2021-2022学年人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积同步培优练习（Word版含答案）

人教版 九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 同步培优
一、选择题
1. 2019·湖州已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是(　　)
A．60π cm2 B．65π cm2
C．120π cm2 D．130π cm2
2. 2019·天水模拟 一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是(　　)
A．60° B．90° C．120° D．180°
3. （2020·达州）如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的弧AB恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为（ ）
A. B. C. D.
4. 小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知该扇形的半径是5 cm，弧长是6π cm，那么这个圆锥的高是(　　)
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是(　　)
A. 2－π B. 4－π C. 2－π D. π
6. （2020 遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（　　）
A．4﹣ B．2﹣ C．2﹣π D．1﹣
二、填空题
7. 如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，AB＝3 cm，则劣弧的长为________ cm.
　　　　　
8. (2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O中，圆心角，则阴影部分面积为________．
9. （2020·温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．
10. 【题目】（2020·营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为　 　．
11. 如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形OAC.已知圆锥的高h为12 cm，OA＝13 cm，则扇形OAC中的长是________ cm.(结果保留π)
12. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是________．
13. (2020·荆门)如图7所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为______．
14. 如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB＝16 cm，则图中阴影部分的面积为________．
三、解答题
15. （2020·河北）如图13，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC=OD，以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆，点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP.
（1）①求证：△AOE≌△POC；
②写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由.
（2）若OC=2OA=2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留π）.
16. 一个圆锥的高为3 ，侧面展开图半圆，求：
(1)圆锥的母线长与底面圆半径的比；
(2)圆锥的全面积．
17. 已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.
(1)求扇形的弧长；
(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积是多少？
18. 如图所示的粮囤可以看成是圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面圆的半径为6 m，高为4 m，下方圆柱的高为3 m.
(1)求该粮囤的容积；
(2)求上方圆锥的侧面积(计算结果保留根号).
19. 当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积，现量得CD＝90 cm，∠DBA＝20°，AC＝115 cm，DA＝35 cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．
20. 如图，PB切⊙O于点B，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为D，交⊙O于点A，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC，AF，BF.
(1)若∠AOF＝120°，⊙O的半径为3，
求：①∠CBF的度数；
②的长；
③阴影部分的面积．
(2)若AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．
(3)求证：直线PA为⊙O的切线．
(4)若BC＝6，AD∶FD＝1∶2，求⊙O的半径．
人教版 九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】B　[解析] ∵r＝5 cm，l＝13 cm，∴S圆锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π(cm2)．故选B.
2. 【答案】D
3. 【答案】B
【解析】由“折叠后的弧AB恰好与OA、OB相切”可知：∠OAB=∠OBA=45°，所以∠AOB=90°，劣弧AB的长=．
4. 【答案】A　[解析] 设圆锥的底面圆的半径是r cm，则2πr＝6π，解得r＝3，则圆锥的高是＝4(cm)．
5. 【答案】A　【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x, ∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(2)2，解得x＝2，又∵sinA＝＝， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝×2×2－＝2－π.
6. 【答案】连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD＝，
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，
∴OA＝OH＝2，
在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，
∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，
∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE
＝×2×2﹣
＝2﹣π．
故选：B．
二、填空题
7. 【答案】π　【解析】由OA＝OB，∠AOB＝60°.可得△AOB为等边三角形，∴⊙O的半径OA＝AB＝3 cm，∴l＝×π×3＝π(cm)．
8. 【答案】
【解析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．
阴影部分面积为，
故答案为：．
9. 【答案】
【解析】本题考查了弧长公式.∵n＝45°，r＝3，∴，因此本题答案为．
10. 【答案】
【解析】在圆锥中，底面半径r，高h，母线长l满足r2+h2=l2，因为r=3，h=4，可求得l=5（负值舍去）．而圆锥的侧面积公式是S侧=rl，所以上述圆锥侧面积为×3×5=15．
11. 【答案】10π　[解析] 由勾股定理，得圆锥的底面圆半径为＝5(cm)，∴扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2π×5＝10π(cm)．
12. 【答案】　[解析] 设这个圆锥底面圆的半径是r.
