(共21张PPT)
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
1.掌握等式的性质,能够对二次三项式实施因式分解,会通过因式分解解一元
二次方程.
2.理解一元二次方程根与系数的关系.
等式的性质
(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式,等式仍成立.
如果a=b,那么a±c=① b±c .
(2)等式的两边同时乘(或除以)同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.
如果a=b,那么ac=② bc ;
如果a=b,c≠0,那么 =③ .
因式分解
1.恒等式
平方差公式:a2-b2=④ (a+b)(a-b) .
两数和(差)的平方公式:
(a±b)2=⑤ a2±2ab+b2 .
立方差与立方和公式:
a3±b3=⑥ (a±b)(a2 ab+b2) .
关于x的二次三项式x2+(a+b)x+ab可分解为(x+a)(x+b).
十字左边相乘等于x2,是二次项;
十字右边相乘等于ab,是常数项.
交叉相乘为bx和ax,再相加就是ax+bx=(a+b)x,是一次项.
助记法则:竖分常数交叉验,横写因式不能乱.
图示解读:
2.十字相乘法
配方法 解法步骤:(1)化二次项系数为⑦ 1 ;(2)移项:把
⑧ 常数 项移到方程的右边,二次项和一次项
移到方程的左边;(3)配方:方程两边都加上⑨
一次项系数一半的平方 ,使左边配成一个式子
平方的形式;(4)解方程:若方程右边是非负数,通
过直接开平方法求方程的根
公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,x
=⑩
一元二次方程的解法
因式分 解法 一元二次方程化为一般形式后,如果左边能分解
因式,即产生A·B=0的形式,则可将原方程化为两
个 一元一次 方程,即A=0或B=0,从而得方
程的两根
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是 b2-4ac ,通常用符号
Δ 来表示.利用根的判别式,不解方程就可以判断方程根的情况:当 Δ>0
时,方程有两个不相等的实数根;当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根;当
Δ<0 时,方程没有实数根.
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,设这个方程的两根为x1,x2,
则x1+x2= - ,x1x2= .
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.将方程2(x-1)=3(x-1)的两边同除以(x-1),得2=3,其错误的原因是不能确定x-1的
值是不是0. ( √ )
方程两边不能同时除以(x-1),因为不能确定x-1的值是不是0.
2.利用平方差公式计算(2x-5)(-2x-5)的结果是4x2-25. ( )
(2x-5)(-2x-5)=-(2x-5)(2x+5)=-(4x2-25)=25-4x2.
3.y2+7y-18=(y-9)(y+2). ( )
y2+7y-18=(y+9)(y-2).
4.若方程25x2-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则k的值为11. (
)
根据题意知-(k-1)=±2×5×1,∴1-k=±10,即1-k=10或1-k=-10,得k=-9或k=11.
5.若k>1,则关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0有两个正根. ( √ )
Δ=[-(4k+1)]2-4×2(2k2-1)=8k+9,∵k>1,∴Δ>17,∴方程有两个不相等的实数根,设为
x1,x2,∴x1+x2= > >0,x1·x2= > >0,∴x1>0,x2>0,∴方程有两个正根.
将多项式乘法公式:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab从右到左使用,即可得到“十字相乘
法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
示例:
分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).
已知关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.
问题
1.方程是否总有两个实数根
提示:利用判别式Δ的值与零的大小关系来判断,因为Δ=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=(k-
1)2≥0,所以方程总有两个实数根.
因式分解与解方程
2.x2-(k+3)x+2k+2能用“十字相乘法”进行因式分解吗
提示:能,x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1).
3.若上述方程有一个根小于1,如何求k的取值范围
提示:∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,
∴x1=2,x2=k+1.
∵方程有一个根小于1,∴k+1<1,解得k<0,
∴k的取值范围为k<0.
十字相乘法分解因式的基本模型为:ax2+bx+c=(a1x+c1)·(a2x+c2)(a≠0).其实质是二
项式乘法的逆运算,关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积,把常数项c分
解成两个因数c1,c2的积,并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b,即“十字”左边相
乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.务必
注意各项系数的符号.
一元二次方程的解法:
方法名称 理论依据 适用范围
直接降 次法 平方根的意义 形如x2=p或(mx+n)2=p(m≠0,p≥
0)的一元二次方程
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程
公式法 求根公式 所有一元二次方程
因式分 解法 若ab=0,则a=0或b=0 一边为0,另一边易于分解成两
个一次因式的积的形式的一元
二次方程
拔高问题
4.应用因式分解法解一元二次方程的关键是什么
提示:正确分解因式,化二次方程为一次方程.
破疑典例
( )在解方程(x+2)(x-2)=5时,甲同学说:由于5=1×5,可令x+2=1,x-2=5,得方程
的根为x1=-1,x2=7;乙同学说:应把方程右边化为0,得x2-9=0,再分解因式,即(x+3)(x-
3)=0,得方程的根为x1=-3,x2=3.对于甲、乙两名同学的说法,下列判断正确的是( )
A.甲错误,乙正确
B.甲正确,乙错误
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都错误
A 原方程整理得x2-9=0,分解因式得(x+3)(x-3)=0,于是有x+3=0或x-3=0,∴x1=-3,x2
=3,∴甲错误,乙正确.故选A.
一元二次方程根与系数的关系
设x1,x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠
0)的根与系数的关系为x1+x2=- ,x1·x2= .运用根与系数的关系需掌握以下变形:
① + =(x1+x2)2-2x1x2;
②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;
③ + = ;
④|x1-x2|= = ,
|x1-x2|=
= = = .
一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系:Δ>0 方程有两个不相等的实数根;Δ=
0 方程有两个相等的实数根;Δ<0 方程没有实数根.
破疑典例
1.( )已知x1,x2是一元二次方程(m-3)·x2+2mx+m=0的两个实数根.
(1)是否存在实数m,使-x1+x1x2=4+x2成立 若存在,求出m的值,若不存在,请说明理
由;
(2)若|x1-x2|= ,求m的值和此时方程的解集.
