2021-2022学年人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元一次方程同步培优练习（Word版含答案）

人教版 九年级数学上册 22.2 二次函数与一元一次方程 同步培优
一、选择题
1. 二次函数y＝x2－2x－2的图象与坐标轴的交点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2. 抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3. 根据下列表格中的数值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a，b为常数)根的情况是(　　)
x … －1 0 1 2 3 …
ax2＋bx＋c … －3 2 3 0 －7 …
A.有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．无实数根
4. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为(　　)
A. x1＝－3，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝3
C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－3，x2＝1
5. 王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3中的一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6中的一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为(　　)
A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m4，m5
6. 已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是(　　)
A．－C．－2＜m＜3 D．－6＜m＜－2
二、填空题
7. 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝2，x2＝，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标为______________．
8. 若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．
9. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中，最后2 s滑行的距离是________m.
10. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．
11. 设A，B，C三点分别是抛物线y＝x2－4x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是________．
12. 若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，则＋的值为________．
13. 若二次函数y＝x2＋bx－5的图象的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13的解为______________．
14. 已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为________．
三、解答题
15. (1)请在如图所示的直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x的大致图象；
(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2－2x＝1的根在图上表示出来；
(3)观察图象，直接写出方程x2－2x＝1的根(精确到0.1).
16. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，水面AB宽20 m，水位上升到警戒线CD时，拱桥顶O到CD的距离仅为1 m，这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，则从正常水位开始，持续多少小时水位到达警戒线？
17. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围；
(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；
(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
18. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m19. 已知抛物线y＝x2－2bx＋c.
(1)若抛物线的顶点坐标为(2，－3)，求b，c的值；
(2)若b＋c＝0，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
(3)若c＝b＋2且抛物线在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b的值．
20. 已知：如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a＞0)与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点B的坐标为(1，0)，OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式．
(2)若D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
人教版 九年级数学上册 ：22.1 二次函数的图象和性质 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】D
2. 【答案】C　[解析] 当x＝0时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)；
当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，则抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选C.
3. 【答案】A　【解析】 当x＝2时，方程ax2＋bx＋c＝0，因此方程有一个实数根为2.当x由－1增大到0时，ax2＋bx＋c的值由－3增大到2，因此可以推断当x在－1与0之间取某一值时，必有ax2＋bx＋c＝0，说明方程ax2＋bx＋c＝0必有一个根在－1与0之间．
4. 【答案】C　【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0.当x＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a＋c＝0成立，当x＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a＋c＝0(与3a＋c＝0不相符)，∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝3.
5. 【答案】D　【解析】当a＝1时，函数为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，其图象经过点(－1，2)，不过点(－1，1)，所以A选项错误；当a＝－2时，函数为y＝－2x2＋4x－1，b2－4ac＝16－4×(－2)×(－1)＝8>0，抛物线与x轴有两个交点，故选项B错误；当a>0时，抛物线的开口向上，它的对称轴是直线x＝－＝1，当x≥1，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，所以C选项错误；当a<0时，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线x＝－＝1，当x≤1，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，所以D选项正确．
6. 【答案】B　【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°.(1)当0≤x≤2时，点P在AB边上，△BDP是等腰直角三角形，∴PD＝BD＝x，y＝x2 (0≤x≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x≤4时，点P在AC边上，△CDP是等腰直角三角形，∴PD＝CD＝4－x，∴y＝BD·PD＝x(4－x) (2＜x≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B的图象能大致反映y与x之间的函数关系．
二、填空题
7. 【答案】－1　－3
8. 【答案】x≤－1 　【解析】∵函数y＝－x2－2x，其图象的对称轴为x＝－＝－1，且a＝－1<0，∴在对称轴的左边y随x的增大而增大，∴x≤－1.
9. 【答案】y＝－3(x－2)2
10. 【答案】－1　[解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，
所以a2－1＝0，即a＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a＝1.故a＝－1.
