2021-2022学年人教版九年级数学上册22.1二次函数的图象和性质同步培优练习（Word版含答案）

人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质 同步培优：22.3 实际问题与二次函数
一、选择题
1. (2019 哈尔滨)将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为
A． B．
C． D．
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是(　　)
A. 抛物线的开口向下
B. 当x>－3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是－2
D. 抛物线的对称轴是x＝－
3. （2020·温州）9．已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
4. 已知直线y＝bx－c与抛物线y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
5. 已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(　　)
A. 当a＝1时，函数图象过点(－1，1)
B. 当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D. 若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
6. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动．过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是(　　)
二、填空题
7. 如果二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的顶点坐标为(－1，－3)，那么它的对称轴为直线x＝________，k的值为________．
8. 已知函数y＝－x2－2x，当________时，函数值y随x的增大而增大．
9. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．
10. 如图所示，抛物线y＝ax2－3x＋a2－1经过原点，那么a的值是________．
11. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．
12. 若抛物线y＝x2＋bx＋25的顶点在x轴上，则b的值为________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)
14. (2019 天水)二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为__________．(填“”、“”或“”)
三、解答题
15. 已知二次函数y＝x2－2x－1.
(1)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)通过列表、描点、连线，在图中画出该函数的图象；
(3)求该二次函数图象与坐标轴的交点坐标．
16. 已知某抛物线是由抛物线y＝－x2沿y轴向上平移得到的，且经过点(2，3)．
(1)求这条抛物线的解析式，并写出其顶点P的坐标；
(2)若这条抛物线与x轴交于点A，B，试求△APB的面积．
17. 如图所示，抛物线y＝ax2－5x＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)若Q是横轴上方抛物线上的点，且S△QAB＝S△PAB，求点Q的坐标．
18. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m19. 抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a(x－3)2－1，且平移后的抛物线经过点A(2，1)．
(1)求平移后的抛物线的解析式；
(2)设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后的抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
20. 如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．
人教版 九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
2. 【答案】D　【解析】从表中选取三组值(－4，0)，(－1，0)，(0，4)，由此设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x＋1)．将(0，4)代入y＝a(x＋4)(x＋1)，求得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2＋5x＋4，即y＝(x＋)2－.由此可见，只有选项D中的说法是正确的．
3. 【答案】B
【解析】本题考查了二次函数的增减性，当a＞0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，由对称轴x＝，知（-3，y1）和（-1，y1）对称，因为a＝-3＜0，所以当x≥-2时，y随x的增大而减小，-2＜-1＜1，所以y2＞y1＞y3，因此本题选B．
4. 【答案】C　【解析】在A中，抛物线的对称轴在y轴右边，∴－＞0，∵a＞0，∴b＜0；而从一次函数图象知b＞0，∴选项A错误；在B中，抛物线对称轴－＞0，∵a＜0，∴b＞0；而从一次函数图象知b＜0，∴选项B错误；在C中，抛物线的对称轴在y轴左边，∴－＜0，∵a＞0，∴b＞0；抛物线与y轴负半轴相交，∴c＜0；而从一次函数图象知b＞0，－c＞0，∴c＜0，∴选项C正确；在D中，抛物线与y轴的正半轴相交，c＞0，由一次函数图象知－c＞0，即c＜0，∴选项D错误．
5. 【答案】A　[解析] A，B两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入y＝－x2＋bx＋c，求出b，c的值即可．
6. 【答案】B
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设大孔对应的函数关系式为y＝ax2＋c，过B (5，c－1.5)，F(7，0)，则，解得，∴大孔对应的函数关系式为y＝－0.06x2＋2.94．当x＝10时，y＝－0.06×102＋2.94＝－3.06，∴H(0，－3.06)．设右边小孔顶点坐标为D(10，1.44)，则右边小孔对应的函数关系式为y＝m(x－10)2＋1.44，过点G(12，0)，则0= m(12－10)2＋1.44，解得m=－0.36，∴右边小孔对应的函数关系式为y＝－0.36(x－10)2＋1.44，当y＝－3.06时，－3.06＝－0.36(x－10)2＋1.44，解得x＝10±，∴大孔水面宽度为20米，时单个小孔的水面宽度为5米．故选项B正确．
二、填空题
7. 【答案】25　[解析] 设利润为w元，则w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25.
∵20≤x≤30，
∴当x＝25时，二次函数有最大值25.
8. 【答案】28　[解析] 设商店所获利润为y元．根据题意，得
y＝(a－21)(350－10a)＝－10a2＋560a－7350＝－10(a－28)2＋490，
即当a＝28时，可获得最大利润．
又21×(1＋40%)＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a＝28符合要求．
故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．
9. 【答案】y＝－(x＋6)2＋4
10. 【答案】011. 【答案】75　[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m，则与墙平行的一边的长为27－(3x－1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x，∴当x＝－＝5时，S最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m2.
12. 【答案】48　[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB与y轴交于点H.
∵AB＝36 m，∴AH＝BH＝18 m.
由题可知：OH＝7 m，CH＝9 m，
∴OC＝9＋7＝16(m)．
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.
∵抛物线的顶点为C(0，16)，
∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.
把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，
∴7＝324a＋16，
∴a＝－，
∴y＝－x2＋16.