解析 (1)存在.∵x1,x2是一元二次方程(m-3)x2+2mx+m=0的两个实数根,
∴m-3≠0且Δ=4m2-4m(m-3)≥0,
∴m的取值范围为m≥0且m≠3.
根据根与系数的关系得
x1+x2=- ,x1·x2= ,
∵-x1+x1x2=4+x2,
∴x1x2=4+x1+x2,
∴ =4- ,∴m=12.
(2)∵|x1-x2|= ,
∴(x1-x2)2=3,即(x1+x2)2-4x1x2=3,
∴ -4× =3,解得m1=1,m2=9.
当m=1时,原方程变形为2x2-2x-1=0,解得x1= ,x2= ,此时方程的解集为
;
当m=9时,原方程变形为2x2+6x+3=0,解得x1= ,x2= ,此时方程的解集为
.
方法指导 明确一元二次方程根与系数的关系,结合待求代数式的变形应用,将
求得的两根之和与两根之积整体代入求值.
2.(2019浙江杭州外国语学校期中, )已知3m2-7m-2=0,2n2+7n-3=0且mn≠1,求
的值.
解析 由3m2-7m-2=0及2n2+7n-3=0,可知m≠0,n≠0,
又∵mn≠1,∴m≠ .
2n2+7n-3=0可变形为3 -7 -2=0,
根据3m2-7m-2=0和3 -7 -2=0的特征知,m、 是方程3x2-7x-2=0的两个不相
等的实数根,
根据根与系数的关系可得
m+ = , =- ,
∴ = ,
∴ = ,∴ = .(共15张PPT)
2.1.3 方程组的解集
1.掌握一次方程组的解法.
2.理解方程组在实际问题中的应用.
方程组的解集
一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到
的交集称为这个方程组的解集.
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质,常用的方法是消元法.
方程组的应用
利用方程组解应用题的步骤:审、设、列、解、验、答.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.二元一次方程组的解 用集合可表示为{(1,1)}. ( √ )
2.方程组的解集一定是有限集. ( )
3.当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能含有无穷多个
元素. ( √ )
4.方程组 的解集可以写成{(x,y,z)|x=z+3,y=2z+2,z∈R}也可以写成
或{(x,y,z)|y=2x-4,z=x-3,x∈R}. ( √ )
某森林公园从正门到侧门有一条道路供游客运动,甲徒步从正门出发匀速走
向侧门,走了一段时间开始休息,休息了0.6小时后仍按原速继续行走.乙与甲同时
出发,骑自行车从侧门匀速前往正门,到达正门后休息0.2小时,然后按原路原速匀
速返回侧门.图中折线分别表示甲、乙与侧门的距离y(km)与时间x(h)之间的函数
关系.根据图像信息解答下列问题.
一次方程组在实际问题中的应用
问题
1.求甲在休息前与侧门的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系式.
提示:设甲在休息前与侧门的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系式为y=kx+b(k
≠0),0≤x≤1.2,∵点(0,15)和点(1,10)在此函数的图像上,∴ 解得k=-5,b=
15.∴y=-5x+15(0≤x≤1.2).
∴甲在休息前与侧门的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系式为y=-5x+15(0≤x
≤1.2).
2.甲、乙出发多长时间第一次相遇
提示:设乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式为y=mx(m≠0),0≤x
≤1,将(1,15)代入可得m=15,∴乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系
式为y=15x(0≤x≤1),
∴ 解得x=0.75.
∴甲、乙出发0.75 h第一次相遇.
3.乙回到侧门时,甲与侧门的距离是多少
提示:设甲休息了0.6小时后仍按原速继续行走对应的函数关系式为y=nx+c(n≠
0),1.8≤x≤3.6.
将x=1.2代入y=-5x+15(0≤x≤1.2)中,得y=9.
∴点(1.8,9),(3.6,0)在y=nx+c(n≠0),1.8≤x≤3.6的图像上,
∴ 解得n=-5,c=18.∴y=-5x+18(1.8≤x≤3.6).
将x=2.2代入y=-5x+18(1.8≤x≤3.6),得y=7.
∴乙回到侧门时,甲与侧门的距离是7 km.
(1)找等量关系:认真阅读题目,弄清楚题意,明确问题中的已知量和未知量,找出等
量关系;
(2)设未知数:用字母表示未知数,并用代数式表示其他一些量;
(3)列方程组:根据题目中的相等关系,列出方程组;
(4)解方程组:求出未知数的值;
(5)检验:检验所得的未知数是否合理;
(6)写出答案.
列一次方程组解应用题的一般步骤
破疑典例
1.( )某服装厂专门安排210名工人进行衬衣的手工缝制,每件衬衣由2个衣
袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个,或衣身15个,或衣
领12个,那么应该安排多少名工人缝制衣袖,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、
衣领正好配套
思路点拨:
设应该安排x名工人缝制衣袖,y名工人缝制衣身,z名工人缝制衣领,根据条件列出
关系式求解.
解析 设应该安排x名工人缝制衣袖,y名工人缝制衣身,z名工人缝制衣领,才能使
每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套,
依题意有
解得
故应该安排120名工人缝制衣袖,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配
套.
2.( )炎夏,有一群孩子在池中游泳,若每个男孩看到其他的人中男孩和女孩
一样多,而每个女孩看到其他的人中男孩比女孩多一倍,求池中男、女孩各多少
人
思路点拨:
设男孩有x个,女孩有y个,列方程组求解.
解析 设男孩有x个,女孩有y个,由题意得
解得 故池中有男孩4个,女孩3个.
方法指导 对于一次方程组的应用问题,解题的关键是先弄懂题意,找出所求问
题需要的条件,列出满足要求的方程组求解.
解方程组
解:设a-1=x,b+2=y,原方程组可变为
解方程组得 即 所以
此种解方程组的方法叫换元法.
方程组的综合应用
问题
如何运用上述方法解下面的方程组
提示:把 -1, +2分别看成一个整体进行换元,将所求方程组进行转换求解,继而
求出a和b的值.