11. 【答案】0　【解析】设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x轴的一个交点是P(4，0)，∴与x轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a－2b＋c，∴4a－2b＋c＝0.
12. 【答案】±10
13. 【答案】8a　[解析] ∵抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，
∴BD＝BC＝2，
∴DC＝4.
∵y＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a，
∴E(0，4a)，
∴S四边形ACED＝S△ACD＋S△CDE＝DC·OE＝×4×4a＝8a.
14. 【答案】<
【解析】当时，，
当时，，
，
即，
故答案为：．
三、解答题
15. 【答案】
解：(1)y＝x2－2x－1＝x2－2x＋2－3＝(x2－4x＋4)－3＝(x－2)2－3，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2，－3)，对称轴为直线x＝2.
(2)列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 5 －1 － －3 － －1 …
描点、连线，如图：
(3)令y＝0，则x2－2x－1＝0，
解得x1＝2＋，x2＝2－，
∴函数图象与x轴的交点坐标为(2＋，0)，(2－，0)．
令x＝0，则y＝×02－2×0－1＝－1，
∴函数图象与y轴的交点坐标为(0，－1)．
综上，该二次函数图象与坐标轴的交点坐标为(2＋，0)，(2－，0)，(0，－1)．
16. 【答案】
解：(1)设抛物线的解析式为y＝－x2＋k.
将(2，3)代入求得k＝5.
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5，顶点P的坐标为(0，5)．
(2)令y＝0，得－x2＋5＝0，
解得x＝±.
∴AB＝2，
∴S△APB＝×2 ×5＝5 .
17. 【答案】
解：(1)把(5，4)代入y＝ax2－5x＋4a，得25a－25＋4a＝4，解得a＝1.
∴该抛物线的解析式为y＝x2－5x＋4.
∵y＝x2－5x＋4＝－，
∴顶点P的坐标为.
(2)∵S△QAB＝S△PAB，
∴点Q和点P到横轴的距离相等，
即它们纵坐标的绝对值相等．
由(1)可知点P的纵坐标是－，
∴点Q的纵坐标是.
令x2－5x＋4＝，解得x＝.
∴点Q的坐标为(，)或(，)．
18. 【答案】
【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．
解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，
∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)
化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，
∴y1＝x2＋x－2；(4分)
(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，
①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，
把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＝b；(6分)
②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，
把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＋a＝－b；(8分)
(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝＝，m∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，
∵m∴点Q离对称轴x＝的距离比P离对称轴x＝的距离大，(10分)
∴|x0－|<1－，
∴019. 【答案】
解：(1)把(2，1)代入y＝a(x－3)2－1，
得1＝a(2－3)2－1，
整理，得1＝a－1，解得a＝2.
故平移后的抛物线的解析式为y＝2(x－3)2－1.
(2)由(1)知，平移后的抛物线的解析式为y＝2(x－3)2－1，则M(3，0)．
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移2个单位长度得到抛物线y＝2(x－3)2－1，
∴平移前的抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－1，
∴P(1，－1)．
在y＝2(x－1)2－1中，令x＝0，得y＝1，
故B(0，1)，
∴BM＝，BP＝PM＝.
∵BM2＝BP2＋PM2，
∴△BPM为直角三角形，且∠BPM＝90°，
∴S△BPM＝BP·PM＝××＝.
20. 【答案】
解：(1)把B(3，0)代入抛物线解析式，得0＝－32＋3m＋3，
解得m＝2，(2分)
∴y＝－x2＋2x＋3，
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点坐标为(1，4)．(4分)
(2)如解图，连接BC交抛物线对称轴l于点P，连接AP，此时PA＋PC的值最小．(6分)
由抛物线y＝－x2＋2x＋3得点C的坐标为(0，3)，
设直线 BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
把点B(3，0)，C(0，3)的坐标代入，得
，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.(8分)
当x＝1时，y＝－1＋3＝2.
∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．(10分)