∵∠BOC＝2∠AOC，∠BOC＋∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°.
又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝3，∴l＝＝2πr，
解得r＝，
∴这个圆锥底面圆的半径是.
13. 【答案】π－
【解析】∵OC＝OA＝2，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝60°，CD＝1，OD＝．∴S阴影＝S△OCD＋S弓BC＝××1＋－×22＝π－．
14. 【答案】32π cm2　[解析] 由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝＝32π(cm2)．
三、解答题
15. 【答案】
解：解：（1）①证明：∵OA=OB，OE=OC，∠AOE=∠POC，∴△AOE≌△POC；
②∠1+∠C=∠2.理由：∵△AOE≌△POC，∴∠E=∠C.∵∠1+∠E＝∠2，∴∠1+∠C=∠2.
（2）相切.
如图，∵CP与小半圆相切，∴CP⊥OP.
在Rt△OPC中，∵OP=1，OC=2,∴cos∠COP=，∴∠COP=60°.
∴∠DOE=120°.∴S扇形EOD=.
【解析】本题考查了平行四边形的性质、垂直的性质、三角形内角和定理、平行线的性质和全等三角形的判定和性质等知识．（1）在△AOE中，由∠AEO和∠AOE的度数求得∠EAO的度数，再由AC平分∠DAE求得∠OAD的度数，进而由AD∥BC得到∠ACB＝∠OAD，问题得解；（2）先根据AAS证明△AEO≌△CFO，再根据相似三角形对应边相等得到AE＝CF.
16. 【答案】
解：(1)设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，
所以l＝2r，
即圆锥的母线长与底面圆半径的比为2∶1.
(2)因为r2＋(3 )2＝l2，
即r2＋(3 )2＝4r2，解得r＝3(负值已舍去)，
所以l＝6，
所以圆锥的全面积＝π·32＋·2π·3·6＝27π.
17. 【答案】
证明：如图，连接AD，OC.
∵OD⊥AC，∴AE＝EC.
由翻折的性质，得AC是OD的垂直平分线，
∴OE＝DE，
∴四边形OADC是平行四边形，
∴OA∥CD，OA＝CD.
∵OA＝OB，∴OB＝CD，OB∥CD，
∴四边形BCDO是平行四边形．
又∵OB＝OD，
∴四边形BCDO是菱形．
18. 【答案】
解：(1)证明：∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，
∴＝，
∴∠AEC＝∠BEC，
∴EC平分∠AEB.
(2)∵CD⊥AB，
∴BG＝AG＝AB＝3，∠BGC＝90°.
在Rt△BGC中，
∵CG＝4，BG＝3，
∴BC＝5.
∵BC∥AE，
∴∠AEC＝∠BCE.
又∵∠AEC＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝5.
19. 【答案】
解： 如图，过点O作OG⊥AP于点G，连接OF.
∵DB＝10 cm，
∴OD＝OF＝5 cm，
∴AO＝AD＋OD＝3＋5＝8(cm)．
∵∠PAC＝30°，
∴OG＝AO＝×8＝4(cm)．
∵OG⊥EF，∴EG＝GF＝EF.
∵GF＝＝＝3(cm)，
∴EF＝2GF＝6 cm，
∴圆心O到AP的距离为4 cm，EF的长为6 cm.
20. 【答案】
解：P为半圆的中点．
证明：如图，连接OP.
∵∠OCD的平分线交⊙O于点P，∴∠PCD＝∠PCO.
∵OC＝OP，∴∠PCO＝∠OPC，
∴∠PCD＝∠OPC，∴OP∥CD.
∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，
∴＝，即P为半圆的中点．
D
C
A
B
O
图7