整体换元是解复杂方程组的便捷方法,在数学运算中实施整体换元的关键是发现
或拆分出换元的整体,实施主元替换,整体变形.
解决方程组综合问题的主要流程
方程组解集中的元素是方程组的解,这一关系是求解含参方程组解集问题的依据
和突破口.
破疑典例
1.( )已知集合A={(x,y)|mx+y=5},B={(x,y)|2x-ny=13},小明和小华同时进行A
∩B的运算时,小明看错了m,解得 ,小华看错了n,解得{(3,-7)},你能正确求
解A∩B吗
解析 把 代入2x-ny=13,得7+2n=13,解得n=3;
把(3,-7)代入mx+y=5,得3m-7=5,解得m=4.
所以有
解得
所以A∩B={(2,-3)}.
2.( )已知集合A={(x,y)|ax+y-2=0},B={(x,y)|x-y=0},C={(x,y)|bx-y-1=0},且A∩B
=B∩C={(c,1)},求实数a,b,c的值.
思路点拨:
由{(c,1)}是方程组 的解集,也是 的解集,求出a,b,c的值.
解析 由A∩B={(c,1)},
得 ∴
∴B∩C={(1,1)},
∴b×1-1-1=0,∴b=2.
方法指导 所谓方程组的解,是指该数值满足方程组中的每一个方程.解答此题
的关键是熟知一组方程有公共解集的含义.(共21张PPT)
2.2.1 不等式及其性质
1.通过具体情境感受在现实生活中存在的大量不等关系,能用不等式(组)表
示不等关系.
2.掌握用作差法判断或证明两个实数(代数式)大小的方法.
3.理解不等式的性质及推论,能用不等式的性质及推论证明和解不等式.
2.2 不等式
比较实数a,b大小的依据
通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法通常称为⑤ 作差法 .
依据 如果① a-b<0 ,那么a
如果② a-b=0 ,那么a=b;
如果③ a-b>0 ,那么a>b
结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们
的差与④ 0 的大小关系即可
不等式的性质
性质1:如果a>b,那么a+c⑥ > b+c.
性质2:如果a>b,c>0,那么ac⑦ > bc.
性质3:如果a>b,c<0,那么ac⑧ < bc.
性质4:如果a>b,b>c,那么a>c.
性质5:a>b b 不等式的几个常用推论
推论1:如果a+b>c,那么a⑨ > c-b.
推论2:如果a>b,c>d,那么a+c⑩ > b+d.
推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac > bd.
推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1).
推论5:如果a>b>0,那么 > .
反证法
首先假设结论的 否定 成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假
设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法,反证法是一种间接证明的
方法.
综合法
综合法中,最重要的推理形式为p q,其中p是已知或者已经得出的结论,所以
综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.a>b是ac>bc的充分不必要条件. ( )
当c=0时,a>b / ac>bc.
2.a>b是 > 的必要不充分条件. ( √ )
3.若a3>b3,则a>b. ( √ )
4.若ac2>bc2,则a>b. ( √ )
中国某高中生暑假去加拿大旅行,中午在一景点吃比萨,他点了个直径为9英寸的
比萨.过了一会儿,服务员客气地端来了两份直径5英寸的比萨,说:“9英寸的比萨
卖完了,给您两个5英寸的,多送您1英寸表示歉意.”
这名中国高中生听后一愣,客气地请服务员叫来了店老板,说:“圆的面积公式为S
=πr2,算下来9英寸的比萨面积约是63.59平方英寸,而5英寸的比萨面积约是19.63
平方英寸,两个5英寸的比萨面积加起来约是39.26平方英寸,你给我三个比萨我还
亏着呢!怎么能说多送我1英寸呢 ”
老板听后无语,最后给了他四个5英寸的比萨,并竖起大拇指道:“中国高中生真厉
害!”
利用不等式的性质比较两实数(代数式)的大小
问题
1.你能把服务员犯的错误用不等式表示出来吗
提示:服务员错误地认为:若a+b>c,则a2+b2>c2.
2.文中的高中生是如何比较出比萨的大小的
提示:用作差法比较比萨面积的大小.
作差比较法 作商比较法
依据 a-b>0 a>b; a-b<0 a0,b>0且 >1 a>b;
a>0,b>0且 <1 aa>0,b>0且 =1 a=b
应用范围 数(式)的大小不明显,作差后可
化为积或商的形式 同号两数比较大小
步骤 ①作差; ②变形; ③判断符号; ④下结论 ①作商;
②变形;
③判断商与1的大小关系;
④下结论
变形技巧 ①分解因式; ②平方后再作差; ③配方法; ④分子(分母)有理化 按照同类的项进行分组
破疑典例
1.( )(1) 比较2+ 与4的大小;
(2)比较(a+1)(a-4)与(a+3)(a-6)的大小;
(3)设x,y是不全为零的实数,试比较2x2+y2与x2+xy的大小.
思路点拨:
作差 变形 判断符号 确定大小.
解析 (1)2+ -4= -2,
因为( )2-22=7-4=3>0,所以 -2>0,所以2+ >4.
(2)因为(a+1)(a-4)-(a+3)(a-6)=(a2-3a-4)-(a2-3a-18)=14>0,所以(a+1)(a-4)>(a+3)(a-6).
(3)2x2+y2-(x2+xy)=x2-xy+y2= + ,
因为 ≥0, ≥0,当且仅当x=y=0时同时取等号,但x,y不全为零,所以
+ >0,
所以2x2+y2>x2+xy.
2.( )已知解析 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b) ,
因为a又 ≥0, ≥0,当且仅当a=b=0时同时取等号,但a0,
所以(a-b)· <0,故a33.( )比较 + 与 + 的大小.
思路点拨:
思路一:作差 变形 判断符号 确定大小.
思路二:作商 变形 判断商与1的大小关系 确定大小.
解析 解法一(作差法):
-( + )
=
=
=
= .
3.( )比较 + 与 + 的大小.
思路点拨:
思路一:作差 变形 判断符号 确定大小.
