1，当x＝0时，y＝1，
∴点C的坐标为（0，1），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（0，﹣1），
∴BD∥x轴，且BD＝2，
∴S△ABD＝×2×3＝3，
设点P的坐标为（0，m），
由题意得，×|m﹣1|×1＝3，
解得，m＝﹣5或7，
∴点P的坐标为（0，﹣5）或（0，7）．
3．解：（1）y＝﹣x+5，
当y＝0时，x＝5，
即OC＝5，C点的坐标是（5，0），
过A作AM⊥x轴于M，
∵S△AOC＝15，
∴＝15，
解得：AM＝6，
即A点的纵坐标是6，
把y＝6代入y＝﹣x+5得：x＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，6），
把A点的坐标代入y＝得：k＝﹣6；
（2）当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集是﹣1＜x＜0；
（3）∵CD：AC＝2：3，
∴CD：AD＝2：1，
∵S△AOC＝15，
∴△AOD的面积＝S△AOC＝＝7.5．
4．解：（1）令一次函数y＝﹣x中y＝3，则3＝﹣x，
解得：x＝﹣6，即点A的坐标为（﹣6，3）．
∵点A（﹣6，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣6×3＝﹣18，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）设平移后直线于y轴交于点F，连接AF、BF如图所示．
设平移后的解析式为y＝﹣x+b，
∵该直线平行直线AB，
∴S△ABC＝S△ABF，
∵△ABC的面积为48，
∴S△ABF＝OF （xB﹣xA）＝48，
由对称性可知：xB＝﹣xA，
∵xA＝﹣6，
∴xB＝6，
∴b×12＝48，
∴b＝8．
∴平移后的直线的函数表达式为y＝﹣x+8．
5．解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）把A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，
，解得，
所以一次函数解析式为y＝x+；
把B（﹣1，2）代入，得m＝﹣1×2＝﹣2；
（3）连接PC、PD，如图，设P点坐标为（t，t+）．
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴ （t+4）＝ 1 （2﹣t﹣），
解得t＝﹣，
∴P点坐标为（﹣，）．
6．解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，
∴|k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝2，
故反比例函数的解析式为：y＝；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则PA+PB最小．
由，解得，或，
∴A（1，2），B（4，），
∴A′（﹣1，2），最小值A′B＝＝．
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+，
∴x＝0时，y＝，
∴P点坐标为（0，）．
7．解：（1）∵BF⊥AE，
∴∠FBA+∠FAB＝90°，∠AFB＝90°，
∵∠D＝∠AFB＝90°，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠FBA＝∠EAD，
∴△ABF∽△EDA
∵DE＝2，AD＝3，
∴AE＝，
∴cos∠ABF＝＝＝；
（2）根据（1）可知：
①＝即y＝；
②减小，因为y＝中，每个象限内，y随x的增大而减小；
（3）当△AEB为等腰三角形时，有3种情况：
a、当AB＝BE时，则BE＝5，则CE＝＝4，∴DE＝5﹣4＝1，
∴AE＝＝，
∴AF＝，
∴BF＝；
b、当AE＝BE时，E为CD中点，则DE＝2.5，AE＝，
∵AD AB＝BF AE，
∴3×5＝BF×，
∴BF＝；
c、当AB＝AE＝5时，△ABF≌△AED，则BF＝AD＝3．
所以BF的值为：或 或3．
8.解：（1）将点A（4，3）代入y＝（k≠0），
得：k＝12，
则反比例函数解析式为y＝；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC＝4、AC＝3，
∴OA＝＝5，
∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，
∴点B的坐标为（9，3）；
设OB所在直线解析式为y＝mx（m≠0），
将点B（9，3）代入得m＝，
∴OB所在直线解析式为y＝x；
（3）联立解析式：
解得：，
可得点P坐标为（6，2），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，
则点E坐标为（6，3），
∴AE＝2，PE＝1，PD＝2，
则△OAP的面积＝×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1＝5．
8．解：（1）由得，
∴A（﹣2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的表达式是y＝﹣；
（2）解得或，
∴B（﹣8，1），
由直线AB的解析式为y＝x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），
∴S△AOB＝×10×4﹣×10×1＝15．
9．解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x得：，
解得：，故点A（﹣2，4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y＝﹣②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y＝x+5交x轴于点C，
令y＝0，则x+5＝0，
∴x＝﹣10，
∴C（﹣10，0），
过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC AMOC BN＝．
10．解：（1）一次函数y＝﹣x+5中，令y＝0，解得x＝5，
∴C（5，0），
∴OC＝5，
作BD⊥OC于D，
∵△BOC的面积为，
∴OC BD＝，即BD＝，
∴BD＝1，
∴点B的纵坐标为1，
代入y＝﹣x+5中，求得x＝4，
∴B（4，1），