当y＝0时，0＝－x2＋16，
∴－x2＝－16，解得x＝±24，
∴E(24，0)，D(－24，0)，
∴OE＝OD＝24 m，
∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48(m)．
13. 【答案】1.6 秒　【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒， 所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．
14. 【答案】0.5　[解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y＝ax2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a＝2，h＝0.5.
三、解答题
15. 【答案】
解：（1）y=80+20×，∴y=－40x+880；
（2）设每天的销售利润为w元，则w=（－40x+880）（x－16）=－40（x－19）2+360，
∵a=－40＜0，∴二次函数图象开口向下，∴w有最大值，∴x=19时，w最大，此时w最大=360元，
答：当销售单价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元．
【解析】（1）根据“销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶”得出销售量y与销售单价x的关系式；
（2）设每天的销售利润为w元，根据利润=（每瓶售价－每瓶成本）×销售数量，得出w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求得最大利润．
16. 【答案】
解：(1)设窗户的透光面积为S m2，则由已知得AD＝ m，∴S＝.
故此时窗户的透光面积为 m2.
(2)变大了．
理由：设AB＝x m，则AD＝(3－x)m.
∵3－x＞0，
∴0＜x＜.
由已知得S＝AB·AD＝x(3－x)＝－x2＋3x＝－(x－)2＋.
∵x＝在0＜x＜范围内，
∴当x＝时，S取得最大值，S最大值＝＞1.05，
∴与题干中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大了．
17. 【答案】
(1)①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示，
过点C作CF⊥AE于F，S1=AB·BC=6×5=30．
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示，
过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCH=45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，
∴BG=CH=FH=FG–HG=6–5=1，
∴AG=AB–BG=6–1=5，
∴S2=AE·AG=6×5=30．
(2)能；理由如下：
在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCG=45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，
设AM=x，则BM=6–x，
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11–x，
∴S=AM×FM=x(11–x)=–x2+11x=–(x–5.5)2+30.25，
∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．
18. 【答案】
解：(1)设一次至少买x只计算器，才能以最低售价购买，则每只降价为：0.1(x－10)元，由题意得，
20－0.1(x－10)＝16，
解得x＝50.
答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买．(2分)
【一题多解】设一次购买x只计算器，才能以最低售价购买，则每只降低为：0.1(x－10)元，由题意得，20－0.1(x－10)≤16，解得x≤50，
∴最大整数x＝50.
答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买．
(2)由题意得，当10＜x≤50时，y＝[20－12－0.1(x－10)]x，
即y＝－0.1x2＋9x(3分)
当x＞50时，则每只计算器都按16元销售．
∴y＝16x－12x＝4x，
综上可得y＝.(5分)
(3)由y＝－0.1x2＋9x得，其图象的对称轴为x＝－＝－＝45，
∵a＝－0.1＜0，当x＞45时，y随x的增大而减小，(6分)
又∵50＞46＞45，
∴当x＝46时的函数值大于x＝50时的函数值，
即卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多．(8分)
由二次函数的性质知，当x＝45时，y最大值＝－0.1×452＋9×45＝202.5，
这时售价为20－0.1×(45－10)＝16.5(元)．
答：店家一次应卖45只，这时的售价是16.5元．(10分)
19. 【答案】
解：（1）当x=5时，y=22000；
（2）y=(30+30—2x)·x·20+(20+20—2x)·x·60+(30—2x)(20—2x)·40=—400x+24000（0＜x＜10）
（3）S甲＝－2x2＋60x，S乙＝－2x2＋40x，，∴（－2x2＋60x）－（－2x2＋40x）≤120，解得x≤6，∴0＜x≤6
∵y=—400x+24000随着x的增大而减小，∴当x=6时，y最小为21600．
20. 【答案】
解：(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y＝kx＋b(k、b为常数且k≠0)，
∵y＝kx＋b经过点(0，40)，(50，90)，
∴，
解得，
∴y＝x＋40，
∴y与x的函数关系式为：
y＝，(2分)
由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系．
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p＝mx＋n(m，n为常数，且m≠0)，
∵p＝mx＋n过点(60，80)，(30，140)，
∴，解得，
∴p＝－2x＋200(0≤x≤90，且x为整数)，(3分)
当0≤x≤50时，
w＝(y－30)·p
＝(x＋40－30)(－2x＋200)，
＝－2x2＋180x＋2000，
当50＜x≤90时，
w＝(90－30)×(－2x＋200)
＝－120x＋12000，
综上所述，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是：
w＝.(5分)
(2)当0≤x≤50时，
w＝－2x2＋180x＋2000
＝－2(x－45)2＋6050，
∵a＝－2＜0且0≤x≤50，
∴x＝45时，w最大＝6050(元)，(6分)
当50＜x≤90时，
w＝－120x＋12000，
∵k＝－120＜0，
∴w随x增大而减小．
∴x＝50时，w最大＝6000(元)，
∵6050＞6000，
∴x＝45时，w最大＝6050(元)，
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．(8分)
(3)24天．(10分)
【解法提示】①当0≤x≤50，若w不低于5600元，
则w＝－2x2＋180x＋2000≥5600，解得30≤x≤60，
∴30≤x≤50；
②当50＜x≤90时，若w不低于5600元，
则w＝－120x＋12000≥5600，解得x≤，
∴50＜x≤，
综合①②可得30≤x≤，
∴从第30天到第53天共有24天利润不低于5600元．