思路二:作商 变形 判断商与1的大小关系 确定大小.
解析 解法一(作差法):
-( + )
=
=
=
= .
因为a>0,b>0,所以 + >0, >0.
又因为( - )2≥0(当且仅当a=b时,等号成立),
所以 ≥0,所以 + ≥ + (当且仅当a=b时,等号成立).
解法二(作商法):
=
=
=
=
=1+ ≥1(当且仅当a=b时,等号成立).
因为 + >0, + >0,
所以 + ≥ + (当且仅当a=b时,等号成立).
已知-4≤x-y≤-1,-2≤x+y≤3.
问题
1.能否用x-y和x+y表示出2x-y
提示:能,用待定系数法.
2.由问题1的结论能否求出2x-y的取值范围
提示:能,利用不等式的性质可以求出2x-y的取值范围.
利用不等式的性质求代数式的取值范围
1.利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合
问题,对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”,但这种转化不是等
价变形,在一个解题过程中多次进行这种转化时,就有可能扩大真实的取值范围,
解题时务必小心、谨慎.同时要注意正确使用不等式的性质,避免误用不等式的
性质致错.
解决此类问题,可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过
一次不等关系的运算求得待求式的取值范围,可以避免错误.
2.利用不等式性质求取值范围的一般思路:
(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;
(2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件;
(3)结合不等式的传递性进行求解.
破疑典例
( )(1)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围;
(2)已知-1(3)已知x、y∈R,且3≤xy2≤8,4≤ ≤9,求 的取值范围.
思路点拨:
先将待求范围的代数式用条件中的代数式表示出来,再利用已知范围进行不等关
系的运算求未知代数式的取值范围.
解析 (1)设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b,整理得(m+n)a+(m-n)b=4a-2b,
则 解得
∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).
∵3≤3(a-b)≤6,2≤a+b≤4,
∴5≤4a-2b≤10.
故4a-2b的取值范围为[5,10].
(2)∵-1又∵-1∵a∴-2故a-b的取值范围为(-2,0).
(3)设 = (xy2)n,
则x3y-4=x2m+ny2n-m,
∴ 解得
∴ = (xy2)-1.
∵16≤ ≤81, ≤ ≤ ,
∴2≤ (xy2)-1≤27.
故 的取值范围是[2,27].(共21张PPT)
2.2.2 不等式的解集
1.会求不等式及不等式组的解集.
2.理解绝对值的概念,会解绝对值不等式.
3.理解并掌握数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式.
不等式的解集与不等式组的解集
1.一元一次不等式的解法
第一步:化为ax>(<)b的形式.
第二步:当a>0时,x>(<)① ;
当a<0时,② x<(>) .
第三步:写出解集.
不等式组 数轴表示 解集 一般规律(口诀)
③ (b,+∞) 同大取大
④ (-∞,a) 同小取小
⑤ (a,b) 大小小大
中间找
⑥ 大大小小
无处找
2.一元一次不等式组的解集的四种类型(设a 绝对值不等式
1.一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
2.绝对值不等式|x|a的解集:
3.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
(1)|ax+b|≤c ⑨ -c≤ax+b≤c .
(2)|ax+b|≥c ⑩ ax+b≥c或ax+b≤-c .
不等式 a>0 a=0 a<0
|x||x|>a ⑧ {x|x>a或x<-a} {x∈R|x≠0} R
数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式
1.一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为
AB= |a-b| .
2.如果线段AB的中点M对应的数为x,则x= .
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.数轴上两点A(2),B(-1)之间的距离为1.( )
2.数轴上两点A(-2),B(-4)的中点C对应的数为-3. ( √ )
3.不等式2x-4>0的解集为x> . ( )
4.不等式组 的解集是 . ( √ )
5.不等式1<|x+1|<3的解集为(-4,-2)∪(0,2). ( √ )
由1<|x+1|<3,得1∪(0,2).
6.不等式|x|·(1-2x)>0的解集是 .( )
原不等式等价于 解得x< 且x≠0,即x∈(-∞,0)∪ .
某运算程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否小于18”为一次程序操作,
输入x后程序操作仅进行一次就停止了.
不等式的解集与不等式组的解集
问题
1.情景中的运算程序涉及的不等式是什么
提示:根据运算程序,可得不等式3x-6<18.
2.如何求解程序中涉及的不等式
提示:利用不等式的性质.
3.如何求不等式组的解集
提示:分别求出不等式组中每个不等式的解集,然后取交集(可借助数轴).
确定不等式组的解集的两种方法
1.口诀法:求不等式组的解集时,可记住以下规律:同大取大,同小取小,大小小大中
间找,大大小小无处找.
2.数轴法:运用数轴确定不等式组的解集,就是将不等式组中的每一个不等式的解
集在数轴上表示出来,然后找出它们的公共部分,这个公共部分就是此不等式组
的解集,若没有公共部分,则这个不等式组的解集为 .
与不等式(组)相关的参数问题
1.已知含有参数的不等式(组)的解集时,可以先进行化简,表示出不等式(组)的解
集,然后与已知解集进行比较,求出参数的值或取值范围.
2.当一元一次不等式组化简后的解集中含有参数时,可以根据已知条件中解集的
特点,列不等式(组)或列方程(组)来确定参数的值或取值范围.
破疑典例
1.( )已知关于x的不等式组 有3个整数解,则实数a的取值范
围是 ( )
A.-6≤a<-5
B.-6C.-6D.-6≤a≤-5
思路点拨:
解不等式组,可得不等式组的解集,根据不等式组有3个整数解,列出关于a的不等
式求解.
B 由 - x<-1,解得x>4,由4(x-1)≤2(x-a),解得x≤2-a,故不等式组的解集为{x|4
由关于x的不等式组 有3个整数解,得7≤2-a<8,解得-6B.
2.( )求不等式组 (a∈R)的解集.
思路点拨:
先求解不等式1-2x≥3x-4,再分a>0,a=0,a<0三种情况求解不等式ax≥2,其中a>0时
需对 与1的大小再进行讨论,注意分类讨论标准,最后取两个不等式解集的交集.
