2021 学年第一学期浙江省精诚联盟 12 月联考
高二年级数学学科参考答案
一．选择题
1-4 CACD 5-8 ABCB
二．多选题
9. BD 10.BD 11.AD 12.AC
三．填空题
13-16 -2 、 2 、 1 、 12
四、简答题
17.解：（1）圆 C：x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0，圆的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1．
圆的圆心（3，4），……2分 ，
半径为 1． ……4分．
（2）已知点 P（2，0），过点 P作圆 C的切线，
当切线的斜率不存在时，切线方程为 x＝2．……7分
当切线的斜率存在时，设切线方程：y＝k（x﹣2），即 kx﹣y﹣2k＝0，
| 3k 4 2k |
此时： 1，解得 k 15 ，……10分
1 k 2 8
可得切线方程为：15x﹣8y﹣30＝0．综上切线方程为：15x﹣8y﹣30＝0或 x＝2．
18.解：（Ⅰ）因为 S8＝S9，所以 a9＝S9﹣S8＝0，
又因为 a4＝﹣10，所以 a9＝a4+5d＝0，所以 d＝2，……3分
所以 an＝a4+（n﹣4）d＝﹣10+（n﹣4）×2＝2n﹣18；……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 an＝2n﹣18，所以 a1＝﹣16，
n(a a )
S 1 n n( 16 2n 18)所以 n＝ 求和公式正确…9分
2 2
＝n2﹣17n． …12分
19.（Ⅰ）证明：因为△ABC为正三角形，E为 AB的中点，则 CE⊥AB，
又 AA1＝1，BB1＝3，CC1＝2，取 A1B1的中点 F，连接 C1F，EF，
EF AA BB所以 1 1 2 CC1，又 EF∥AA1∥BB1∥CC1，故 EF∥CC1，EF＝CC1，2
所以四边形 EFC1C为平行四边形，……3分
则 CE∥C1F，C1F 平面 A1B1C1，CE 平面 A1B1C1，故 CE∥平面 A1B1C1；…5分，线在面内没写扣
1分
（Ⅱ）解：以点 E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则 ，
所以 ， ……6分
设平面 A1B1C1的法向量为 ，
则 ，即 ，令 x＝1，则 z＝1，故 ，……8分
同理求出平面 AA1C1的法向量为 ，……10分
所以 ＝ ＝ ，……12分
故平面 B1A1C1和平面 A1C1A夹角的余弦值为 ．
20. 解：（1）当 n≥2时， ，∴ ，即 ，
…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……2分
所以数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，故 ， ……4分
＝ （n≥2），…… …… …… …… ……6分
因此 ． …… …… …… …… ……7分
（2）当 n≥2时， ，… …… ……9分
∴ ，… …… ……11分
又∵ 5T c2n c，∴12 c
2 c，解得 c≤﹣3或 c≥4．… …… ……12分
即所求实数 c的范围是 c≤﹣3或 c≥4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
21.（1）证明：因为 AB⊥C，AB⊥AD，且 AC∩AD＝A，AC，AD 平面 ACD，
故 AB⊥平面 ACD， ……2分
又 CD 平面 ACD，所以 AB⊥CD，又 BD⊥CD，AB∩BD＝B，AB，BD 平面 ABD，
故 CD⊥平面 ABD，……4分
又 CD 平面 BCD，故平面 ABD⊥平面 BCD；……6分
（2）解：取 BD，AD的中点 F，G，连接 EF，FG，GE，
因为 E，F分别为 BC，BD的中点，则 EF∥CD，又 CD⊥平面 ABD，
故 EF⊥平面 ABD，又 AD 平面 ABD，则 AD⊥EF，
因为 G，F分别为 AD，BD的中点，则 FG∥AB，又 AB⊥AD，
则 FG⊥AD，因为 EF∩FG＝G，EF，FG 平面 EFG，所以 AD⊥平面 EFG，
则∠EGF为二面角 B﹣AD﹣E的平面角，因为二面角 B﹣AD﹣E的大小为 60°，
所以∠EGF＝60°，……9分
设 FG＝a，则 AB＝2a，EF＝ ，GE＝2a，CD＝ ，BD＝ ， ，
由△BCD的等面积法可得， ，解得 ，
所以三棱锥 A﹣BCD的体积为 ＝ ＝ ．……12分
22.（1）解：设 F1（﹣c，0），F2（c，0），则 ＝（﹣c﹣2，﹣1）， ＝（c﹣2，﹣1），
因为 ＝﹣c2+4+1＝﹣1，解得 c＝ ，……1分
由 P（2，1）在椭圆上，可得 + ＝1，又 a2＝b2+6，解得 a＝2 ，b＝ ，
则椭圆 C的方程为 + ＝1；……2分
（2）（ⅰ）解：由于 kOP＝ ，设直线 l2的方程为 y＝ x+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