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过B点，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝﹣x+5﹣m，
∵直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，
∴＝﹣x+5﹣m，
整理得x2+（m﹣5）x+4＝0，
△＝（m﹣5）2﹣4×1×4＝0，解得m＝9或m＝1，
即m的值为1或9．
11．解：（1）∵点A在反比例函数y＝上，
∴﹣2m＝﹣10，
解得m＝5，
∴点A坐标为（﹣2，5）．
把（﹣2，5）代入y＝﹣x+b得5＝1+b，
解得b＝4，
∴一次函数表达式为y＝x+4，
把B（4，n）代入y＝x+4得n＝﹣2+4＝2，
∴点B坐标为（4，2），
∵点B在反比例函数y＝图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数表达式为y＝．
（2）把x＝0代入y＝x+4得y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×2+×4×4＝12．
12．解：（1）由题意得点A的坐标为（，2），点B的坐标为（1，k），
又AC∥x轴，且△ACB为直角三角形，
∴点C的坐标为（1，2），
又CE＝1，
∴点E的坐标为（2，2），
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
在Rt△BCE中，EB2＝BC2+CE2，
∴1+（k﹣2）2＝，
∴k＝2或，
当k＝2时，点A，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去，
∴k＝，
∴C（1，2），E（2，2），k＝；
（2）由（1）可得，AC＝，BC＝，CE＝1，
设AB的中点为D，
AB＝＝，BD＝＝，
∵∠ABC＝∠MBD，∠BDM＝∠BCA＝90°，
∴△BDM∽△BCA，
∴＝，
∴BM＝×＝，
∴S△MBE＝＝×1＝．
13．解：（1）把点A（2，6）代入y＝，k＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵将点A向右平移2个单位，
∴x＝4，
当x＝4时，y＝＝3，
∴B（4，3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
由题意可得，
解得，
∴y＝﹣x+9，
当x＝0时，y＝9，
∴C（0，9）；
（2）由（1）知CD＝9﹣5＝4，
∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD |xB|﹣CD |xA|＝×4×4﹣×4×2＝4．
14．解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴2＝，解得a＝2，
∴A（2，2），
设直线OA解析式为y＝mx，
则2＝2m，解得m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x；
（2）由（1）知：A（2，2），
∵AB∥x轴，且交y轴于点C，
∴AC＝2，
∵AC＝2BC，
∴BC＝1，
∴B（﹣1，2），
把B（﹣1，2）代入y＝得：2＝，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数y＝的解析式为y＝；
（3）设D（t，），而A（2，2），
∴AD中点E（，+1），
而E在y轴上，
∴＝0，解得t＝﹣2，
∴D（﹣2，1），E（0，），
∴S△DOE＝OE |xD|＝××2＝，
S△AOE＝OE |xA|＝××2＝，
∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3．
15．解：（1）作CD⊥y轴于D，
则△ABO∽△CBD，
∴，
∵AB＝2BC，
∴AO＝2CD，
∵点A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∴CD＝2，
∵点A（﹣4，0）在一次函数y＝x+b的图象上，
∴b＝2，
∴，
当x＝2时，y＝3，
∴C（2，3），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2×3＝6；
（2）作CE⊥x轴于E，
S△AOC＝．
16．解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，
∴B点坐标满足一次函数解析式，
∴，
∴m＝3，
∴B（3，2），
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵BC⊥y轴，
∴C（0，2），BC∥x轴，
∴BC＝3，
令x＝0，则y＝，
∴A（0，﹣2），
∴AC＝4，
∴，
∴△ABC的面积为6．
17．解：（1）由y2＝过点C（1，2）和D（2，n）可得：
，
解得：，
故y2＝，
又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1）可得：
，
解得，
故y1＝﹣x+3．
（2）由y1＝﹣x+3过点B，可知B（0，3），
故OB＝3，
而点D到y轴的距离为2，
∴S△BOD＝＝3．
18．解：（1）把A（1，m）代入y＝2x中，
得m＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
把点A（1，2）代入y＝中，
得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，
设点C的坐标为（a，0），
∵点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，
S△BOC＝＝，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∴点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
19．解：（1）由题意可得：
点B（3，﹣2）在反比例函数图象上，
∴，则m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（﹣1，n）代入，
得：，即A（﹣1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
|a﹣2|＝4，即|a﹣2|＝4，