解析 由1-2x≥3x-4得5x≤5,∴x≤1.
当a=0时,ax≥2化为0×x≥2,无解.∴不等式组的解集为 .
当a>0时,由ax≥2得x≥ . (i)当a=2时,不等式组的解集为{1};
(ii)当a>2时,不等式组的解集为 ;
(iii)当0当a<0时,由ax≥2得x≤ ,不等式组的解集为 .
综上,当a<0时,解集为 ;当0≤a<2时,解集为 ;当a=2时,解集为{1};当a>2
时,解集为 .
问题
1.当c<0时,|ax+b|≤c,|ax+b|≥c的解集分别是什么
提示:c<0时,|ax+b|≤c的解集为 ,|ax+b|≥c的解集为R.
2.如何解含绝对值的不等式
提示:利用绝对值的意义和性质,去绝对值转化为不含绝对值的不等式或不等式
组,再进一步求解.
含绝对值的不等式的解法
1.求解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,其常用方法有:
(1)定义法;(2)平方法;(3)换元法;(4)数形结合法.
2.含一个绝对值的不等式的常见类型及其解法:
(1)形如|ax+b|c(c∈R)型不等式.
此类不等式的简单解法是利用等价命题求解,即
①当c>0时,|ax+b||ax+b|>c ax+b>c或ax+b<-c.
②当c=0时,|ax+b|c ax+b≠0.
③当c<0时,|ax+b|c ax+b有意义.
(2)形如c<|ax+b|c>0)型不等式.
此类不等式的简单解法是利用等价命题求解,即c<|ax+b|d3.含一个绝对值的其他类型不等式的解法:
(1)形如|ax+b|g(x)型不等式,其中g(x)表示含x的整式.
此类不等式的简单解法是利用等价命题求解,即
①|ax+b|②|ax+b|>g(x) ax+b>g(x)或ax+b<-g(x).
(2)形如|ax+b|ax+b型不等式.
此类不等式的简单解法是利用绝对值的含义去绝对值,即
|ax+b|>ax+b ax+b<0,
|ax+b|4.含两个绝对值的不等式:
(1)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式,此类不等式的简单解法是平方法,即
|f(x)|<|g(x)| [f(x)]2<[g(x)]2 [f(x)+g(x)]·[f(x)-g(x)]<0,其中 f(x),g(x)表示含x的整式.
(2)|x1-x2|表示数轴上A(x1)和B(x2)两点间的距离;|x-x1|+|x-x2|表示数轴上点M(x)到A(x
1)和B(x2)两点的距离之和;|x-x1|-|x-x2|表示数轴上点M(x)到A(x1)和B(x2)两点的距离
之差.
解|x+m|+|x+n|>k(二是找准使|x+m|+|x+n|=k的x值.
(3)绝对值不等式“恒成立”问题,往往转化为最值问题求解.
1.( )求下列不等式的解集.
（1）|1-2x|≤3；
（2）1<|x-2|≤3;
（3）|2x+5|>7+x;
思路点拨:
利用绝对值的意义和性质转化为不含绝对值的不等式(组)求解.
解析 (1)原不等式可化为|2x-1|≤3,得-3≤2x-1≤3,从而-2≤2x≤4,得解集为{x|-1
≤x≤2}.
(2)解法一:原不等式等价于不等式组
解得
所以-1≤x<1或3所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3解法二:原不等式可转化为
①
或②
由①得3所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1或3(3)由不等式|2x+5|>7+x,可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),
解得x>2或x<-4.
所以原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}.
(4)∵|x+3|≥0,
∴原不等式等价于|2x-1|-2>0且x≠-3,
即|2x-1|>2,且x≠-3,
∴2x-1>2或2x-1<-2,且x≠-3,
解得x> 或x<- 且x≠-3,
∴原不等式的解集为
.
2.( )解下列不等式:
(1)||x|-4|≤2;
(2)|x-2|+|x+1|>5.
思路点拨:
(1)根据绝对值的意义去绝对值求解;(2)根据绝对值的几何意义,使用数形结合法
求解.
解析 (1)||x|-4|≤2 -2≤|x|-4≤2 2≤|x|≤6 -6≤x≤-
2或2≤x≤6.
故不等式的解集为[-6,-2]∪[2,6].
(2)|x-2|表示数轴上M(x)到A(2)的距离,|x+1|表示数轴上M(x)到B(-1)的距离,如图,
∵AB=3,∴当点M在P或Q,即x=-2或x=3时,|x-2|+|x+1|=5;当点M在P、Q之间时,|x-2|
+|x+1|<5;当点M在线段PQ之外时,|x-2|+|x+1|>5.故不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).
3.( )若不等式|x-3|+|x+3|≥a恒成立,求实数a的取值范围.
思路点拨:
|x-3|+|x+3|≥a恒成立,只要保证a不大于|x-3|+|x+3|的最小值即可.
解析 |x-3|表示数轴上点M(x)到点A(3)的距离,|x+3|表示数轴上点M(x)到点B(-3)
的距离.
∵A、B两点间的距离为|3-(-3)|=6,∴|x-3|+|x+3|表示的M(x)到A、B两点距离之和
的最小值为6,∴a≤6,∴a的取值范围是(-∞,6].(共29张PPT)
2.2.3 一元二次不等式的解法
1.会用因式分解法或配方法解一元二次不等式.
2.会解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.
3.能将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解.
实数符号之间的关系
ab① > 0 或
ab② < 0 或
一元二次不等式及其解集
1.一元二次不等式:一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其
中a,b,c是常数,而且a≠0,式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
2.一元二次不等式所有解组成的集合为一元二次不等式的解集.
一元二次不等式的解法
1.因式分解法:一般地,如果x1不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是④ (-∞,x1)∪(x2,+∞) .
2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方可变为(x-h)2>k或(x-h)2形式.