由 可得 x2+2tx+2t2﹣4＝0，……3分
则Δ＝4t2﹣4（2t2﹣4）＝﹣4（t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，
x1+x2＝﹣2t，x1x2＝2t2﹣4，则|AB|＝
＝ ＝ ＝ ，……5分
又点 P到 l2的距离 d＝ ＝ ，……6分
所以 S△PAB＝ × × ＝ ≤ ＝2，当且仅当 4﹣t2＝t2，即 t＝
时，等号成立．
所以直线 AB的方程为 y＝ x± ；……8分
（ii）证明：要证直线 x＝2为是∠APB的平分线，转化为证明 kPA+kPB＝0，…9分
kPA+kPB＝ + ＝
＝ ＝
＝ ＝0 ……12分
因此结论成立．2
2
8.在正项等比数列{an}中
2·a6+a7=3,{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则满足Sn+41>7n的最大
正整数n的值为(▲)
A.11
B.12
C.13
二.多选题(本题共有4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全都选对
得5分,部分选对得2分,有选错得0分.)
9.已知圆G1:x2+y2-4=0和圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0,则(▲)
A.两圆的圆心的距离为25
B.两圆相交
C.两圆的公共弦所在直线方程为6x+8y-11=0
D.两圆的公共弦长为√21
10.已知A,B两监测点间距离为800米,且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒,设声速为340米/秒,
下列说法正确的是(▲)
A.爆炸点在以A,B为焦点的椭圆上
B.爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上
C.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则爆炸点到B监测点的距离为一米
D.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则爆炸点到B监测点的距离为680米
11.已知数列{an}是公差为d的等差数列,若存在实数d,使得数列{-}满足:可以从中取出无限多项,并按原来
的先后次序排成一个等差数列,则下列结论正确的是(▲)
A.符合题意的数列{an}有无数多个
B.符合题意的实数d有无数多个
C.符合题意的数列{an}仅有一个
D.符合题意的实数d仅有一个
12.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱HA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所
成的角为a,直线PB与平面ABC所成的角为B,二面角P-AC-B的平面角为y,则a,B,y的大小关系正
确的是(▲)
A a>B
C. y>B
D y非选择题部分
填空题(共4小题,每小题5分,共20分,)
3.直线2x-y+4=0在x轴上的截距为
14.设a>0,b>0,若3是hn9与ln3的等差中项,则2a+b=▲
高二数学学科试题第2页(共4页)
15.已知直线l的方向向量为a=(1,0,1),点A(1,2,-1)在l上,则点P(3,1,1)到的距离为
16.设点P(x1,y1)在椭圆g+2=1上,点Q(x2,y2)在直线x+2y-8=0上,则3|x2-x1+61y2-n1|的最小
值为▲
四.解答题(本题共6小题,共70分.17题10分,其余各题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知圆C:x2+y2-6x-8y+24=0
的题小,
(I)求圆C的圆心坐标和半径
0
(Ⅱ)已知点P(2,0),过点P作圆C的切线,求切线方程
18.(12分)已知数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和,a4=-10,S8=S9
(I)求数列{an}的通项公式
(Ⅱ)求Sn
19.(12分)如图,在几何体ABC-A1BC1中,底面△ABC是边长为2的正三角形,A4⊥平面ABC,AA1∥B1∥CC1,
且64=2B=3CC1=6,E是AB的中点
(I)求证:CE∥平面AB1C1
B
(Ⅱ)求平面A1BC1和平面AC14的夹角的余弦值
天的
A1
E
D的直直,()不
C
20.(12分)已知正项数列{a}的首项a1=1,前n项和S满足2an=√Sn+√Sn1(n≥2)
(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记数列{}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N,不等式57nanan+
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