解得：a＝1或a＝3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
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求三角形面积问题
方法：水平宽铅垂高÷2
（）
注：水平宽铅垂高求面积的方法本质上属于分割的方法。
【练习】
1．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝的图象在第一象限内的部分交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，其中OA＝OB＝OD＝2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）若点P在y轴上，且,求点P的坐标。
2．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，直接写出自变量x的取值范围。
（3）若点D与点C关于x轴对称，点P为y轴上一点，且S△ABD＝S△ACP，求点P的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（k＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．
（1）求k的值；（2）根据图象，直接写出当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集；
（3）求△AOD的面积．
4．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3．
（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线y＝﹣x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．
5．如图，已知A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）是一次函数y＝ax+b与反比例函数（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
6．如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．
7．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，E是CD上一点（不与C、D重合），连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F．
（1）若DE＝2，求cos∠ABF的值；
（2）设AE＝x，BF＝y，①求y关于x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围；②问当点E从D运动到C，BF的值在增大还是减小？并说明理由．
（3）当△AEB为等腰三角形时，求BF的长．
8．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；
（3）求△OAP的面积．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且△BOC的面积为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？
12．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求一次函数y＝﹣x+b和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；
（2）求△AOB的面积．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．
14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．
15．如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y＝的解析式；
（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点A（﹣4，0），AB＝2BC．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
18．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接OD，求△BOD的面积．
19．如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．
20．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．
九年级数学反比例函数专题
参考答案与试题解析
1．解：（1）∵OA＝OB＝OD＝2．
∴A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2），
∵OB∥CD，
∴OB：CD＝OA：AD，
∴CD＝＝4，
∴C点坐标为（2，4），
（2）把C（2，4）代入，得m＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为，
把A（﹣2，0），B（0，2）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2．
2．解：（1）∵点B（2，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣1＝，
解得，m＝﹣2，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
∵点A（﹣1，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴n＝﹣＝2，
∴点A的坐标为（﹣1，2），
则，
解得，，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）对于y＝﹣x+1，当x＝0时，y＝1，
∴点C的坐标为（0，1），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（0，﹣1），
∴BD∥x轴，且BD＝2，
∴S△ABD＝×2×3＝3，
设点P的坐标为（0，m），