当k>0时,(x-h)2>k的解集为⑤ (-∞,h- )∪(h+ ,+∞) ,
(x-h)2当k<0时,(x-h)2>k的解集为⑦ R ,
(x-h)2当k=0时,(x-h)2>k的解集为⑨ {x|x≠h} .(x-h)2 分式不等式的解法
其中f(x)、g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0.
分式不等式 同解不等式
>0 或
f(x)g(x)>0
<0 或
f(x)g(x)<0
>a(a≠0) >0
g(x)[f(x)-ag(x)]>0
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.不等式x2-x>x2-1是一元二次不等式. ( )
2.不等式x2+x-2<0与2-x-x2>0的解集相同. ( √ )
3.不等式x2-2x-3>0可化为(x-1)2>4. ( √ )
4.不等式x(1-x)≤0的解集为[0,1]. ( )
5.不等式 <1的解集为{x|x<1或x>2}. ( √ )
原不等式可化为 >0,同解于(x-1)·(x-2)>0,解集为{x|x<1或x>2}.
已知2x2+(2-m)x-m>0.
问题
1.若m=1,如何求该不等式的解集
提示:当m=1时,原不等式为2x2+x-1>0,解得x<-1或x> ,所以原不等式的解集为 x
x<-1或x> .
含参数的一元二次不等式的解法
2.当m>0时,如何求出关于x的不等式的解集
提示:因为2x2+(2-m)x-m=(x+1)(2x-m),
所以原不等式等价于(x+1)(2x-m)>0.
因为m>0,所以-1< .
所以原不等式的解集为 .
3.若m∈R,如何求出关于x的不等式的解集
提示:原不等式等价于(x+1)(2x-m)>0,对m分类讨论求解.
熟练掌握一元二次不等式的解法是解决此类不等式问题的基础,所以应当熟记形
如ax2+bx+c>0(a>0)的不等式在各种情况下的解集的形式.
含参数的一元二次不等式的解题步骤:①将二次项系数化为正数;②判断相应的
方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);③根据根的情况写出相应的
解集,若方程有两个相异实根,还要比较两根的大小.
根据上面的步骤可能产生的讨论形式:①若二次项系数含有参数,则应讨论其与0
的关系,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式;②判断方程
的根的个数,讨论方程的判别式与0的关系;③确定方程无根时可直接写出解集,确
定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式.
破疑典例
1.( )解下列关于x的不等式(a∈R).
(1)x2-(a2+a)x+a3>0;
(2)2x2+ax+2>0.
思路点拨:
(1)根据根的大小关系进行分类讨论求解.
(2)根据判别式与0的关系进行分类讨论求解.
解析 (1)原不等式x2-(a2+a)x+a3>0可化为(x-a)(x-a2)>0.
当a<0时,aa2};
当a=0时,a=a2=0,所以原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a2,所以原不等式的解集为{x|xa};
当a=1时,a=a2=1,所以原不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
(2)2x2+ax+2=0的判别式为Δ=a2-16.
当a2-16>0,即a>4或a<-4时,解得x> (-a+ )或x< (-a- ).
当a2-16=0时,a=4或a=-4.
当a=4时,解得x≠-1;
当a=-4时,解得x≠1.
当a2-16<0,即-4综上,当a<-4或a>4时,原不等式的解集为
或x<
;
当-4当a=-4时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a=4时,原不等式的解集为{x|x≠-1}.
2.( )解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.
思路点拨:
因为二次项的系数a不确定,所以需要根据a的取值进行分类讨论.
解析 (1)当a=0时,原不等式为-2x+4>0,所以x<2,不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a<0时,方程ax2-2(a+1)·x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2≥0,其两根分别为x1=2,x2= ,
且 <2,所以不等式的解集为 .
(3)当a>0时,方程ax2-2(a+1)·x+4=0的根为x1=2,x2= .
①当 <2,即a>1时,不等式的解集为 ;
②当 >2,即0③当 =2,即a=1时,不等式的解集为{x|x≠2}.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x<2};当a<0时,不等式的解集为
;当a>1时,不等式的解集为 ;当0为 ;当a=1时,不等式的解集为{x|x≠2}.
已知不等式x2+x+k>0.
问题
1.若不等式对任意x∈R恒成立,如何求k的取值范围
提示:可利用对应方程的根的判别式求解.
2.若不等式对任意x∈{x|1≤x≤2}恒成立,如何求k的取值范围
提示:分离参数.
3.若不等式对任意x∈{x|-1≤x≤2}恒成立,如何求k的取值范围
提示:分离参数(注意对应的二次函数图像对称轴的位置).
如何解决一元二次不等式恒成立问题
1.求一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过分离参
数,再求最值.解决恒成立问题一定要分清自变量和参数,一般地,已知范围的是变
量,求解范围的是参数.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次
函数的图像在给定的定义域内全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图
像在给定的定义域内全部在x轴下方.
2.求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法:
(1)利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.
设y=ax2+bx+c(a≠0),则y>0恒成立 y≥0恒成立 y<0恒成立
y≤0恒成立
(2)分离自变量和参数,利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题.
拔高问题
若二次项系数含有参数,又该如何解决此类问题
4. x∈R,mx2-mx-1<0,如何求m的取值范围
提示:若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0,则
即-4综上,m的取值范围为{m|-4破疑典例
1.( )已知函数y=x2+mx-1,若对于任意x∈{x|m≤x≤m+1},都有y<0成立,则实
数m的取值范围是 .
思路点拨:
作出函数y=x2+mx-1的大致图像,观察图像列出不等式组,解不等式组即可.
答案 - 解析 作出二次函数y=x2+mx-1的大致图像(图像略),对于任意x∈{x|m≤x≤m+1},
都有y<0成立,则有
解得- 2.( )若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是 ,求实数a的取值范围.
思路点拨:
ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是 ,即ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立,对a进行分类讨论
求解.
解析 不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是 ,
等价于不等式ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立.
当a=0时,-2≥0,解集为 ,满足题意;
当a≠0时,
a需满足
解得-1综上可知,a的取值范围是{a|-1易错警示 解决含参数的一元二次不等式问题,要关注二次项系数是否含有参
数,若二次项系数含参数,则要对二次项系数是不是0进行讨论.
3.( )若对任意
的m∈{m|1≤m≤3},mx2-mx-6+m<0恒成立,求实数x的取值范围.
思路点拨:
此题是关于m的不等式的恒成立问题,可以分离变量,利用m的范围构建关于x的不
等式求解.
解析 mx2-mx-6+m<0 (x2-x+1)m-6<0.
∵x2-x+1>0,∴m< .
由题意可得 >3,即x2-x-1<0,解得 ∴实数x的取值范围为 .
在一次化学实验中,化学老师要求同学们配制出浓度不超过25%的盐酸溶液.
问题
1.设同学们应当向1毫升水中加入x毫升盐酸,如何列出关于x的不等式
提示: ≤ .
2.在问题1中出现了分母中含有未知数的不等式,称为分式不等式.请归纳如何解
这个不等式.
提示:移项,通分,得 ≤0.
因为x>0,所以x+1>0,
所以3x-1≤0,即0所以该不等式的解集为 .
分式不等式和高次不等式的解法
1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
化分式不等式为“标准形式”的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形
式(f(x),g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0).
2.简单高次不等式的解法
不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.
解高次不等式常用的方法有两种:
(1)将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积.根据实数运算的
符号法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组).于是原不等式的解集就是各不
等式(组)解集的并集.
(2)穿针引线法:
①将不等式化为标准形式,一端为0,另一端为一次因式或二次不可约因式的乘积
(因式中x的系数为正);
②求出各因式对应方程的实数根,并在数轴上标出;
③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶
次重根穿而不过(即“奇过偶不过”);
④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.
特别提示
(1)形如 >a(a≠0)的分式不等式可同解变形为 >0,故可转化
为解g(x)[f(x)-ag(x)]>0.
(2)解 ≥0(≤0)型的分式不等式,转化为整式不等式后,应注意分子可取0,而分
母不能取0.(f(x),g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0).
破疑典例
1.( )解下列关于x的不等式:
(1) >0;
(2) ≥1.
思路点拨:
(1)化为(4x+2)(3x-1)>0进一步求解.
(2)移项、通分化为 ≤0,再化为 进一步求解.
解析 (1)原不等式等价于(4x+2)(3x-1)>0,所以原不等式的解集为
.
(2)原不等式可化为 ≤0,
所以原不等式等价于
所以原不等式的解集为 .
2.( )解下列关于x的不等式:
(1)-1< <1;
(2) <1-a(a∈R).
思路点拨:
(1)将不等式写成不等式组的形式求解,或分x>0和x<0两种情况分别求解后取并
集.
(2)移项、通分化为 <0(a∈R),再化为(ax+1-a)(x-1)<0.对a进行分类讨论求
解.
解析 (1)解法一:原不等式等价于 即
整理得
此不等式组等价于
即
解得x>1或x<-1,
∴原不等式的解集为{x|x>1或x<-1}.
解法二:当x>0时,由 <1得x>1;
当x<0时,由 >-1得x<-1,
∴原不等式的解集为{x|x>1或x<-1}.
(2)原不等式可化为 -(1-a)<0(a∈R),即 <0(a∈R),进一步化简为(ax+1
-a)(x-1)<0.
①当a>0时,不等式化为 (x-1)<0.
因为 <1,所以不等式的解集为 .
②当a=0时,不等式化为x-1<0,即x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}.
③当a<0时,不等式化为 (x-1)>0.因为 >1,所以不等式的解集为
.
综上,当a>0时,原不等式的解集为 ;当a=0时,原不等式的解集为{x|x<
1};当a<0时,原不等式的解集为 x x> 或x<1 .
3.( )解不等式 >0.
解析 原不等式可以转化为(x-2)3(x-1)(x+3)2>0.各因式对应的根为2(3重根),1,-3(2
重根).
结合图可得,原不等式的解集为{x|x>2或x<1且x≠-3}.
(共21张PPT)
2.2.4 均值不等式及其应用
1.了解均值不等式的代数和几何背景,掌握均值不等式的适用条件.
2.能用均值不等式求最值.
3.能够用均值不等式证明不等式.
4.能用均值不等式解决一些实际问题中的最值问题.
均值不等式
1.给定两个正数a,b,数① 称为a,b的算术平均值;数② 称为a,b的
几何平均值.
2.两个不等式
不等式 内容 等号成立的条件 注意
重要 不等式 a2+b2≥③ 2ab 当且仅当a=b时取
“=” a,b可以是任意实数
均值 不等式 ≥ ④ 当且仅当a=b时取
“=” a,b只能是正实数
3.均值不等式与最值
(1)已知x,y均为正实数,如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值,最小值为
⑤ 2 .
(2)已知x,y均为正实数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,最大值为
⑥ .
上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.
运用以上结论求最值要注意下列三个条件:
①一正:要求各数均为⑦ 正数 ;
②二定:要求和或积为⑧ 定值 ;
③三相等:要保证具备⑨ 等号 成立的条件.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.不等式a2+b2≥2ab与 ≤ 有相同的适用范围. ( )
不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,而 ≤ 只有当a,b都是正实数(特
殊时可取0)时成立.
2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18.( √ )
因为m>0,n>0,所以m+n≥2 =2 =18,当且仅当m=n=9时取等号,故m+n的最小
值为18.
3.a+ 的最小值为2. ( )
当a>0时,a+ ≥2 =2;当a<0时,(-a)+ ≥2,∴a+ ≤-2.
4.x2+ 的最小值为0. ( )
等号不成立.
5.已知a>0,b>0,则 ≥4. ( √ )
某房地产开发公司计划在某楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长
方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面
积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示).
如何理解均值不等式成立的三个条件
问题
1.设休闲区的长和宽的比 =x(x>1),求公园ABCD所占面积y关于x的函数关系
式.
提示:y=80 +4 160(x>1).
2.要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计
提示:利用均值不等式求解.
利用均值不等式求最值时的注意事项
1.各项均为正,都是负数时它们的相反数为正.
2.寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值.