由题意得，×|m﹣1|×1＝3，
解得，m＝﹣5或7，
∴点P的坐标为（0，﹣5）或（0，7）．
3．解：（1）y＝﹣x+5，
当y＝0时，x＝5，
即OC＝5，C点的坐标是（5，0），
过A作AM⊥x轴于M，
∵S△AOC＝15，
∴＝15，
解得：AM＝6，
即A点的纵坐标是6，
把y＝6代入y＝﹣x+5得：x＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，6），
把A点的坐标代入y＝得：k＝﹣6；
（2）当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集是﹣1＜x＜0；
（3）∵CD：AC＝2：3，
∴CD：AD＝2：1，
∵S△AOC＝15，
∴△AOD的面积＝S△AOC＝＝7.5．
4．解：（1）令一次函数y＝﹣x中y＝3，则3＝﹣x，
解得：x＝﹣6，即点A的坐标为（﹣6，3）．
∵点A（﹣6，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣6×3＝﹣18，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）设平移后直线于y轴交于点F，连接AF、BF如图所示．
设平移后的解析式为y＝﹣x+b，
∵该直线平行直线AB，
∴S△ABC＝S△ABF，
∵△ABC的面积为48，
∴S△ABF＝OF （xB﹣xA）＝48，
由对称性可知：xB＝﹣xA，
∵xA＝﹣6，
∴xB＝6，
∴b×12＝48，
∴b＝8．
∴平移后的直线的函数表达式为y＝﹣x+8．
5．解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）把A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，
，解得，
所以一次函数解析式为y＝x+；
把B（﹣1，2）代入，得m＝﹣1×2＝﹣2；
（3）连接PC、PD，如图，设P点坐标为（t，t+）．
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴ （t+4）＝ 1 （2﹣t﹣），
解得t＝﹣，
∴P点坐标为（﹣，）．
6．解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，
∴|k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝2，
故反比例函数的解析式为：y＝；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则PA+PB最小．
由，解得，或，
∴A（1，2），B（4，），
∴A′（﹣1，2），最小值A′B＝＝．
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+，
∴x＝0时，y＝，
∴P点坐标为（0，）．
7．解：（1）∵BF⊥AE，
∴∠FBA+∠FAB＝90°，∠AFB＝90°，
∵∠D＝∠AFB＝90°，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠FBA＝∠EAD，
∴△ABF∽△EDA
∵DE＝2，AD＝3，
∴AE＝，
∴cos∠ABF＝＝＝；
（2）根据（1）可知：
①＝即y＝；
②减小，因为y＝中，每个象限内，y随x的增大而减小；
（3）当△AEB为等腰三角形时，有3种情况：
a、当AB＝BE时，则BE＝5，则CE＝＝4，∴DE＝5﹣4＝1，
∴AE＝＝，
∴AF＝，
∴BF＝；
b、当AE＝BE时，E为CD中点，则DE＝2.5，AE＝，
∵AD AB＝BF AE，
∴3×5＝BF×，
∴BF＝；
c、当AB＝AE＝5时，△ABF≌△AED，则BF＝AD＝3．
所以BF的值为：或 或3．
8.解：（1）将点A（4，3）代入y＝（k≠0），
得：k＝12，
则反比例函数解析式为y＝；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC＝4、AC＝3，
∴OA＝＝5，
∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，
∴点B的坐标为（9，3）；
设OB所在直线解析式为y＝mx（m≠0），
将点B（9，3）代入得m＝，
∴OB所在直线解析式为y＝x；
（3）联立解析式：
解得：，
可得点P坐标为（6，2），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，
则点E坐标为（6，3），
∴AE＝2，PE＝1，PD＝2，
则△OAP的面积＝×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1＝5．
8．解：（1）由得，
∴A（﹣2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的表达式是y＝﹣；
（2）解得或，
∴B（﹣8，1），
由直线AB的解析式为y＝x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），
∴S△AOB＝×10×4﹣×10×1＝15．
9．解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x得：，
解得：，故点A（﹣2，4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y＝﹣②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y＝x+5交x轴于点C，
令y＝0，则x+5＝0，
∴x＝﹣10，
∴C（﹣10，0），
过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC AMOC BN＝．
10．解：（1）一次函数y＝﹣x+5中，令y＝0，解得x＝5，
∴C（5，0），
∴OC＝5，
作BD⊥OC于D，
∵△BOC的面积为，
∴OC BD＝，即BD＝，
∴BD＝1，
∴点B的纵坐标为1，
代入y＝﹣x+5中，求得x＝4，
∴B（4，1），
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过B点，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝﹣x+5﹣m，