3.考虑等号成立的条件是否具备,等号不成立时可用图像找出最大(小)值.函数y=x
+ (a>0)的大致图像如图:
拔高问题
3.若x<0,如何求函数y=x+ 的最大值
提示:当x<0时,-x>0,-x+ ≥2 =4,∴x+ ≤-4,当且仅当-x=- ,即x=-2(x=2
舍去)时取等号.故所求函数的最大值为-4.
4.已知x>2,如何求x+ 的最小值
提示:∵x>2,∴x-2>0,
∴x+ =x-2+ +2≥2 +2=6,当且仅当x-2= ,即x=4(x=0舍去)
时,等号成立.
∴x+ 的最小值为6.
5.若x≥3,如何求函数y=x+ 的最小值
提示:若x>0,则y=x+ ≥2 =4,当且仅当x=2时取得最小值4,函数图像如图所
示.
由图像知,若x≥3,则当x=3时,y取得最小值 .
破疑典例
1.( )已知x<3,求y= +x的最大值.
思路点拨:
x-3<0,则3-x>0,利用均值不等式求y= +x的最大值.
解析 ∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,
∴y= +x= +x-3+3
=- +3
≤-2 +3=-1,
当且仅当 =3-x,即x=1时,取等号,∴y的最大值为-1.
易错警示 解题时要注意不等号的方向,如由a+b≥2 ,得-(a+b)≤-2 ,防止
不等号方向错误导致解题错误.
2.( )已知x>-1,求函数y= 的最小值.
思路点拨:
将x+1看成整体,将函数化为整式+分式的形式,即构造能利用均值不等式的形式,
检验三个条件是否成立,再求最小值.
解析 ∵x>-1,∴x+1>0,
∴y=
=
=x+1+ +5≥2 +5=9,
当且仅当x+1= ,即x=1(x=-3舍去)时,等号成立.
∴当x=1时,函数y= (x>-1)取得最小值9.
3.( )若x>1,求函数y=x+ + 的最小值.
思路点拨:
思路一:将 变形为 ,然后把x+ 看作一个整体进行求解.
思路二:当涉及分数时,通分是最容易想到的常规方法,通分后x+ = ,利用均
值不等式即可求解.
解析 解法一:y=x+ + =x+ + ,令u=x+ ,则u>2,所以y=u+ ≥8,当且仅
当u= ,即u=4时,此时x=2+ ,等号成立.
解法二:y=x+ + = + ≥2 =8,当且仅当 = ,即x=
2+ 时,等号成立.
4.( )已知a>b>0,求a2+ 的最小值.
思路点拨:
分析目标式的特点,对目标式进行适当变形,然后利用均值不等式求最小值.
解析 解法一:由于a2+ 中有两个字母,并注意到b+(a-b)=a,则b(a-b)≤
= ,这样就消去了字母b,因此a2+ ≥a2+ ≥4,当且仅当b=a-b,a
2= ,即a= ,b= 时,等号成立.故a2+ 的最小值为4.
解法二:注意到b+(a-b)=a,则[b+(a-b)]2=a2,则a2+ =[b+(a-b)]2+ ≥4b(a-
b)+ ≥4,当且仅当b=a-b,4b(a-b)= ,即a= ,b= 时,等号成立.故a2+
的最小值为4.
已知x>0,y>0,且 + =1.
问题
1.怎样求x+y的最小值
提示:消元法或利用均值不等式求解.
2.若将已知条件改为xy≠0,且 + =1,怎样求x+y的最小值
提示:先消元,再利用均值不等式求解.
利用均值不等式解决条件求值问题
求含有条件的最大(小)值的基本方法
1.代入消去一个变量,化为求只含一个变量的代数式的最大(小)值问题,解题时要
注意将消去变量的取值范围转化到保留的变量中.
2.分析条件与结论的关系,利用关系解题,这种方法运算量小但技巧性强,平时要多总结.例如:
常数代换:这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求 + 的最小值”
和“已知 + =1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型.
破疑典例
1.( )已知a>0,b>0,若不等式 + ≥ 恒成立,则m的最大值为 ( )
A.9 B.12 C.18 D.24
思路点拨:
先将不等式变形,再利用均值不等式求解.
B 因为a>0,b>0,不等式 + ≥ 恒成立,所以m≤ .
因为(a+3b) =6+ + ≥6+2 =12,
当且仅当a=3b时取等号,所以m的最大值为12.故选B.
2.( )(1)已知a,b,x,y均为正数,且 + =1,求x+y的最小值;
(2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.
思路点拨:
问题(1)既可以采用常数代换的方法,也可以进行变量代换,再利用均值不等式求
解;问题(2)既可以利用均值不等式求解,也可以采用变量代换的方法求解.
解析 (1)解法一:x+y=(x+y)· =a+b+ + ≥a+b+2 ,当且仅当
即 时,等号成立,故x+y的最小值为a+b+2 .
解法二:由 + =1得x= ,
∴x+y= +y= +y
=a+ +y= +(y-b)+a+b.
∵x>0,y>0,a>0,∴由 >0得y-b>0,∴x+y≥2 +a+b,
当且仅当
即 时,等号成立,故x+y的最小值为a+b+2 .
(2)解法一:由x+2y+xy=30,可得y= (0xy=
=
=34- ,
注意到x+2+ ≥2· =16,可得xy≤18,
当且仅当x+2= ,即x=6时,等号成立,代入x+2y+xy=30中得y=3,故xy的最大值为
18.
解法二:∵x,y>0,∴x+2y≥2 =2 · ,
∴2 · +xy≤x+2y+xy=30,
解此不等式得0≤xy≤18,即xy的最大值为18,此时 即
3.( )已知x,y,z为正实数且满足x-2y+3z=0,求 的最小值.
思路点拨:
由已知得y= 代入 利用均值不等式求最小值.
解析 由x-2y+3z=0,得y= .因为x,y,z为正实数,所以 = = + +6 ≥ 2 +6 =3,当且仅当x=3z时,等号成立,故 的最小值为3.