∵直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，
∴＝﹣x+5﹣m，
整理得x2+（m﹣5）x+4＝0，
△＝（m﹣5）2﹣4×1×4＝0，解得m＝9或m＝1，
即m的值为1或9．
11．解：（1）∵点A在反比例函数y＝上，
∴﹣2m＝﹣10，
解得m＝5，
∴点A坐标为（﹣2，5）．
把（﹣2，5）代入y＝﹣x+b得5＝1+b，
解得b＝4，
∴一次函数表达式为y＝x+4，
把B（4，n）代入y＝x+4得n＝﹣2+4＝2，
∴点B坐标为（4，2），
∵点B在反比例函数y＝图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数表达式为y＝．
（2）把x＝0代入y＝x+4得y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×2+×4×4＝12．
12．解：（1）由题意得点A的坐标为（，2），点B的坐标为（1，k），
又AC∥x轴，且△ACB为直角三角形，
∴点C的坐标为（1，2），
又CE＝1，
∴点E的坐标为（2，2），
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
在Rt△BCE中，EB2＝BC2+CE2，
∴1+（k﹣2）2＝，
∴k＝2或，
当k＝2时，点A，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去，
∴k＝，
∴C（1，2），E（2，2），k＝；
（2）由（1）可得，AC＝，BC＝，CE＝1，
设AB的中点为D，
AB＝＝，BD＝＝，
∵∠ABC＝∠MBD，∠BDM＝∠BCA＝90°，
∴△BDM∽△BCA，
∴＝，
∴BM＝×＝，
∴S△MBE＝＝×1＝．
13．解：（1）把点A（2，6）代入y＝，k＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵将点A向右平移2个单位，
∴x＝4，
当x＝4时，y＝＝3，
∴B（4，3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
由题意可得，
解得，
∴y＝﹣x+9，
当x＝0时，y＝9，
∴C（0，9）；
（2）由（1）知CD＝9﹣5＝4，
∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD |xB|﹣CD |xA|＝×4×4﹣×4×2＝4．
14．解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴2＝，解得a＝2，
∴A（2，2），
设直线OA解析式为y＝mx，
则2＝2m，解得m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x；
（2）由（1）知：A（2，2），
∵AB∥x轴，且交y轴于点C，
∴AC＝2，
∵AC＝2BC，
∴BC＝1，
∴B（﹣1，2），
把B（﹣1，2）代入y＝得：2＝，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数y＝的解析式为y＝；
（3）设D（t，），而A（2，2），
∴AD中点E（，+1），
而E在y轴上，
∴＝0，解得t＝﹣2，
∴D（﹣2，1），E（0，），
∴S△DOE＝OE |xD|＝××2＝，
S△AOE＝OE |xA|＝××2＝，
∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3．
15．解：（1）作CD⊥y轴于D，
则△ABO∽△CBD，
∴，
∵AB＝2BC，
∴AO＝2CD，
∵点A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∴CD＝2，
∵点A（﹣4，0）在一次函数y＝x+b的图象上，
∴b＝2，
∴，
当x＝2时，y＝3，
∴C（2，3），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2×3＝6；
（2）作CE⊥x轴于E，
S△AOC＝．
16．解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，
∴B点坐标满足一次函数解析式，
∴，
∴m＝3，
∴B（3，2），
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵BC⊥y轴，
∴C（0，2），BC∥x轴，
∴BC＝3，
令x＝0，则y＝，
∴A（0，﹣2），
∴AC＝4，
∴，
∴△ABC的面积为6．
17．解：（1）由y2＝过点C（1，2）和D（2，n）可得：
，
解得：，
故y2＝，
又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1）可得：
，
解得，
故y1＝﹣x+3．
（2）由y1＝﹣x+3过点B，可知B（0，3），
故OB＝3，
而点D到y轴的距离为2，
∴S△BOD＝＝3．
18．解：（1）把A（1，m）代入y＝2x中，
得m＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
把点A（1，2）代入y＝中，
得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，
设点C的坐标为（a，0），
∵点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，
S△BOC＝＝，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∴点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
19．解：（1）由题意可得：
点B（3，﹣2）在反比例函数图象上，
∴，则m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（﹣1，n）代入，
得：，即A（﹣1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
|a﹣2|＝4，即|a﹣2|＝4，
解得：a＝1或a＝3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
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